Метод подведения под знак дифференциала. Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Подведение основных функций

Сначала немного поговорим о постановке задачи в общем виде, а затем перейдём к примерам интегрирования подстановкой. Допустим, в нас есть некий интеграл $\int g(x) \; dx$. Однако в таблице интегралов нужной формулы нет, да и разбить заданный интеграл на несколько табличных не удаётся (т.е. непосредственное интегрирование отпадает). Однако задача будет решена, если нам удастся найти некую подстановку $u=\varphi(x)$, которая сведёт наш интеграл $\int g(x) \; dx$ к какому-либо табличному интегралу $\int f(u) \; du=F(u)+C$. После применения формулы $\int f(u) \; du=F(u)+C$ нам останется только вернуть обратно переменную $x$. Формально это можно записать так:

$$\int g(x) \; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Проблема в том, как выбрать такую подстановку $u$. Для этого понадобится знание, во-первых, таблицы производных и умение её применять для дифференцирования сложных функций , а во-вторых, таблицы неопределенных интегралов . Кроме того, нам будет крайне необходима формула, которую я запишу ниже. Если $y=f(x)$, то:

\begin{equation}dy=y"dx\end{equation}

Т.е. дифференциал некоторой функции равен производной этой функции, умноженной на дифференциал независимой переменной. Это правило очень важно, и именно оно позволит применять метод подстановки. Здесь же укажем пару частных случаев, которые получаются из формулы (1). Пусть $y=x+C$, где $C$ - некая константа (число, попросту говоря). Тогда, подставляя в формулу (1) вместо $y$ выражение $x+C$, получим следующее:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Так как $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, то указанная выше формула станет такой:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Запишем полученный результат отдельно, т.е.

\begin{equation}dx=d(x+C)\end{equation}

Полученная формула означает, что прибавление константы под дифференциалом не изменяет оный дифференциал, т.е. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ и так далее.

Рассмотрим еще один частный случай для формулы (1). Пусть $y=Cx$, где $C$, опять-таки, является некоторой константой. Найдем дифференциал этой функции, подставляя в формулу (1) выражение $Cx$ вместо $y$:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Так как $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, то записанная выше формула $d(Cx)=(Cx)"dx$ станет такой: $d(Cx)=Cdx$. Если разделить обе части этой формулы на $C$ (при условии $C\neq 0$), то получим $\frac{d(Cx)}{C}=dx$. Этот результат можно переписать в несколько иной форме:

\begin{equation}dx=\frac{1}{C}\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end{equation}

Полученная формула говорит о том, что умножение выражения под дифференциалом на некую ненулевую константу требует введения соответствующего множителя, компенсирующего такое домножение. Например, $dx=\frac{1}{5} d(5x)$, $dx=-\frac{1}{19} d(-19x)$.

В примерах №1 и №2 формулы (2) и (3) будут рассмотрены подробно.

Замечание относительно формул

В данной теме будут использоваться как формулы 1-3, так и формулы из таблицы неопределённых интегралов , которые тоже имеют свои номера. Чтобы не было путаницы, условимся о следующем: если в теме встречается текст "используем формулу №1", то означает он буквально следующее "используем формулу №1, расположенную на этой странице ". Если нам понадобится формула из таблицы интегралов, то это будем оговаривать каждый раз отдельно. Например, так: "используем формулу №1 из таблицы интегралов".

И ещё одно небольшое примечание

Перед началом работы с примерами рекомендуется ознакомиться с материалом, изложенным в предыдущих темах, посвящённых понятию неопределённого интеграла и . Изложение материала в этой теме опирается на сведения, указанные в упомянутых темах.

Пример №1

Найти $\int \frac{dx}{x+4}$.

Если мы обратимся к , то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int \frac{dx}{x+4}$. Наиболее близка к этому интегралу формула №2 таблицы интегралов, т.е. $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$. Проблема в следующем: формула $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$ предполагает, что в интеграле $\int \frac{du}{u}$ выражения в знаменателе и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int \frac{dx}{x+4}$ под дифференциалом находится буква $x$, а в знаменателе - выражение $x+4$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем "подогнать" наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $x+4$? Для ответа на этот вопрос применим , подставив в неё выражение $x+4$ вместо $y$:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Так как $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, то равенство $ d(x+4)=(x+4)"dx $ станет таким:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Итак, $dx=d(x+4)$. Честно говоря, этот же результат можно было получить, просто подставив в вместо константы $C$ число $4$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=d(x+4)$ подробно. Но что даёт нам равенство $dx=d(x+4)$?

А даёт оно нам следующий вывод: если $dx=d(x+4)$, то в интеграл $\int \frac{dx}{x+4}$ вместо $dx$ можно подставить $d(x+4)$, причём интеграл от этого не изменится:

$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}$$

Сделали мы это преобразование лишь для того, чтобы полученный интеграл стал полностью соответствовать табличной формуле $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$. Чтобы такое соответствие стало совсем явным, заменим выражение $x+4$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=x+4$):

$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}=|u=x+4|=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C.$$

По сути, задача уже решена. Осталось лишь вернуть переменную $x$. Вспоминая, что $u=x+4$, получим: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Полное решение без пояснений выглядит так:

$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}=|u=x+4|=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Ответ : $\int \frac{dx}{x+4}=\ln|x+4|+C$.

Пример №2

Найти $\int e^{3x} dx$.

Если мы обратимся к таблице неопределённых интегралов , то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int e^{3x} dx$. Наиболее близка к этому интегралу формула №4 из таблицы интегралов, т.е. $\int e^u du=e^u+C$. Проблема в следующем: формула $\int e^u du=e^u+C$ предполагает, что в интеграле $\int e^u du$ выражения в степени числа $e$ и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int e^{3x} dx$ под дифференциалом находится буква $x$, а в степени числа $e$ - выражение $3x$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем "подогнать" наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $3x$? Для ответа на этот вопрос применим , подставив в неё выражение $3x$ вместо $y$:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Так как $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, то равенство $d(3x)=(3x)"dx$ станет таким:

$$ d(3x)=3dx $$

Разделив обе части полученного равенства на $3$, будем иметь: $\frac{d(3x)}{3}=dx$, т.е. $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$. Вообще-то, равенство $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$ можно было получить, просто подставив в вместо константы $C$ число $3$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$ подробно.

Что нам дало полученное равенство $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$? Оно означает, что в интеграл $\int e^{3x} dx$ вместо $dx$ можно подставить $\frac{1}{3}\cdot d(3x)$, причём интеграл от этого не изменится:

$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x) $$

Вынесем константу $\frac{1}{3}$ за знак интеграла и заменим выражение $3x$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=3x$), после чего применим табличную формулу $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x)=\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} d(3x)=|u=3x|=\frac{1}{3}\cdot\int e^u du=\frac{1}{3}\cdot e^u+C.$$

Как и в предыдущем примере, нужно вернуть обратно исходную переменную $x$. Так как $u=3x$, то $\frac{1}{3}\cdot e^u+C=\frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C$. Полное решение без комментариев выглядит так:

$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x)=\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} d(3x)=|u=3x|=\frac{1}{3}\cdot\int e^u du=\frac{1}{3}\cdot e^u+C=\frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C.$$

Ответ : $ \int e^{3x} dx= \frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C$.

Пример №3

Найти $\int (3x+2)^2 dx$.

Для нахождения данного интеграла применим два способа. Первый способ состоит в раскрытии скобок и непосредственном интегрировании . Второй способ заключается в применении метода подстановки.

Первый способ

Так как $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, то $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Представляя интеграл $\int (9x^2+12x+4)dx$ в виде суммы трёх интегралов и вынося константы за знаки соответствующих интегралов, получим:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx $$

Чтобы найти $\int x^2 dx$ подставим $u=x$ и $\alpha=2$ в формулу №1 таблицы интегралов: $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^3}{3}+C$. Аналогично, подставляя $u=x$ и $\alpha=1$ в ту же формулу из таблицы, будем иметь: $\int x^1 dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^2}{2}+C$. Так как $\int 1 dx=x+C$, то:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac{x^3}{3}+12\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac{x^3}{3}+12\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

Второй способ

Скобки раскрывать не будем. Попробуем сделать так, чтобы под дифференциалом вместо $x$ появилось выражение $3x+2$. Это позволит ввести новую переменную и применить табличную формулу. Нам нужно, чтобы под дифференциалом возник множитель $3$, посему подставляя в значение $C=3$, получим $d(x)=\frac{1}{3}d(3x)$. Кроме того, под дифференциалом не хватает слагаемого $2$. Согласно прибавление константы под знаком дифференциала не меняет оный дифференциал, т.е. $\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}d(3x+2)$. Из условий $d(x)=\frac{1}{3}d(3x)$ и $\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}d(3x+2)$ имеем: $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$.

Отмечу, что равенство $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$ можно получить и иным способом:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\\ dx=\frac{1}{3}d(3x+2). $$

Используем полученное равенство $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$, подставив в интеграл $\int (3x+2)^2 dx$ выражение $\frac{1}{3}d(3x+2)$ вместо $dx$. Константу $\frac{1}{3}$ вынесем за знак получившегося интеграла:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac{1}{3}d(3x+2)=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Дальнейшее решение состоит в осуществлении подстановки $u=3x+2$ и применении формулы №1 из таблицы интегралов:

$$ \frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac{1}{3}\cdot \int u^2 du=\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{u^3}{9}+C. $$

Возвращая вместо $u$ выражение $3x+2$, получим:

$$ \frac{u^3}{9}+C=\frac{(3x+2)^3}{9}+C. $$

Полное решение без пояснений таково:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ =\frac{1}{3}\cdot \int u^2 du=\frac{u^3}{9}+C=\frac{(3x+2)^3}{9}+C. $$

Предвижу пару вопросов, поэтому попробую сформулировать их дать ответы.

Вопрос №1

Что-то тут не сходится. Когда мы решали первым способом, что получили, что $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. При решении вторым путём, ответ стал таким: $\int (3x+2)^2 dx=\frac{(3x+2)^3}{9}+C$. Однако перейти от второго ответа к первому не получается! Если раскрыть скобки, то получаем следующее:

$$ \frac{(3x+2)^3}{9}+C=\frac{27x^3+54x^2+36x+8}{9}+C=\frac{27x^3}{9}+\frac{54x^2}{9}+\frac{36x}{9}+\frac{8}{9}+C=3x^3+6x^2+4x+\frac{8}{9}+C. $$

Ответы не совпадают! Откуда взялась лишняя дробь $\frac{8}{9}$?

Этот вопрос говорит о том, что Вам стоит обратиться к предыдущим темам. Почитать тему про понятие неопределённого интеграла (уделив особое внимание вопросу №2 в конце страницы) и непосредственному интегрированию (стоит обратить внимание на вопрос №4). В указанных темах этот вопрос освещается подробно. Если уж совсем коротко, то интегральная константа $C$ может быть представлена в разных формах. Например, в нашем случае переобозначив $C_1=C+\frac{8}{9}$, получим:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac{8}{9}+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Посему никакого противоречия нет, ответ может быть записан как в форме $3x^3+6x^2+4x+C$, так и в виде $\frac{(3x+2)^3}{9}+C$.

Вопрос №2

Зачем было решать вторым способом? Это же лишнее усложнение! Зачем применять кучу лишних формул, чтобы найти ответ, который первым способом получается в пару действий? Всего-то и нужно было, что скобки раскрыть, применив школьную формулу.

Ну, во-первых, не такое уж это и усложнение. Когда вы разберётесь в методе подстановки, то решения подобных примеров станете делать в одну строчку: $\int (3x+2)^2 dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=\frac{(3x+2)^3}{9}+C$. Однако давайте взглянем на этот пример по-иному. Представьте, что нужно вычислить не $\int (3x+2)^2 dx$, а $\int (3x+2)^{200} dx$. При решении вторым способом придётся лишь чуток подправить степени и ответ будет готов:

$$ \int (3x+2)^{200} dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^{200} d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ =\frac{1}{3}\cdot \int u^{200} du=\frac{u^{201}}{603}+C=\frac{(3x+2)^{201}}{603}+C. $$

А теперь представьте, что этот же интеграл $\int (3x+2)^{200} dx$ требуется взять первым способом. Для начала нужно будет раскрыть скобку $(3x+2)^{200}$, получив при этом сумму в двести одно слагаемое! А потом каждое слагаемое ещё и проинтегрировать придётся. Поэтому вывод тут такой: для больших степеней метод непосредственного интегрирования не годится. Второй способ, несмотря на кажущуюся сложность, более практичен.

Пример №4

Найти $\int \sin2x dx$.

Решение этого примера проведём тремя различными способами.

Первый способ

Заглянем в таблицу интегралов . Ниболее близка к нашему примеру формула №5 из этой таблицы, т.е. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Чтобы подогнать интеграл $\int \sin2x dx$ под вид $\int \sin u du$, воспользуемся , внеся множитель $2$ под знак дифференциала. Собственно, мы это делали уже в примере №2, так что обойдёмся без подробных комментариев:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac{1}{2}\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac{1}{2}d(2x)=\\ =\frac{1}{2} \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac{1}{2} \int \sin u du=-\frac{1}{2}\cos u+C=-\frac{1}{2}\cos 2x+C. $$

Ответ : $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$.

Второй способ

Для решения вторым способом применим простую тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:

Какова цель такого преобразования? В таблице интеграла $\int \sin x\cos x dx$ нет, но мы можем немного препобразовать $\int \sin x\cos x dx$, чтобы он стал больше походить на табличный. Для этого найдем $d(\cos x)$, используя . Подставим в упомянутую формулу $\cos x$ вместо $y$:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Так как $d(\cos x)=-\sin x dx$, то $\sin x dx=-d(\cos x)$. Так как $\sin x dx=-d(\cos x)$, то мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\sin x dx$ подставить $-d(\cos x)$. Значение интеграла при этом не изменится:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\cos x$. Теперь, сделав подстановку $u=\cos x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac{u^2}{2}+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Ответ получен. Вообще, можно не вводить букву $u$. Когда вы приобретёте достаточный навык в решении подобного рода интегралов, то необходимость в дополнительных обозначениях отпадёт. Полное решение без пояснений таково:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac{u^2}{2}+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Ответ : $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Третий способ

Для решения третьим способом применим ту же тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Найдем $d(\sin x)$, используя . Подставим в упомянутую формулу $\sin x$ вместо $y$:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Итак, $d(\sin x)=\cos x dx$. Из полученного равенства следует, что мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\cos x dx$ подставить $d(\sin x)$. Значение интеграла при этом не изменится:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\sin x$. Теперь, сделав подстановку $u=\sin x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac{u^2}{2}+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Ответ получен. Полное решение без пояснений имеет вид:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac{u^2}{2}+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Ответ : $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Возможно, что после прочтения этого примера, особенно трёх различных (на первый взгляд) ответов, возникнет вопрос. Рассмотрим его.

Вопрос №3

Погодите. Ответы должны совпадать, но они отличаются! В примере №3 различие было всего-то в константе $\frac{8}{9}$, но здесь даже внешне ответы не похожи: $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$, $-\cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Неужели всё дело опять в интегральной константе $C$?

Да, дело именно в этой константе. Давайте сведём все ответы к одной форме, после чего это различие в константах станет совсем явным. Начнём с $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$. Используем простое тригонометрическое равенство: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Тогда выражение $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ станет таким:

$$ -\frac{1}{2}\cos 2x+C=-\frac{1}{2}\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac{1}{2}. $$

Теперь поработаем со вторым ответом, т.е. $-\cos^2x+C$. Так как $\cos^2 x=1-\sin^2x$, то:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Три ответа, которые мы получили в примере №4, стали такими: $\sin^2 x+C-\frac{1}{2}$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+C$. Полагаю, теперь видно, что отличаются они друг от друга лишь некоторым числом. Т.е. дело опять оказалось в интегральной константе. Как видите, небольшое различие в интегральной константе способно, в принципе, сильно изменить внешний вид ответа, - но от этого ответ не перестанет быть правильным. К чему я веду: если в сборнике задач вы увидите ответ, не совпадающий с вашим, то это вовсе не означает, что ваш ответ неверен. Возможно, что вы просто пришли к ответу иным способом, чем предполагал автор задачи. А убедиться в правильности ответа поможет проверка, основанная на определении неопределённого интеграла . Например, если интеграл $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ найден верно, то должно выполняться равенство $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$. Вот и проверим, правда ли, что производная от $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)$ равна подынтегральной функции $\sin 2x$:

$$ \left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)"+C"=-\frac{1}{2}\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$

Проверка пройдена успешно. Равенство $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ выполнено, поэтому формула $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ верна. В примере №5 также осуществим проверку результата, дабы убедиться в его правильности. Наличие проверки не является обязательным, хотя в некоторых типовых расчётах и контрольных работах требование проверять результат присутствует.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором свзяны между собой переменные, постоянные коэффициенты, искомая функция и производные от функции любого порядка. При этом максимальный порядок производной функции, который присутствует в уравнении, определяет порядок всего дифференциального уравнения. Решить диф уравнение - это определить искомую функцию, как зависимость от переменной.

Современные компьютеры позволяют решать сложнейшие диф уравнения численно. Нахождение же аналитического решения является сложной задачей. Существует множество типов уравнений и для каждого теория предлагает свои методы решения. На сайте сайт диф уравнения можно вычислять в режиме онлайн, причём практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям. Мы предлагаем для решения заполнить два поля: само собственно уравнение и при необходимости - начальные условия (задачу Коши) - то есть информацию о граничных условиях искомой функции. Ведь как известно, диф уравнения имеют бесконечное количество решений, поскольку в ответе присутствуют константы, которые могут принимать произвольное значение. Задав задачу Коши, мы из всего множества решений выбираем частные.

Пусть требуется найти интеграл

где подынтегральные функции непрерывны. Применив подстановку
, получим

Полученная формула лежит в основе метода подведения под знак дифференциала. Покажем этот метод на примерах вычисления интегралов.

Например.

Найти интегралы:

Обозначим
, тогда

Следовательно

Обозначим
, тогдаИнтеграл примет вид

Преобразования подынтегральных выражений, проведенные в выше указанных интегралах, называются подведением под знак дифференциала.

Итак: Если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения некоторой функции и производной от этой функции, либо от промежуточного аргумента этой функции, то, подведя под знак дифференциала производную, вычисление интеграла производится непосредственно.

Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям имеет вид

Справедливость формулы вытекает из того факта, что

Интегрируя обе части получаем

Откуда

Формула интегрирования по частям сводит вычисление интеграла
к вычислению интеграла
. Метод интегрирования по частям применяют тогда, когда подынтегральное выражение представляет произведение двух дифференцируемых функций, при этом производная от одной из функций, проще по отношению к самой заданной функции.

Например:

Полагаем
и

Тогда
и

следовательно

Полагаем
и

тогда
и

следовательно

Применим формулу интегрирования по частям дважды

Сначала положим
и

тогда
и

подставив полученные выражения будем иметь

Далее полагаем
и

тогда
и

полагаем
и

тогда
и

Следовательно

Для интеграла, стоящего в правой части снова применим формулу интегрирования по частям

Полагаем
и

тогда
и

Подставляя найденные значения в формулу, будем иметь

Таким образом получим алгебраическое уравнение относительно исходного интеграла

Откуда

Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы вида

Для вычисления интегралов, содержащих квадратный трехчлен, поступают следующим образом:

1.Выделяют полный квадрат из трехчлена, стоящего в знаменателе 2. Обозначают

3.Вычисляют интегралы с помощью одной из формул (12)-(16) непосредственно по таблице интегралов

Например:

Рассмотрим интегралы вида

Для вычисления интегралов, содержащих в знаменателе квадратный трехчлен, а в числителе двучлен первой степени применяют следующие преобразования:

1. В числителе из двучлена выделяют производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе

Полученный таким образом интеграл представляют в виде суммы двух интегралов, первый из которых вычисляют методом подведения под знак дифференциала; второй – способом, указанным в начале этого параграфа

Например:

Интегрирование рациональных функций

Из высшей алгебры известно, что всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, то есть отношения двух многочленов

правильной , если степень многочлена стоящего в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знамена-теле

Рациональная дробь называется неправильной , если степень многочлена, стоящего в числителе больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе

Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Здесь
- многочлен,правильная дробь

Так как интегрирование многочленов проводится непосредственно и не вызывает затруднений, то в дальнейшем все наши рассуждения относительно интегрирования рациональных функций будут относится к правильным рациональным дробям.

Правильные дроби вида:

Называются простейшими дробями.

Интегрирование простейших дробей I,II,IIIтипов нами уже было рассмотрено ранее.

Теорема

Если знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители:

то дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей

Для определения коэффициентов
применяют метод неопределенных коэффициентов. Сущность метода состоит в следующем:

В правой части разложения рациональной дроби простейшие дроби приводим к общему знаменателю, которым является многочлен
, после чего знаменатель
в левой и правой частях равенства отбрасываем. Получаем тождество, в левой части которого стоит многочлен
, а в правой многочлен содержащий неопределенные коэффициенты
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях, стоящих в левой и правой частях тождества, получаем систему уравнений относительно искомых коэффициентов
.

Например:

Найти интеграл

Подынтегральная функция в данном случае представляет собой неправильную дробь. Поэтому сначала представим её в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого поделим многочлен
на многочлен: