Плоская система сил тоже приводится к силе, равной и приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре с моментом

при этом вектор можно определить или геометрически построением силового многоугольника (см. п. 4), или аналитически. Таким образом, для плоской системы сил

R x =F kx , R y =F ky ,

где все моменты в последнем равенстве алгебраические и сумма тоже алгебраическая.

Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зависит от значений R и М O .

• 1. Если для данной системы сил R=0, a M O ?0, то она приводится к одной паре с моментом М O , значение которого не зависит от выбора центра О.
• 2. Если для данной системы сил R?0, то она приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:
  • а) R?0, М O =0. В этом случае система, что сразу видно, приводится к равнодействующей R, проходящей через центр О;
  • б) R?0, М O ?0. В этом случае пару с моментом М O можно изобразить двумя силами R" и R", беря R"=R, a R"= - R. При этом, если d=OC - плечо пары, то должно быть Rd=|M O |.

Отбросив теперь силы R и R", как уравновешенные, найдем, что вся система сил заменяется равнодействующей R"=R, проходящей через точку С. Положение точки С определяется двумя условиями: 1) расстояние OC=d () должно удовлетворять равенству Rd=|M O |; 2) знак момента относительно центра О силы R", приложенной в точке С, т. е. знак m O (R") должен совпадать со знаком М O .

Теорема о приведении системы сил:

Любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, может быть заменена одной силой R , равной главному вектору этой системы сил и приложенной к произвольно выбранному центру О, и одной парой сил с моментом L O , равным главному моменту системы сил относительно центра О.

Такая эквивалентная замена данной системы сил силой R и парой сил с моментом L O называютприведением системы сил к центу О .

Рассмотрим здесь частный случай приведения плоской системы сил к центру О, лежащему в той же плоскости. В этом случае система сил заменяется одной силой и одной парой сил, лежащих в плоскости действия сил системы. Момент этой пары сил можно рассматривать как алгебраическую величину L O и изображать на рисунках дуговой стрелкой (алгебраический главный момент плоской системы сил ).

В результате приведения плоской системы сил к центру возможны следующие случаи:

если R = 0, L O = 0, то заданная система является равновесной ;

если хотя бы одна из величин R или L O не равна нулю, то система сил не находится в равновесии . При этом:

16 Вопрос. Уравнение равновесия

Для равновесия твердрго тела, находящегося под действием плоской системы сил,необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее алгебраический главный момент были равны нулю, то есть R = 0, L O = 0, где О - любой центр, расположенный в плоскости действия сил системы.

Вытекающие отсюда аналитические условия равновесия (уравнения равновесия) плоской системы сил можно сформулировать в следующих трех формах:

Основная форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей и сумма их алгебраических моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

F ix = 0; F iy = 0; M O (F i) = 0. (I)

Вторая форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ox, не перпендикулярную оси Ox, были равны нулю:

F ix = 0; M А (F i) = 0; M В (F i) = 0. (II)

Третья форма уравнений равновесия (уравнения трех моментов):

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно любых трех центров А,В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

M А (F i) = 0; M В (F i) = 0; M С (F i) = 0. (III)

Уравнения равновесия в форме (I) считаются основными, так как при их использовании нет никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов.

17 Вопрос

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той оке самой точки. Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра при­ведения другую точку O 1 . Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). С другой стороны, имеем M O1Z =M Olz (R), (5.12) так как главный момент для центра приведения О равен нулю (M Oz =0). Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) ч.т.д. При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая R 1 приложена в какой-либо точке О 1 с координатами х и у (рис. 5.5) и известны главный вектор F o и главный момент М Оя при центре приведения в начале координат. Так как R 1 =F o , то составляющие равнодей­ствующей по осям х и у равны R lx =F Ox =F Ox i и R ly =F Oy =F oy j. Согласно теореме Вариньона мо­мент равнодействующей относительно на­чала координат равен главному моменту при центре приведения в начале коорди­нат, т. е. М оz =M Oz (R 1)=xF Oy –yF Ox . (5.14). Величины M Oz , F Ox и F oy при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты х и ув уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты ли­нии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При F ox ≠0 его можно переписать в виде y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox).

Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела А, В, С и D (рис. 30) приложены силы F1,F2,F3,F4. Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу F1 , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы F1" и F1"", параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы F1 получим силу F1" , приложенную в точке О, и пару сил F1" F1"" с плечом a1. Поступив таким же образом с силой F2 , приложенной в точке В, получим силу F2", приложенную в точке О, и пару сил с плечом a2 т. д. Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами F1,F2,F3,F4 , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:
Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой F"гл, равной геометрической сумме составляющих,
Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают F"гл.

На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения
Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары (главного момента). Необходимо усвоить, что главный вектор F"гл является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе F"гл. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента Mгл зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:
1. - общий случай; система приводится главному вектору и к главному моменту.
2. ; система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы.
3. ; система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.
4. ; система находится в равновесии, т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.

Можно доказать, что в общем случае, когда, всегда есть точка, относительно которой главный момент сил равен нулю.

Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О, т. е. заменена главным вектором , приложенным в точке О, и главным моментом . Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т. е. . Изобразим этот главный момент парой сил FF", модуль которых выберем равным модулю главного вектора, т. е. . Одну из сил, составляющих пару, приложим в центре приведения О, другую силу в точке С, положение которой определится из условия: . Следовательно .

Расположим пару сил так, чтобы сила F"" была направлена в сторону, противоположную главному вектору F"гл. В точке О имеем две равные взаимнопротивоположные силы F"гл и F"", направленные по одной прямой; их можно отбросить (согласно третьей аксиоме). Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой системы сил равен нулю, и система приводится к равнодействующей .Теорема о моменте равнодействующей(теорема Вариньона) В общем случае произвольная плоская система сил приводится к главному вектору F"гл и к главному моменту Mгл относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О:

Было показано, что можно выбрать центр приведения, относительно которого главный момент системы будет равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей , равной по модулю главному вектору . Определим момент равнодействующей относительно точки О. Учитывая, что плечо ОС силы F равно , получаем .

Две величины, порознь равные третьей, равны между собой, поэтому из предыдущих уравнений находим.

Полученное уравнение выражает теорему Вариньона:момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.

17. Статический момент площади сечения Статические моменты сечения Sx и Sy используются главным образом для определения положения центра площади сечения и центральных осей.

Рассмотрим изменение статических моментов при параллельном переносе осей (рис. 1.1). Считая известными F , Sx и Sy в системе координат 0XY определим статические моменты S x1 , S y1 относительно новых осей x 1 , y 1 .

Рис. 1.1

Учитывая соотношения x 1 = x - a и y 1 = y - b получим: или S x 1 = Sx - bF; S y 1 = Sy - aF; (1.1) Оси x 1 , y 1 можно выбрать таким образом, чтобы выполнились условия: S x1 = 0, S y1 = 0. Оси , относительно которых статические моменты сечения равны нулю, называются центральнми. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения . Принимая S x1 = 0 и S y1 = 0, из выражения (1.1) координаты центра площади сечения относительно вспомогательных осей x, y определяются по формулам (обозначим x c = a, y c = b):

(1.2)

Соответственно, если площадь F и положение центра площади сечения (координаты x c , y c) в системе координат 0xy известны, то статические моменты сечения относительно осей x, y можно определить из выражений (1.2): Sx = F y c ; Sy = F x c . (1.3) Можно показать, что статический момент относительно любой оси, проходящей через центр площади сечения, равен нулю. При определении центра площади сложного сечения применяется следующая процедура: 1) сечение разбивается на n частей, площади (F i) и положение центров (C i) площади которых известны; 2) задается вспомогательная система координат, в которой определяются координаты центров площадей (x ci , y ci) этих частей; 3) вычисляются координаты составного сечения по формулам:

Метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в некото­рых точках тела (рис. 1.24) приложены силы F 1 F 2 , F 3 и F 4 . Тре­буется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу приложенную в точ­ке А. Приложим (см. § 16) в точке О две силы рав­ные порознь по значению заданной силе параллель­ные ей и направленные в про­тивоположные стороны. В ре­зультате приведения силы получим силу , приложен­ную в точке О, и пару сил с плечом . Поступив таким же образом с силой , приложенной в точке В, получим силу , приложенную в точке О, и пару сил с плечом и т. д. Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:

рис.1.24

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой равной геометрической сумме составляющих,

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают .

По величине проекций главного вектора на оси координат находим модуль главного вектора:

На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения

Таким образом, произвольная плоская система сил приводиться к одной силе (главному вектору системы сил) и одному моменту (главному моменту системы сил).

Необходимо усвоить, сто главный вектор не является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе . Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системе, то ни модуль, ни направление его не зависит от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента зависит от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра) относительно которой берутся моменты.

Частные случаи приведения системы сил:

1) ; система находиться в равновесии, т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.

Лекция 3

Краткое содержание: Приведение произвольной и плоской системы сил к центру. Теорема о параллельном переносе силы, основная теорема статики Приведении системы сил к данному центру Главный вектор и главный момент системы сил. Зависимость главного момента от выбора центра. Аналитическое определение главного вектора и главного момента системы сил. Инварианты системы сил. Приведение системы сил к простейшему виду. Частные случаи приведения произвольной системы сил, динамический винт. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Приведение силы к заданному центру (Лемма Пуансо)

Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью сложения сил по правилу параллелограмма. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку.

Лемма Пуансо о параллельном переносе силы . . Не изменяя действия силы на твердое тело, ее можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Пусть сила приложена в точке A. Действие этой силы не изменяется, если в точке B приложить две уравновешенные силы. Полученная система трех сил представляет собой силу равную , но приложенную в точке В и пару с моментом . Процесс замены силы силой и парой сил называется приведением силы к заданному центру В. ■

Приведение системы сил к заданному центру.

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки О тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Теорема Пуансо (Основная теорема статики)

Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке (центре приведения), момент пары равен главному

моменту системы сил относительно этой точки.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Точка О - центр приведения. По лемме Пуансо перенесем силу F1 в точку О. При этом вместо F1 имеем в точке О такую же силу F1’ и дополнительно пару сил с моментом m1.

Аналогично перенесем все остальные силы. В результате получим систему сходящихся сил и систему пар сил. По теореме о существовании равнодействующей системы сходящихся

сил их можно заменить одной силой R, равной главному вектору. Систему пар по теореме о сложении пар можно заменить одной парой, момент которой равен главному моменту Mo. ■

Инварианты статики

Инварианты статики - характеристики системы сил, не зависящие от выбора центра приведения.

Первый инвариант статики - главный вектор системы сил (по определению).

Второй инвариант статики - скалярное произведение главного вектора и главного момента.

В самом деле, главный момент, очевидно, зависит от выбора центра приведения. Рассмотрим произвольную систему сил . Приведем ее сначала к центру О, а затем к центру О 1 .

Из рисунка видно,что .Поэтому формула для примет вид

Или .

Домножим обе части этого равенства на соответственно, учитывая что главный вектор системы сил является первым инвариантом статики: . По

свойству смешанного произведения векторов , следовательно:

.

Если воспользоваться определением скалярного произведения, то для второго инварианта можно получить еще одну форму:

Так как , то предыдущее выражение примет вид:

Таким образом, проекция главного момента на направление главного вектора есть величина постоянная для данной системы сил и не зависит от выбора центра приведения.

Частные случаи приведения произвольной системы сил к простейшему виду

1) Если при приведении системы сил к центру О то на основании (6.4) можно записать

.

равнодействующей , приложенной в центре приведения и совпадающей по величине и направлению с главным вектором.

2)Если при приведении системы сил к центру О

то представив в виде пары сил с плечом ,

получим: .

В этом случае система сил приводится к равнодействующей , совпадающей по величине и направлению с главным вектором, а линия действия равнодействующей отстоит от линии действия главного вектора на расстоянии .

3)Если при приведении системы сил к центру О то можно записать

,то есть система сил приводится к паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил.

4)Если при приведении системы сил к центру О то можно записать

Т.е. система сил находится в равновесии .

Определение: Система, состоящая из силы и пары сил, момент которой коллинеарен силе (плоскость пары перпендикулярна линии действия силы), называется динамой или динамическим винтом .

Если при приведении системы сил к центру О второй инвариант не равен нулю, то эта система сил приводится к динаме .

Разложив на две составляющие - вдоль главного вектора и - перпендикулярно главному вектору, для и будем иметь случай 2),а вектор , как свободный можно перенести параллельно самому себе в точку О 1:

Вектора представляют собой динаму, где , .

В рассматриваемом случае приведения системы сил главный момент имеет минимальное значение. Это значение момента сохраняется при приведении заданной системы сил к любой точке, лежащей на линии действия главного вектора и главного момента . Уравнение этой линии(центральная винтовая ось системы сил) определяется из условия коллинеарности векторов и : .