Poměr dvou čísel

Definice 1

Poměr dvou čísel je jejich soukromý.

Příklad 1

poměr 18 $ ku 3 $ lze zapsat jako:

$18\div 3=\frac(18)(3)=6$.

poměr 5 $ k 15 $ lze zapsat jako:

$5\div 15=\frac(5)(15)=\frac(1)(3)$.

Používáním poměr dvou čísel lze ukázat:

• kolikrát je jedno číslo větší než jiné;
• jakou část představuje jedno číslo od druhého.

Při sestavování poměru dvou čísel ve jmenovateli zlomku zapište číslo, se kterým se provádí porovnání.

Nejčastěji takové číslo následuje za slovy „ve srovnání s ...“ nebo za předložkou „k ...“.

Vybavte si základní vlastnost zlomku a aplikujte ji na vztah:

Poznámka 1

Když vynásobíme nebo vydělíme oba členy vztahu stejným číslem jiným než nula, dostaneme poměr, který je roven původnímu.

Zvažte příklad, který ilustruje použití konceptu poměru dvou čísel.

Příklad 2

Množství srážek v předchozím měsíci bylo $ 195 $ mm a v aktuálním měsíci - $ 780 $ mm. O kolik se zvýšilo množství srážek v aktuálním měsíci ve srovnání s předchozím měsícem?

Řešení.

Sestavte poměr množství srážek v aktuálním měsíci k množství srážek v předchozím měsíci:

$\frac(780)(195)=\frac(780\div 5)(195\div 5)=\frac(156\div 3)(39\div 3)=\frac(52)(13)=4$.

Odpovědět: množství srážek v aktuálním měsíci je 4 $ krát více než v předchozím měsíci.

Příklad 3

Zjistěte, kolikrát je číslo $1 \frac(1)(2)$ obsaženo v čísle $13 \frac(1)(2)$.

Řešení.

$13 \frac(1)(2)\div 1 \frac(1)(2)=\frac(27)(2)\div \frac(3)(2)=\frac(27)(2) \cdot \frac(2)(3)=\frac(27)(3)=9$.

Odpovědět: $ 9 $ krát.

Pojem proporce

Definice 2

Proporce se nazývá rovnost dvou vztahů:

$a\div b=c\div d$

$\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$.

Příklad 4

$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,

$\frac(8)(2)=\frac(36)(9)$, $\frac(10)(40)=\frac(9)(36)$, $\frac(15)(75)=\frac(1)(5)$.

V poměru $\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$ (nebo $a:b = c\div d$) se nazývají čísla a a d extrémní členové proporce, zatímco čísla $b$ a $c$ jsou střední členové proporcemi.

Správný poměr lze převést následovně:

Poznámka 2

Součin krajních členů správného poměru se rovná součinu středních členů:

$a \cdot d=b \cdot c$.

Toto prohlášení je základní vlastnost proporce.

Opak je také pravdou:

Poznámka 3

Pokud je součin krajních členů proporce roven součinu jejích středních členů, pak je proporce správná.

Poznámka 4

Pokud jsou střední členy nebo extrémní členy přeskupeny ve správném poměru, pak budou také správné proporce, které budou získány.

Příklad 5

$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,

$\frac(2)(8)=\frac(9)(36)$, $\frac(40)(10)=\frac(36)(9)$, $\frac(75)(15)=\frac(5)(1)$.

Pomocí této vlastnosti je snadné najít neznámý výraz z proporce, pokud jsou známy další tři:

$a=\frac(b \cdot c)(d)$; $b=\frac(a \cdot d)(c)$; $c=\frac(a \cdot d)(b)$; $d=\frac(b \cdot c)(a)$.

Příklad 6

$\frac(6)(a)=\frac(16)(8)$;

$6 \cdot 8=16 \cdot a$;

$16 \cdot a=6 \cdot 8$;

$16 \cdot a=48$;

$a=\frac(48)(16)$;

Příklad 7

$\frac(a)(21)=\frac(8)(24)$;

$a \cdot 24=21 \cdot 8$;

$a \cdot 24=168$;

$a=\frac(168)(24)$;

3 $ zahradník - 108 $ stromy;

$x$ zahradníci - $252$ strom.

Udělejme poměr:

$\frac(3)(x)=\frac(108)(252)$.

Použijme pravidlo pro nalezení neznámého členu podílu:

$b=\frac(a \cdot d)(c)$;

$x=\frac(3 \cdot 252)(108)$;

$x=\frac(252)(36)$;

Odpovědět: Prořezávání stromů za 252 $ bude trvat zahradníkům 7 $.

Nejčastěji se vlastnosti proporce využívají v praxi při matematických výpočtech v případech, kdy je potřeba vypočítat hodnotu neznámého členu proporce, pokud jsou známy hodnoty ostatních tří členů.

Proporce – rovnost dvou vztahů, tedy rovnost formy a:b = c:d , nebo, jinak řečeno, rovnost

Li A : b = C : d, Že A A d volal extrémní, A b A C - průměrnýčlenů proporcemi.

Z „proporce“ nelze uniknout, je v mnoha úkolech nepostradatelná. Existuje pouze jedna cesta ven - vypořádat se s tímto poměrem a použít poměr jako životabudič.

Než přistoupíte k úvahám o proporčních problémech, je důležité si zapamatovat základní pravidlo proporce:

v poměru

součin extrémních členů se rovná součinu průměru

Pokud je nějaká hodnota v poměru neznámá, bude snadné ji najít na základě tohoto pravidla.

Například,

Tedy neznámá hodnota podílu – hodnota zlomku, ve jmenovateli což je číslo opačné k neznámé hodnotě , v čitateli - součin zbývajících členů podílu (bez ohledu na to, kde tato neznámá hodnota stojí).

Úkol 1.

Z 21 kg bavlníkových semen bylo získáno 5,1 kg oleje. Kolik oleje se získá ze 7 kg bavlníkových semen?

Řešení:

Chápeme, že několikanásobné snížení hmotnosti semene znamená snížení hmotnosti výsledného oleje o stejné množství. To znamená, že množství spolu přímo souvisí.

Doplňme tabulku:

Neznámá hodnota - hodnota zlomku, v jehož jmenovateli - 21 - hodnota opačná k neznámé v tabulce, v čitateli - součin zbývajících členů tabulky-proporce.

Dostaneme tedy, že ze 7 kg semene vyjde 1,7 kg oleje.

Na Že jo vyplňte tabulku, je důležité si zapamatovat pravidlo:

Shodná jména musí být napsána pod sebou. Procenta píšeme pod procenta, kilogramy pod kilogramy atd.

Úkol 2.

Převést na radiány.

Řešení:

Víme, že . Doplňme tabulku:

Odpovědět:

Úkol 3.

Na kostkovaném papíře je vyobrazen kruh. Jaká je plocha kruhu, pokud je plocha stínovaného sektoru 27?

Řešení:

Je jasně vidět, že nevystínovaný sektor odpovídá úhlu v (například proto, že strany sektoru jsou tvořeny osami dvou sousedních pravých úhlů). A protože celý kruh je , pak stínovaný sektor odpovídá za .

Udělejme tabulku:

Odkud pochází oblast kruhu?

Odpovědět:

Úkol 4.Po zorání 82 % celého pole zbývalo zorat 9 hektarů. Jaká je rozloha celého pole?

Řešení:

Celé pole je 100%, a protože je zoráno 82%, pak zbývá zorat 100%-82%=18% pole.

Vyplnit tabulku:

Kde bereme, že celé pole je (ha).

Odpovědět:

A dalším úkolem je přepadení.

Úkol 5.

Vzdálenost mezi dvěma městy urazí osobní vlak rychlostí 80 km/h za 3 hodiny. Kolik hodin bude trvat, než nákladní vlak ujede stejnou vzdálenost rychlostí 60 km/h?

Řešení:

Pokud tento problém vyřešíte stejným způsobem jako předchozí, získáte následující:

doba potřebná k tomu, aby nákladní vlak urazil stejnou vzdálenost jako osobní vlak, je hodin. To znamená, že se ukazuje, že jede nižší rychlostí, překonává (současně) vzdálenost rychleji než vlak s vyšší rychlostí.

Jaká je chyba v uvažování?

Dosud jsme zvažovali problémy, kde množství byla vzájemně přímo úměrné , to je výška stejné velikosti o určitou částku, dává výška druhá veličina s ní spojená stejným počtem opakování (samozřejmě obdobně s poklesem). A tady máme jinou situaci: rychlost osobního vlaku více několikanásobná rychlost nákladního vlaku, ale čas potřebný k překonání stejné vzdálenosti vyžaduje osobní vlak menší stejně jako nákladní vlak. Tedy hodnoty k sobě navzájem nepřímo úměrné .

Schéma, které jsme doposud používali, je v tomto případě potřeba mírně upravit.

Řešení:

Uvažujeme takto:

Osobní vlak jel 3 hodiny rychlostí 80 km/h, ujel tedy km. To znamená, že stejnou vzdálenost urazí nákladní vlak za jednu hodinu.

To znamená, že pokud bychom měli vytvořit poměr, měli jsme nejprve prohodit buňky v pravém sloupci. Dostal by:

Odpovědět: .

Proto, při sestavování poměru buďte opatrní. Nejprve si ujasněte, s jakou závislostí se potýkáte – přímou nebo obrácenou.

Nastavte poměr. V tomto článku s vámi chci mluvit o proporcích. Pochopit, co je to proporce, umět si ji poskládat – to je velmi důležité, opravdu se šetří. Zdá se, že je to malé a bezvýznamné „písmeno“ ve velké abecedě matematiky, ale bez něj je matematika odsouzena k tomu, aby byla chromá a podřadná.Nejprve mi dovolte připomenout, co je to proporce. Toto je rovnost ve tvaru:

což je totéž (jedná se o jinou formu zápisu).

Příklad:

Říká se, že jedna je na dvě jako čtyři na osm. To znamená, že se jedná o rovnost dvou vztahů (v tomto příkladu jsou vztahy číselné).

Základní pravidlo proporce:

a:b=c:d

součin extrémních členů se rovná součinu průměru

to znamená

a∙d=b∙c

*Pokud je nějaká hodnota v poměru neznámá, lze ji vždy najít.

Pokud vezmeme v úvahu formu záznamu formuláře:

pak můžete použít následující pravidlo, nazývá se „pravidlo kříže“: zapíše se rovnost součinů prvků (čísel nebo výrazů) stojících diagonálně

a∙d=b∙c

Jak vidíte, výsledek je stejný.

Pokud jsou známy tři prvky podílu, pakvždy najdeme čtvrtý.

To je podstata užitku a nutnostiproporce při řešení problémů.

Podívejme se na všechny možnosti, kde neznámá hodnota x je na „jakémkoli místě“ podílu, kde a, b, c jsou čísla:

Hodnota stojící na diagonále od x je zapsána ve jmenovateli zlomku a známé hodnoty stojící na diagonále jsou zapsány v čitateli jako součin. Není nutné se to učit nazpaměť, vše si spočítáte správně, pokud ovládáte základní pravidlo proporce.

Nyní hlavní otázka související s názvem článku. Kdy proporce šetří a kde se používá? Například:

1. Především jsou to úkoly pro zajímavost. Zvažovali jsme je v článcích „“ a „“.

2. Mnoho vzorců je uvedeno jako proporce:

> sinusová věta

> poměr prvků v trojúhelníku

> teoréma tečny

> Thalesova věta a další.

3. V úlohách o geometrii je poměr stran (jiných prvků) nebo ploch často nastaven v podmínce, například 1:2, 2:3 a další.

4. Převod měrných jednotek a poměr se používá k převodu jednotek jak v jedné míře, tak k převodu z jedné míry na druhou:

hodiny až minuty (a naopak).

jednotky objemu, plochy.

— délky, jako jsou míle až kilometry (a naopak).

stupně na radiány (a naopak).

zde bez sestavování podílu je nezbytný.

Klíčovým bodem je, že musíte správně vytvořit korespondenci, zvažte jednoduché příklady:

Je nutné určit číslo, které je 35% ze 700.

V problémech s procenty se hodnota, se kterou porovnáváme, bere jako 100 %. Označme neznámé číslo jako x. Pojďme sladit:

Dá se říci, že sedm set třicet pět odpovídá 100 procentům.

X odpovídá 35 procentům. Prostředek,

700 – 100%

x – 35 %

rozhodujeme se

Odpověď: 245

Převeďte 50 minut na hodiny.

Víme, že jedna hodina odpovídá 60 minutám. Označme korespondenci -x hodin je 50 minut. Prostředek

1 – 60

x - 50

rozhodujeme se:

To znamená, že 50 minut je pět šestin hodiny.

Odpověď: 5/6

Nikolaj Petrovič ujel 3 kilometry. Kolik to bude v mílích (všimněte si, že 1 míle je 1,6 km)?

Víme, že 1 míle je 1,6 kilometru. Vezměme počet mil, které Nikolaj Petrovič ujel, jako x. Můžeme sladit:

Jedna míle odpovídá 1,6 kilometru.

X mil jsou tři kilometry.

1 – 1,6

x - 3

Odpověď: 1 875 mil

Víte, že existují vzorce pro převod stupňů na radiány (a naopak). Nezapisuji si je, protože si myslím, že je zbytečné se je učit nazpaměť, a tak si musíte mnoho informací uchovávat v paměti. Vždy můžete převést stupně na radiány (a naopak), pokud použijete proporce.

Převeďte 65 stupňů na radiány.

Hlavní věc, kterou je třeba si zapamatovat, je, že 180 stupňů jsou radiány pí.

Označme požadovanou hodnotu jako x. Nastavit zápas.

Sto osmdesát stupňů odpovídá radiánům pí.

Šedesát pět stupňů odpovídá x radiánům. prostudujte si článek na toto téma blogu. Materiál je podán trochu jiným způsobem, ale princip je stejný. Skončím s tím. Určitě bude něco zajímavějšího, nenechte si to ujít!

Pokud si připomeneme samotnou definici matematiky, pak obsahuje tato slova: matematika studuje kvantitativní VZTAHY (VZTAHY- klíčové slovo zde). Jak vidíte, samotná definice matematiky obsahuje poměr. Obecně platí, že matematika bez proporcí není matematika!!!

Vše nejlepší!

S pozdravem, Alexander

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste o webu řekli na sociálních sítích.

Proporční vzorec

Proporce je rovnost dvou poměrů, když a:b=c:d

poměr 1 : 10 se rovná poměru 7 : 70, který lze také zapsat jako zlomek: 1 10 = 7 70 zní: "jedna je deset jako sedm je sedmdesát"

Základní vlastnosti proporce

Součin krajních členů se rovná součinu středních členů (křížově): jestliže a:b=c:d , pak a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inverze proporcí: pokud a:b=c:d , pak b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutace středních členů: jestliže a:b=c:d , pak a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutace extrémních členů: jestliže a:b=c:d , pak d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Řešení podílu s jednou neznámou | Rovnice

1 : 10 = X : 70 nebo 1 10 = X 70

Chcete-li najít x, musíte vynásobit dvě známá čísla křížem a vydělit opačnou hodnotou

X = 1 ⋅ 70 10 = 7

Jak vypočítat poměr

Úkol: musíte vypít 1 tabletu aktivního uhlí na 10 kilogramů hmotnosti. Kolik tablet by se mělo užít, pokud osoba váží 70 kg?

Udělejme poměr: 1 tableta - 10 kg X tablety - 70 kg Chcete-li najít x, musíte vynásobit dvě známá čísla křížem a vydělit opačnou hodnotou: 1 tableta X tablety✕ 10 kg 70 kg X = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Odpovědět: 7 tablet

Úkol: Vasja napíše dva články za pět hodin. Kolik článků napíše za 20 hodin?

Udělejme poměr: 2 články - 5 hodin Xčlánky - 20 hodin X = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Odpovědět: 8 článků

Budoucím absolventům škol mohu říci, že schopnost dělat proporce mi přišla vhod jak při proporcionálním zmenšení obrázků, tak v HTML layoutu webové stránky a v běžných situacích.