Úkol 4.

Jedna z úhlopříček rovnoběžníku o délce 4√6 svírá se základnou úhel 60° a druhá úhlopříčka svírá se stejnou základnou úhel 45°. Najděte druhou úhlopříčku.

Řešení.

1. AO = 2√6.

2. Aplikujte sinusovou větu na trojúhelník AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odpověď: 12.

Úkol 5.

U rovnoběžníku se stranami 5√2 a 7√2 se menší úhel mezi úhlopříčkami rovná menšímu úhlu rovnoběžníku. Najděte součet délek úhlopříček.

Řešení.

Nechť d 1, d 2 jsou úhlopříčky rovnoběžníku a úhel mezi úhlopříčkami a menším úhlem rovnoběžníku je φ.

1. Počítejme dva různé
způsoby své oblasti.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Získáme rovnost 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f nebo

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Pomocí poměru mezi stranami a úhlopříčkami rovnoběžníku zapíšeme rovnost

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d12 + d22.

d12 + d22 = 296.

3. Udělejme systém:

(d12 + d22 = 296,
(d1 + d2 = 140.

Vynásobte druhou rovnici soustavy 2 a přidejte ji k první.

Dostaneme (d 1 + d 2) 2 = 576. Odtud Id 1 + d 2 I = 24.

Protože d 1, d 2 jsou délky úhlopříček rovnoběžníku, pak d 1 + d 2 = 24.

Odpověď: 24.

Úkol 6.

Strany rovnoběžníku jsou 4 a 6. Ostrý úhel mezi úhlopříčkami je 45°. Najděte oblast rovnoběžníku.

Řešení.

1. Z trojúhelníku AOB pomocí kosinové věty zapíšeme vztah mezi stranou rovnoběžníku a úhlopříčkami.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Podobně napíšeme vztah pro trojúhelník AOD.

To bereme v potaz<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Dostaneme rovnici d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Máme systém
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Odečtením první od druhé rovnice dostaneme 2d 1 d 2 √2 = 80 resp.

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Poznámka: V tomto a v předchozím problému není potřeba systém úplně řešit, protože v tomto problému potřebujeme k výpočtu plochy součin úhlopříček.

Odpověď: 10.

Úkol 7.

Plocha rovnoběžníku je 96 a jeho strany jsou 8 a 15. Najděte čtverec menší úhlopříčky.

Řešení.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Udělejme substituci ve vzorci.

Dostaneme 96 = 8 15 sin VAD. Proto sin VAD = 4/5.

2. Najděte cos BAD. hřích 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 ŠPATNÉ = 1. cos 2 ŠPATNÉ = 9/25.

Podle stavu úlohy zjistíme délku menší úhlopříčky. Diagonální BD bude menší, pokud je úhel BAD ostrý. Pak cos ŠPATNÉ = 3/5.

3. Z trojúhelníku ABD pomocí kosinové věty najdeme druhou mocninu úhlopříčky BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Odpověď: 145.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak vyřešit problém s geometrií?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož strany jsou po párech rovnoběžné.

Na tomto obrázku jsou opačné strany a úhly stejné. Úhlopříčky rovnoběžníku se protínají v jednom bodě a půlí jej. Vzorce oblasti rovnoběžníku umožňují najít hodnotu pomocí stran, výšky a úhlopříček. Ve speciálních případech může být také znázorněn rovnoběžník. Jsou považovány za obdélník, čtverec a kosočtverec.
Nejprve se podívejme na příklad výpočtu plochy rovnoběžníku podle výšky a strany, na kterou je spuštěn.

Tento případ je považován za klasický a nevyžaduje další vyšetřování. Je lepší vzít v úvahu vzorec pro výpočet plochy přes dvě strany a úhel mezi nimi. Stejná metoda se používá při výpočtu. Pokud jsou uvedeny strany a úhel mezi nimi, pak se plocha vypočítá takto:

Předpokládejme, že máme rovnoběžník o stranách a = 4 cm, b = 6 cm, úhel mezi nimi je α = 30°. Pojďme najít oblast:

Plocha rovnoběžníku z hlediska úhlopříček

Vzorec pro oblast rovnoběžníku z hlediska úhlopříček vám umožňuje rychle najít hodnotu.
Pro výpočty potřebujete hodnotu úhlu umístěného mezi úhlopříčkami.

Zvažte příklad výpočtu plochy rovnoběžníku přes úhlopříčky. Nechť je dán rovnoběžník s úhlopříčkami D = 7 cm, d = 5 cm, úhel mezi nimi je α = 30°. Dosaďte data ve vzorci:

Příklad výpočtu plochy rovnoběžníku přes úhlopříčku nám poskytl vynikající výsledek - 8,75.

Znáte-li vzorec pro oblast rovnoběžníku z hlediska úhlopříčky, můžete vyřešit mnoho zajímavých problémů. Podívejme se na jeden z nich.

Úkol: Vzhledem k rovnoběžníku o ploše 92 čtverečních. viz Bod F se nachází uprostřed jeho strany BC. Pojďme najít oblast lichoběžníku ADFB, která bude ležet v našem rovnoběžníku. Pro začátek si nakreslíme vše, co jsme dostali podle podmínek.
Pojďme k řešení:

Podle našich podmínek, ah \u003d 92, a podle toho bude plocha našeho lichoběžníku rovna

Než se naučíme, jak najít oblast rovnoběžníku, musíme si zapamatovat, co je rovnoběžník a jak se nazývá jeho výška. Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou po párech rovnoběžné (leží na rovnoběžných přímkách). Kolmice vedená z libovolného bodu na opačné straně k přímce obsahující tuto stranu se nazývá výška rovnoběžníku.

Čtverec, obdélník a kosočtverec jsou speciální případy rovnoběžníku.

Plocha rovnoběžníku je označena jako (S).

Vzorce pro nalezení oblasti rovnoběžníku

S=a*h, kde a je základna, h je výška vykreslená k základně.

S=a*b*sinα, kde a a b jsou základny a α je úhel mezi základnami a a b.

S \u003d p * r, kde p je půlobvod, r je poloměr kruhu, který je vepsán do rovnoběžníku.

Plocha rovnoběžníku tvořeného vektory a a b se rovná modulu součinu daných vektorů, konkrétně:

Zvažte příklad č. 1: Je uveden rovnoběžník, jehož strana je 7 cm a výška je 3 cm. Jak najít oblast rovnoběžníku, potřebujeme vzorec pro řešení.

Takže S = 7x3. S=21. Odpověď: 21 cm 2.

Uvažujme příklad č. 2: Základny jsou 6 a 7 cm a úhel mezi základnami je 60 stupňů. Jak najít oblast rovnoběžníku? Vzorec používaný k řešení:

Nejprve tedy najdeme sinus úhlu. Sinus 60 \u003d 0,5, respektive S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Odpověď: 21 cm 2.

Doufám, že vám tyto příklady pomohou při řešení problémů. A pamatujte, hlavní věcí je znalost vzorců a pozornost

Plocha rovnoběžníku

Věta 1

Plocha rovnoběžníku je definována jako součin délky jeho strany krát výška k němu nakreslená.

kde $a$ je strana rovnoběžníku, $h$ je výška nakreslená na tuto stranu.

Důkaz.

Dostaneme rovnoběžník $ABCD$ s $AD=BC=a$. Nakreslíme si výšky $DF$ a $AE$ (obr. 1).

Obrázek 1.

Je zřejmé, že číslo $FDAE$ je obdélník.

\[\úhel BAE=(90)^0-\úhel A,\ \] \[\úhel CDF=\úhel D-(90)^0=(180)^0-\úhel A-(90)^0 =(90)^0-\úhel A=\úhel BAE\]

Proto, protože $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\trojúhelník BAE=\trojúhelník CDF$, pomocí $I$ test rovnosti trojúhelníků. Pak

Takže podle teorému o ploše obdélníku:

Věta byla prokázána.

Věta 2

Plocha rovnoběžníku je definována jako součin délky jeho přilehlých stran krát sinus úhlu mezi těmito stranami.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a,\ b$ jsou strany rovnoběžníku, $\alpha $ je úhel mezi nimi.

Důkaz.

Dostaneme rovnoběžník $ABCD$ s $BC=a,\ CD=b,\ \úhel C=\alpha $. Nakreslete výšku $DF=h$ (obr. 2).

Obrázek 2

Definicí sinusu dostaneme

Proto

Proto podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Oblast trojúhelníku

Věta 3

Plocha trojúhelníku je definována jako polovina součinu délky jeho strany a výšky k němu přitažené.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a$ je strana trojúhelníku, $h$ je výška nakreslená na tuto stranu.

Důkaz.

Obrázek 3

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Věta 4

Plocha trojúhelníku je definována jako polovina součinu délky jeho sousedních stran krát sinus úhlu mezi těmito stranami.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a,\b$ jsou strany trojúhelníku, $\alpha $ je úhel mezi nimi.

Důkaz.

Dostaneme trojúhelník $ABC$ s $AB=a$. Nakreslete výšku $CH=h$. Sestavme to na rovnoběžník $ABCD$ (obr. 3).

Je zřejmé, že $\triangle ACB=\triangle CDB$ o $I$. Pak

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Oblast trapézu

Věta 5

Plocha lichoběžníku je definována jako polovina součinu součtu délek jeho základen krát jeho výška.

Matematicky to lze zapsat následovně

Důkaz.

Dostaneme lichoběžník $ABCK$, kde $AK=a,\ BC=b$. Zakreslete do něj výšky $BM=h$ a $KP=h$ a také úhlopříčku $BK$ (obr. 4).

Obrázek 4

Podle věty $3$, dostáváme

Věta byla prokázána.

Příklad úlohy

Příklad 1

Najděte obsah rovnostranného trojúhelníku, pokud je délka jeho strany $a.$

Řešení.

Protože je trojúhelník rovnostranný, všechny jeho úhly jsou rovny $(60)^0$.

Pak, podle věty $4$, máme

Odpovědět:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Všimněte si, že výsledek tohoto problému lze použít k nalezení oblasti libovolného rovnostranného trojúhelníku s danou stranou.

Geometrická oblast- číselná charakteristika geometrického obrazce znázorňující velikost tohoto obrazce (část plochy ohraničená uzavřeným obrysem tohoto obrazce). Velikost plochy je vyjádřena počtem čtverečních jednotek v ní obsažených.

Vzorce pro oblast trojúhelníku

1. Vzorec plochy trojúhelníku pro stranu a výšku
   Oblast trojúhelníku rovná se polovině součinu délky strany trojúhelníku a délky nadmořské výšky nakreslené na tuto stranu
   
2. Vzorec pro oblast trojúhelníku se třemi stranami a poloměrem opsané kružnice
   
3. Vzorec pro oblast trojúhelníku se třemi stranami a poloměrem vepsané kružnice
   Oblast trojúhelníku se rovná součinu poloviny obvodu trojúhelníku a poloměru kružnice vepsané.
   
kde S je obsah trojúhelníku,
- délky stran trojúhelníku,
- výška trojúhelníku,
- úhel mezi stranami a,
- poloměr vepsané kružnice,
R - poloměr kružnice opsané,

Vzorce čtvercové oblasti

1. Vzorec pro plochu čtverce danou délkou strany
   čtvercová plocha se rovná druhé mocnině délky jeho strany.
2. Vzorec pro plochu čtverce daný délkou úhlopříčky
   čtvercová plocha rovná polovině druhé mocniny délky jeho úhlopříčky.
   

   S=	1	2
   	2

kde S je plocha čtverce,
je délka strany čtverce,
je délka úhlopříčky čtverce.

Vzorec oblasti obdélníku

Oblast obdélníku se rovná součinu délek jejích dvou sousedních stran

kde S je plocha obdélníku,
jsou délky stran obdélníku.

Vzorce pro oblast rovnoběžníku

1. Vzorec plochy rovnoběžníku pro délku a výšku strany
   Plocha rovnoběžníku
2. Vzorec pro plochu rovnoběžníku se dvěma stranami a úhlem mezi nimi
   Plocha rovnoběžníku se rovná součinu délek jejích stran vynásobených sinem úhlu mezi nimi.
   

   a b sinα

kde S je plocha rovnoběžníku,
jsou délky stran rovnoběžníku,
je výška rovnoběžníku,
je úhel mezi stranami rovnoběžníku.

Vzorce pro oblast kosočtverce

1. Vzorec plochy kosočtverce daný délkou a výškou strany
   Oblast kosočtverce se rovná součinu délky jeho strany a délky výšky spuštěné na tuto stranu.
2. Vzorec pro oblast kosočtverce daný délkou strany a úhlem
   Oblast kosočtverce se rovná součinu druhé mocniny délky jeho strany a sinu úhlu mezi stranami kosočtverce.
3. Vzorec pro oblast kosočtverce z délek jeho úhlopříček
   Oblast kosočtverce se rovná polovině součinu délek jejích úhlopříček.
kde S je plocha kosočtverce,
- délka strany kosočtverce,
- délka výšky kosočtverce,
- úhel mezi stranami kosočtverce,
1, 2 - délky úhlopříček.

Vzorce pro oblast lichoběžníku

1. Heronův vzorec pro lichoběžník

   Kde S je plocha lichoběžníku,
   - délka základen lichoběžníku,
   - délka stran lichoběžníku,