Funkce je jedním z nejdůležitějších matematických pojmů. Funkce - proměnná závislost na z proměnné X, pokud každá hodnota X odpovídá jedné hodnotě na. variabilní X nazývaná nezávislá proměnná nebo argument. variabilní na nazývaná závislá proměnná. Všechny hodnoty nezávislé proměnné (proměnná X) tvoří definiční obor funkce. Všechny hodnoty, které nabývá závislá proměnná (proměnná y), tvoří rozsah funkce.

Graf funkcí nazývají množinu všech bodů souřadnicové roviny, jejichž úsečky se rovnají hodnotám argumentu a pořadnice se rovnají odpovídajícím hodnotám funkce, tedy hodnotám proměnné jsou vyneseny podél osy x X a hodnoty proměnné jsou vyneseny podél osy y y. Chcete-li vykreslit funkci, musíte znát vlastnosti funkce. Hlavní vlastnosti funkce budou diskutovány níže!

Pro vykreslení funkčního grafu doporučujeme použít náš program - Graphing Functions Online. Máte-li nějaké dotazy při studiu materiálů na této stránce, můžete je kdykoli položit na našem fóru. Také na fóru vám pomůžeme řešit problémy z matematiky, chemie, geometrie, teorie pravděpodobnosti a mnoha dalších předmětů!

Základní vlastnosti funkcí.

1) Rozsah funkcí a rozsah funkcí.

Rozsah funkce je množina všech platných platných hodnot argumentu X(proměnná X), pro které je funkce y = f(x) definované.
Rozsah funkce je množina všech reálných hodnot yže funkce přijímá.

V elementární matematice se funkce studují pouze na množině reálných čísel.

2) Funkční nuly.

Hodnoty X, při kterém y=0, je nazýván funkce nuly. Jsou to úsečky průsečíků grafu funkce s osou x.

3) Intervaly znaménkové stálosti funkce.

Intervaly znaménkové stálosti funkce jsou takové intervaly hodnot X, na kterém jsou hodnoty funkce y buď pouze pozitivní nebo pouze negativní jsou nazývány intervaly znaménkové stálosti funkce.

4) Monotónnost funkce.

Rostoucí funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá větší hodnotě funkce.

Klesající funkce (v nějakém intervalu) - funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá menší hodnotě funkce.

5) Sudé (liché) funkce.

Sudá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je symetrický podle osy y.

Lichá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X z oblasti definice rovnost f(-x) = - f(x). Graf liché funkce je symetrický podle počátku.

Rovnoměrná funkce
1) Definiční obor je symetrický vzhledem k bodu (0; 0), tedy pokud bod A patří do oblasti definice, pak bodu -A také patří do oblasti definice.
2) Za jakoukoli hodnotu X f(-x)=f(x)
3) Graf sudé funkce je symetrický kolem osy Oy.

lichá funkce má následující vlastnosti:
1) Definiční obor je symetrický vzhledem k bodu (0; 0).
2) za jakoukoli hodnotu X, která patří do oblasti definice, rovnosti f(-x)=-f(x)
3) Graf liché funkce je symetrický vzhledem k počátku (0; 0).

Ne každá funkce je sudá nebo lichá. Funkce obecný pohled nejsou ani sudé, ani liché.

6) Omezené a neomezené funkce.

Funkce se nazývá omezená, pokud existuje kladné číslo M takové, že |f(x)| ≤ M pro všechny hodnoty x . Pokud takové číslo neexistuje, pak je funkce neomezená.

7) Periodicita funkce.

Funkce f(x) je periodická, pokud existuje nenulové číslo T takové, že pro libovolné x z definičního oboru funkce platí f(x+T) = f(x). Toto nejmenší číslo se nazývá perioda funkce. Všechny goniometrické funkce jsou periodické. (Trigonometrické vzorce).

Funkce F se nazývá periodické, pokud existuje číslo takové, že pro libovolné X z oblasti definice rovnost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je období funkce.

Každá periodická funkce má nekonečný počet period. V praxi se obvykle uvažuje nejmenší kladné období.

Hodnoty periodické funkce se opakují po intervalu rovném periodě. To se používá při vykreslování grafů.

dokonce, pokud pro všechny \(x\) z jeho domény platí: \(f(-x)=f(x)\) .

Graf sudé funkce je symetrický kolem osy \(y\):

Příklad: funkce \(f(x)=x^2+\cos x\) je sudá, protože \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Je volána funkce \(f(x)\). zvláštní, pokud pro všechny \(x\) z jeho domény platí: \(f(-x)=-f(x)\) .

Graf liché funkce je symetrický vzhledem k počátku:

Příklad: funkce \(f(x)=x^3+x\) je lichá, protože \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funkce, které nejsou ani sudé ani liché, se nazývají generické funkce. Takovou funkci lze vždy jednoznačně reprezentovat jako součet sudé a liché funkce.

Například funkce \(f(x)=x^2-x\) je součtem sudé funkce \(f_1=x^2\) a liché funkce \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Některé vlastnosti:

1) Součin a podíl dvou funkcí stejné parity je sudá funkce.

2) Součin a podíl dvou funkcí různé parity je lichá funkce.

3) Součet a rozdíl sudých funkcí je sudá funkce.

4) Součet a rozdíl lichých funkcí je lichá funkce.

5) Je-li \(f(x)\) sudá funkce, pak rovnice \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) má jedinečný kořen tehdy a jen tehdy, když \(x =0\) .

6) Je-li \(f(x)\) sudá nebo lichá funkce a rovnice \(f(x)=0\) má kořen \(x=b\) , pak tato rovnice bude mít nutně druhý kořen \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkce \(f(x)\) se nazývá periodická na \(X\), pokud pro nějaké číslo \(T\ne 0\) máme \(f(x)=f(x+ T) \) , kde \(x, x+T\v X\) . Nejmenší \(T\) , pro kterou tato rovnost platí, se nazývá hlavní (základní) perioda funkce.

Periodická funkce má libovolné číslo ve tvaru \(nT\) , kde \(n\in \mathbb(Z)\) bude také tečka.

Příklad: jakákoli goniometrická funkce je periodická;
pro funkce \(f(x)=\sin x\) a \(f(x)=\cos x\) je hlavní perioda \(2\pi\) , pro funkce \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) a \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) hlavní perioda je \(\pi\) .

Aby bylo možné vykreslit periodickou funkci, můžete vykreslit její graf na libovolném segmentu délky \(T\) (hlavní perioda); pak se graf celé funkce dokončí posunutím sestrojené části o celý počet teček doprava a doleva:

\(\blacktriangleright\) Oblast \(D(f)\) funkce \(f(x)\) je množina skládající se ze všech hodnot argumentu \(x\), pro které má funkce smysl (je definováno).

Příklad: funkce \(f(x)=\sqrt x+1\) má definiční doménu: \(x\in

Úkol 1 #6364

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Pro jaké hodnoty parametru \(a\) rovnice

má unikátní řešení?

Všimněte si, že protože \(x^2\) a \(\cos x\) jsou sudé funkce, pokud má rovnice kořen \(x_0\) , bude mít také kořen \(-x_0\) .
Ve skutečnosti nechť \(x_0\) je kořen, tedy rovnost \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)že jo. Nahraďte \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Pokud tedy \(x_0\ne 0\) , pak rovnice již bude mít alespoň dva kořeny. Proto \(x_0=0\) . Pak:

Získali jsme dvě hodnoty parametrů \(a\) . Všimněte si, že jsme použili skutečnost, že \(x=0\) je přesně kořenem původní rovnice. Nikdy jsme ale nevyužili toho, že je jediný. Proto je nutné výsledné hodnoty parametru \(a\) dosadit do původní rovnice a zkontrolovat, pro které přesně \(a\) bude kořen \(x=0\) skutečně jedinečný.

1) Jestliže \(a=0\) , pak rovnice bude mít tvar \(2x^2=0\) . Je zřejmé, že tato rovnice má pouze jeden kořen \(x=0\) . Proto nám vyhovuje hodnota \(a=0\).

2) Jestliže \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , pak rovnice nabývá tvaru \ Rovnici přepíšeme do tvaru \ Protože \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Že \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Proto hodnoty na pravé straně rovnice (*) patří do segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Protože \(x^2\geqslant 0\) , pak je levá strana rovnice (*) větší nebo rovna \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Rovnost (*) tedy může platit pouze tehdy, když se obě strany rovnice rovnají \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A to znamená, že \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Proto nám vyhovuje hodnota \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Odpovědět:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Úkol 2 #3923

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte všechny hodnoty parametru \(a\) , pro každou z nich graf funkce \

symetrické podle původu.

Pokud je graf funkce symetrický vzhledem k počátku, pak je taková funkce lichá, to znamená, že \(f(-x)=-f(x)\) je splněno pro libovolné \(x\) z doména funkce. Je tedy nutné najít ty hodnoty parametrů, pro které \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(zarovnáno) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Poslední rovnice musí platit pro všechny \(x\) z oboru \(f(x)\) , tedy \(\sin(2\pi a)=0 \Šipka doprava a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Odpovědět:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Úkol 3 #3069

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte všechny hodnoty parametru \(a\) , pro každé z nich má rovnice \ 4 řešení, kde \(f\) je sudá periodická funkce s periodou \(T=\dfrac(16)3\) definované na celé reálné linii a \(f(x)=ax^2\) pro \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Úkol od předplatitelů)

Úkol 4 #3072

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte všechny hodnoty \(a\) , pro každou z nich rovnice \

má alespoň jeden kořen.

(Úkol od předplatitelů)

Rovnici přepíšeme do tvaru \ a zvažte dvě funkce: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) a \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funkce \(g(x)\) je sudá, má minimální bod \(x=0\) (a \(g(0)=49\) ).
Funkce \(f(x)\) pro \(x>0\) je klesající a pro \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Ve skutečnosti se pro \(x>0\) druhý modul rozšíří kladně (\(|x|=x\) ), proto bez ohledu na to, jak se rozšíří první modul, bude \(f(x)\) rovno \ ( kx+A\) , kde \(A\) je výraz z \(a\) a \(k\) se rovná buď \(-9\) nebo \(-3\) . Pro \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Najděte hodnotu \(f\) v maximálním bodě: \

Aby rovnice měla alespoň jedno řešení, je nutné, aby grafy funkcí \(f\) a \(g\) měly alespoň jeden průsečík. Proto potřebujete: \ Řešením této sady systémů dostáváme odpověď: \\]

Odpovědět:

\(a\in \(-7\)\pohár\)

Úkol 5 #3912

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte všechny hodnoty parametru \(a\) , pro každou z nich rovnice \

má šest různých řešení.

Udělejme substituci \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Potom bude mít rovnice tvar \ Postupně vypíšeme podmínky, za kterých bude mít původní rovnice šest řešení.
Všimněte si, že kvadratická rovnice \((*)\) může mít nejvýše dvě řešení. Jakákoli kubická rovnice \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) nemůže mít více než tři řešení. Pokud tedy rovnice \((*)\) má dvě různá řešení (kladná!, protože \(t\) musí být větší než nula) \(t_1\) a \(t_2\) , pak po provedení obráceného substitucí, dostaneme: \[\left[\begin(shromážděno)\begin(zarovnáno) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\konec (zarovnáno)\konec (shromážděno)\vpravo.\] Protože jakékoli kladné číslo může být do určité míry reprezentováno jako \(\sqrt2\), např. \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), pak se první rovnice množiny přepíše do tvaru \ Jak jsme již řekli, žádná kubická rovnice nemá více než tři řešení, proto každá rovnice z množiny nebude mít více než tři řešení. To znamená, že celá sada nebude mít více než šest řešení.
To znamená, že aby původní rovnice měla šest řešení, musí mít kvadratická rovnice \((*)\) dvě různá řešení a každá výsledná kubická rovnice (z množiny) musí mít tři různá řešení (a ne jediné řešení jedné rovnice by se mělo shodovat s kterou - nebo rozhodnutím druhé!)
Je zřejmé, že pokud má kvadratická rovnice \((*)\) jedno řešení, pak pro původní rovnici nedostaneme šest řešení.

Tím je plán řešení jasný. Pojďme si bod po bodu vypsat podmínky, které musí být splněny.

1) Aby rovnice \((*)\) měla dvě různá řešení, musí být její diskriminant kladný: \

2) Potřebujeme také, aby oba kořeny byly kladné (protože \(t>0\) ). Pokud je součin dvou kořenů kladný a jejich součet kladný, pak samotné kořeny budou kladné. Proto potřebujete: \[\začátek(případy) 12-a>0\\-(a-10)>0\konec (případy)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Tak jsme si již poskytli dva odlišné kladné kořeny \(t_1\) a \(t_2\) .

3) Podívejme se na tuto rovnici \ K čemu \(t\) bude mít tři různá řešení?
Uvažujme funkci \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Lze násobit: \ Proto jsou jeho nuly: \(x=-1;2\) .
Pokud najdeme derivaci \(f"(x)=3x^2-6x\) , pak dostaneme dva krajní body \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Graf tedy vypadá takto:


Vidíme, že jakákoli vodorovná čára \(y=k\) , kde \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) má tři různá řešení, je nutné, aby \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Potřebujete tedy: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Hned si také povšimněme, že pokud jsou čísla \(t_1\) a \(t_2\) různá, pak čísla \(\log_(\sqrt2)t_1\) a \(\log_(\sqrt2)t_2\) budou být různé, takže rovnice \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) A \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) bude mít jiné kořeny.
Systém \((**)\) lze přepsat takto: \[\begin(cases) 1

Stanovili jsme tedy, že oba kořeny rovnice \((*)\) musí ležet v intervalu \((1;4)\) . Jak napsat tuto podmínku?
Kořeny nebudeme výslovně vypisovat.
Uvažujme funkci \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Jejím grafem je parabola se vzestupnými větvemi, která má dva průsečíky s osou úsečky (tuto podmínku jsme psali v odstavci 1)). Jak by měl vypadat jeho graf, aby průsečíky s osou úsečky byly v intervalu \((1;4)\) ? Tak:


Za prvé, hodnoty \(g(1)\) a \(g(4)\) funkce v bodech \(1\) a \(4\) musí být kladné, a za druhé, vrchol funkce parabola \(t_0\ ) musí být také v intervalu \((1;4)\) . Proto lze systém napsat: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

Musíme tedy protnout hodnoty parametru \(a\) nalezené v 1., 2. a 3. odstavci a dostaneme odpověď: \[\begin(cases) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\ 4

Zpět dopředu

Pozornost! Náhled snímku slouží pouze pro informační účely a nemusí představovat celý rozsah prezentace. Pokud vás tato práce zaujala, stáhněte si prosím plnou verzi.

cíle:

• formovat pojem sudé a liché funkce, učit schopnosti určovat a využívat tyto vlastnosti při studiu funkcí, vykreslování;
• rozvíjet tvořivou činnost žáků, logické myšlení, schopnost srovnávat, zobecňovat;
• pěstovat píli, matematickou kulturu; rozvíjet komunikační dovednosti .

Zařízení: multimediální instalace, interaktivní tabule, letáky.

Formy práce: frontální a skupinové s prvky pátrací a výzkumné činnosti.

Informační zdroje:

1. Třída algebry 9 A.G. Mordkovich. Učebnice.
2. Algebra 9. ročník A.G. Mordkovich. Kniha úkolů.
3. Algebra ročník 9. Úkoly pro učení a rozvoj žáků. Belenková E.Yu. Lebedintseva E.A.

BĚHEM lekcí

1. Organizační moment

Stanovení cílů a cílů lekce.

2. Kontrola domácích úkolů

č. 10.17 (Problémová kniha 9. třídy A.G. Mordkovich).

A) na = F(X), F(X) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 pro X ~ 0,4
4. F(X) >0 at X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkce se zvyšuje s X € [– 2; + ∞)
6. Funkce je omezena zdola.
7. na pronájem = - 3, na naib neexistuje
8. Funkce je spojitá.

(Použili jste algoritmus průzkumu funkcí?) Skluzavka.

2. Zkontrolujeme tabulku, na kterou jste byli na snímku požádáni.

Vyplňte tabulku
	Doména	Funkce nuly	Konstantní intervaly		Souřadnice průsečíků grafu s Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x EUR (–5; 2)

3. Aktualizace znalostí

– Funkce jsou dány.
– Určete doménu definice pro každou funkci.
– Porovnejte hodnotu každé funkce pro každou dvojici hodnot argumentů: 1 a – 1; 2 a -2.
– Pro kterou z daných funkcí v oboru definice jsou rovnosti F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (dát data do tabulky) Skluzavka

		F(1) a F(– 1)	F(2) a F(– 2)	grafy	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		a není definován.

4. Nový materiál

- Při této práci jsme, chlapi, odhalili ještě jednu vlastnost funkce, vám neznámou, ale neméně důležitou než ostatní - to je sudost a lichost funkce. Zapište si téma lekce: „Sudé a liché funkce“, naším úkolem je naučit se určovat sudé a liché funkce, zjistit význam této vlastnosti při studiu funkcí a vykreslování.
Pojďme si tedy najít definice v učebnici a přečíst si (str. 110) . Skluzavka

Def. 1 Funkce na = F (X) definovaný na množině X se nazývá dokonce, pokud za nějakou hodnotu XЄ X probíhá rovnost f (–x) = f (x). Dát příklad.

Def. 2 Funkce y = f(x), definované na množině X se nazývá zvláštní, pokud za nějakou hodnotu XЄ X rovnost f(–х)= –f(х) je splněna. Dát příklad.

Kde jsme se setkali s pojmy „sudý“ a „lichý“?
Co myslíte, která z těchto funkcí bude sudá? Proč? Které jsou zvláštní? Proč?
Pro jakoukoli funkci formuláře na= x n, Kde n je celé číslo, lze tvrdit, že funkce je lichá n je lichá a funkce je sudá pro n- dokonce.
– Zobrazení funkcí na= a na = 2X– 3 není ani sudé, ani liché, protože rovnost není splněna F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Studium otázky, zda je funkce sudá nebo lichá, se nazývá studium funkce pro paritu. Skluzavka

Definice 1 a 2 se zabývaly hodnotami funkce v x a - x, takže se předpokládá, že funkce je také definována v hodnotě X a na - X.

ODA 3. Pokud množina čísel spolu s každým ze svých prvků x obsahuje opačný prvek x, pak množina X se nazývá symetrická množina.

Příklady:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) jsou symetrické množiny a , [–5;4] jsou nesymetrické.

- Mají sudé funkce definiční obor - symetrickou množinu? Ty zvláštní?
- Pokud D( F) je asymetrická množina, jaká je pak funkce?
– Pokud tedy funkce na = F(X) je sudý nebo lichý, pak jeho doménou definice je D( F) je symetrická množina. Platí však opak, je-li definičním oborem funkce symetrická množina, pak je sudá nebo lichá?
- Přítomnost symetrické množiny definičního oboru je tedy podmínkou nutnou, nikoli však postačující.
– Jak tedy můžeme prozkoumat funkci pro paritu? Zkusme napsat algoritmus.

Skluzavka

Algoritmus pro zkoumání funkce pro paritu

1. Určete, zda je definiční obor funkce symetrický. Pokud ne, pak funkce není ani sudá, ani lichá. Pokud ano, přejděte ke kroku 2 algoritmu.

2. Napište výraz pro F(–X).

3. Porovnejte F(–X).A F(X):

• Li F(–X).= F(X), pak je funkce sudá;
• Li F(–X).= – F(X), pak je funkce lichá;
• Li F(–X) ≠ F(X) A F(–X) ≠ –F(X), pak funkce není ani sudá, ani lichá.

Příklady:

Prozkoumejte funkci pro paritu a) na= x 5+; b) na= ; PROTI) na= .

Řešení.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symetrická množina.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkce h(x)= x 5 + liché.

b) y =,

na = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymetrická množina, takže funkce není ani sudá, ani lichá.

PROTI) F(X) = , y = f(x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Možnost 2

1. Je daná množina symetrická: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Prozkoumejte funkci pro paritu:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na Obr. zakreslený na = F(X), pro všechny X, splňující podmínku X? 0.
Vykreslete funkci na = F(X), Pokud na = F(X) je sudá funkce.

3. Na Obr. zakreslený na = F(X), pro všechna x vyhovující x? 0.
Vykreslete funkci na = F(X), Pokud na = F(X) je lichá funkce.

Vzájemná kontrola zapnuta skluzavka.

6. Domácí úkol: №11.11, 11.21,11.22;

Důkaz geometrického významu vlastnosti parity.

*** (Přiřazení možnosti USE).

1. Lichá funkce y \u003d f (x) je definována na celé reálné čáře. Pro jakoukoli nezápornou hodnotu proměnné x se hodnota této funkce shoduje s hodnotou funkce g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Najděte hodnotu funkce h( X) = at X = 3.

7. Shrnutí

Funkční výzkum.

1) D(y) - Definiční doména: množina všech těchto hodnot proměnné x. pod kterým dávají smysl algebraické výrazy f(x) a g(x).

Pokud je funkce dána vzorcem, pak se doména definice skládá ze všech hodnot nezávislé proměnné, pro které má vzorec smysl.

2) Vlastnosti funkce: sudá/lichá, periodicita:

zvláštní A dokonce se nazývají funkce, jejichž grafy jsou symetrické vzhledem ke změně znaménka argumentu.

lichá funkce- funkce, která při změně znaménka nezávisle proměnné (symetricky podle středu souřadnic) změní hodnotu na opačnou.

Rovnoměrná funkce- funkce, která nemění svou hodnotu při změně znaménka nezávisle proměnné (symetrická podle osy y).

Ani sudá, ani lichá funkce (obecná funkce) je funkce, která nemá symetrii. Tato kategorie zahrnuje funkce, které nespadají do předchozích 2 kategorií.

Jsou volány funkce, které nepatří do žádné z výše uvedených kategorií ani sudé, ani liché(nebo generické funkce).

Liché funkce

Lichá mocnina kde je libovolné celé číslo.

Dokonce i funkce

Sudá mocnina kde je libovolné celé číslo.

Periodická funkce je funkce, která opakuje své hodnoty v nějakém pravidelném intervalu argumentu, tj. nemění svou hodnotu, když je do argumentu přidáno nějaké pevné nenulové číslo ( doba funkce) v celé oblasti definice.

3) Nuly (kořeny) funkce jsou body, kde zaniká.

Nalezení průsečíku grafu s osou Oj. Chcete-li to provést, musíte vypočítat hodnotu F(0). Najděte také průsečíky grafu s osou Vůl, proč hledat kořeny rovnice F(X) = 0 (nebo se ujistěte, že nejsou žádné kořeny).

Nazývají se body, kde graf protíná osu funkce nuly. Abyste našli nuly funkce, musíte rovnici vyřešit, tedy najít těch hodnot x, u kterého funkce zaniká.

4) Intervaly stálosti znaků, znaky v nich.

Intervaly, kde si funkce f(x) zachovává své znaménko.

Interval stálosti je interval v každém bodě, ve kterém funkce je pozitivní nebo negativní.

NAD osou x.

POD osou.

5) Spojitost (body nespojitosti, charakter nespojitosti, asymptoty).

kontinuální funkce- funkce bez "skoků", tedy taková, ve které malé změny v argumentu vedou k malým změnám hodnoty funkce.

Odnímatelné zarážky

Pokud je limita funkce existuje, ale funkce není v tomto bodě definována nebo limit v tomto bodě neodpovídá hodnotě funkce:

,

pak se bod nazývá bod zlomu funkce (v komplexní analýze odstranitelný singulární bod).

Pokud funkci "opravíme" v místě odstranitelné diskontinuity a dáme , pak dostaneme funkci, která je v tomto bodě spojitá. Taková operace s funkcí se nazývá rozšíření funkce na kontinuální nebo rozšíření funkce o spojitost, který odůvodňuje název bodu, jako body jednorázový mezera.

Body diskontinuity prvního a druhého druhu

Pokud má funkce v daném bodě diskontinuitu (tj. limita funkce v daném bodě chybí nebo se nekryje s hodnotou funkce v daném bodě), pak pro numerické funkce existují dvě možné možnosti: související s existencí číselných funkcí jednostranné limity:

jestliže obě jednostranné limity existují a jsou konečné, pak se takový bod nazývá bod zlomu prvního druhu. Odnímatelné body diskontinuity jsou body diskontinuity prvního druhu;

pokud alespoň jedna z jednostranných limit neexistuje nebo není konečnou hodnotou, pak se takový bod nazývá bod zlomu druhého druhu.

Asymptota - rovný, která má tu vlastnost, že vzdálenost od bodu křivky k tomuto rovný má tendenci k nule, když se bod pohybuje podél větve do nekonečna.

vertikální

Vertikální asymptota - limitní čára .

Zpravidla při určování vertikální asymptoty nehledají jednu limitu, ale dvě jednostranné (levou a pravou). To se provádí za účelem určení, jak se funkce chová, když se blíží k vertikální asymptotě z různých směrů. Například:

Horizontální

Horizontální asymptota - rovný druh, podléhající existenci omezit

.

šikmý

Šikmá asymptota - rovný druh, podléhající existenci limity

Poznámka: Funkce nemůže mít více než dvě šikmé (horizontální) asymptoty.

Poznámka: Pokud alespoň jedna ze dvou výše uvedených limit neexistuje (nebo je rovna ), pak šikmá asymptota v (nebo ) neexistuje.

jestliže v položce 2.), pak , a limita je nalezena vzorcem horizontální asymptoty, .

6) Hledání intervalů monotónnosti. Najděte intervaly monotónnosti funkce F(X) (tj. intervaly nárůstu a poklesu). To se provádí zkoumáním znaménka derivace F(X). Chcete-li to provést, najděte derivaci F(X) a vyřešte nerovnost F(X)0. Na intervalech, kde je tato nerovnost splněna, funkce F(X) zvyšuje. Kde platí obrácená nerovnost F(X)0, funkce F(X) klesá.

Hledání lokálního extrému. Po nalezení intervalů monotonie můžeme okamžitě určit body lokálního extrému, kde je nárůst nahrazen poklesem, existují lokální maxima a kde je pokles nahrazen nárůstem, lokální minima. Vypočítejte hodnotu funkce v těchto bodech. Pokud má funkce kritické body, které nejsou lokálními extrémy, pak je užitečné vypočítat hodnotu funkce také v těchto bodech.

Nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce y = f(x) na segmentu(pokračování)

1. Najděte derivaci funkce: F(X). 2. Najděte body, kde je derivace nula: F(X)=0X 1, X 2 ,... 3. Určete vlastnictví bodů X 1 ,X 2 , … segment [ A; b]: nech X 1A;b, A X 2A;b . 4. Najděte funkční hodnoty ve vybraných bodech a na koncích segmentu: F(X 1), F(X 2),..., F(X A),F(X b), 5. Výběr největších a nejmenších hodnot funkce z nalezených. Komentář. Pokud na segmentu [ A; b] jsou body nespojitosti, pak je nutné v nich vypočítat jednostranné limity a jejich hodnoty pak zohlednit při výběru největší a nejmenší hodnoty funkce.

7) Hledání intervalů konvexnosti a konkávnosti. To se provádí zkoumáním znaménka druhé derivace F(X). Najděte inflexní body na křižovatkách konvexních a konkávních intervalů. Vypočítejte hodnotu funkce v inflexních bodech. Pokud má funkce jiné body spojitosti (jiné než inflexní body), ve kterých je druhá derivace rovna 0 nebo neexistuje, pak je v těchto bodech také užitečné vypočítat hodnotu funkce. Nález F(X), vyřešíme nerovnost F(X)0. Na každém z intervalů řešení bude funkce klesající konvexní. Řešení obrácené nerovnosti F(X)0 najdeme intervaly, na kterých je funkce směrem nahoru konvexní (tedy konkávní). Inflexní body definujeme jako ty body, ve kterých funkce mění směr konvexnosti (a je spojitá).

Inflexní bod funkce- je to bod, ve kterém je funkce spojitá a při průchodu kterým funkce mění směr konvexnosti.

Podmínky existence

Nezbytná podmínka pro existenci inflexního bodu: pokud je funkce dvakrát diferencovatelná v nějakém proraženém okolí bodu , pak buď .

Funkce se nazývá sudá (lichá), pokud je nějaká a rovnost

.

Graf sudé funkce je symetrický kolem osy
.

Graf liché funkce je symetrický podle počátku.

Příklad 6.2. Vyhledejte sudé nebo liché funkce

1)
; 2)
; 3)
.

Řešení.

1) Funkce je definována pomocí
. Pojďme najít
.

Tito.
. Tato funkce je tedy sudá.

2) Funkce je definována pro

Tito.
. Tato funkce je tedy lichá.

3) funkce je definována pro , tzn. Pro

,
. Funkce tedy není ani sudá, ani lichá. Říkejme tomu obecná funkce.

3. Vyšetřování funkce pro monotónnost.

Funkce
se nazývá rostoucí (klesající) na nějakém intervalu, pokud v tomto intervalu každá větší hodnota argumentu odpovídá větší (menší) hodnotě funkce.

Funkce rostoucí (klesající) v určitém intervalu se nazývají monotónní.

Pokud je funkce
diferencovatelné na intervalu
a má kladnou (negativní) derivaci
, pak funkci
se v tomto intervalu zvyšuje (snižuje).

Příklad 6.3. Najděte intervaly monotónnosti funkcí

1)
; 3)
.

Řešení.

1) Tato funkce je definována na celé číselné ose. Pojďme najít derivát.

Derivace je nulová, jestliže
A
. Definiční obor - číselná osa, dělená body
,
pro intervaly. Určeme znaménko derivace v každém intervalu.

V intervalu
derivace je záporná, funkce na tomto intervalu klesá.

V intervalu
derivace je kladná, proto funkce na tomto intervalu roste.

2) Tato funkce je definována pokud
nebo

.

V každém intervalu určíme znaménko čtvercového trinomu.

Tedy rozsah funkce

Pojďme najít derivát
,
, Pokud
, tj.
, Ale
. Určeme znaménko derivace v intervalech
.

V intervalu
derivace je záporná, proto funkce na intervalu klesá
. V intervalu
derivace je kladná, funkce na intervalu roste
.

4. Vyšetřování funkce pro extrém.

Tečka
se nazývá maximální (minimální) bod funkce
, pokud existuje takové okolí bodu že pro všechny
toto sousedství nerovnosti vyhovuje

.

Maximální a minimální body funkce se nazývají extrémní body.

Pokud je funkce
na místě má extrém, pak je derivace funkce v tomto bodě rovna nule nebo neexistuje (nutná podmínka pro existenci extrému).

Body, ve kterých je derivace rovna nule nebo neexistuje, se nazývají kritické.

5. Dostatečné podmínky pro existenci extrému.

Pravidlo 1. Pokud při přechodu (zleva doprava) přes kritický bod derivát
změní znaménko z "+" na "-", pak na bod funkce
má maximum; pokud od "-" do "+", pak minimum; Li
nezmění znaménko, pak neexistuje žádný extrém.

Pravidlo 2. Nechte na místě
první derivace funkce
nula
a druhá derivace existuje a je nenulová. Li
, Že je maximální bod, pokud
, Že je minimální bod funkce.

Příklad 6.4 . Prozkoumejte maximální a minimální funkce:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Řešení.

1) Funkce je definovaná a spojitá na intervalu
.

Pojďme najít derivát
a řešit rovnici
, tj.
.odtud
jsou kritické body.

Určeme znaménko derivace v intervalech ,
.

Při průjezdu body
A
derivace mění znaménko z „–“ na „+“, tedy podle pravidla 1
jsou minimální body.

Při průjezdu bodem
derivace mění znaménko z "+" na "-", takže
je maximální bod.

,
.

2) Funkce je definovaná a spojitá v intervalu
. Pojďme najít derivát
.

Řešením rovnice
, najít
A
jsou kritické body. Pokud jmenovatel
, tj.
, pak derivace neexistuje. Tak,
je třetí kritický bod. Určeme znaménko derivace v intervalech.

Proto má funkce v bodě minimum
, maximum v bodech
A
.

3) Funkce je definovaná a spojitá, jestliže
, tj. na
.

Pojďme najít derivát

.

Pojďme najít kritické body:

Sousedství bodů
nepatří do definičního oboru, nejsou tedy extrémní t. Pojďme tedy prozkoumat kritické body
A
.

4) Funkce je definovaná a spojitá na intervalu
. Použijeme pravidlo 2. Najděte derivaci
.

Pojďme najít kritické body:

Pojďme najít druhou derivaci
a určete jeho znaménko v bodech

V bodech
funkce má minimum.

V bodech
funkce má maximum.