Návod

Před zahájením nátisku se ujistěte, že čáry leží ve stejné rovině a lze na ni kreslit. Nejjednodušší metodou důkazu je metoda měření pravítkem. K tomu použijte pravítko a změřte vzdálenost mezi přímkami na několika místech co nejdále od sebe. Pokud vzdálenost zůstane stejná, jsou dané čáry rovnoběžné. Tato metoda ale není dostatečně přesná, proto je lepší použít jiné metody.

Nakreslete třetí čáru tak, aby protínala obě rovnoběžné čáry. Tvoří s nimi čtyři vnější a čtyři vnitřní rohy. Zvažte vnitřní rohy. Ty, které leží přes sečnu, se nazývají křížově ležící. Ty, které leží na jedné straně, se nazývají jednostranné. Pomocí úhloměru změřte dva vnitřní diagonální rohy. Pokud jsou stejné, budou čáry rovnoběžné. V případě pochybností změřte jednostranné vnitřní úhly a výsledné hodnoty sečtěte. Čáry budou rovnoběžné, pokud je součet jednostranných vnitřních úhlů roven 180º.

Pokud nemáte úhloměr, použijte čtverec 90º. Použijte jej k vytvoření kolmice k jedné z čar. Poté pokračujte touto kolmicí tak, aby protínala další přímku. Pomocí stejného čtverce zkontrolujte, pod jakým úhlem jej tato kolmice protíná. Pokud je tento úhel také roven 90º, pak jsou čáry vzájemně rovnoběžné.

V případě, že jsou přímky uvedeny v kartézském souřadnicovém systému, najděte jejich vodítka nebo normálové vektory. Pokud jsou tyto vektory vzájemně kolineární, pak jsou čáry rovnoběžné. Uveďte rovnici přímek do obecného tvaru a najděte souřadnice normálového vektoru každé z přímek. Jeho souřadnice se rovnají koeficientům A a B. V případě, že poměr odpovídajících souřadnic normálových vektorů je stejný, jsou kolineární a přímky jsou rovnoběžné.

Například přímky jsou dány rovnicemi 4x-2y+1=0 a x/1=(y-4)/2. První rovnice je obecného tvaru, druhá je kanonická. Uveďte druhou rovnici do obecného tvaru. Použijte k tomu pravidlo pro převod podílu a skončíte s 2x=y-4. Po redukci na obecný tvar dostaneme 2x-y + 4 = 0. Protože obecná rovnice pro libovolný řádek je napsána Ax + Vy + C = 0, pak pro první řádek platí: A = 4, B = 2 a pro druhý řádek A = 2, B = 1. Pro první přímou souřadnici normálového vektoru (4;2) a pro druhou - (2;1). Najděte poměr odpovídajících souřadnic normálových vektorů 4/2=2 a 2/1=2. Tato čísla jsou stejná, což znamená, že vektory jsou kolineární. Protože vektory jsou kolineární, čáry jsou rovnoběžné.

AB A SD překročena třetí čárou MN, pak úhly vytvořené v tomto případě obdrží následující názvy ve dvojicích:

odpovídající úhly: 1 a 5, 4 a 8, 2 a 6, 3 a 7;

vnitřní příčně ležící rohy: 3 a 5, 4 a 6;

vnější příčně ležící rohy: 1 a 7, 2 a 8;

vnitřní jednostranné rohy: 3 a 6, 4 a 5;

vnější jednostranné rohy: 1 a 8, 2 a 7.

Takže ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 8 = ∠ 6, ale podle dokázaného ∠ 4 = ∠ 6.

Proto ∠ 2 = ∠ 8.

3. Příslušné úhly 2 a 6 jsou stejné, protože ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 4 = ∠ 6. Také se ujistíme, že ostatní odpovídající úhly jsou stejné.

4. Součet vnitřní jednostranné rohy 3 a 6 bude 2d, protože součet sousední rohy 3 a 4 se rovná 2d = 180 0 a ∠ 4 lze nahradit stejným ∠ 6. Ujistěte se také, že součet úhlů 4 a 5 se rovná 2d.

5. Součet vnější jednostranné rohy bude 2d, protože tyto úhly jsou stejné vnitřní jednostranné rohy jako rohy vertikální.

Z výše dokázaného odůvodnění dostáváme inverzní věty.

Když na průsečíku dvou přímek libovolné třetí přímky dostaneme, že:

1. Vnitřní příčné ležící úhly jsou stejné;

nebo 2. Vnější úhly příčného ležení jsou stejné;

nebo 3. Odpovídající úhly jsou stejné;

nebo 4. Součet vnitřních jednostranných úhlů je roven 2d = 180 0 ;

nebo 5. Součet vnější jednostranné je 2d = 180 0 ,

pak jsou první dvě čáry rovnoběžné.

Nekříží se, bez ohledu na to, jak dlouho pokračují. Rovnoběžnost řádků v písmu je označena takto: AB|| SE

Možnost existence takových čar dokazuje věta.

Teorém.

Prostřednictvím jakéhokoli bodu mimo danou přímku lze nakreslit rovnoběžku s touto přímkou..

Nechat AB tento řádek a S nějaký bod mimo něj. To je nutné prokázat S můžete nakreslit rovnou čáru paralelníAB. Pojďme na to AB z bodu S kolmýSD a pak budeme SE^ SD, co je možné. Rovný CE paralelní AB.

Pro důkaz předpokládáme opak, tj CE protíná AB v určitém okamžiku M. Pak od věci M na přímku SD měli bychom dvě různé kolmice MD A SLEČNA, což je nemožné. Prostředek, CE nemůže protínat s AB, tj. SE paralelní AB.

Následek.

Dvě kolmice (CEAD.B.) na jednu přímku (CD) jsou paralelní.

Axiom rovnoběžných čar.

Přes stejný bod není možné nakreslit dvě různé čáry rovnoběžné se stejnou čárou.

Pokud tedy přímka SD, protažený bodem S rovnoběžná s přímkou AB, pak jakýkoli jiný řádek SE přes stejný bod S, nemůže být paralelní AB, tj. ona pokračuje protínají S AB.

Důkaz této ne zcela zřejmé pravdy se ukazuje jako nemožný. Přijímá se bez důkazu jako nezbytný předpoklad (postulatum).

Důsledky.

1. Pokud rovný(SE) se protíná s jedním z paralelní(SW), pak se protíná s druhým ( AB), protože jinak přes stejný bod S dvě různé rovné čáry, rovnoběžné AB, což je nemožné.

2. Pokud každý z těchto dvou Přímo (AAB) jsou rovnoběžné se stejnou třetí čárou ( S) , potom oni jsou paralelní mezi sebou.

Ostatně, pokud to předpokládáme A A B v určitém bodě protínají M, pak by tímto bodem procházely dvě různé přímky, vzájemně rovnoběžné. S, což je nemožné.

Teorém.

Li přímka je kolmá k jedné z rovnoběžných čar, pak je kolmá na druhou paralelní.

Nechat AB || SD A EF ^ AB.To je třeba prokázat EF ^ SD.

KolmýEF, protínající se s AB, bude jistě protínat a SD. Nechť je průsečík H.

Předpokládejme, že nyní SD není kolmá k EH. Pak třeba nějaký další řádek HK, bude kolmá k EH a tedy přes stejný bod H dva rovná rovnoběžka AB: jeden SD, podle podmínky a další HK jak bylo prokázáno dříve. Protože to není možné, nelze to předpokládat SW nebyla kolmá k EH.

V tomto článku budeme hovořit o paralelních liniích, uvedeme definice, označíme znaky a podmínky rovnoběžnosti. Pro názornost teoretické látky použijeme ilustrace a řešení typických příkladů.

Definice 1

Rovnoběžné čáry v rovině jsou dvě přímky v rovině, které nemají společné body.

Definice 2

Rovnoběžné čáry ve 3D prostoru- dvě přímky v trojrozměrném prostoru, které leží ve stejné rovině a nemají společné body.

Je třeba poznamenat, že pro určení rovnoběžných čar v prostoru je mimořádně důležité vyjasnění „ležící ve stejné rovině“: dvě přímky v trojrozměrném prostoru, které nemají společné body a neleží ve stejné rovině, nejsou paralelní, ale protínající se.

Pro označení rovnoběžných čar se běžně používá symbol ∥ . To znamená, že pokud jsou dané přímky a a b rovnoběžné, měla by být tato podmínka stručně zapsána takto: a ‖ b . Slovně je rovnoběžnost přímek označena takto: přímky aab jsou rovnoběžné nebo přímka a je rovnoběžná s přímkou ​​b nebo přímka b je rovnoběžná s přímkou ​​a.

Formulujme tvrzení, které hraje důležitou roli ve zkoumaném tématu.

Axiom

Bodem, který k dané přímce nepatří, vede pouze jedna přímka rovnoběžná s danou přímkou. Toto tvrzení nelze dokázat na základě známých axiomů planimetrie.

V případě, že jde o prostor, platí věta:

Věta 1

Přes jakýkoli bod v prostoru, který nepatří k dané přímce, bude s danou přímkou ​​rovnoběžná pouze jedna.

Tuto větu lze snadno dokázat na základě výše uvedeného axiomu (geometrický program pro ročníky 10-11).

Znak rovnoběžnosti je postačující podmínkou, za níž jsou rovnoběžné linie zaručeny. Jinými slovy, splnění této podmínky stačí k potvrzení skutečnosti paralelismu.

Zejména jsou zde nutné a dostatečné podmínky pro rovnoběžnost přímek v rovině a v prostoru. Vysvětlíme: nezbytným se rozumí podmínka, jejíž splnění je nutné pro rovnoběžné čáry; pokud není splněno, čáry nejsou rovnoběžné.

Suma sumárum, nutnou a postačující podmínkou pro rovnoběžnost přímek je taková podmínka, jejíž dodržení je nutné a postačující k tomu, aby přímky byly navzájem rovnoběžné. Na jedné straně je to známka paralelismu, na druhé straně vlastnost vlastní paralelním liniím.

Než uvedeme přesnou formulaci nezbytných a postačujících podmínek, připomeneme si ještě několik doplňujících pojmů.

Definice 3

sečnová čára je přímka, která protíná každou ze dvou daných neshodných čar.

Sečna protínající dvě přímky tvoří osm neroztažených úhlů. Pro formulaci nutné a postačující podmínky použijeme takové typy úhlů, jako jsou příčně ležící, odpovídající a jednostranné. Pojďme si je ukázat na ilustraci:

Věta 2

Protínají-li dvě přímky v rovině sečnu, pak aby dané přímky byly rovnoběžné, je nutné a postačující, aby příčně ležící úhly byly stejné, nebo odpovídající úhly byly stejné nebo součet jednostranných úhlů byl roven 180 stupně.

Pojďme si graficky znázornit nezbytnou a postačující podmínku pro rovnoběžky v rovině:

Důkaz těchto podmínek je obsažen v programu geometrie pro ročníky 7-9.

Obecně platí, že tyto podmínky platí také pro trojrozměrný prostor za předpokladu, že dvě přímky a sečna patří do stejné roviny.

Uveďme několik dalších vět, které se často používají při dokazování skutečnosti, že přímky jsou rovnoběžné.

Věta 3

V rovině jsou dvě přímky rovnoběžné se třetí rovnoběžné. Tato vlastnost je dokázána na základě výše zmíněného axiomu rovnoběžnosti.

Věta 4

V trojrozměrném prostoru jsou dvě přímky rovnoběžné s třetí rovnoběžné jedna s druhou.

Důkaz atributu je studován v programu geometrie pro 10. ročník.

Uvádíme ilustraci těchto teorémů:

Naznačme ještě jednu dvojici vět, které dokazují rovnoběžnost přímek.

Věta 5

V rovině jsou dvě přímky kolmé na třetí rovnoběžné.

Zformulujme podobný pro trojrozměrný prostor.

Věta 6

V trojrozměrném prostoru jsou dvě přímky kolmé na třetí vzájemně rovnoběžné.

Pojďme si ilustrovat:

Všechny výše uvedené věty, znaménka a podmínky umožňují pohodlně dokázat rovnoběžnost přímek metodami geometrie. To znamená, že pro prokázání rovnoběžnosti přímek lze ukázat, že odpovídající úhly jsou stejné, nebo demonstrovat skutečnost, že dvě dané přímky jsou kolmé na třetí atd. Ale podotýkáme, že k prokázání rovnoběžnosti přímek v rovině nebo v trojrozměrném prostoru je často pohodlnější použít souřadnicovou metodu.

Rovnoběžnost přímek v pravoúhlém souřadnicovém systému

V daném pravoúhlém souřadném systému je přímka určena rovnicí přímky na rovině jednoho z možných typů. Podobně přímka daná v pravoúhlém souřadnicovém systému v trojrozměrném prostoru odpovídá některým rovnicím přímky v prostoru.

Zapišme nutné a postačující podmínky pro rovnoběžnost úseček v pravoúhlém souřadnicovém systému v závislosti na typu rovnice popisující dané úsečky.

Začněme podmínkou rovnoběžných čar v rovině. Vychází z definic směrového vektoru přímky a normálového vektoru přímky v rovině.

Věta 7

Aby dvě neshodné přímky byly rovnoběžné v rovině, je nutné a postačující, aby směrové vektory daných přímek byly kolineární, nebo normálové vektory daných přímek byly kolineární, nebo směrový vektor jedné přímky byl kolmý na normální vektor druhé přímky.

Je zřejmé, že podmínka rovnoběžných čar v rovině je založena na podmínce kolineárních vektorů nebo na podmínce kolmosti dvou vektorů. To znamená, že pokud a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) jsou směrové vektory přímek a a b ;

a n b → = (n b x , n b y) jsou normálové vektory přímek a a b , pak výše uvedenou nutnou a postačující podmínku zapíšeme následovně: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y nebo n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y nebo a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , kde t je nějaké reálné číslo. Souřadnice směrovacích nebo přímých vektorů jsou určeny danými rovnicemi přímek. Podívejme se na hlavní příklady.

1. Přímka a v pravoúhlém souřadnicovém systému je určena obecnou rovnicí přímky: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; čára b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potom budou mít normálové vektory daných čar souřadnice (A 1 , B 1 ) a (A 2 , B 2 ). Podmínku paralelismu zapíšeme takto:

Ai = tA2B1 = tB2

1. Přímka a je popsána rovnicí přímky se sklonem ve tvaru y = k 1 x + b 1 . Přímka b - y \u003d k 2 x + b 2. Potom normálové vektory daných čar budou mít souřadnice (k 1 , - 1) respektive (k 2 , - 1) a podmínku rovnoběžnosti zapíšeme takto:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Jsou-li tedy rovnoběžné přímky na rovině v pravoúhlém souřadnicovém systému dány rovnicemi se sklonovými koeficienty, pak se sklonové koeficienty daných přímek budou rovnat. A obrácené tvrzení je pravdivé: pokud jsou neshodné přímky v rovině v pravoúhlém souřadnicovém systému určeny rovnicemi přímky se stejnými koeficienty sklonu, pak jsou tyto dané přímky rovnoběžné.

1. Přímky a a b v pravoúhlém souřadnicovém systému jsou dány kanonickými rovnicemi přímky v rovině: x - x 1 a x = y - y 1 a y a x - x 2 b x = y - y 2 b y nebo parametrickými rovnicemi přímky v rovině: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y a x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Pak směrové vektory daných čar budou: a x , a y respektive b x , b y a podmínku rovnoběžnosti zapíšeme takto:

a x = t b x a y = t b y

Podívejme se na příklady.

Příklad 1

Jsou dány dva řádky: 2 x - 3 y + 1 = 0 a x 1 2 + y 5 = 1 . Musíte určit, zda jsou rovnoběžné.

Řešení

Rovnici přímky po úsecích zapíšeme ve formě obecné rovnice:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidíme, že n a → = (2 , - 3) je normálový vektor přímky 2 x - 3 y + 1 = 0 a n b → = 2, 1 5 je normálový vektor přímky x 1 2 + y 5 = 1.

Výsledné vektory nejsou kolineární, protože neexistuje žádná taková hodnota t, pro kterou by rovnost platila:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Není tedy splněna nutná a postačující podmínka rovnoběžnosti přímek v rovině, což znamená, že dané přímky nejsou rovnoběžné.

Odpovědět: dané čáry nejsou rovnoběžné.

Příklad 2

Dané přímky y = 2 x + 1 a x 1 = y - 4 2 . Jsou paralelní?

Řešení

Převedeme kanonickou rovnici přímky x 1 \u003d y - 4 2 na rovnici přímky se sklonem:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidíme, že rovnice přímek y = 2 x + 1 a y = 2 x + 4 nejsou stejné (kdyby tomu bylo jinak, přímky by byly stejné) a sklony přímek jsou stejné, což znamená, že dané čáry jsou rovnoběžné.

Zkusme problém vyřešit jinak. Nejprve zkontrolujeme, zda se dané čáry shodují. Použijeme libovolný bod přímky y \u003d 2 x + 1, například (0, 1) , souřadnice tohoto bodu neodpovídají rovnici přímky x 1 \u003d y - 4 2, což znamená, že čáry se neshodují.

Dalším krokem je určení splnění podmínky rovnoběžnosti pro dané úsečky.

Normálový vektor přímky y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) a směrový vektor druhé dané přímky je b → = (1 , 2) . Skalární součin těchto vektorů je nula:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Vektory jsou tedy kolmé: to nám demonstruje splnění nutné a postačující podmínky, aby původní čáry byly rovnoběžné. Tito. dané čáry jsou rovnoběžné.

Odpovědět: tyto čáry jsou rovnoběžné.

K prokázání rovnoběžnosti přímek v pravoúhlém souřadnicovém systému trojrozměrného prostoru slouží následující nutná a postačující podmínka.

Věta 8

Aby byly dvě neshodné úsečky v trojrozměrném prostoru rovnoběžné, je nutné a dostatečné, aby směrové vektory těchto úseček byly kolineární.

Tito. pro dané rovnice přímek v trojrozměrném prostoru se odpověď na otázku: jsou rovnoběžné nebo ne, nalézá určením souřadnic směrových vektorů daných přímek a také kontrolou podmínky jejich kolinearity. Jinými slovy, pokud a → = (a x, a y, a z) a b → = (b x, b y, b z) jsou směrové vektory přímek a a b, pak, aby byly rovnoběžné, existence takového reálného čísla je nutné t, aby platila rovnost:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Příklad 3

Dané přímky x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 a x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Je třeba dokázat rovnoběžnost těchto čar.

Řešení

Podmínky úlohy jsou kanonické rovnice jedné přímky v prostoru a parametrické rovnice jiné přímky v prostoru. Směrové vektory a → a b → dané čáry mají souřadnice: (1 , 0 , - 3) a (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, pak a → = 1 2 b → .

Je tedy splněna nezbytná a postačující podmínka pro rovnoběžné čáry v prostoru.

Odpovědět: je dokázána rovnoběžnost daných čar.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Nejprve se podívejme na rozdíl mezi pojmy atribut, vlastnost a axiom.

Definice 1

podepsat nazývaná určitá skutečnost, pomocí které lze určit pravdivost úsudku o předmětu zájmu.

Příklad 1

Čáry jsou rovnoběžné, pokud jejich sečna svírá stejné příčné úhly.

Definice 2

Vlastnictví je formulován v případě, kdy existuje důvěra v platnost rozsudku.

Příklad 2

U rovnoběžných čar tvoří jejich sečna stejné úhly ležící napříč.

Definice 3

axiom nazývat takové prohlášení, které nevyžaduje důkaz a je bez něj akceptováno jako pravdivé.

Každá věda má axiomy, na kterých jsou postaveny následné soudy a jejich důkazy.

Axiom rovnoběžných čar

Někdy je axiom rovnoběžek brán jako jedna z vlastností rovnoběžek, ale zároveň se na jeho platnosti staví další geometrické důkazy.

Věta 1

Skrz bod, který neleží na dané přímce, lze na rovinu vést pouze jednu přímku, která bude s danou rovnoběžná.

Axiom nevyžaduje důkaz.

Vlastnosti rovnoběžných čar

Věta 2

Vlastnost1. Vlastnost tranzitivity rovnoběžných čar:

Když je jedna ze dvou rovnoběžných čar rovnoběžná se třetí, bude s ní rovnoběžná i druhá přímka.

Vlastnosti vyžadují důkaz.

Důkaz:

Nechť jsou dvě rovnoběžné přímky $a$ a $b$. Čára $c$ je rovnoběžná s čárou $a$. Zkontrolujme, zda je v tomto případě přímka $с$ také rovnoběžná s přímkou ​​$b$.

Pro důkaz použijeme opačný návrh:

Představte si, že existuje taková varianta, ve které je přímka $c$ rovnoběžná s jednou z přímek, například přímka $a$, a druhá - přímka $b$ - se protíná v určitém bodě $K$.

Dostaneme kontradikci podle axiomu rovnoběžných čar. Ukazuje se situace, kdy se dvě přímky protínají v jednom bodě, navíc jsou rovnoběžné se stejnou přímkou ​​$a$. Taková situace je nemožná, proto se přímky $b$ a $c$ nemohou protínat.

Je tedy dokázáno, že pokud je jedna ze dvou rovnoběžných přímek rovnoběžná se třetí přímkou, pak je i druhá přímka rovnoběžná se třetí přímkou.

Věta 3

Nemovitost 2.

Pokud se jedna ze dvou rovnoběžných čar protíná s třetí, protne se s ní i druhá přímka.

Důkaz:

Nechť jsou dvě rovnoběžné přímky $a$ a $b$. Nechť také existuje nějaká přímka $c$, která protíná jednu z rovnoběžných přímek, například přímka $a$. Je potřeba ukázat, že přímka $c$ protíná i druhou přímku, přímku $b$.

Sestavme důkaz kontradikcí.

Představte si, že přímka $c$ neprotíná přímku $b$. Potom dvě přímky $a$ a $c$ procházejí bodem $K$ a přímku $b$ neprotínají, tedy jsou s ní rovnoběžné. Ale tato situace je v rozporu s axiomem rovnoběžných čar. Proto byl předpoklad chybný a přímka $c$ bude protínat přímku $b$.

Věta byla prokázána.

Vlastnosti rohu, které tvoří dvě rovnoběžné čáry a sečnu: příčné úhly jsou stejné, odpovídající úhly jsou stejné, * součet jednostranných úhlů je roven $180^(\circ)$.

Příklad 3

Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a třetí přímka kolmá k jedné z nich. Dokažte, že tato přímka je kolmá k jiné z rovnoběžných přímek.

Důkaz.

Mějme řádky $a \paralelní b$ a $c \perp a$.

Protože přímka $c$ protíná přímku $a$, pak podle vlastnosti rovnoběžných přímek bude protínat i přímku $b$.

Sečna $c$ protínající rovnoběžné přímky $a$ a $b$ s nimi svírá stejné vnitřní úhly.

Protože $c \perp a$, pak budou úhly $90^(\circ)$.

Proto $c \perp b$.

Důkaz je kompletní.