Kolmnurga keskjoone mõiste
Tutvustame kolmnurga keskjoone mõistet.
Definitsioon 1
See on segment, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte (joonis 1).
Joonis 1. Kolmnurga keskjoon
Kolmnurga keskjoone teoreem
1. teoreem
Kolmnurga keskjoon on paralleelne selle ühe küljega ja võrdne poolega sellest.
Tõestus.
Olgu meile antud kolmnurk $ABC$. $MN$ on keskmine joon (nagu joonisel 2).
Joonis 2. 1. teoreemi illustratsioon
Kuna $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, siis kolmnurgad $ABC$ ja $MBN$ on sarnased vastavalt kolmnurkade teisele sarnasuse kriteeriumile . Tähendab
Samuti järeldub, et $\angle A=\angle BMN$, mis tähendab $MN||AC$.
Teoreem on tõestatud.
Kolmnurga keskjoone teoreemi järeldused
Järeldus 1: Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis ja jagatakse lõikepunktiga suhtega $2:1$ alates tipust.
Tõestus.
Vaatleme kolmnurka $ABC$, kus $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ on selle mediaanid. Kuna mediaanid jagavad küljed pooleks. Vaatleme keskmist joont $A_1B_1$ (joonis 3).
Joonis 3. Järelduse 1 illustratsioon
Teoreemi 1 järgi $AB||A_1B_1$ ja $AB=2A_1B_1$, seega $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. See tähendab, et kolmnurgad $ABM$ ja $A_1B_1M$ on sarnased vastavalt kolmnurkade esimesele sarnasuse kriteeriumile. Siis
Samamoodi on tõestatud, et
Teoreem on tõestatud.
Järeldus 2: Kolmnurga kolm keskmist joont jagavad selle 4 algse kolmnurgaga sarnaseks kolmnurgaks sarnasuskoefitsiendiga $k=\frac(1)(2)$.
Tõestus.
Vaatleme kolmnurka $ABC$ keskjoontega $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (joonis 4)
Joonis 4. Järelduse 2 illustratsioon
Vaatleme kolmnurka $A_1B_1C$. Kuna $A_1B_1$ on keskmine rida, siis
Nurk $C$ on nende kolmnurkade ühine nurk. Järelikult on kolmnurgad $A_1B_1C$ ja $ABC$ sarnased vastavalt sarnasuskoefitsiendiga $k=\frac(1)(2)$ kolmnurkade teisele sarnasuse kriteeriumile.
Samamoodi on tõestatud, et kolmnurgad $A_1C_1B$ ja $ABC$ ning kolmnurgad $C_1B_1A$ ja $ABC$ on sarnased sarnasuskoefitsiendiga $k=\frac(1)(2)$.
Vaatleme kolmnurka $A_1B_1C_1$. Kuna $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ on kolmnurga keskjooned, siis
Seetõttu on kolmnurkade sarnasuse kolmanda kriteeriumi kohaselt kolmnurgad $A_1B_1C_1$ ja $ABC$ sarnased sarnasuskoefitsiendiga $k=\frac(1)(2)$.
Teoreem on tõestatud.
Näited ülesannetest kolmnurga keskjoone mõiste kohta
Näide 1
Antud kolmnurk külgedega $16$ cm, $10$ cm ja $14$ cm Leia ümbermõõt kolmnurgale, mille tipud asuvad antud kolmnurga külgede keskpunktides.
Lahendus.
Kuna soovitud kolmnurga tipud asuvad antud kolmnurga külgede keskpunktides, siis on selle küljed algse kolmnurga keskjooned. Järeldus 2 leiame, et soovitud kolmnurga küljed on võrdsed $8$ cm, $5$ cm ja $7$ cm.
Vastus:$20$ vt
Näide 2
Antud kolmnurk $ABC$. Punktid $N\ ja\ M$ on vastavalt külgede $BC$ ja $AB$ keskpunktid (joonis 5).
Joonis 5.
Kolmnurga ümbermõõt $BMN=14$ cm Leia kolmnurga $ABC$ ümbermõõt.
Lahendus.
Kuna $N\ ja\ M$ on külgede $BC$ ja $AB$ keskpunktid, siis $MN$ on keskjoon. Tähendab
Teoreemi 1 järgi $AC=2MN$. Saame:
1 Kolmnurga keskjoone teoreemile viiv lisakonstruktsioon, kolmnurkade trapets ja sarnasusomadused.
Ja tema võrdne poolega hüpotenuusist.
Järeldus 1.
Järeldus 2.
Sellest on selge, et 
1 Kõik sama teravnurgaga täisnurksed kolmnurgad on sarnased. Pilk trigonomeetrilistele funktsioonidele.
Viirutatud ja viirutamata külgedega kolmnurgad on sarnased selle poolest, et nende kaks nurka on võrdsed. Seetõttu kus
See tähendab, et näidatud seosed sõltuvad ainult täisnurkse kolmnurga teravnurgast ja määravad selle sisuliselt ära. See on üks trigonomeetriliste funktsioonide ilmumise põhjusi:
Tihti on sarnaste täisnurksete kolmnurkade nurkade trigonomeetriliste funktsioonide kirjutamine selgem kui sarnasusseoste kirjutamine!
2 Lisakonstruktsiooni näide on hüpotenuusile langetatud kõrgus. Pythagorase teoreemi tuletamine kolmnurkade sarnasuse põhjal.
Alandame kõrguse CH hüpotenuusile AB. Meil on kolm sarnast kolmnurka ABC, AHC ja CHB. Kirjutame üles trigonomeetriliste funktsioonide avaldised:
Sellest on selge, et . Summeerides saame Pythagorase teoreemi, kuna:
Veel ühe Pythagorase teoreemi tõestuse leiate ülesande 4 kommentaarist.
3 Täiendava konstruktsiooni oluline näide on nurga konstrueerimine, mis on võrdne kolmnurga ühe nurgaga.
Täisnurga tipust joonistame sirge lõigu, mis moodustab jalaga CA nurga, mis on võrdne antud täisnurkse kolmnurga ABC nurgaga CAB. Selle tulemusena saame alusnurkadega võrdhaarse kolmnurga ACM. Kuid sellest konstruktsioonist tulenev teine kolmnurk on samuti võrdhaarne, kuna kõik selle nurgad aluses on võrdsed (täisnurkse kolmnurga nurkade omaduse ja konstruktsiooni järgi - nurk "lahutati" täisnurgast). Tänu sellele, et kolmnurgad BMC ja AMC on võrdhaarsed ühise küljega MC, on meil võrdus MB=MA=MC, s.t. M.C. täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud mediaan, ja tema võrdne poolega hüpotenuusist.
Järeldus 1. Hüpotenuusi keskpunkt on selle kolmnurga ümber piiritletud ringi keskpunkt, kuna selgub, et hüpotenuusi keskpunkt on täisnurkse kolmnurga tippudest võrdsel kaugusel.
Järeldus 2. Täisnurkse kolmnurga keskjoon, mis ühendab hüpotenuusi keskosa ja jala keskosa, on paralleelne vastasjalaga ja on võrdne poolega sellest.
Võrdhaarsetes kolmnurkades BMC ja AMC langetame kõrgused MH ja MG alusteni. Kuna võrdhaarses kolmnurgas on alusele langetatud kõrgus ka mediaan (ja poolitaja), siis MH ja MG on täisnurkse kolmnurga sirged, mis ühendavad hüpotenuusi keskosa jalgade keskpunktidega. Konstruktsiooni järgi osutuvad need paralleelseks vastasjalgadega ja võrdseteks nende pooltega, kuna kolmnurgad on võrdsed, MHC ja MGC on võrdsed (ja MHCG on ristkülik). See tulemus on aluseks suvalise kolmnurga keskjoone ja trapetsi keskjoone teoreemi tõestusele ning paralleelsete joontega ära lõigatud lõikude proportsionaalsuse omadusele kahel neid lõikuval sirgel.
Ülesanded
Sarnasusomaduste kasutamine -1
Põhiomaduste kasutamine - 2
Lisaformatsiooni kasutamine 3-4
1 2 3 4
Täisnurkse kolmnurga täisnurga tipust langenud kõrgus on võrdne nende lõikude pikkuste ruutjuurega, milleks see hüpotenuusi jagab.
Lahendus tundub ilmne, kui teate Pythagorase teoreemi tuletamist kolmnurkade sarnasusest:
\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\,
kust \(h^2=c_1c_2\).
Leidke kõigi võimalike täisnurksete kolmnurkade, mille hüpotenuus AB on fikseeritud, mediaanide lõikepunktide asukoht (GMT).
Iga kolmnurga mediaanide lõikepunkt lõikab mediaanist ühe kolmandiku, arvestades selle lõikepunktist vastava küljega. Täisnurkses kolmnurgas on täisnurgast tõmmatud mediaan võrdne poolega hüpotenuusist. Seetõttu on soovitud GMT raadiusega ring, mis on võrdne 1/6 hüpotenuusi pikkusest ja mille keskpunkt asub selle (fikseeritud) hüpotenuusi keskel.
Mõnikord ei pruugi koolis selgitatavad teemad alati esimesel korral selged olla. See kehtib eriti sellise õppeaine kohta nagu matemaatika. Kuid kõik muutub palju keerulisemaks, kui seda teadust hakatakse jagama kaheks osaks: algebraks ja geomeetriaks.
Igal õpilasel võib olla üks kahest valdkonnast, kuid eriti algklassides on oluline mõista nii algebra kui ka geomeetria aluseid. Geomeetrias peetakse üheks põhiteemaks kolmnurkade osa.
Kuidas leida kolmnurga keskjoont? Selgitame välja.
Põhimõisted
Alustuseks, et välja selgitada, kuidas kolmnurga keskjoont leida, on oluline mõista, mis see on.
Keskjoone tõmbamisel pole piiranguid: kolmnurk võib olla ükskõik milline (võrdhaarne, võrdkülgne, ristkülikukujuline). Ja kõik keskmise joonega seotud omadused kehtivad.
Kolmnurga keskjoon on segment, mis ühendab selle kahe külje keskpunkte. Seetõttu võib igal kolmnurgal olla 3 sellist joont.
Omadused
Et teada saada, kuidas kolmnurga keskjoont leida, määrame selle omadused, mida tuleb meeles pidada, vastasel juhul on ilma nendeta võimatu lahendada probleeme, mis on seotud vajadusega määrata keskjoone pikkus, kuna kõik saadud andmed peavad olema põhjendatud. ja vaidlesid teoreemide, aksioomide või omadustega.
Seega, et vastata küsimusele: “Kuidas leida kolmnurga ABC keskjoont?”, piisab kolmnurga ühe külje teadmisest.
Toome näite
Vaata pilti. See näitab kolmnurka ABC keskmise joonega DE. Pange tähele, et see on paralleelne kolmnurga alusega AC. Seega, olenemata AC väärtusest, on keskmine rida DE poole suurem. Näiteks AC=20 tähendab DE=10 jne.
Nendel lihtsatel viisidel saate aru, kuidas leida kolmnurga keskjoont. Pidage meeles selle põhiomadusi ja määratlust ning siis pole teil kunagi probleeme selle tähenduse leidmisega.
Videokursus “Saada A” sisaldab kõiki teemasid, mis on vajalikud matemaatika ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ühtse riigieksami ülesanded 1-13 matemaatikas. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!
Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.
Kogu vajalik teooria. Ühtse riigieksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.
Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.
Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Selged selgitused keerukatele mõistetele. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Ühtse riigieksami 2. osa keerukate ülesannete lahendamise alus.
Kuidas leida kolmnurga keskpunkt: geomeetriaülesanne. Eukleidilise geomeetria peamised elementaarprobleemid jõudsid meieni antiikajast. Need sisaldavad esmast olemust ennast ja vajalikke põhiteadmisi inimese ruumivormide tajumise kohta. Üks selline probleem on kolmnurga keskpunkti leidmise probleem. Tänapäeval peetakse seda probleemi kooliõpilaste intellektuaalsete võimete arendamiseks mõeldud haridustehnikaks. Vanas maailmas kasutati kolmnurga keskkoha leidmise teadmisi ka praktikas: maakorralduses, erinevate mehhanismide valmistamisel jne. Mis on selle geomeetrilise rebuse olemus?
Mis on mediaan? Enne probleemi lahendamist peate tutvuma kolmnurkade osas kõige lihtsama geomeetrilise terminoloogiaga. Esiteks on igal kolmnurgal kolm tippu, kolm külge ja kolm nurka, millest tuleneb ka selle geomeetrilise kujundi nimi. Oluline on teada, kuidas nimetatakse sirgeid, mis ühendavad tippe vastaskülgedega: kõrgus, poolitaja ja mediaan.
Kõrgus on joon, mis on risti selle tipu vastasküljega, millest see tõmmatakse; poolitaja - jagab nurga pooleks; Mediaan jagab väljuva tipu vastaskülje pooleks. Selle ülesande lahendamiseks peate teadma, kuidas leida lõigu keskpunkti koordinaate, sest selle keskpunktiks on kolmnurga mediaanide lõikepunkt.
Leidke kolmnurga külgede keskpunktid. Lõigu keskpunkti leidmine on samuti klassikaline geomeetriline ülesanne, mille lahendamiseks vajate kompassi ja jaotusteta joonlauda. Asetame kompassi nõela lõigu lõpp-punkti ja viimase keskele joonistame poolringi, mis on suurem kui pool lõigust. Teeme sama segmendi teisel küljel. Saadud poolringid ristuvad tingimata kahes punktis, kuna nende raadiused on suuremad kui pool algsest lõigust.
Ühendame joonlaua abil kaks ringi ristumispunkti sirgjoonega. See joon lõikub algse lõiguga täpselt selle keskel. Nüüd, teades, kuidas leida segmendi keskosa, teeme seda kolmnurga mõlema küljega. Kui olete leidnud kolmnurga külgede kõik keskpunktid, olete valmis selle oma keskpunkti konstrueerima.
Ehitame kolmnurga keskosa. Ühendades kolmnurga tipud sirgjoontega vastaskülgede keskpunktidega, saame kolm mediaani. See võib mõnda üllatada, kuid üks selle geomeetrilise kujundi harmoonia seadustest on see, et kõik kolm mediaani lõikuvad alati ühes punktis. Just sellest punktist saab kolmnurga soovitud keskpunkt, mida pole nii raske leida, kui tead, kuidas lõigu keskpunkti konstrueerida.
Huvitav on ka see, et mediaanide lõikepunkt ei esinda mitte ainult kolmnurga geomeetrilist, vaid ka “füüsilist” keskosa. Ehk kui lõikad näiteks vineerist välja kolmnurga, leiad selle keskkoha ja asetad selle punkti nõela otsa, siis ideaalis selline kujund tasakaalustub ega kuku. Elementaarne geomeetria sisaldab palju selliseid põnevaid “saladusi”, mille tundmine aitab mõista ümbritseva maailma harmooniat ja keerukamate asjade olemust.
