Trigonomeetriline tasapind. Kompleksarvude trigonomeetriline kuju. Kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul

Loeng

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Plaan

1. Kompleksarvude geomeetriline esitus.

2. Kompleksarvude trigonomeetriline tähistus.

3. Tegevused kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarvude geomeetriline esitus.

a) Kompleksarvud esitatakse tasapinna punktidega vastavalt järgmisele reeglile: a + bi = M ( a ; b ) (joonis 1).

Pilt 1

b) Kompleksarvu saab esitada vektoriga, mis algab punktistKOHTA ja lõpp antud punktis (joonis 2).

Joonis 2

Näide 7. Kompleksarve esindavate punktide konstrueerimine:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (joonis 3).

Joonis 3

Kompleksarvude trigonomeetriline tähistus.

Kompleksnumberz = a + bi saab määrata raadiuse vektori abil koordinaatidega( a ; b ) (joonis 4).

Joonis 4

Definitsioon . Vektori pikkus , mis tähistab kompleksarvuz , nimetatakse selle arvu mooduliks ja tähistatakse võir .

Mis tahes kompleksarvu jaoksz selle moodulr = | z | määratakse üheselt valemiga .

Definitsioon . Reaaltelje positiivse suuna ja vektori vahelise nurga suurus , mis tähistab kompleksarvu, nimetatakse selle kompleksarvu argumendiks ja seda tähistatakseA rg z võiφ .

Kompleksarvu argumentz = 0 määramata. Kompleksarvu argumentz≠ 0 – mitme väärtusega suurus ja määratakse tähtaja täpsusega2πk (k = 0; -1; 1; -2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Kusarg z – intervallis sisalduva argumendi põhiväärtus(-π; π] , see on-π < arg z ≤ π (mõnikord võetakse argumendi põhiväärtuseks intervallile kuuluv väärtus .

See valem, kuir =1 mida sageli nimetatakse Moivre'i valemiks:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Näide 11: Arvutage(1 + i ) 100 .

Kirjutame kompleksarvu1 + i trigonomeetrilisel kujul.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + ma patustan )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + ma patustan ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = -2 50 .

4) kompleksarvu ruutjuure eraldamine.

Kui võtta kompleksarvu ruutjuura + bi meil on kaks juhtumit:

Kuib >o , See ;

Vaatleme tavalisel (algebralisel) kujul antud kompleksarvu:

Joonisel 3 on kujutatud kompleksarv z. Selle arvu koordinaadid ristkoordinaadisüsteemis ( a, b). Mis tahes nurga patu ja cos funktsioonide määratlusest järeldub:

Seda salvestusvormi nimetatakse trigonomeetriline kompleksarvu kirjutamise vorm.

Võrrandid (2) ruudustatakse ja lisatakse:

(4)

r−kompleksarvu raadiusvektori pikkus z nimetatakse kompleksarvu mooduliks ja tähistatakse | z|. Ilmselgelt | z|≥0 ja | z|=0 siis ja ainult siis z=0.

Kompleksarvule vastava punkti polaarnurga suurus z, st. nurk φ , nimetatakse selle arvu argumendiks ja tähistatakse arg z. Märka seda arg z on mõtet ainult siis, kui z≠0. Kompleksarvu argumendil 0 pole mõtet.

Kompleksarvu argument ei ole üheselt määratletud. Kui φ siis kompleksarvu argument φ +2πk, k=0,1,... on ka kompleksarvu argument, sest cos( φ +2πk)=cos φ , patt( φ +2πk)=patt φ .

Kompleksarvu teisendamine algebralisest vormist trigonomeetriliseks vormiks

Olgu kompleksarv esitatud algebralisel kujul: z=a+bi. Esitame selle arvu trigonomeetrilisel kujul. Arvutame kompleksarvu mooduli: . Arvutage argument φ kompleksarv avaldistest või . Saadud väärtused sisestame võrrandisse (3).

Näide 1: esitage kompleksarv z=1 trigonomeetrilisel kujul.

Lahendus. Kompleksnumber z=1 saab esitada järgmiselt: z=1+0i φ =1/1. Kust me selle saame? φ =0. Asendades mooduli ja argumendi väärtused (3), saame: z=1(cos0+ i sin0).

Vastus. z=1(cos0+ i sin0).

Näide 2: esitage kompleksarv z=i trigonomeetrilisel kujul.

Lahendus. Kompleksnumber z=i võib esitada järgmiselt: z=0+1i. Arvutame selle arvu mooduli: . Arvutame selle arvu argumendi: cos φ =0/1. Kust me selle saame? φ =π /2. Asendades mooduli ja argumendi väärtused (3), saame: .

Vastus. .

Näide 3: esitage kompleksarv z=4+3i trigonomeetrilisel kujul.

Lahendus. Arvutame selle arvu mooduli: . Arvutame selle arvu argumendi: cos φ =4/5. Kust me selle saame? φ =arccos(4/5). Asendades mooduli ja argumendi väärtused (3), saame: .

Vastus. , Kus φ =arccos(4/5).

Kompleksarvude korrutamine trigonomeetrilises tähistuses

z 1 =r 1 (maks φ 1 +i patt φ 1) ja z 2 =r 2 (maks φ 2 +i patt φ 2). Korrutame need arvud:

need. kompleksarvude korrutise moodul on võrdne tegurite moodulite korrutisega.

Vastus. .

Kompleksarvude jagamine trigonomeetrilises tähistuses

Olgu antud kompleksarvud z 1 =r 1 (maks φ 1 +i patt φ 1) ja z 2 =r 2 (maks φ 2 +i patt φ 2) ja lase z 2 ≠0, st. r 2 ≠0. Arvutame z 1 /z 2:

Vastus. .

Korrutamise ja jagamise geomeetriline tähendus

Joonisel 4 on kujutatud kompleksarvude korrutamist z 1 ja z 2. Punktidest (6) ja (7) järeldub, et toote saamiseks z 1 z 2, vajate punkti vektori raadiust z 1 pööre nurga võrra vastupäeva φ 2 ja venitada kuni | z 2 | korda (0z 2 |

Vaatleme nüüd kompleksarvu jagamist z 1 z 2 sisse z 1 (joonis 4). Valemist (8) järeldub, et soovitud arvu moodul on võrdne arvu mooduli jagamise jagatisega z 1 z 2 numbrimooduli kohta z 1 ja argument on: φ 2 =φ −φ 1 . Jagamise tulemusena saame numbri z 2 .

Selles osas räägime lähemalt kompleksarvu trigonomeetrilisest vormist. Näidisvorm on praktilistes ülesannetes palju vähem levinud. Soovitan võimalusel alla laadida ja printida. trigonomeetrilised tabelid, metoodilise materjali leiab lehelt Matemaatilised valemid ja tabelid. Ilma laudadeta ei jõua kaugele.

Mis tahes kompleksarvu (välja arvatud null) saab kirjutada trigonomeetrilisel kujul:

Kus see on kompleksarvu moodul, A - kompleksarvu argument.

Esitame arvu komplekstasandil. Selgitamise täpsuse ja lihtsuse huvides asetame selle esimesse koordinaatkvadranti, s.o. me usume, et:

Kompleksarvu moodul on kaugus alguspunktist komplekstasandi vastava punktini. Lihtsamalt öeldes, moodul on pikkus raadiuse vektor, mis on joonisel märgitud punasega.

Kompleksarvu moodulit tähistatakse tavaliselt: või

Pythagorase teoreemi abil on lihtne tuletada valem kompleksarvu mooduli leidmiseks: . See valem on õige iga tähendused "a" ja "olla".

Märge : Kompleksarvu moodul on mõiste üldistus reaalarvu moodul, kui kaugus punktist lähtepunktini.

Kompleksarvu argument helistas nurk vahel positiivne pooltelg reaaltelg ja lähtepunktist vastavasse punkti tõmmatud raadiuse vektor. Ainsuse jaoks pole argumenti määratletud.

Vaadeldav põhimõte sarnaneb tegelikult polaarkoordinaatidega, kus polaarraadius ja polaarnurk määravad üheselt punkti.

Kompleksarvu argumenti tähistatakse standardselt: või

Geomeetriliste kaalutluste põhjal saame argumendi leidmiseks järgmise valemi:

. Tähelepanu! See valem töötab ainult parempoolses pooltasandis! Kui kompleksarv ei asu 1. või 4. koordinaatkvadrandis, on valem veidi erinev. Analüüsime ka neid juhtumeid.

Kuid kõigepealt vaatame lihtsamaid näiteid, kui kompleksarvud asuvad koordinaattelgedel.

Näide 7

Esitage kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul: ,,,. Teeme joonise:

Tegelikult on ülesanne suuline. Selguse huvides kirjutan ümber kompleksarvu trigonomeetrilise kuju:

Pidagem kindlalt meeles, moodul - pikkus(mis on alati mittenegatiivne), argument – nurk

1) Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leiame selle mooduli ja argumendi. See on ilmne. Ametlik arvutus valemiga:. On ilmne, et (arv asub otse reaalsel positiivsel poolteljel). Seega arv trigonomeetrilisel kujul:.

Pöördkontrolli toiming on selge nagu päev:

2) Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leiame selle mooduli ja argumendi. See on ilmne. Ametlik arvutus valemiga:. Ilmselgelt (või 90 kraadi). Joonisel on nurk tähistatud punasega. Seega on arv trigonomeetrilises vormis: .

Kasutades , on lihtne numbri algebralist kuju tagasi saada (samal ajal kontrollides):

3) Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leiame selle mooduli ja

argument. On ilmne, et. Ametlik arvutus valemi abil:

Ilmselgelt (või 180 kraadi). Joonisel on nurk tähistatud sinisega. Seega arv trigonomeetrilisel kujul:.

Eksam:

4) Ja neljas huvitav juhtum. See on ilmne. Ametlik arvutus valemiga:.

Argumendi saab kirjutada kahel viisil: Esimene viis: (270 kraadi) ja vastavalt: . Eksam:

Kuid järgmine reegel on tavalisem: Kui nurk on suurem kui 180 kraadi, siis kirjutatakse miinusmärgiga ja nurga vastupidine orientatsioon (“kerimine”): (miinus 90 kraadi), joonisel on nurk märgitud rohelisega. Seda on lihtne märgata

mis on sama nurga all.

Seega on kirje järgmisel kujul:

Tähelepanu! Mitte mingil juhul ei tohiks kasutada koosinuse paarsust, siinuse veidrust ja tähistust veelgi "lihtsusstada":

Muide, on kasulik meeles pidada trigonomeetriliste ja pöördtrigonomeetriliste funktsioonide välimust ja omadusi, võrdlusmaterjalid asuvad lehe viimastes lõikudes Põhiliste elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Ja kompleksnumbreid õpitakse palju lihtsamalt!

Lihtsaimate näidete kujundamisel peaksite selle kirjutama järgmiselt: : "on ilmne, et moodul on... on ilmne, et argument on...". See on tõesti ilmne ja seda on lihtne suuliselt lahendada.

Vaatleme levinumaid juhtumeid. Mooduliga probleeme pole, alati tuleks kasutada valemit. Kuid argumendi leidmise valemid on erinevad, see sõltub sellest, millises koordinaatveerandis arv asub. Sel juhul on võimalikud kolm võimalust (kasulik on need ümber kirjutada):

1) Kui (1. ja 4. koordinaatveerand ehk parempoolne tasapind), siis tuleb argument leida valemi abil.

2) Kui (2. koordinaatveerand), siis tuleb argument leida valemi abil .

3) Kui (3. koordinaatveerand), siis tuleb argument leida valemi abil .

Näide 8

Esitage kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul: ,,,.

Kuna on olemas valmisvalemid, pole joonist vaja lõpetada. Kuid on üks punkt: kui teil palutakse esitada arv trigonomeetrilisel kujul, siis Parem on igal juhul joonistada. Fakt on see, et ilma jooniseta lahenduse lükkavad õpetajad sageli tagasi, joonise puudumine on miinuse ja ebaõnnestumise tõsine põhjus.

Esitame arvud komplekssel kujul ning esimene ja kolmas number on iseseisvaks lahendamiseks.

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leiame selle mooduli ja argumendi.

Kuna (juhtum 2), siis

– siin tuleb ära kasutada arctangensi veidrust. Kahjuks ei sisalda tabel väärtust , nii et sellistel juhtudel tuleb argument jätta tülikale kujule: – numbrid trigonomeetrilisel kujul.

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leiame selle mooduli ja argumendi.

Alates (juhtum 1), siis (miinus 60 kraadi).

Seega:

– trigonomeetrilisel kujul olev arv.

Kuid siin, nagu juba märgitud, on puudused ära puutu.

Lisaks lõbusale graafilisele kontrollimeetodile on olemas ka analüütiline kontrollimine, mis viidi läbi juba näites 7. Kasutame trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel, võttes samas arvesse, et nurk on täpselt laua nurk (või 300 kraadi): – algebralisel kujul olevad arvud.

Esitage numbrid ise trigonomeetrilisel kujul. Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

Lõigu lõpus lühidalt kompleksarvu eksponentsiaalsest vormist.

Iga kompleksarvu (välja arvatud null) saab kirjutada eksponentsiaalsel kujul:

Kus on kompleksarvu moodul ja kompleksarvu argument.

Mida on vaja teha kompleksarvu esitamiseks eksponentsiaalsel kujul? Peaaegu sama: täitke joonis, leidke moodul ja argument. Ja kirjutage number vormile .

Näiteks eelmise näite numbri jaoks oleme leidnud mooduli ja argumendi:,. Seejärel kirjutatakse see arv eksponentsiaalsel kujul järgmiselt:.

Arv eksponentsiaalsel kujul näeb välja selline:

Number - Nii et:

Ainus nõuanne on ärge puudutage indikaatorit eksponendid, pole vaja tegureid ümber paigutada, sulgusid avada jne. Kompleksarv kirjutatakse eksponentsiaalsel kujul rangelt vormi järgi.

2.3. Kompleksarvude trigonomeetriline kuju

Määratagu vektor komplekstasandil arvuga .

Tähistame φ-ga positiivse pooltelje Ox ja vektori vahelist nurka (nurk φ loetakse positiivseks, kui seda mõõdetakse vastupäeva, ja negatiivseks muidu).

Tähistame vektori pikkust r-ga. Siis . Samuti tähistame

Nullist erineva kompleksarvu z kirjutamine vormile

nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks vormiks. Arvu r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja arvu φ nimetatakse selle kompleksarvu argumendiks ja tähistatakse Arg z-ga.

Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetriline vorm - (Euleri valem) - kompleksarvu kirjutamise eksponentsiaalne vorm:

Kompleksarvul z on lõpmata palju argumente: kui φ0 on arvu z mis tahes argument, siis kõik ülejäänud saab leida valemiga

Kompleksarvu puhul pole argumenti ja trigonomeetrilist vormi määratletud.

Seega on nullist erineva kompleksarvu argument võrrandisüsteemi mis tahes lahend:

(3)

Kompleksarvu z argumendi väärtust φ, mis rahuldab võrratusi, nimetatakse põhiväärtuseks ja tähistatakse arg z-ga.

Argumendid Arg z ja arg z on seotud

, (4)

Valem (5) on süsteemi (3) tagajärg, mistõttu kõik kompleksarvu argumendid rahuldavad võrdsust (5), kuid mitte kõik võrrandi (5) lahendid φ pole arvu z argumendid.

Nullist erineva kompleksarvu argumendi põhiväärtus leitakse valemite järgi:

Trigonomeetrilisel kujul kompleksarvude korrutamise ja jagamise valemid on järgmised:

. (7)

Kompleksarvu tõstmisel loomuliku astmeni kasutatakse Moivre'i valemit:

Kompleksarvu juure eraldamisel kasutatakse valemit:

, (9)

kus k = 0, 1, 2, …, n-1.

Ülesanne 54. Arvuta, kus .

Esitame selle avaldise lahenduse kompleksarvu kirjutamise eksponentsiaalsel kujul: .

Kui siis.

Siis , . Seetõttu siis Ja , Kus.

Vastus: , kell .

Ülesanne 55. Kirjutage kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; ja) .

Kuna kompleksarvu trigonomeetriline kuju on , siis:

a) Kompleksarvus: .

Sellepärast

b) , Kus,

G) , Kus,

e) .

ja) , A , See.

Sellepärast

Vastus: ; 4; ; ; ; ; .

Ülesanne 56. Leia kompleksarvu trigonomeetriline kuju

lase , .

Siis , , .

Alates ja , , siis , ja

Seetõttu, seega

Vastus: , Kus.

Ülesanne 57. Kasutades kompleksarvu trigonomeetrilist kuju, tee järgmised toimingud: .

Kujutame ette numbreid ja trigonomeetrilisel kujul.

1), kus Siis

Leidke peamise argumendi väärtus:

Asendame väärtused ja avaldisesse, saame

2) , kus siis

Siis

3) Leiame jagatise

Eeldades, et k = 0, 1, 2, saame soovitud juure kolm erinevat väärtust:

Kui siis

kui siis

kui siis .

Vastus: :

: .

Ülesanne 58. Olgu , , , erinevad kompleksarvud ja . Tõesta seda

a) number on reaalne positiivne arv;

b) võrdsus kehtib:

a) Esitame need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul:

Sest .

Teeskleme seda. Siis

Viimane avaldis on positiivne arv, kuna siinusmärgid sisaldavad intervalli numbreid.

alates numbrist tõeline ja positiivne. Tõepoolest, kui a ja b on kompleksarvud ja on reaalsed ja suuremad kui null, siis .

Pealegi,

seega on nõutav võrdsus tõestatud.

Ülesanne 59. Kirjutage arv algebralisel kujul .

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul ja seejärel leiame selle algebralise kuju. Meil on . Sest saame süsteemi:

See tähendab võrdsust: .

Rakendades Moivre'i valemit: ,

saame

Leitakse antud arvu trigonomeetriline kuju.

Kirjutame nüüd selle arvu algebralisel kujul:

Vastus: .

Ülesanne 60. Leia summa , ,

Arvestame summaga

Moivre'i valemit rakendades leiame

See summa on nimetajaga geomeetrilise progressiooni n liikme summa ja esimene liige .

Rakendades sellise progressi liikmete summa valemit, saame

Isoleerides viimase avaldise imaginaarse osa, leiame

Reaalosa eraldamisel saame ka järgmise valemi: , , .

Ülesanne 61. Leia summa:

A) ; b) .

Newtoni astendamise valemi järgi on meil

Kasutades Moivre'i valemit leiame:

Võrdsustades saadud avaldiste tegelikud ja kujuteldavad osad, saame:

Ja .

Neid valemeid saab kompaktsel kujul kirjutada järgmiselt:

, kus on arvu a täisarvuline osa.

Ülesanne 62. Leia kõik , mille jaoks .

Kuna , siis, kasutades valemit

, Juurte ekstraheerimiseks saame ,

Seega , ,

, .

Arvudele vastavad punktid asuvad raadiusega 2 ringi sisse kirjutatud ruudu tippudes, mille keskpunkt on punktis (0;0) (joonis 30).

Vastus: , ,

, .

Ülesanne 63. Lahenda võrrand , .

Tingimuse järgi; seetõttu pole sellel võrrandil juurt ja seepärast on see võrrandiga samaväärne.

Selleks, et arv z oleks selle võrrandi juur, peab arv olema arvu 1 juur.

Siit järeldame, et algsel võrrandil on võrdustest määratud juured

Seega

st. ,

Vastus: .

Ülesanne 64. Lahendage võrrand kompleksarvude hulgas.

Kuna arv ei ole selle võrrandi juur, siis on see võrrand võrdne võrrandiga

See tähendab, võrrand.

Kõik selle võrrandi juured saadakse valemist (vt ülesannet 62):

; ; ; ; .

Ülesanne 65. Joonistage komplekstasandile punktide hulk, mis rahuldavad võrratusi: . (2. viis probleemi 45 lahendamiseks)

Lase .

Identsete moodulitega kompleksarvud vastavad tasandi punktidele, mis asuvad ringjoonel, mille keskpunkt on alguspunktis, seega ebavõrdsus rahuldavad kõik punktid avatud rõngast, mida piiravad ringid, mille alguspunktis on ühine keskpunkt ja raadiused ning (joon. 31). Vastagu mõni komplekstasandi punkt arvule w0. Number , mille moodul on mitu korda väiksem kui moodul w0 ja argument on suurem kui argument w0. Geomeetrilisest vaatenurgast võib w1-le vastava punkti saada, kasutades homoteeti, mille keskpunkt on alguspunktis ja koefitsient, samuti pöördega alguspunkti suhtes nurga võrra vastupäeva. Nende kahe teisenduse rakendamisel rõnga punktidele (joonis 31) muutub viimane rõngaks, mida piiravad ringid, millel on sama keskpunkt ja raadiused 1 ja 2 (joonis 32).

Teisendamine rakendatakse paralleelse ülekande abil vektorisse. Punktis oleva keskpunktiga rõnga viimisel näidatud vektorisse saame sama suurusega rõnga, mille keskpunkt on punktis (joonis 22).

Kavandatud meetod, mis kasutab tasapinna geomeetriliste teisenduste ideed, on ilmselt vähem mugav kirjeldada, kuid on väga elegantne ja tõhus.

Ülesanne 66. Leia, kui .

Laske siis ja . Esialgne võrdsus saab vormi . Kahe kompleksarvu võrdsuse tingimusest saame , , millest , . Seega,.

Kirjutame arvu z trigonomeetrilisel kujul:

, Kus,. Moivre valemi järgi leiame .

Vastus: 64.

Ülesanne 67. Kompleksarvu jaoks leia kõik sellised kompleksarvud, et , ja .

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul:

. Siit, . Saadud arvu puhul võib olla võrdne või .

Esimesel juhul , teises

Vastus: , .

Ülesanne 68. Leia selliste arvude summa, mis . Palun märkige üks neist numbritest.

Pange tähele, et juba ülesande sõnastusest võib aru saada, et võrrandi juurte summa võib leida ilma juuri arvutamata. Tõepoolest, võrrandi juurte summa on koefitsient jaoks , mis on võetud vastupidise märgiga (üldistatud Vieta teoreem), st.

Õpilased, kooli dokumentatsioon, teevad järeldusi selle kontseptsiooni meisterlikkuse taseme kohta. Tehke kokkuvõte matemaatilise mõtlemise tunnuste uurimisest ja kompleksarvu mõiste kujunemise protsessist. Meetodite kirjeldus. Diagnostika: I etapp. Vestlus viidi läbi matemaatikaõpetajaga, kes õpetab 10. klassis algebrat ja geomeetriat. Vestlus leidis aset pärast seda, kui algusest oli mõnda aega möödas...

Resonants" (!)), mis sisaldab ka hinnangut enda käitumisele. 4. Kriitiline hinnang oma arusaamale olukorrast (kahtlused). 5. Lõpuks õiguspsühholoogia soovituste kasutamine (jurist arvestab sooritatud ametialaste tegevuste aspektid - professionaalne psühholoogiline valmisolek). Vaatleme nüüd juriidiliste faktide psühholoogilist analüüsi...

Trigonomeetrilise asendamise matemaatika ja väljatöötatud õppemetoodika efektiivsuse testimine. Tööetapid: 1. Valikkursuse väljatöötamine teemal „Trigonomeetrilise asendustöö rakendamine algebraülesannete lahendamisel“ süvamatemaatikaklasside õpilastega. 2. Väljatöötatud valikkursuse läbiviimine. 3. Diagnostilise testi läbiviimine...

Kognitiivsed ülesanded on mõeldud ainult olemasolevate õppevahendite täiendamiseks ja peavad olema sobivas kombinatsioonis kõigi traditsiooniliste õppeprotsessi vahendite ja elementidega. Humanitaarainete õpetamise haridusprobleemide erinevus matemaatikaülesannetest täppisülesannetest seisneb ainult selles, et ajalooülesannetes puuduvad valemid, ranged algoritmid jms, mis raskendab nende lahendamist. ...

Tehted algebralisel kujul kirjutatud kompleksarvudega

Kompleksarvu algebraline vorm z =(a,b).nimetatakse vormi algebraliseks avaldiseks

z = a + bi.

Aritmeetilised toimingud kompleksarvudega z 1 = a 1 +b 1 i Ja z 2 = a 2 +b 2 i, mis on kirjutatud algebralises vormis, viiakse läbi järgmiselt.

1. Kompleksarvude summa (vahe).

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙ mina,

need. liitmine (lahutamine) toimub vastavalt polünoomide liitmise reeglile sarnaste liikmete redutseerimisega.

2. Kompleksarvude korrutis

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙ mina,

need. korrutamine toimub polünoomide korrutamise tavapärase reegli järgi, võttes arvesse asjaolu, et i 2 = 1.

3. Kahe kompleksarvu jagamine toimub järgmise reegli järgi:

, (z 2 ≠ 0),

need. jagamine toimub dividendi ja jagaja korrutamisel jagaja konjugaatarvuga.

Kompleksarvude astendamine on defineeritud järgmiselt:

Seda on lihtne näidata

Näited.

1. Leidke kompleksarvude summa z 1 = 2 – i Ja z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ mina)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Leidke kompleksarvude korrutis z 1 = 2 – 3i Ja z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3ma∙ 5i = 7+22i.

3. Leidke jagatis z divisjonist z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Lahendage võrrand: , x Ja y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Kompleksarvude võrdsuse tõttu on meil:

kus x =–1 , y= 4.

5. Arvutage: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,i -2 .

6. Arvutage, kui .

7. Arvutage arvu pöördväärtus z=3-i.

Kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul

Keeruline tasapind nimetatakse tasapinnaks ristkoordinaatidega ( x, y), kui iga punkt koordinaatidega ( a, b) on seotud kompleksarvuga z = a + bi. Sel juhul nimetatakse abstsisstelge tegelik telg, ja ordinaattelg on kujuteldav. Siis iga kompleksarv a+bi geomeetriliselt kujutatud tasapinnal punktina A (a, b) või vektor.

Seega punkti asend A(ja seega ka kompleksarv z) saab määrata vektori | pikkusega | = r ja nurk j, mille moodustab vektor | | reaaltelje positiivse suunaga. Vektori pikkust nimetatakse kompleksarvu moodul ja seda tähistatakse | z |=r ja nurk j helistas kompleksarvu argument ja on määratud j = arg z.

On selge, et | z| ³ 0 ja | z | = 0 Û z = 0.

Jooniselt fig. 2 on selge, et.

Kompleksarvu argument määratakse mitmetähenduslikult, kuid täpsusega 2 pk, kÎ Z.

Jooniselt fig. 2 on ka selge, et kui z=a+bi Ja j=arg z, See

cos j =, patt j =, tg j = .

Kui zÎR Ja z> 0, siis arg z = 0 +2pk;

Kui z ОR Ja z< 0, siis arg z = p + 2pk;

Kui z = 0,arg z määramata.

Argumendi põhiväärtus määratakse intervallil 0 £ arg z 2 naela p,

või -lk£ arg z £ p.

Näited:

1. Leidke kompleksarvude moodul z 1 = 4 – 3i Ja z 2 = –2–2i.