Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az F(x) függvény, amely minden x esetén kifejezi annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó felveszi az értéket., kisebb x

2.5. példa. Adott egy valószínűségi változó eloszlási sorozata

Keresse meg és ábrázolja grafikusan az eloszlási függvényét. Megoldás. A meghatározás szerint

F(jc) = 0 at x x

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 4 °C-on F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 °C-on x > 5.

Tehát (lásd a 2.1. ábrát):

Az elosztási függvény tulajdonságai:

1. Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye egy nulla és egy közötti nemnegatív függvény:

2. Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a teljes numerikus tengelyen nem csökkenő függvény, azaz. nál nél x 2 >x

3. Mínusz végtelennél az eloszlásfüggvény egyenlő nullával, plusz végtelennél eggyel, azaz.

4. Egy valószínűségi változó eltalálásának valószínűsége x az intervallumban egyenlő valószínűségi sűrűségének egy bizonyos integráljával A előtt b(lásd 2.2. ábra), i.e.

Rizs. 2.2

3. Egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye (lásd 2.3. ábra) a valószínűségi sűrűséggel fejezhető ki a következő képlet szerint:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. A folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének végtelen határaiban lévő helytelen integrál egyenlő egységgel:

Geometriai tulajdonságok / és 4 a valószínűségi sűrűség azt jelenti, hogy a grafikonja az eloszlási görbe - nem az x tengely alatt van, és az ábra teljes területe, az eloszlási görbe és az x tengely határolja, egyenlő eggyel.

Folyamatos valószínűségi változóhoz x várható érték M(X)és variancia D(X) képletek határozzák meg:

(ha az integrál abszolút konvergens); vagy

(ha a fenti integrálok konvergálnak).

A fent említett numerikus jellemzők mellett a kvantilisek és százalékpontok fogalmát használják a valószínűségi változó leírására.

Kvantilis szint q(vagy q-kvantilis) olyan értékx qvalószínűségi változó, amelynél az eloszlásfüggvénye felveszi az értéket, egyenlő q-val, azaz

• 100A q%-ou pont az X~ q kvantilis.
• ? Példa 2.8.

A 2.6. példa adatai alapján keresse meg a kvantilist xqj és a 30%-os valószínűségi változó pont X.

Megoldás. A (2.16) definíció szerint F(xo t3)= 0,3, azaz.

~I~ = 0.3, honnan származik a kvantilis? x 0 3 = 0,6. 30% valószínűségi változó pont x, vagy X)_o,z = kvantilis xoj" hasonlóan található a ^ = 0,7 egyenletből. ahol *,= 1,4. ?

A valószínűségi változó numerikus jellemzői között vannak a kezdeti v* és központi R* k-edik rend pillanatai, amelyet diszkrét és folytonos valószínűségi változókra a következő képletekkel határozunk meg:

Kiemelhetjük a diszkrét valószínűségi változók eloszlásának leggyakoribb törvényeit:

• Binomiális eloszlás törvénye
• Poisson-eloszlási törvény
• Geometriai eloszlási törvény
• Hipergeometriai eloszlási törvény

A diszkrét valószínűségi változók adott eloszlásainál az értékük valószínűségét, valamint a numerikus jellemzőket (matematikai elvárás, variancia stb.) bizonyos „képletek” segítségével számítjuk ki. Ezért nagyon fontos ismerni az ilyen típusú eloszlásokat és alapvető tulajdonságaikat.

1. Binomiális eloszlás törvénye.

A $X$ diszkrét valószínűségi változóra a binomiális valószínűség-eloszlás törvénye vonatkozik, ha $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ értékeket vesz fel $P\left(X=k\right)= valószínűséggel C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Valójában a $X$ valószínűségi változó a $A$ esemény előfordulásának száma $n$ független kísérletekben. A $X$ valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(tömb)$

Egy ilyen valószínűségi változónál a matematikai elvárás $M\left(X\right)=np$, a variancia $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Példa . A családnak két gyermeke van. Feltételezve, hogy egy fiú és egy lány születésének valószínűsége 0,5 $ $, keresse meg a $\xi$ valószínűségi változó eloszlási törvényét - a fiúk száma a családban.

Legyen a $\xi $ valószínűségi változó a fiúk száma a családban. A $\xi által felvehető értékek:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Ezeknek az értékeknek a valószínűségét a $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) képlet segítségével találhatja meg )$, ahol $n =2$ a független kísérletek száma, $p=0.5$ pedig egy esemény bekövetkezésének valószínűsége $n$ próbasorozatban. Kapunk:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

Ekkor a $\xi $ valószínűségi változó eloszlási törvénye a $0,\ 1,\ 2$ értékek és azok valószínűségei közötti megfelelés, azaz:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(tömb)$

Az eloszlási törvényben szereplő valószínűségek összegének egyenlőnek kell lennie: $1$, azaz $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 USD.

Várakozás $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variancia $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, szórás $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\kb. 0.707 $.

2. Poisson-eloszlási törvény.

Ha egy diszkrét $X$ valószínűségi változó csak nem negatív egész értékeket vehet fel $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ valószínűséggel $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Megjegyzés. Ennek az eloszlásnak az a sajátossága, hogy a kísérleti adatok alapján $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ becsléseket találunk, ha a kapott becslések közel vannak egymáshoz, akkor okunk azt állítani, hogy a valószínűségi változó a Poisson-eloszlási törvény hatálya alá tartozik.

Példa . Példák a Poisson-eloszlási törvény hatálya alá tartozó valószínűségi változókra: a holnapi benzinkút által kiszolgált autók száma; a gyártott termékek hibás tételeinek száma.

Példa . A gyár 500 dollárnyi terméket küldött a bázisra. A termék szállítás közbeni sérülésének valószínűsége 0,002 USD. Határozzuk meg a sérült termékek számával egyenlő $X$ valószínűségi változó eloszlási törvényét! mi a $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Legyen a diszkrét $X$ valószínűségi változó a sérült termékek száma. Egy ilyen valószínűségi változóra a Poisson-eloszlási törvény vonatkozik a $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ paraméterrel. Az értékek valószínűsége egyenlő: $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

A $X$ valószínűségi változó eloszlási törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(tömb)$

Egy ilyen valószínűségi változónál a matematikai elvárás és szórás egyenlő egymással és egyenlő a $\lambda $ paraméterrel, azaz $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Geometriai eloszlási törvény.

Ha egy diszkrét $X$ valószínűségi változó csak $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ természetes értékeket vehet fel $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) jobbra)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, akkor azt mondják, hogy egy ilyen $X$ valószínűségi változóra vonatkozik a valószínűség-eloszlás geometriai törvénye. Valójában a geometriai eloszlás Bernoulli-teszt az első sikerig.

Példa . Példák a geometriai eloszlású valószínűségi változókra: a lövések száma a cél első találata előtt; eszköztesztek száma az első meghibásodásig; az érmefeldobások száma az első fej felbukkanásáig stb.

A geometriai eloszlás alá tartozó valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása rendre egyenlő a következővel: $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ 2 dollár.

Példa . Az ívóhely felé vezető halmozgás során 4 dolláros zár található. Annak a valószínűsége, hogy a halak áthaladnak az egyes zsilipeken $p=3/5$. Szerkessze meg a $X$ valószínűségi változó eloszlási sorozatát - a hal által áthaladt zsilipek számát a zsilipnél történt első visszatartás előtt. Keresse meg a következőt: $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Legyen a $X$ valószínűségi változó azoknak a zsilipeknek a száma, amelyeket a hal áthaladt a zsilipnél történt első elfogás előtt. Egy ilyen valószínűségi változóra a valószínűségi eloszlás geometriai törvénye vonatkozik. Azok az értékek, amelyeket a $X valószínűségi változó felvehet: $ 1, 2, 3, 4. Ezeknek az értékeknek a valószínűségét a következő képlet segítségével számítjuk ki: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, ahol: $ p=2/5$ - a halak visszatartásának valószínűsége a zsilipen, $q=1-p=3/5$ - a halak átjutásának valószínűsége a zsilipen, $k=1,\ 2,\3,\4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^0=((2)\ (5) felett=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over(5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\(5) felett)\jobbra))^4=((27)\(125))=0,216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i és 1 és 2 és 3 és 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(tömb)$

Várható érték:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Diszperzió:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2176\jobbra))^2+0,24\cdot (\bal(2-2176\jobb))^2+0,144\cdot (\bal(3-2176\jobb))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2176\right))^2\kb. 1.377.$

Szórás:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\körülbelül 1173.$

4. Hipergeometriai eloszlási törvény.

Ha $N$ objektumok, amelyek között $m$ objektumok adott tulajdonsággal rendelkeznek. A $n$ objektumok véletlenszerűen, visszaadás nélkül kerülnek lekérésre, köztük $k$ objektumok is voltak, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek. A hipergeometrikus eloszlás lehetővé teszi annak a valószínűségét, hogy a mintában pontosan $k$ objektumok rendelkeznek egy adott tulajdonsággal. Legyen a $X$ valószínűségi változó azon objektumok száma a mintában, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek. Ezután a $X$ valószínűségi változó értékeinek valószínűsége:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Megjegyzés. Az Excel $f_x$ függvényvarázsló HYPERGEOMET statisztikai függvénye lehetővé teszi annak meghatározását, hogy bizonyos számú teszt sikeres lesz.

$f_x\to$ statisztikai$\to$ HIPERGEOMET$\to$ rendben. Megjelenik egy párbeszédpanel, amelyet ki kell töltenie. Az oszlopban Sikerek_száma_mintában adja meg a $k$ értéket. minta nagysága egyenlő: $n$. Az oszlopban Együttes_sikerek_száma adja meg a $m$ értéket. népesség egyenlő: $N$.

Egy $X$ diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása, a geometriai eloszlási törvény hatálya alatt, rendre egyenlő: $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Példa . A bank hitelosztályán 5 fő pénzügyi felsőfokú végzettségű és 3 fő jogi felsőfokú végzettségű szakember dolgozik. A bank vezetése úgy döntött, hogy 3 szakembert küld ki képzettségük javítására, véletlenszerű sorrendben.

a) Készítsen elosztási sorozatot a felsőfokú pénzügyi végzettséggel rendelkező szakemberek számára, akik készségeik fejlesztésére küldhetők;

b) Határozza meg ennek az eloszlásnak a numerikus jellemzőit!

Legyen a $X$ valószínűségi változó a kiválasztott három közül a felsőfokú pénzügyi végzettséggel rendelkező szakemberek száma. Az értékek, amelyeket $X vehet fel: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ez a $X$ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlás szerint oszlik el a következő paraméterekkel: $N=8$ - populáció mérete, $m=5$ - sikerek száma a sokaságban, $n=3$ - mintanagyság, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - a mintában szereplő sikerek száma. Ekkor a $P\left(X=k\right)$ valószínűségek kiszámíthatók a következő képlettel: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ felett. Nekünk van:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\körülbelül 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\körülbelül 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\körülbelül 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\körülbelül 0,179.$

Ekkor a $X$ valószínűségi változó eloszlási sorozata:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i és 0 és 1 és 2 és 3 \\
\hline
p_i és 0,018 és 0,268 és 0,536 és 0,179 \\
\hline
\end(tömb)$

Számítsuk ki a $X$ valószínűségi változó numerikus jellemzőit a hipergeometriai eloszlás általános képleteivel!

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\left(X\right)=((nm\bal(1-((m)\over (N))\right)\bal(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\jobbra))\over (8-1))=((225)\over (448))\körülbelül 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\körülbelül 0,7085.$

Véletlen változó Változónak nevezzük azt a változót, amely minden teszt eredményeként véletlenszerű okokból egy korábban ismeretlen értéket vesz fel. A véletlenszerű változókat nagy latin betűkkel jelöljük: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Típusuk szerint a valószínűségi változók diszkrétÉs folyamatos.

Diszkrét valószínűségi változó- ez egy valószínűségi változó, amelynek értéke nem lehet több, mint megszámlálható, azaz véges vagy megszámlálható. A megszámlálhatóság alatt azt értjük, hogy egy valószínűségi változó értékei számozhatók.

1. példa . Íme példák diszkrét valószínűségi változókra:

a) a célponton elért találatok száma $n$ lövéssel, itt a lehetséges értékek: $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) az érme feldobásakor eldobott emblémák száma, itt a lehetséges értékek: $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) a fedélzetre érkező hajók száma (megszámlálható értékkészlet).

d) az alközpontba érkező hívások száma (megszámlálható értékkészlet).

1. Egy diszkrét valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvénye.

Egy diszkrét $X$ valószínűségi változó $x_1,\dots ,\ x_n$ értékeket vehet fel $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ valószínűségekkel. Ezen értékek és valószínűségeik közötti megfelelést nevezzük diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye. Ezt a megfelelést általában egy táblázat segítségével adjuk meg, amelynek első sora a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékeket jelöli, a második sor pedig a $p_1,\dots ,\ p_n$ valószínűségeket tartalmazza. ezeket az értékeket.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(tömb)$

2. példa . Legyen a $X$ valószínűségi változó a kockafeldobáskor dobott pontok száma. Egy ilyen $X$ valószínűségi változó a következő értékeket veheti fel: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Mindezen értékek valószínűsége 1/6 $. Ekkor a $X$ valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(tömb)$

Megjegyzés. Mivel egy diszkrét $X$ valószínűségi változó eloszlási törvényében a $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ események egy teljes eseménycsoportot alkotnak, ezért a valószínűségek összegének egyenlőnek kell lennie eggyel, azaz $ \sum(p_i)=1$.

2. Diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása.

Valószínűségi változó elvárása„központi” jelentését határozza meg. Egy diszkrét valószínűségi változó esetén a matematikai elvárást a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékek és az ezeknek az értékeknek megfelelő $p_1,\pontok ,\ p_n$ valószínűségek szorzataként számítjuk ki, azaz : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Az angol nyelvű irodalomban egy másik $E\left(X\right)$ jelölést használnak.

A matematikai várakozás tulajdonságai$M\bal(X\jobb)$:

1. $M\left(X\right)$ a $X$ valószínűségi változó legkisebb és legnagyobb értéke között van.
2. Egy konstans matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval, azaz. $M\left(C\right)=C$.
3. A konstans tényező kivehető a matematikai elvárás előjeléből: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. A valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik összegével: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik szorzatával: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3. példa . Keressük meg a $2$ példából a $X$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\(6) felett)+4\cdot ((1)\(6) felett)+5\cdot ((1)\(6) felett)+6\cdot ((1) )\over(6))=3,5.$$

Megfigyelhetjük, hogy $M\left(X\right)$ a $X$ valószínűségi változó legkisebb ($1$) és legnagyobb ($6$) értéke között van.

4. példa . Ismeretes, hogy az $X$ valószínűségi változó matematikai elvárása: $M\left(X\right)=2$. Határozzuk meg a $3X+5$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

A fenti tulajdonságok felhasználásával $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 USD.

5. példa . Ismeretes, hogy az $X$ valószínűségi változó matematikai elvárása: $M\left(X\right)=4$. Határozzuk meg a $2X-9$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

A fenti tulajdonságok felhasználásával megkapjuk: $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója.

Az azonos matematikai elvárásokkal rendelkező valószínűségi változók lehetséges értékei eltérően szóródhatnak az átlagos értékeik körül. Például két diákcsoportban a valószínűségszámítás vizsgaátlaga 4 lett, de az egyik csoportban mindenki jó tanulónak bizonyult, a másik csoportban pedig csak C tanuló és kitűnő tanuló volt. Ezért szükség van egy valószínűségi változó numerikus karakterisztikájára, amely megmutatja a valószínűségi változó értékeinek terjedését a matematikai elvárása körül. Ez a jellemző a diszperzió.

Egy diszkrét valószínűségi változó varianciája$X$ egyenlő:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Az angol szakirodalomban a $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ jelölést használják. Nagyon gyakran a $D\left(X\right)$ szórást a $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) képlettel számítják ki balra(X \jobbra)\jobbra))^2$.

Diszperziós tulajdonságok$D\bal(X\jobb)$:

1. A szórás mindig nagyobb vagy egyenlő nullával, azaz. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Az állandó szórása nulla, azaz. $D\left(C\right)=0$.
3. A konstans tényező kivehető a diszperzió előjeléből, feltéve, hogy négyzetes, azaz. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. A független valószínűségi változók összegének szórása egyenlő szórásaik összegével, azaz. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. A független valószínűségi változók különbségének szórása egyenlő szórásaik összegével, azaz. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

6. példa . Számítsuk ki a $X$ valószínűségi változó varianciáját a $2$ példából.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\bal(1-3.5\jobb))^2+((1)\over(6))\cdot (\bal(2-3.5\jobb))^2+ \pontok +( (1)\(6) felett)\cdot (\bal(6-3.5\jobb))^2=((35)\(12) felett)\körülbelül 2.92.$$

7. példa . Ismeretes, hogy a $X$ valószínűségi változó varianciája egyenlő: $D\left(X\right)=2$. Határozzuk meg a $4X+1$ valószínűségi változó varianciáját.

A fenti tulajdonságokat használva a következőt kapjuk: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\bal (X\jobb)=16\cdot 2=32$.

8. példa . Ismeretes, hogy a $X$ valószínűségi változó varianciája egyenlő: $D\left(X\right)=3$. Határozzuk meg a $3-2X$ valószínűségi változó varianciáját.

A fenti tulajdonságokat használva a következőt kapjuk: $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\bal(X\jobb)=4\cdot 3=12$.

4. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

A diszkrét valószínűségi változó eloszlási sorozat formájában történő ábrázolásának módja nem az egyetlen, és ami a legfontosabb, nem univerzális, mivel folytonos valószínűségi változót nem lehet eloszlássorozattal megadni. Van egy másik módja a valószínűségi változó ábrázolásának - az eloszlási függvény.

Elosztási funkció a $X$ valószínűségi változót $F\left(x\right)$ függvénynek nevezzük, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy a $X$ valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel valamely $x$ rögzített értéknél, azaz $F\ left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Az eloszlási függvény tulajdonságai:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Annak a valószínűsége, hogy a $X$ valószínűségi változó értéket vesz fel a $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ intervallumból, egyenlő az eloszlásfüggvény értékei közötti különbséggel ennek a végén intervallum: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - nem csökkenő.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

9. példa . Keressük meg a $2$ példából a $F\left(x\right)$ eloszlási függvényt a $X$ diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényéhez.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(tömb)$

Ha $x\le 1$, akkor nyilvánvalóan $F\left(x\right)=0$ (beleértve a $x=1$-t is $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Ha 1 dollár< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ha 2 dollár< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ha 3 dollár< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ha 4 dollár< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ha 5 dollár< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ha $x > 6 $, akkor $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\bal(X=4\jobb)+P\bal(X=5\jobb)+P\bal(X=6\jobb)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Tehát $F(x)=\left\(\begin(mátrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,at\1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, at\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(mátrix)\jobbra.$

FORGALMAZÁS TÖRVÉNYE ÉS JELLEMZŐI

VÉLETLEN VÁLTOZÓK

Véletlen változók, osztályozásuk és leírási módszerek.

A véletlenszerű mennyiség olyan mennyiség, amely kísérlet eredményeként felvehet ilyen vagy olyan értéket, amely azonban nem ismert előre. Valószínűségi változóhoz ezért csak olyan értékeket adhatunk meg, amelyek közül egyet a kísérlet eredményeként biztosan felvesz. A következőkben ezeket az értékeket a valószínűségi változó lehetséges értékeinek nevezzük. Mivel egy valószínűségi változó mennyiségileg jellemzi egy kísérlet véletlenszerű eredményét, egy véletlen esemény mennyiségi jellemzőjének tekinthető.

A véletlenszerű változókat általában a latin ábécé nagybetűivel, például X..Y..Z-vel jelölik, lehetséges értékeit pedig a megfelelő kis betűkkel.

Háromféle valószínűségi változó létezik:

Diszkrét; Folyamatos; Vegyes.

Diszkrét egy valószínűségi változó, amelynek lehetséges értékei egy megszámlálható halmazt alkotnak. Azt a halmazt viszont, amelynek elemei számozhatók, megszámlálhatónak nevezzük. A „diszkrét” szó a latin discretus szóból származik, jelentése „szakadt, különálló részekből álló”.

1. példa: Egy diszkrét valószínűségi változó a hibás X alkatrészek száma egy n-termék kötegében. Valójában ennek a valószínűségi változónak a lehetséges értékei 0-tól n-ig terjedő egész számok sorozata.

2. példa: A diszkrét valószínűségi változó a célpont első találata előtti lövések száma. Itt is, mint az 1. példában, a lehetséges értékek számozhatók, bár határesetben a lehetséges érték végtelenül nagy szám.

Folyamatos egy valószínűségi változó, amelynek lehetséges értékei folyamatosan kitöltik a numerikus tengely egy bizonyos intervallumát, amelyet néha e valószínűségi változó létezési intervallumának neveznek. Így a létezés bármely véges intervallumán egy folytonos valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma végtelenül nagy.

3. példa Folyamatos valószínűségi változó egy vállalkozás havi villamosenergia-fogyasztása.

4. példa A folytonos valószínűségi változó a magasságmérővel történő magasságmérés hibája. A magasságmérő működési elvéből tudható meg, hogy a hiba 0-2 m tartományban van, ezért ennek a valószínűségi változónak a létezési intervalluma 0 és 2 m közötti intervallum.

A valószínűségi változók eloszlásának törvénye.

Egy valószínűségi változó akkor tekinthető teljesen meghatározottnak, ha lehetséges értékei a numerikus tengelyen vannak feltüntetve, és az eloszlási törvény létrejött.

Valószínűségi változó eloszlásának törvénye egy olyan reláció, amely kapcsolatot hoz létre egy valószínűségi változó lehetséges értékei és a megfelelő valószínűségek között.

Egy valószínűségi változóról azt mondjuk, hogy egy adott törvény szerint eloszlik, vagy egy adott eloszlási törvény hatálya alá tartozik. Eloszlási törvényként számos valószínűséget, eloszlásfüggvényt, valószínűségi sűrűséget és karakterisztikus függvényt használnak.

Az eloszlási törvény egy valószínűségi változó teljes valószínűségi leírását adja. Az eloszlási törvény szerint a kísérlet előtt meg lehet ítélni, hogy egy valószínűségi változó melyik lehetséges értéke jelenik meg gyakrabban és melyik ritkábban.

Egy diszkrét valószínűségi változó esetén az eloszlási törvény megadható táblázat formájában, analitikusan (képlet formájában) és grafikusan.

A diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényének megadásának legegyszerűbb formája egy táblázat (mátrix), amely növekvő sorrendben felsorolja a valószínűségi változó összes lehetséges értékét és a hozzájuk tartozó valószínűségeket, pl.

Az ilyen táblázatot diszkrét valószínűségi változó eloszlási sorozatának nevezzük. 1

Az X 1, X 2,..., X n események, amelyek abból állnak, hogy a teszt eredményeként az X valószínűségi változó x 1, x 2,... x n értékeket vesz fel, inkonzisztensek és az egyetlen lehetségesek (mivel a táblázat egy valószínűségi változó összes lehetséges értékét felsorolja), pl. alkotnak egy teljes csoportot. Ezért valószínűségeik összege egyenlő 1-gyel. Így bármely diszkrét valószínűségi változóra

(Ez az egység valahogy eloszlik a valószínűségi változó értékei között, ezért az "eloszlás" kifejezés).

Az eloszlássorozat grafikusan ábrázolható, ha a valószínűségi változó értékeit az abszcissza tengely mentén, a megfelelő valószínűségeket pedig az ordináta tengely mentén ábrázoljuk. A kapott pontok összekapcsolása a valószínűségi eloszlás sokszögének vagy sokszögének nevezett szaggatott vonalat képez (1. ábra).

Példa A lottó tartalma: egy 5000 den értékű autó. egységek, 4 TV 250 den-ért. egységek, 5 db 200 den értékű videórögzítő. egységek Összesen 1000 jegy kel el 7 napra. egységek Készítsen felosztási törvényt az egy szelvényt vásárló lottórésztvevő nettó nyereményére.

Megoldás. Az X valószínűségi változó lehetséges értékei - a jegyenkénti nettó nyeremény - 0-7 = -7 pénz. egységek (ha nem nyert a jegy), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. egységek (ha a jegyen videomagnó, tévé vagy autó nyereménye szerepel). Figyelembe véve, hogy 1000 jegyből a nem nyertesek száma 990, a feltüntetett nyeremények pedig 5, 4 és 1, és a valószínűség klasszikus definícióját használva kapjuk.