4. uzdevums.

Viena no 4√6 garuma paralelograma diagonālēm veido 60° leņķi ar pamatni, bet otrā diagonāle ar to pašu pamatni veido 45° leņķi. Atrodiet otro diagonāli.

Risinājums.

1. AO = 2√6.

2. Pielietot sinusa teorēmu trijstūrim AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Atbilde: 12.

5. uzdevums.

Paralelogramam ar malām 5√2 un 7√2 mazākais leņķis starp diagonālēm ir vienāds ar paralelograma mazāko leņķi. Atrodiet diagonāļu garumu summu.

Risinājums.

Pieņemsim, ka paralelograma diagonāles ir d 1, d 2, un leņķis starp diagonālēm un paralelograma mazāko leņķi ir φ.

1. Saskaitīsim divus dažādus
veidus.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Iegūstam vienādību 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f vai

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Izmantojot attiecību starp paralelograma malām un diagonālēm, rakstām vienādību

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Izveidosim sistēmu:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Reiziniet sistēmas otro vienādojumu ar 2 un pievienojiet pirmajam.

Mēs iegūstam (d 1 + d 2) 2 = 576. Tādējādi Id 1 + d 2 I = 24.

Tā kā d 1, d 2 ir paralelograma diagonāļu garumi, tad d 1 + d 2 = 24.

Atbilde: 24.

6. uzdevums.

Paralelograma malas ir 4 un 6. Akūtais leņķis starp diagonālēm ir 45 o. Atrodiet paralelograma laukumu.

Risinājums.

1. No trijstūra AOB, izmantojot kosinusa teorēmu, rakstām sakarību starp paralelograma malu un diagonālēm.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Līdzīgi mēs rakstām relāciju trijstūrim AOD.

Mēs to ņemam vērā<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Iegūstam vienādojumu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Mums ir sistēma
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Atņemot pirmo no otrā vienādojuma, iegūstam 2d 1 d 2 √2 = 80 vai

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Piezīme:Šajā un iepriekšējā uzdevumā sistēma nav jāatrisina pilnībā, paredzot, ka šajā uzdevumā ir nepieciešams diagonāļu reizinājums, lai aprēķinātu laukumu.

Atbilde: 10.

7. uzdevums.

Paralelograma laukums ir 96, un tā malas ir 8 un 15. Atrodiet mazākās diagonāles kvadrātu.

Risinājums.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Veiksim aizstāšanu formulā.

Mēs iegūstam 96 = 8 15 sin VAD. Līdz ar to grēks VAD = 4/5.

2. Atrast cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Atbilstoši uzdevuma stāvoklim mēs atrodam mazākās diagonāles garumu. Diagonāle BD būs mazāka, ja leņķis BAD ir akūts. Tad cos BAD = 3/5.

3. No trijstūra ABD, izmantojot kosinusa teorēmu, atrodam diagonāles BD kvadrātu.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 \u003d 145.

Atbilde: 145.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt ģeometrijas problēmu?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Paralēlogramma ir četrstūris, kura malas ir pa pāriem paralēlas.

Šajā attēlā pretējās malas un leņķi ir vienādi viens ar otru. Paralelograma diagonāles krustojas vienā punktā un sadala to uz pusēm. Paralēlogrammas apgabala formulas ļauj atrast vērtību, izmantojot malas, augstumu un diagonāles. Paralelogramu var attēlot arī īpašos gadījumos. Tos uzskata par taisnstūri, kvadrātu un rombu.
Pirmkārt, aplūkosim piemēru paralelograma laukuma aprēķināšanai pēc augstuma un puses, uz kuru tas ir nolaists.

Šī lieta tiek uzskatīta par klasisku, un tai nav nepieciešama papildu izmeklēšana. Labāk ir ņemt vērā formulu laukuma aprēķināšanai caur divām malām un leņķi starp tām. To pašu metodi izmanto aprēķinos. Ja ir norādītas malas un leņķis starp tām, tad laukumu aprēķina šādi:

Pieņemsim, ka mums ir dots paralelograms ar malām a = 4 cm, b = 6 cm. Leņķis starp tām ir α = 30°. Atradīsim apgabalu:

Paralelograma laukums diagonāļu izteiksmē

Paralelograma laukuma formula diagonāļu izteiksmē ļauj ātri atrast vērtību.
Aprēķiniem ir nepieciešama leņķa vērtība, kas atrodas starp diagonālēm.

Apsveriet piemēru paralelograma laukuma aprēķināšanai caur diagonālēm. Dots paralelograms ar diagonālēm D = 7 cm, d = 5 cm. Leņķis starp tām ir α = 30°. Aizvietojiet datus formulā:

Piemērs paralelograma laukuma aprēķināšanai caur diagonāli mums deva lielisku rezultātu - 8,75.

Zinot paralelograma laukuma formulu diagonāles izteiksmē, jūs varat atrisināt daudzas interesantas problēmas. Apskatīsim vienu no tiem.

Uzdevums: Dots paralelograms ar platību 92 kv. skatīt Punkts F atrodas tā malas vidū BC. Atradīsim trapeces ADFB laukumu, kas atradīsies mūsu paralelogramā. Sākumā uzzīmēsim visu, ko saņēmām atbilstoši nosacījumiem.
Dosimies pie risinājuma:

Saskaņā ar mūsu nosacījumiem ah \u003d 92, un attiecīgi mūsu trapeces laukums būs vienāds ar

Pirms mēs uzzinām, kā atrast paralelograma laukumu, mums jāatceras, kas ir paralelograms un ko sauc par tā augstumu. Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas (atrodas uz paralēlām taisnēm). Perpendikulu, kas novilkts no patvaļīga punkta pretējā pusē līnijai, kas satur šo malu, sauc par paralelograma augstumu.

Kvadrāts, taisnstūris un rombs ir īpaši paralelograma gadījumi.

Paralelograma laukums ir apzīmēts kā (S).

Formulas paralelograma laukuma atrašanai

S=a*h, kur a ir bāze, h ir augstums, kas tiek pievilkts līdz pamatnei.

S=a*b*sinα, kur a un b ir bāzes, un α ir leņķis starp bāzēm a un b.

S \u003d p * r, kur p ir pusperimetrs, r ir apļa rādiuss, kas ierakstīts paralelogramā.

Paralelograma laukums, ko veido vektori a un b, ir vienāds ar doto vektoru reizinājuma moduli, proti:

Apsveriet piemēru Nr. 1: ir dots paralelograms, kura mala ir 7 cm, bet augstums ir 3 cm. Kā atrast paralelograma laukumu, mums ir nepieciešama risināšanas formula.

Tātad S = 7x3. S=21. Atbilde: 21 cm2.

Apsveriet piemēru Nr. 2: pamatnes ir 6 un 7 cm, un leņķis starp pamatnēm ir 60 grādi. Kā atrast paralelograma laukumu? Atrisināšanai izmantotā formula:

Tādējādi vispirms atrodam leņķa sinusu. Sinus 60 \u003d 0,5, attiecīgi S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Atbilde: 21 cm 2.

Es ceru, ka šie piemēri jums palīdzēs problēmu risināšanā. Un atcerieties, galvenais ir formulu zināšanas un vērība

Paralelogrammas laukums

1. teorēma

Paralelograma laukums tiek definēts kā tā malas garuma reizinājums ar tai novilkto augstumu.

kur $a$ ir paralelograma mala, $h$ ir šīs malas augstums.

Pierādījums.

Dosim paralelogramu $ABCD$ ar $AD=BC=a$. Uzzīmēsim augstumus $DF$ un $AE$ (1. att.).

1. attēls.

Ir skaidrs, ka skaitlis $FDAE$ ir taisnstūris.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Tāpēc, tā kā $CD=AB,\DF=AE=h$, $\trijstūris BAE=\trijstūris CDF$, ar $I$ trijstūra vienādības tests. Tad

Tātad saskaņā ar taisnstūra laukuma teorēmu:

Teorēma ir pierādīta.

2. teorēma

Paralelograma laukums tiek definēts kā blakus esošo malu garuma reizinājums ar leņķa sinusu starp šīm malām.

Matemātiski to var uzrakstīt šādi

kur $a,\b$ ir paralelograma malas, $\alpha $ ir leņķis starp tām.

Pierādījums.

Dosim mums paralelogramu $ABCD$ ar $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Uzzīmējiet augstumu $DF=h$ (2. att.).

2. attēls.

Pēc sinusa definīcijas mēs iegūstam

Līdz ar to

Tādējādi pēc teorēmas $1$:

Teorēma ir pierādīta.

Trijstūra laukums

3. teorēma

Trijstūra laukumu definē kā pusi no tā malas garuma un tai novilktā augstuma reizinājuma.

Matemātiski to var uzrakstīt šādi

kur $a$ ir trijstūra mala, $h$ ir šīs malas augstums.

Pierādījums.

3. attēls

Tātad pēc teorēmas $1$:

Teorēma ir pierādīta.

4. teorēma

Trijstūra laukumu definē kā pusi no tā blakus esošo malu garuma reizinājuma ar leņķa starp šīm malām sinusu.

Matemātiski to var uzrakstīt šādi

kur $a,\b$ ir trijstūra malas, $\alpha $ ir leņķis starp tām.

Pierādījums.

Dosim mums trīsstūri $ABC$ ar $AB=a$. Uzzīmējiet augstumu $CH=h$. Izveidosim to līdz paralelogramam $ABCD$ (3. att.).

Acīmredzot $\trijstūris ACB=\trijstūris CDB$ ar $I$. Tad

Tātad pēc teorēmas $1$:

Teorēma ir pierādīta.

Trapeces zona

5. teorēma

Trapeces laukums tiek definēts kā puse no tās pamatu garumu summas reizinājuma ar tās augstumu.

Matemātiski to var uzrakstīt šādi

Pierādījums.

Dota mums trapece $ABCK$, kur $AK=a,\ BC=b$. Uzzīmēsim tajā augstumus $BM=h$ un $KP=h$, kā arī diagonāli $BK$ (4. att.).

4. attēls

Pēc teorēmas $3$, mēs iegūstam

Teorēma ir pierādīta.

Uzdevuma piemērs

1. piemērs

Atrodiet vienādmalu trīsstūra laukumu, ja tā malas garums ir $a.$

Risinājums.

Tā kā trīsstūris ir vienādmalu, visi tā leņķi ir vienādi ar $(60)^0$.

Pēc teorēmas $4$ mums ir

Atbilde:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Ņemiet vērā, ka šīs problēmas rezultātu var izmantot, lai atrastu jebkura vienādmalu trīsstūra laukumu ar noteiktu malu.

Ģeometriskais laukums- ģeometriskas figūras skaitlisks raksturlielums, kas parāda šīs figūras izmēru (virsmas daļa, ko ierobežo šīs figūras slēgta kontūra). Laukuma lielumu izsaka ar tajā esošo kvadrātvienību skaitu.

Trijstūra laukuma formulas

1. Trijstūra laukuma formula malai un augstumam
   Trijstūra laukums vienāds ar pusi reizinājuma no trijstūra malas garuma un augstuma garuma, kas novilkts uz šo malu
   
2. Formula trijstūra laukumam, kurā norādītas trīs malas un ierobežotā apļa rādiuss
   
3. Formula trīsstūra laukumam, kas dotas trīs malas un ierakstīta apļa rādiusu
   Trijstūra laukums ir vienāds ar trijstūra pusperimetra un ierakstītā riņķa rādiusa reizinājumu.
   
kur S ir trīsstūra laukums,
- trijstūra malu garumi,
- trijstūra augstums,
- leņķis starp sāniem un
- ierakstītā apļa rādiuss,
R - ierobežotā apļa rādiuss,

Kvadrātveida laukuma formulas

1. Kvadrāta laukuma formula, ņemot vērā malas garumu
   kvadrātveida platība ir vienāds ar tā malas garuma kvadrātu.
2. Kvadrāta laukuma formula, ņemot vērā diagonāles garumu
   kvadrātveida platība vienāds ar pusi no tās diagonāles garuma kvadrāta.
   

   S=	1	2
   	2

kur S ir kvadrāta laukums,
ir kvadrāta malas garums,
ir kvadrāta diagonāles garums.

Taisnstūra laukuma formula

Taisnstūra laukums ir vienāds ar tā divu blakus esošo malu garumu reizinājumu

kur S ir taisnstūra laukums,
ir taisnstūra malu garumi.

Paralelograma laukuma formulas

1. Paralēlogrammas laukuma formula sānu garumam un augstumam
   Paralēlogrammas laukums
2. Paralelograma laukuma formula, kas dota divām malām un leņķim starp tām
   Paralēlogrammas laukums ir vienāds ar tā malu garuma reizinājumu ar leņķa starp tām sinusu.
   

   a b sinα

kur S ir paralelograma laukums,
ir paralelograma malu garumi,
ir paralelograma augstums,
ir leņķis starp paralelograma malām.

Romba laukuma formulas

1. Romba laukuma formula, kas dota sānu garumā un augstumā
   Rombu apgabals ir vienāds ar tās sānu garuma un uz šo pusi nolaistā augstuma reizinājumu.
2. Romba laukuma formula, ņemot vērā malas garumu un leņķi
   Rombu apgabals ir vienāds ar tā malas garuma kvadrāta un leņķa starp romba malām sinusa reizinājumu.
3. Romba laukuma formula no tā diagonāļu garumiem
   Rombu apgabals ir vienāds ar pusi no tā diagonāļu garumu reizinājuma.
kur S ir romba laukums,
- romba malas garums,
- romba augstuma garums,
- leņķis starp romba malām,
1, 2 - diagonāļu garumi.

Trapeces laukuma formulas

1. Gārņa formula trapecveida formai

   kur S ir trapeces laukums,
   - trapeces pamatu garums,
   - trapeces malu garums,