Trigonometriskā plakne. Komplekso skaitļu trigonometriskā forma. Kompleksie skaitļi trigonometriskā formā

Lekcija

Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma

Plānot

1. Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums.

2. Komplekso skaitļu trigonometriskais apzīmējums.

3. Darbības uz kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā.

Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums.

a) Kompleksie skaitļi tiek attēloti ar punktiem plaknē saskaņā ar šādu noteikumu: a + bi = M ( a ; b ) (1. att.).

1. attēls

b) Kompleksu skaitli var attēlot ar vektoru, kas sākas punktāPAR un beigas dotajā punktā (2. att.).

2. attēls

7. piemērs. Konstruējiet punktus, kas attēlo kompleksos skaitļus:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3. att.).

3. attēls

Komplekso skaitļu trigonometriskais apzīmējums.

Komplekss skaitlisz = a + bi var norādīt, izmantojot rādiusa vektoru ar koordinātām( a ; b ) (4. att.).

4. attēls

Definīcija . Vektora garums , kas apzīmē kompleksu skaitliz , sauc par šī skaitļa moduli un tiek apzīmēts vair .

Jebkuram kompleksam skaitlimz tā modulisr = | z | tiek unikāli noteikts pēc formulas .

Definīcija . Leņķa lielums starp reālās ass pozitīvo virzienu un vektoru , kas apzīmē kompleksu skaitli, sauc par šī kompleksā skaitļa argumentu un tiek apzīmētsA rg z vaiφ .

Komplekso skaitļu argumentsz = 0 nenoteikts. Komplekso skaitļu argumentsz≠ 0 – daudzvērtību lielums un tiek noteikts termiņā2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Kurarg z – intervālā ietvertā argumenta galvenā vērtība(-π; π] , tas ir-π < arg z ≤ π (dažreiz vērtība, kas pieder intervālam, tiek uzskatīta par argumenta galveno vērtību .

Šī formula, kadr =1 bieži saukta par Moivre formulu:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11. piemērs: Aprēķiniet(1 + i ) 100 .

Uzrakstīsim kompleksu skaitli1 + i trigonometriskā formā.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + es grēkoju )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i grēks ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) kompleksa skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana.

Ņemot kvadrātsakni no kompleksā skaitļaa + bi mums ir divi gadījumi:

Jab >o , Tas ;

Apsveriet kompleksu skaitli, kas dots parastajā (algebriskajā) formā:

3. attēlā parādīts kompleksais skaitlis z. Šī skaitļa koordinātas Dekarta koordinātu sistēmā ( a, b). No jebkura leņķa sin un cos funkciju definīcijas izriet:

Šo ierakstīšanas veidu sauc trigonometrisks kompleksa skaitļa rakstīšanas forma.

Vienādojumi (2) ir kvadrātā un tiek pievienoti:

(4)

r−kompleksā skaitļa rādiusa vektora garums z sauc par kompleksā skaitļa moduli un apzīmē | z|. Acīmredzot | z|≥0 un | z|=0, ja un tikai tad z=0.

Punkta polārā leņķa lielums, kas atbilst kompleksam skaitlim z, t.i. leņķis φ , sauc par šī skaitļa argumentu un tiek apzīmēts arg z. ievērojiet, tas arg z jēga ir tikai tad, kad z≠0. Kompleksā skaitļa argumentam 0 nav jēgas.

Kompleksā skaitļa arguments nav unikāli definēts. Ja φ kompleksa skaitļa arguments, tad φ +2πk, k=0,1,... ir arī kompleksa skaitļa arguments, jo cos( φ +2πk)=cos φ , grēks ( φ +2πk)=grēks φ .

Kompleksa skaitļa pārvēršana no algebriskās formas uz trigonometrisko formu

Komplekss skaitlis tiek attēlots algebriskā formā: z=a+bi. Attēlosim šo skaitli trigonometriskā formā. Mēs aprēķinām kompleksā skaitļa moduli: . Aprēķiniet argumentu φ kompleksais skaitlis no izteiksmēm vai . Iegūtās vērtības ievietojam vienādojumā (3).

1. piemērs: attēlojiet kompleksu skaitli z=1 trigonometriskā formā.

Risinājums. Komplekss skaitlis z=1 var attēlot šādi: z=1+0i φ =1/1. No kurienes mēs to iegūstam? φ =0. Aizvietojot moduļa un argumenta vērtības ar (3), mēs iegūstam: z=1(cos0+ i grēks0).

Atbilde. z=1(cos0+ i grēks0).

2. piemērs. Attēlojiet kompleksu skaitli z=i trigonometriskā formā.

Risinājums. Komplekss skaitlis z=i var attēlot šādi: z=0+1i. Aprēķināsim šī skaitļa moduli: . Aprēķināsim šī skaitļa argumentu: cos φ =0/1. No kurienes mēs to iegūstam? φ =π /2. Aizvietojot moduļa un argumenta vērtības ar (3), mēs iegūstam: .

Atbilde. .

3. piemērs. Attēlojiet kompleksu skaitli z=4+3i trigonometriskā formā.

Risinājums. Aprēķināsim šī skaitļa moduli: . Aprēķināsim šī skaitļa argumentu: cos φ =4/5. No kurienes mēs to iegūstam? φ =arccos(4/5). Aizvietojot moduļa un argumenta vērtības ar (3), mēs iegūstam: .

Atbilde. , Kur φ =arccos(4/5).

Komplekso skaitļu reizināšana trigonometriskajā apzīmējumā

z 1 =r 1 (maks φ 1 +i grēks φ 1) un z 2 =r 2 (maks φ 2 +i grēks φ 2). Sareizināsim šos skaitļus:

tie. komplekso skaitļu reizinājuma modulis ir vienāds ar faktoru moduļu reizinājumu.

Atbilde. .

Komplekso skaitļu dalīšana trigonometriskajā apzīmējumā

Dodiet kompleksos skaitļus z 1 =r 1 (maks φ 1 +i grēks φ 1) un z 2 =r 2 (maks φ 2 +i grēks φ 2) un ļauj z 2 ≠0, t.i. r 2 ≠0. Aprēķināsim z 1 /z 2:

Atbilde. .

Reizināšanas un dalīšanas ģeometriskā nozīme

4. attēlā parādīta komplekso skaitļu reizināšana z 1 un z 2. No (6) un (7) izriet, ka, lai iegūtu produktu z 1 z 2, jums ir nepieciešams punkta vektora rādiuss z 1 pagrieziens pretēji pulksteņrādītāja virzienam par leņķi φ 2 un stiept līdz | z 2 | reizes (pie 0z 2 |

Tagad aplūkosim kompleksā skaitļa dalījumu z 1 z 2 per z 1 (4. att.). No formulas (8) izriet, ka vēlamā skaitļa modulis ir vienāds ar skaitļa moduļa dalījuma koeficientu z 1 z 2 katram numura modulim z 1 un arguments ir: φ 2 =φ −φ 1 . Dalīšanas rezultātā mēs iegūstam numuru z 2 .

Šajā sadaļā mēs vairāk runāsim par kompleksā skaitļa trigonometrisko formu. Demonstrējošā forma praktiskos uzdevumos ir daudz retāk sastopama. Ja iespējams, iesaku lejupielādēt un izdrukāt. trigonometriskās tabulas, metodiskais materiāls atrodams lapā Matemātiskās formulas un tabulas. Bez galdiņiem tālu nevar tikt.

Jebkuru kompleksu skaitli (izņemot nulli) var uzrakstīt trigonometriskā formā:

Kur tas ir kompleksā skaitļa modulis, A - kompleksā skaitļa arguments.

Attēlosim skaitli kompleksajā plaknē. Skaidrojuma noteiktības un vienkāršības labad ievietosim to pirmajā koordinātu kvadrantā, t.i. mēs ticam, ka:

Kompleksa skaitļa modulis ir attālums no sākuma līdz atbilstošajam punktam kompleksajā plaknē. Vienkārši liec, modulis ir garums rādiusa vektors, kas zīmējumā norādīts sarkanā krāsā.

Kompleksā skaitļa moduli parasti apzīmē ar: vai

Izmantojot Pitagora teorēmu, ir viegli atvasināt formulu kompleksā skaitļa moduļa atrašanai: . Šī formula ir pareiza jebkuram nozīmē "a" un "būt".

Piezīme : kompleksā skaitļa modulis ir jēdziena vispārinājums reālā skaitļa modulis, kā attālums no punkta līdz sākuma punktam.

Kompleksā skaitļa arguments sauca stūrī starp pozitīva pusass reālā ass un rādiusa vektors, kas novilkts no sākuma līdz atbilstošajam punktam. Arguments nav definēts vienskaitlī:.

Aplūkojamais princips faktiski ir līdzīgs polārajām koordinātām, kur polārais rādiuss un polārais leņķis unikāli nosaka punktu.

Kompleksā skaitļa argumentu parasti apzīmē: vai

No ģeometriskiem apsvērumiem mēs iegūstam šādu formulu argumenta atrašanai:

. Uzmanību!Šī formula darbojas tikai labajā pusplaknē! Ja kompleksais skaitlis neatrodas 1. vai 4. koordinātu kvadrantā, tad formula nedaudz atšķirsies. Mēs arī analizēsim šos gadījumus.

Bet vispirms apskatīsim vienkāršākos piemērus, kad kompleksie skaitļi atrodas uz koordinātu asīm.

7. piemērs

Kompleksos skaitļus attēlo trigonometriskā formā: ,,,. Izveidosim zīmējumu:

Patiesībā uzdevums ir mutisks. Skaidrības labad es pārrakstīšu kompleksā skaitļa trigonometrisko formu:

Stingri atcerēsimies, modulis - garums(kas ir vienmēr nenegatīvs), arguments - stūrī

1) Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu:. Tas ir acīmredzami (skaitlis atrodas tieši uz reālās pozitīvās pusass). Tādējādi skaitlis trigonometriskā formā:.

Apgrieztās pārbaudes darbība ir skaidra kā diena:

2) Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu:. Acīmredzot (vai 90 grādi). Zīmējumā stūris ir norādīts sarkanā krāsā. Tātad skaitlis trigonometriskā formā ir: .

Izmantojot , ir viegli atgūt skaitļa algebrisko formu (vienlaikus veicot pārbaudi):

3) Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un

arguments. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu:

Acīmredzot (vai 180 grādi). Zīmējumā stūris ir norādīts zilā krāsā. Tādējādi skaitlis trigonometriskā formā:.

Pārbaude:

4) Un ceturtais interesants gadījums. Ir skaidrs, ka. Formāls aprēķins, izmantojot formulu:.

Argumentu var uzrakstīt divos veidos: Pirmais veids: (270 grādi) un attiecīgi: . Pārbaude:

Tomēr standartizētāks ir šāds noteikums: Ja leņķis ir lielāks par 180 grādiem, tad raksta ar mīnusa zīmi un leņķa pretējo orientāciju (“ritināšanu”): (mīnus 90 grādi), zīmējumā leņķis iezīmēts zaļā krāsā. To ir viegli pamanīt

kas ir vienāds leņķis.

Tādējādi ierakstam ir šāda forma:

Uzmanību! Nekādā gadījumā nevajadzētu izmantot kosinusa paritāti, sinusa dīvainību un vēl vairāk “vienkāršot” apzīmējumu:

Starp citu, ir lietderīgi atcerēties trigonometrisko un apgriezto trigonometrisko funkciju izskatu un īpašības, atsauces materiāli atrodas lapas pēdējās rindkopās. Pamata elementāru funkciju grafiki un īpašības. Un kompleksos skaitļus iemācīsies daudz vieglāk!

Vienkāršāko piemēru noformējumā tas ir jāraksta šādi: : "ir skaidrs, ka modulis ir... skaidrs, ka arguments ir...". Tas ir patiešām acīmredzams un viegli atrisināms mutiski.

Apskatīsim biežāk sastopamos gadījumus. Ar moduli nav problēmu, jums vienmēr jāizmanto formula. Bet argumenta atrašanas formulas būs dažādas, tas ir atkarīgs no tā, kurā koordinātu ceturksnī atrodas skaitlis. Šajā gadījumā ir iespējamas trīs iespējas (ir lietderīgi tās pārrakstīt):

1) Ja (1. un 4. koordinātu ceturtdaļa vai labā pusplakne), tad arguments jāatrod, izmantojot formulu.

2) Ja (2. koordinātu ceturtdaļa), tad arguments jāatrod, izmantojot formulu .

3) Ja (3. koordinātu ceturksnis), tad arguments jāatrod, izmantojot formulu .

8. piemērs

Kompleksos skaitļus attēlo trigonometriskā formā: ,,,.

Tā kā ir gatavas formulas, zīmējums nav jāpabeidz. Bet ir viens punkts: kad jums tiek lūgts attēlot skaitli trigonometriskā formā, tad Jebkurā gadījumā labāk ir izdarīt zīmējumu. Fakts ir tāds, ka risinājumu bez zīmējuma skolotāji bieži noraida, zīmējuma neesamība ir nopietns mīnusa un neveiksmes iemesls.

Mēs piedāvājam skaitļus kompleksā formā, un pirmais un trešais cipars būs neatkarīgam risinājumam.

Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu.

Kopš (2. gadījums), tad

– šeit ir jāizmanto arktangenta dīvainība. Diemžēl tabulā nav ietverta vērtība , tāpēc šādos gadījumos arguments ir jāatstāj apgrūtinošā formā: – skaitļi trigonometriskā formā.

Attēlosim skaitli trigonometriskā formā. Atradīsim tā moduli un argumentu.

Kopš (1. gadījums), tad (mīnus 60 grādi).

Tādējādi:

– skaitlis trigonometriskā formā.

Bet šeit, kā jau minēts, ir trūkumi nepieskarieties.

Papildus jautrajai grafiskajai verifikācijas metodei ir arī analītiskā pārbaude, kas jau tika veikta 7. piemērā. Mēs izmantojam trigonometrisko funkciju vērtību tabula, vienlaikus ņemot vērā, ka leņķis ir tieši tabulas leņķis (vai 300 grādi): – skaitļi sākotnējā algebriskā formā.

Uzrādiet skaitļus trigonometriskā formā pats. Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Sadaļas beigās īsi par kompleksā skaitļa eksponenciālo formu.

Jebkuru komplekso skaitli (izņemot nulli) var uzrakstīt eksponenciālā formā:

Kur ir kompleksā skaitļa modulis un ir kompleksā skaitļa arguments.

Kas jādara, lai attēlotu kompleksu skaitli eksponenciālā formā? Gandrīz tas pats: izpildīt zīmējumu, atrast moduli un argumentu. Un ierakstiet numuru formā .

Piemēram, skaitlim iepriekšējā piemērā esam atraduši moduli un argumentu:,. Tad šis skaitlis tiks uzrakstīts eksponenciālā formā šādi:.

Skaitlis eksponenciālā formā izskatīsies šādi:

Numurs - Tātad:

Vienīgais padoms ir nepieskarieties indikatoram eksponenti, nav nepieciešams pārkārtot faktorus, atvērt iekavas utt. Komplekss skaitlis tiek uzrakstīts eksponenciālā formā stingri pēc formas.

2.3. Komplekso skaitļu trigonometriskā forma

Ļaujiet vektoru kompleksajā plaknē norādīt ar skaitli .

Ar φ apzīmēsim leņķi starp pozitīvo pusasi Ox un vektoru (leņķi φ uzskata par pozitīvu, ja to mēra pretēji pulksteņrādītāja virzienam, un negatīvu pretējā gadījumā).

Apzīmēsim vektora garumu ar r. Tad . Mēs arī apzīmējam

Nenulles kompleksā skaitļa z ierakstīšana formā

sauc par kompleksā skaitļa z trigonometrisko formu. Skaitli r sauc par kompleksā skaitļa z moduli, bet skaitli φ par šī kompleksā skaitļa argumentu un apzīmē ar Arg z.

Trigonometriskā kompleksa skaitļa rakstīšanas forma - (Eilera formula) - kompleksā skaitļa rakstīšanas eksponenciāla forma:

Kompleksajam skaitlim z ir bezgala daudz argumentu: ja φ0 ir jebkurš skaitļa z arguments, tad visus pārējos var atrast, izmantojot formulu

Kompleksam skaitlim arguments un trigonometriskā forma nav definēti.

Tādējādi kompleksa skaitļa, kas nav nulle, arguments ir jebkurš vienādojumu sistēmas risinājums:

(3)

Kompleksā skaitļa z argumenta vērtību φ, kas apmierina nevienādības, sauc par galveno vērtību un apzīmē ar arg z.

Argumenti Arg z un arg z ir saistīti ar

, (4)

Formula (5) ir sistēmas (3) sekas, tāpēc visi kompleksā skaitļa argumenti apmierina (5) vienādību, bet ne visi (5) vienādojuma atrisinājumi φ ir skaitļa z argumenti.

Nenulles kompleksā skaitļa argumenta galvenā vērtība tiek atrasta pēc formulām:

Formulas komplekso skaitļu reizināšanai un dalīšanai trigonometriskā formā ir šādas:

. (7)

Palielinot kompleksu skaitli līdz naturālajam pakāpēm, tiek izmantota Moivre formula:

Iegūstot kompleksa skaitļa sakni, tiek izmantota formula:

, (9)

kur k=0, 1, 2, …, n-1.

54. uzdevums. Aprēķināt, kur .

Iesniegsim šīs izteiksmes atrisinājumu eksponenciālā formā, rakstot kompleksu skaitli: .

Ja tad.

Tad, . Tāpēc, tad Un , Kur.

Atbilde: , plkst.

55. uzdevums. Uzrakstiet kompleksos skaitļus trigonometriskā formā:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; un) .

Tā kā kompleksā skaitļa trigonometriskā forma ir , tad:

a) Kompleksā skaitā: .

Tāpēc

b) , Kur,

G) , Kur,

e) .

un) , A , Tas.

Tāpēc

Atbilde: ; 4; ; ; ; ; .

56. uzdevums. Atrodi kompleksa skaitļa trigonometrisko formu

Ļaujiet, .

Tad, , .

Kopš un , , pēc tam , un

Tāpēc, , tāpēc

Atbilde: , Kur.

57. uzdevums. Izmantojot kompleksā skaitļa trigonometrisko formu, veic šādas darbības: .

Iedomāsimies skaitļus un trigonometriskā formā.

1), kur Tad

Atrodiet galvenā argumenta vērtību:

Aizstāsim vērtības un izteiksmē, mēs iegūstam

2) , kur tad

Tad

3) Atradīsim koeficientu

Pieņemot, ka k = 0, 1, 2, mēs iegūstam trīs dažādas vēlamās saknes vērtības:

Ja tad

ja tad

ja tad .

Atbilde: :

: .

58. uzdevums. Ļaujiet , , , ir dažādi kompleksie skaitļi un . Pierādiet to

skaitlis ir reāls pozitīvs skaitlis;

b) vienlīdzība ir spēkā:

a) attēlosim šos kompleksos skaitļus trigonometriskā formā:

Jo .

Izliksimies tā. Tad

Pēdējā izteiksme ir pozitīvs skaitlis, jo sinusa zīmēs ir skaitļi no intervāla.

kopš numura patiesi un pozitīvi. Patiešām, ja a un b ir kompleksi skaitļi un ir reāli un lielāki par nulli, tad .

Turklāt,

tāpēc nepieciešamā vienlīdzība ir pierādīta.

59. uzdevums. Uzrakstiet skaitli algebriskā formā .

Attēlosim skaitli trigonometriskā formā un pēc tam atradīsim tā algebrisko formu. Mums ir . Priekš mēs iegūstam sistēmu:

Tas nozīmē vienlīdzību: .

Lietojot Moivre formulu: ,

mēs saņemam

Tiek atrasta dotā skaitļa trigonometriskā forma.

Tagad ierakstīsim šo skaitli algebriskā formā:

Atbilde: .

60. uzdevums. Atrodiet summu , ,

Apsvērsim summu

Izmantojot Moivre formulu, mēs atrodam

Šī summa ir ģeometriskās progresijas ar saucēju n vārdu summa un pirmais dalībnieks .

Piemērojot formulu šādas progresijas terminu summai, mums ir

Izolējot iedomāto daļu pēdējā izteiksmē, mēs atrodam

Izolējot reālo daļu, iegūstam arī šādu formulu: , , .

61. uzdevums. Atrodiet summu:

A) ; b) .

Saskaņā ar Ņūtona kāpināšanas formulu mums ir

Izmantojot Moivre formulu, mēs atrodam:

Pielīdzinot iegūto izteiksmju reālās un iedomātās daļas, mēs iegūstam:

Un .

Šīs formulas kompaktā formā var uzrakstīt šādi:

, kur ir skaitļa a veselā daļa.

62. uzdevums. Atrast visus , kuriem .

Tāpēc ka , pēc tam, izmantojot formulu

, Lai iegūtu saknes, mēs iegūstam ,

Tāpēc , ,

, .

Skaitļiem atbilstošie punkti atrodas kvadrāta virsotnēs, kas ierakstīts aplī ar rādiusu 2 ar centru punktā (0;0) (30. att.).

Atbilde: , ,

, .

63. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu , .

Pēc nosacījuma; tāpēc šim vienādojumam nav saknes, un tāpēc tas ir līdzvērtīgs vienādojumam.

Lai skaitlis z būtu šī vienādojuma sakne, skaitlim ir jābūt skaitļa 1 saknei.

No šejienes mēs secinām, ka sākotnējam vienādojumam ir saknes, kas noteiktas no vienādībām

Tādējādi

t.i. ,

Atbilde: .

64. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu komplekso skaitļu kopā.

Tā kā skaitlis nav šī vienādojuma sakne, tad šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam

Tas ir, vienādojums.

Visas šī vienādojuma saknes iegūst no formulas (skat. 62. uzdevumu):

; ; ; ; .

65. uzdevums. Uzzīmējiet kompleksajā plaknē punktu kopu, kas apmierina nevienādības: . (otrais veids, kā atrisināt 45. problēmu)

Ļaujiet .

Kompleksie skaitļi ar identiskiem moduļiem atbilst punktiem plaknē, kas atrodas uz apļa, kura centrs ir sākuma punktā, tāpēc nevienlīdzība apmierina visus punktus atvērtam gredzenam, ko ierobežo apļi ar kopīgu centru sākuma punktā un rādiusos un (31. att.). Lai kāds kompleksās plaknes punkts atbilst skaitlim w0. Numurs , modulis ir vairākas reizes mazāks par moduli w0 un arguments ir lielāks par argumentu w0. No ģeometriskā viedokļa punktu, kas atbilst w1, var iegūt, izmantojot homotētiju ar centru sākumā un koeficientu, kā arī rotāciju attiecībā pret izcelsmi leņķī pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Šo divu pārveidojumu piemērošanas rezultātā gredzena punktiem (31. att.), pēdējais pārveidosies par gredzenu, ko ierobežo apļi ar vienādu centru un rādiusiem 1 un 2 (32. att.).

Pārvēršana īstenots, izmantojot paralēlu pārsūtīšanu uz vektoru. Pārnesot gredzenu ar centru punktā uz norādīto vektoru, iegūstam tāda paša izmēra gredzenu ar centru punktā (22. att.).

Piedāvātā metode, kas izmanto ideju par plaknes ģeometriskām transformācijām, iespējams, ir mazāk ērti aprakstāma, taču tā ir ļoti eleganta un efektīva.

Problēma 66. Atrast, ja .

Ļaujiet , tad un . Sākotnējai vienlīdzībai būs forma . No divu komplekso skaitļu vienādības nosacījuma iegūstam , , no kura , . Tādējādi,.

Uzrakstīsim skaitli z trigonometriskā formā:

, Kur,. Saskaņā ar Moivre formulu mēs atrodam .

Atbilde: - 64.

67. uzdevums. Kompleksam skaitlim atrodiet visus tādus kompleksos skaitļus, ka , un .

Attēlosim skaitli trigonometriskā formā:

. No šejienes, . Iegūtajam skaitlim var būt vienāds ar vai .

Pirmajā gadījumā , otrajā

Atbilde: , .

68. uzdevums. Atrodi tādu skaitļu summu, kas . Lūdzu, norādiet vienu no šiem numuriem.

Ņemiet vērā, ka no paša problēmas formulējuma var saprast, ka vienādojuma sakņu summu var atrast, neaprēķinot pašas saknes. Patiešām, vienādojuma sakņu summa ir koeficients priekš , kas ņemts ar pretēju zīmi (vispārināta Vietas teorēma), t.i.

Skolēni, skolas dokumentācija, izdara secinājumus par šī jēdziena meistarības pakāpi. Apkopojiet matemātiskās domāšanas pazīmju izpēti un kompleksā skaitļa jēdziena veidošanās procesu. Metožu apraksts. Diagnostika: I posms. Saruna notika ar matemātikas skolotāju, kura 10. klasē māca algebru un ģeometriju. Saruna notika pēc tam, kad bija pagājis kāds laiks kopš sākuma...

Rezonanse" (!)), kurā ietverts arī savas uzvedības novērtējums. 4. Kritisks situācijas izpratnes novērtējums (šaubas). 5. Visbeidzot, juridiskās psiholoģijas ieteikumu izmantošana (jurists ņem vērā psiholoģisko). veikto profesionālo darbību aspekti - profesionālā psiholoģiskā sagatavotība). Tagad apskatīsim juridisko faktu psiholoģisko analīzi...

Trigonometriskās aizstāšanas matemātika un izstrādātās mācību metodikas efektivitātes pārbaude. Darba posmi: 1. Izvēles kursa izstrāde par tēmu: “Trigonometriskās aizstāšanas pielietošana algebrisko uzdevumu risināšanā” ar skolēniem padziļinātās matemātikas klasēs. 2. Izstrādātā izvēles kursa vadīšana. 3. Diagnostikas pārbaudes veikšana...

Kognitīvie uzdevumi ir paredzēti tikai esošo mācību līdzekļu papildināšanai, un tiem jābūt atbilstošā kombinācijā ar visiem tradicionālajiem izglītības procesa līdzekļiem un elementiem. Izglītības problēmas humanitāro zinātņu mācīšanā atšķiras no eksaktajām, no matemātiskajām problēmām ir tikai tā, ka vēsturiskajos uzdevumos nav formulu, stingru algoritmu utt., kas sarežģī to risinājumu. ...

Darbības ar kompleksiem skaitļiem, kas rakstīti algebriskā formā

Kompleksā skaitļa z = algebriskā forma(a,b).tiek saukta par formas algebrisko izteiksmi

z = a + bi.

Aritmētiskās darbības ar kompleksajiem skaitļiem z 1 =a 1 + b 1 i Un z 2 =a 2 + b 2 i, kas rakstīti algebriskā formā, tiek veikti šādi.

1. Komplekso skaitļu summa (starpība).

z 1 ± z 2 = (a 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

tie. saskaitīšana (atņemšana) tiek veikta saskaņā ar polinomu pievienošanas noteikumu ar līdzīgu terminu samazināšanu.

2. Komplekso skaitļu reizinājums

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

tie. reizināšana tiek veikta saskaņā ar parasto polinomu reizināšanas noteikumu, ņemot vērā to, ka i 2 = 1.

3. Divu komplekso skaitļu dalīšanu veic saskaņā ar šādu noteikumu:

, (z 2 ≠ 0),

tie. dalīšanu veic, reizinot dividendi un dalītāju ar dalītāja konjugāto skaitli.

Komplekso skaitļu eksponenci definē šādi:

To ir viegli parādīt

Piemēri.

1. Atrodiet komplekso skaitļu summu z 1 = 2 – i Un z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Atrodiet komplekso skaitļu reizinājumu z 1 = 2 – 3i Un z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3es∙ 5i = 7+22i.

3. Atrodiet koeficientu z no divīzijas z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Atrisiniet vienādojumu: , x Un y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Komplekso skaitļu vienādības dēļ mums ir:

kur x =–1 , y= 4.

5. Aprēķiniet: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,t.i -2 .

6. Aprēķināt, ja .

7. Aprēķināt skaitļa apgriezto vērtību z=3-i.

Kompleksie skaitļi trigonometriskā formā

Sarežģīta plakne sauc par plakni ar Dekarta koordinātām ( x, y), ja katrs punkts ar koordinātām ( a, b) ir saistīts ar kompleksu skaitli z = a + bi. Šajā gadījumā sauc par abscisu asi reālā ass, un ordinātu ass ir iedomāts. Tad katrs kompleksais skaitlis a+biģeometriski attēlots uz plaknes kā punkts A (a, b) vai vektoru.

Tāpēc punkta pozīcija A(un līdz ar to komplekss skaitlis z) var norādīt ar vektora garumu | | = r un leņķis j, ko veido vektors | | ar reālās ass pozitīvo virzienu. Vektora garumu sauc kompleksā skaitļa modulis un ir apzīmēts ar | z |=r, un leņķi j sauca kompleksā skaitļa arguments un ir norādīts j = arg z.

Ir skaidrs, ka | z| ³ 0 un | z | = 0 Û z = 0.

No att. 2 ir skaidrs, ka.

Kompleksā skaitļa arguments tiek noteikts neviennozīmīgi, bet ar precizitāti 2 pk, kÎ Z.

No att. 2 ir arī skaidrs, ka, ja z=a+bi Un j=arg z, Tas

cos j =, grēks j =, tg j = .

Ja zÎR Un z> 0, tad arg z = 0 +2pk;

Ja z ОR Un z< 0, tad arg z = p + 2pk;

Ja z = 0,arg z nenoteikts.

Argumenta galvenā vērtība tiek noteikta intervālā 0 £ arg z£2 p,

vai -lpp£ arg z £ lpp.

Piemēri:

1. Atrast komplekso skaitļu moduli z 1 = 4 – 3i Un z 2 = –2–2i.