Atbilstoši izteicieni, kas apvērš viens otru. Lai saprastu, ko tas nozīmē, ir vērts aplūkot konkrētu piemēru. Pieņemsim, ka mums ir y = cos(x). Ja no argumenta ņemat kosinusu, varat atrast y vērtību. Acīmredzot, lai to izdarītu, jums ir jābūt X. Bet ko tad, ja spēle sākotnēji tika dota? Šeit runa ir par lietas būtību. Lai atrisinātu problēmu, jums jāizmanto apgrieztā funkcija. Mūsu gadījumā tas ir arkosīns.
Pēc visām transformācijām mēs iegūstam: x = arccos(y).
Tas ir, lai atrastu funkciju, kas ir apgriezta dotajai funkcijai, pietiek ar to vienkārši izteikt argumentu. Bet tas darbojas tikai tad, ja iegūtajam rezultātam ir viena nozīme (vairāk par to vēlāk).
Kopumā šo faktu var uzrakstīt šādi: f(x) = y, g(y) = x.
Definīcija
Lai f ir funkcija, kuras domēns ir kopa X un domēns ir kopa Y. Tad, ja eksistē g, kuras domēni veic pretējus uzdevumus, tad f ir apgriežams.
Turklāt šajā gadījumā g ir unikāls, kas nozīmē, ka ir tieši viena funkcija, kas apmierina šo īpašību (ne vairāk, ne mazāk). Tad to sauc par apgriezto funkciju, un rakstveidā to apzīmē šādi: g(x) = f -1 (x).
Citiem vārdiem sakot, tos var uzskatīt par bināru attiecību. Atgriezeniskums notiek tikai tad, ja viens kopas elements atbilst vienai vērtībai no citas.
Apgrieztā funkcija ne vienmēr pastāv. Lai to izdarītu, katram elementam y є Y jāatbilst ne vairāk kā vienam x є X. Tad f tiek saukts viens pret vienu vai injekcija. Ja f -1 pieder Y, tad katram šīs kopas elementam jāatbilst kādam x ∈ X. Funkcijas ar šo īpašību sauc par surjekcijām. Pēc definīcijas tas ir spēkā, ja Y ir f attēls, bet tas ne vienmēr ir gadījums. Lai funkcija būtu apgriezta, tai ir jābūt gan injekcijai, gan izspiešanai. Šādas izteiksmes sauc par bijekcijām.
Piemērs: kvadrātveida un saknes funkcijas
Funkcija ir definēta . Šajā gadījumā tā atvasinājums
Matemātikas un datorzinātņu katedra Matemātiskā analīze Izglītības un metodiskais komplekss augstskolu studentiem, kuri mācās, izmantojot distances tehnoloģijas 4. modulis Atvasinātie pieteikumi Sastādīja: Asociētais profesors
1. nodaļa. Ierobežojumi un nepārtrauktība 1. Skaitļu kopas 1 0. Reālie skaitļi No skolas matemātikas jūs zināt naturālus N veselus skaitļus Z racionālie Q un reālie R skaitļi Dabiski un veseli skaitļi
19. lekcija ATSINĀJUMS UN TĀ PIELIETOJUMS. ATvasinājuma DEFINĪCIJA. Pieņemsim kādu funkciju y=f(x), kas definēta kādā intervālā. Katrai argumenta x vērtībai no šī intervāla funkcija y=f(x)
Diferenciālrēķins Pamatjēdzieni un formulas Definīcija 1 Funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža ar nosacījumu, ka argumenta pieaugums
8. tēma. Eksponenciālās un logaritmiskās funkcijas. 1. Eksponenciālā funkcija, tās grafiks un īpašības Praksē bieži tiek izmantotas funkcijas y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x utt., t.i., funkcija forma y=a x,
44 Piemērs Atrodiet kompleksās funkcijas kopējo atvasinājumu = sin v cos w kur v = ln + 1 w= 1 Izmantojot formulu (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin 1 Tagad atrodiet kompleksa kopējo diferenciāli funkcija f
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam. Atrodiet funkcijas 6x domēnu. Atrodiet slīpuma leņķa pieskares x asij tangensei, kas iet caur funkcijas grafika punktu M (;). Atrodiet leņķa tangensu
Tēma Skaitliskā funkcija, tās īpašības un grafiks Skaitliskās funkcijas jēdziens Funkcijas definīcijas joma un vērtību kopa Dot skaitliskajai kopai X Noteikums, kas katru skaitli X saista ar unikālu
23. lekcija FLEKCIJAS PUNKTA FUNKCIJAS GRAFIKA IZLIEKUMS UN LIEKUMS Funkcijas y=f(x) grafiku sauc par izliektu intervālā (a; b), ja tas atrodas zem jebkuras tā pieskares šajā intervālā Grafiks
Tēma Ierobežojumu teorija Praktiskā nodarbība Skaitļu virknes Skaitļu virknes definīcija Ierobežotas un neierobežotas secības Monotoniskas secības Bezgalīgi mazas
Skaitliskās funkcijas un skaitliskās secības D. V. Lytkina AES, I semestris D. V. Lytkina (SibGUTI) AES matemātiskā analīze, I semestris 1 / 35 Saturs 1 Skaitliskā funkcija Funkcijas jēdziens Skaitliskās funkcijas.
Uzdevumu banka par tēmu “ATVINĀJUMS” MATEMĀTIKAS klase (profils) Studentiem jāzina/saprot: Atvasinājuma jēdziens. Atvasinājuma definīcija. Teorēmas un noteikumi summas, starpības, reizinājuma atvasinājumu atrašanai
Â. À. BĪSTAMĪBAS MĒRĪŠANA: IETVARA IETVARS. RESUME TEACHING ROKASGRĀMATA SPO - izdevums, labots un papildināts ar Krievijas Zinātņu akadēmijas sinonīmu
A.V. Zemļanko matemātika. Algebra un analīzes principi Voroņeža SATURS TĒMA 1. FUNKCIJAS PAMATĪPAŠĪBAS... 6 1.1. Skaitliskā funkcija... 6 1.2. Funkcijas grafiks... 9 1.3. Notiek funkciju diagrammu konvertēšana...
Priekšmets. Funkcija. Uzdevuma metodes. Netieša funkcija. Apgrieztā funkcija. Funkciju klasifikācija Kopu teorijas elementi. Pamatjēdzieni Viens no mūsdienu matemātikas pamatjēdzieniem ir kopas jēdziens.
Dota skaitliskā kopa D R Ja katrs skaitlis x D ir saistīts ar vienu skaitli y, tad mēs sakām, ka uz kopas D ir dota skaitliska funkcija: y = f (x), x D. Kopu D sauc.
Vairāku mainīgo funkcijas 11. Vairāku mainīgo funkcijas definīcija. FNP robeža un nepārtrauktība 1. Vairāku mainīgo funkcijas definīcija DEFINĪCIJA. Pieņemsim, ka X = ( 1 n i X i R ) U R. Funkcija
MATEMĀTIKA VISIEM Y.L. Kalinovsky Saturs 1 Funkciju grafiki. I daļa................................. 5 1.1 Ievads 5 1.1.1 Kopas jēdziens.. .............................................. 5 1.1.
Praktiskais darbs 6 Tēma: “Pilnīga funkciju apguve. Grafiku zīmēšana" Darba mērķis: iemācīties izpētīt funkcijas pēc vispārīgas shēmas un konstruēt grafikus. Darba izpildes rezultātā studentam ir:
8. nodaļa Funkcijas un grafiki Mainīgie un to atkarības. Divus lielumus sauc par tieši proporcionāliem, ja to attiecība ir nemainīga, tas ir, ja =, kur ir nemainīgs skaitlis, kas nemainās ar izmaiņām
LEKCIJA 2. Darbības ar dimensijas k apakštelpu skaitu, bāzu skaitu, bāzu skaitu un apakštelpu skaitu. 2. lekcijas galvenie rezultāti. 1) U V, U + V, dim(u + V). 2) Plakņu skaita skaitīšana F 4 2.
5. jautājums. Funkcija, piešķiršanas metodes. Elementāro funkciju un to grafikas piemēri. Dotas divas patvaļīgas kopas X un Y Funkcija ir noteikums, pēc kura var atrast katru elementu no kopas X
4. lekcija REĀLĀ MAINĪGĀ NUMURĀLĀS FUNKCIJAS Funkcijas jēdziens Funkcijas noteikšanas metodes Funkciju pamatīpašības Kompleksā funkcija 4 Apgrieztā funkcija Funkcijas jēdziens Funkcijas norādīšanas metodes Ļaujiet D
Lekcijas Nodaļa Vairāku mainīgo funkcijas Pamatjēdzieni Dažas vairāku mainīgo funkcijas ir labi zināmas Sniegsim dažus piemērus Lai aprēķinātu trijstūra laukumu, ir zināma Herona formula S
Funkciju nepārtrauktība Funkcijas nepārtrauktība punktā Vienpusējās robežas Definīcija Skaitli A sauc par funkcijas f(x) robežu no kreisās puses, jo x tiecas uz a, ja jebkuram skaitlim pastāv šāds skaitlis
Pētniecisko darbu Matemātika “Funkciju ekstrēmālo īpašību pielietojums vienādojumu risināšanai” Pabeidza: Jeļena Gudkova, “G” MBOU vidusskolas “Anninsky Lyceum” pilsētvides 11. klases skolniece. Anna vadītāja:
Federālā izglītības aģentūra ----- SAN PĒTERBURGAS VALSTS POLITEHNIKAS UNIVERSITĀTE AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Čaikina MATEMĀTIKA Pamatfunkcijas un to grafiki Izglītības.
VAIRĀKU MAINĪGO FUNKCIJAS Viena neatkarīga mainīgā funkcijas neaptver visas dabā pastāvošās atkarības. Tāpēc ir dabiski paplašināt labi zināmo funkcionālās atkarības jēdzienu un ieviest
Funkcija Funkcijas jēdziens Funkcijas noteikšanas metodes Funkcijas raksturojums Apgrieztā funkcija Funkcijas robeža Funkcijas robeža punktā Vienpusējās robežas Funkcijas robeža pie x Bezgalīgi liela funkcija 4 Lekcija
Sadaļa Viena un vairāku mainīgo funkciju diferenciālrēķins Reālā argumenta funkcija Reālie skaitļi Pozitīvus veselus skaitļus sauc par naturāliem skaitļiem Pievienot naturāliem skaitļiem
Sergejs A Beļajevs 1. lpp. Matemātiskais minimums 1. daļa Teorētiskais 1 Vai definīcija ir pareiza divu veselu skaitļu mazākais kopīgais skaitlis, kas dalās ar katru no dotajiem skaitļiem?
2. sadaļa Ierobežojumu teorija Tēma Skaitļu virknes Skaitļu virknes definīcija 2 Ierobežotas un neierobežotas secības 3 Monotonas secības 4 Bezgalīgi mazas un
Netieši dotas funkcijas diferenciācija Apsveriet funkciju (,) = C (C = const) Šis vienādojums definē netiešo funkciju () Pieņemsim, ka mēs atrisinājām šo vienādojumu un atradām tiešo izteiksmi = () Tagad mēs varam
Pārbaudes uzdevumi sagatavošanās eksāmenam disciplīnā "Matemātika" neklātienes studentiem Funkcijas y=f() atvasinājumu sauc: f A) B) f C) f f Ja kādā punkta apkārtnē funkcija.
MAINĪGIE UN KONSTINTI DAUDZUMI Fizikālo lielumu (laiks, laukums, tilpums, masa, ātrums utt.) mērīšanas rezultātā tiek noteiktas to skaitliskās vērtības. Matemātika nodarbojas ar daudzumiem, apjucis
Matemātiskā analīze Sadaļa: Ievads analīzē Tēma: Funkcijas jēdziens (pamata definīcijas, klasifikācija, uzvedības pamatīpašības) Lektore Rožkova S.V. 2012 Literatūra Piskunov N.S. Diferenciāls
7. nodarbība Vidējās vērtības teorēmas. L'Hopitāla noteikums 7. Teorēmas par vidējo Teorēmas par vidējo ir trīs teorēmas: Rolle, Lagrange un Cauchy, no kurām katra vispārina iepriekšējo. Šīs teorēmas tiek sauktas arī par
Lekciju sagatavoja asociētais profesors Musina MV. Funkcijas nepārtrauktība Lai funkcija y = f(x) ir definēta punktā x un kādā šī punkta tuvumā Funkciju y = f(x) sauc par nepārtrauktu punktā x, ja tā pastāv
VIENA MAINĪGĀ FUNKCIJU DIFERENCIĀCIJA Atvasinājuma jēdziens, tā ģeometriskā un fizikālā nozīme Uzdevumi, kas ved uz atvasinājuma jēdzienu Pieskares S noteikšana līdz taisnei y f (x) punktā. f (
13. Augstākas kārtas parciālie atvasinājumi Lai = ir un ir definēti uz D O. Funkcijas un sauc arī par funkcijas pirmās kārtas parciālajiem atvasinājumiem vai funkcijas pirmās kārtas parciālajiem atvasinājumiem. un vispār
Baltkrievijas Republikas Izglītības ministrija IZGLĪTĪBAS IESTĀDE "GRODŅAS VALSTS UNIVERSITĀTE, NOSAUKUMS YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gņezdovskis, V.N. Gorbuzovs, P.F. Proņevičs EKSPONENTĀRIĀLS UN LOGARITMISKS
Lekcija Nodaļa Kopas un darbības ar tām Kopas jēdziens Kopas jēdziens attiecas uz primārākajiem matemātikas jēdzieniem, kas nav definēti ar vienkāršākiem jēdzieniem Kopa tiek saprasta kā kopums
8. lekcija Sarežģītas funkcijas diferenciācija Aplūkosim kompleksu funkciju t t t f kur ϕ t t t t t t f t t t t t t t t Teorēma Lai funkcijas ir diferencējamas kādā punktā N t t t un funkcija f ir diferencējama
3. lekcija Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmums Ļaujiet vairāku mainīgo funkciju u = f (x, x) definēt domēnā D, un punkts x (x, x) = pieder šim domēnam Funkcija u = f ( x, x) ir
Jautājums. Nevienādības, lineāro nevienādību sistēma Apskatīsim izteiksmes, kas satur nevienādības zīmi un mainīgo:. >, - +x ir lineāras nevienādības ar vienu mainīgo x.. 0 ir kvadrātiskā nevienādība.
SADAĻA PROBLĒMAS AR PARAMETRIEM Komentārs Problēmas ar parametriem ir tradicionāli sarežģīti uzdevumi vienotā valsts eksāmena struktūrā, kas liek pretendentam ne tikai apgūt visas metodes un paņēmienus dažādu risināšanai.
2.2.7. Diferenciāļa pielietošana aptuveniem aprēķiniem. Funkcijas y = diferenciālis ir atkarīgs no x un ir x pieauguma galvenā daļa. Varat arī izmantot formulu: dy d Tad absolūtā kļūda ir:
6. nodaļa Viena mainīgā funkcijas diferenciālrēķins Uzdevumi, kas noved pie atvasinājuma jēdziena. Uzdevums par nevienmērīgas taisnas kustības ātrumu S - nevienmērīgas taisnas kustības likums
Līnija plaknē Vispārējs taisnes vienādojums. Pirms plaknes taisnes vispārīgā vienādojuma ieviešanas iepazīstināsim ar vispārīgo taisnes definīciju. Definīcija. Vienādojumu formā F(x,y)=0 (1) sauc par līnijas vienādojumu L
ĻEŅINGRADAS REĢIONA VALSTS BUDŽETA PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDES VISPĀRĒJĀS UN PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS KOMITEJA ĻEŅINGRADAS REĢIONA PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDES “VOLKOVAS ALUMĪNIJA KOLEDŽA” Metodiskā
Atvasinājumi un diferenciācijas noteikumi Ļaujiet funkcijai y = f saņemt pieaugumu y f 0 f 0, kas atbilst argumenta 0 pieaugumam Definīcija Ja funkcijas y pieauguma attiecībai pret izsaucēju ir ierobežojums
Maskavas Valsts tehniskā universitāte, kas nosaukta N.E. Baumana Fundamentālo zinātņu fakultāte Matemātiskās modelēšanas katedra A.N. Kaviakovikovs, A.P. Kremenko
INVERSE FUNKCIJAS Problēmas, kurās ir iesaistītas apgrieztās funkcijas, ir atrodamas dažādās matemātikas nozarēs un tās lietojumos Svarīga matemātikas joma ir apgrieztās problēmas integrāļa teorijā
Uzdevumu sistēma par tēmu “Tangensvienādojums” Nosakiet funkcijas y f () grafikam novilktās pieskares slīpuma zīmi punktos ar abscisēm a, b, c a) b) Norādiet punktus, kuros atvasinājums.
Kas ir apgrieztā funkcija? Kā atrast dotās funkcijas apgriezto vērtību?
Definīcija .
Lai funkcija y=f(x) ir definēta uz kopas D, un E ir tās vērtību kopa. Apgrieztā funkcija attiecībā pret funkcija y=f(x) ir funkcija x=g(y), kas ir definēta kopā E un piešķir katram y∈E vērtību x∈D, lai f(x)=y.
Tādējādi funkcijas y=f(x) definīcijas apgabals ir tās apgrieztās funkcijas vērtību apgabals, un vērtību y=f(x) domēns ir apgrieztās funkcijas definīcijas domēns.
Lai atrastu dotās funkcijas y=f(x) apgriezto funkciju, nepieciešams :
1) Funkcijas formulā y vietā aizstājiet x un x vietā y:
2) No iegūtās vienādības izsakiet y līdz x:
Atrodiet funkcijas y=2x-6 apgriezto funkciju.
Funkcijas y=2x-6 un y=0,5x+3 ir savstarpēji apgrieztas.
Tiešo un apgriezto funkciju grafiki ir simetriski attiecībā pret taisni y=x(I un III koordinātu ceturkšņa bisektrise).
y=2x-6 un y=0,5x+3 - . Lineāras funkcijas grafiks ir . Lai izveidotu taisnu līniju, ņemiet divus punktus.
Viennozīmīgi y var izteikt ar x gadījumā, ja vienādojumam x=f(y) ir unikāls risinājums. To var izdarīt, ja funkcija y=f(x) ņem katru no tās vērtībām vienā definīcijas domēna punktā (šādu funkciju sauc atgriezenisks).
Teorēma (nepieciešams un pietiekams nosacījums funkcijas invertējamībai)
Ja funkcija y=f(x) ir definēta un nepārtraukta uz skaitliskā intervāla, tad, lai funkcija būtu invertējama, ir nepieciešams un pietiekami, lai f(x) būtu stingri monotons.
Turklāt, ja y=f(x) intervālā palielinās, tad šajā intervālā palielinās arī tai apgrieztā funkcija; ja y=f(x) samazinās, tad apgrieztā funkcija samazinās.
Ja atgriezeniskuma nosacījums nav izpildīts visā definīcijas apgabalā, varat izvēlēties intervālu, kurā funkcija tikai palielinās vai tikai samazinās, un šajā intervālā atrast funkciju, kas ir apgriezta dotajam.
Klasisks piemērs ir. Starp)
