Разложить на множители квадратный трехчлен. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Теперь твое мнение

На данном уроке мы с вами научимся раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители. Для этого необходимо вспомнить теорему Виета и обратную ей. Данное умение поможет нам быстро и удобно раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители, а также упростит сокращение дробей, состоящих из выражений.

Итак вернёмся к квадратному уравнению , где .

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

Где - старший коэффициент, - корни уравнения.

Итак, мы имеем квадратное уравнение - квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.

Доказательство:

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если - корни квадратного трёхчлена, у которого , то .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .

Мы видим, что, по теореме Виета, , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .

Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни . Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Видим, что на множители мы разложили верно, и любой трёхчлен, если он имеет корни, может быть разложен по данной теореме на линейные множители по формуле

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта

А мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.

Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.

Задача №1

В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Поскольку - корни уравнения, то - это квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа. Теперь раскроем скобки и проверим:

Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если - корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .

Для приведённого квадратного уравнения , , т. е. в данном случае , а .

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь .

Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .

Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант . Поскольку , то знак зависит от произведения ( должно быть меньше 0), в данном примере , т. е. заданное уравнение имеет корни.

Для решения используем теорему Виета:

В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система: , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е. .

Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .

Необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .

План – конспект урока (МБОУ «Черноморская средняя школа №2»

ФИО учителя

Пономаренко Владислав Вадимович

Предмет

Алгебра

Дата проведения урока

19.09.2018

№ урока

Класс

9Б

Тема урока

(в соответствии с КТП)

«Разложение квадратного трёхчлена на множители»

Целеполагание

- обучающие: научить учащихся раскладывать на множители квадратный трёхчлен, научить применять алгоритм разложения на множители квадратного трехчлена при решении примеров, рассмотреть задания базы данных ГИА, в которых используется алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители

-развивающие: развивать у школьников умение формулировать проблемы, предлагать пути их решения, содействовать развитию у школьников умений выделять главное в познавательном объекте.

-воспитательные: помочь учащимся осознать ценность совместной деятельности, содействовать развитию у детей умений осуществлять самоконтроль, самооценку и самокоррекцию учебной деятельности.

Тип урока

изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование:

мультимедийный проектор, экран, компьютер, дидактический материал, учебники, тетради, презентация к уроку

Ход урока

1. Организационный момент: учитель приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку.

Мотивирует учащихся:

Сегодня на уроке в совместной деятельности мы подтвердим слова Пойа (Слайд 1).(«Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы». Двердь Пойа.)

Сообщение о Пойа (Слайд 2)

Я хочу сделать вызов вашей любознательности. Рассмотрим задание из ГИА. Постройте график функции .

Можем ли мы, насладиться радостью победы и выполнить данное задание? (проблемная ситуация).

Как решить эту проблему?

- Наметить план действий для решения этой проблемы.

Корректирует план урока, комментирует принцип самостоятельной работы.

Самостоятельная работа (классу раздать листочки с текстом самостоятельной работы) (Приложение 1)

Самостоятельная работа

Разложите на множители:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2x 2 – 7x – 4.

Сократить дробь:

Слайд С ответами для самопроверки.

Вопрос классу :

Какие способы разложения многочлена на множители вы использовали?

Все ли многочлены вы смогли разложить на множители?

Все ли дроби смогли сократить?

Проблема2: Слайд

Как разложить на множители многочлен

2 x 2 – 7 x – 4?

Как сократить дробь?

Фронтальный опрос :

Что собой представляют многочлены

2 x 2 – 7 x – 4 и x 2 – 5 x +6?

Дайте определение квадратного трёхчлена.

Что мы знаем о квадратном трёхчлене?

Как найти его корни?

От чего зависит количество корней?

Сопоставьте эти знания с тем, что мы должны узнать и сформулируйте тему урока. (После этого на экране тема урока) Слайд

Поставим цель урока Слайд

Наметим конечный результат Слайд

Вопрос классу: Как решить эту проблему?

Класс работает в группах.

Задание группам:

по оглавлению найти нужную страницу, с карандашом в руках прочитать п.4 , выделить главную мысль, составить алгоритм, по которому любой квадратный трёхчлен можно разложить на множители.

Проверка выполнения задания классом (фронтальная работа):

Какова главная мысль пункта 4? Слайд (на экране формула разложения квадратного трёхчлена на множители).

Алгоритм на экране. Слайд

1.Приравнять квадратный трёхчлен к нулю.

2.Найти дискриминант.

3.Найти корни квадратного трёхчлена.

4.Подставить найденные корни в формулу.

5.Если необходимо, то внести старший коэффициент в скобки.

Ещё одна маленькая проблема : если D=0, то можно ли разложить квадратный трёхчлен на множители, и если можно, то как?

(Исследовательская работа в группах).

Слайд (на экране:

Если D = 0, то
.

Если квадратный трехчлен не имеет корней,

то его разложить на множители нельзя.)

Вернёмся к заданию в самостоятельной работе. Сможем ли теперь разложить на множители квадратные трёхчлены 2 x 2 – 7 x – 4 и x 2 – 5 x +6?

Класс работает самостоятельно, раскладывает на множители, я работаю индивидуально со слабыми учащимися.

Слайд (с решением) Взаимопроверка

Сможем ли сократить дробь?

Сократить дробь, вызываю к доске сильного ученика.

Вернёмся к заданию из ГИА. Сможем ли мы теперь построить график функции ?

Что является графиком данной функции?

Постройте график функции у себя в тетради.

Тест (с амостоятельная работа) Приложение 2

Самопроверка и самооценка Учащимся выданы листочки (Приложение 3), в которые надо записать ответы. В них даны критерии оценок.

Критерии оценок:

3 задания – оценка»4»

4задания – оценка «5»

Рефлексия: (слайд)

1.Сегодня на уроке я научился…

2.Сегодня на уроке я повторил…

3.Я закрепил…

4.Мне понравилось…

5.Я поставил себе оценку за деятельность на уроке…

6.Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…

7. Выполнили мы намеченный результат?

Слайд: Спасибо за урок!

Приложение 1

Самостоятельная работа

Разложите на множители:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

x 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 x 2 – 7 x – 4.

Сократить дробь:

Приложение 2

Тест

1 вариант

азложить на множители?

x 2 – 8x + 7;

x 2 – 8x + 16 ;

x 2 – 8x + 9;

x 2 – 8x + 1 7.

2 x 2 – 9 x – 5 = 2( x – 5)(…)?

Ответ: _________ .

Сократите дробь:

x – 3;

x + 3;

x – 4;

другой ответ.

Тест

2 вариант

Какой квадратный трехчлен нельзя р азложить на множители?

5 x 2 + x + 1;

⅓ x 2 –8x + 2;

0,1 x 2 + 3 x - 5;

x 2 + 4 x + 5.

Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было равенство: 2 x 2 + 5 x – 3 = 2( x + 3)(…)?

Ответ: _________ .

Сократите дробь:

3 x 2 – 6 x – 15;

0,25(3 x - 1);

0,25( x - 1);

другой ответ.

Приложение 3

Запишите ответы.

Критерии оценок:

Верно выполнено: 2 задание – оценка«3»

3 задания – оценка»4»

4задания – оценка «5»

Задание №1

Задание №2

Задание №3

1 вариант

2 вариант

Итак вернёмся к квадратному уравнению , где .

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

Где - старший коэффициент, - корни уравнения.

Доказательство:

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если - корни квадратного трёхчлена, у которого , то .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта

Задача №1

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если - корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .

Для приведённого квадратного уравнения , , т. е. в данном случае , а .

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь .

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .

Для решения используем теорему Виета:

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е. .

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .

Необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .

Данный онлайн-калькулятор предназначен для разложения функции на множители.

Например, разложить на множители: x 2 /3-3x+12 . Запишем как x^2/3-3*x+12 . Также можно использовать и этот сервис , где все выкладки сохраняются в формате Word .

Например, разложить на слагаемые . Запишем как (1-x^2)/(x^3+x) . Чтобы посмотреть ход решения, нажимаем Show steps . Если необходимо получить результат в формате Word используйте этот сервис .

Примечание : число "пи" (π) записывается как pi ; корень квадратный как sqrt , например, sqrt(3) , тангенс tg записывается как tan . Для просмотра ответа см. раздел Alternative .

Если задано простое выражение, например, 8*d+12*c*d , то выражение разложить на множители означает представить выражение в виде сомножителей. Для этого необходимо найти общие множители. Данное выражение запишем как: 4*d*(2+3*c) .
Представить произведение в виде двух двучленов: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Здесь уже надо найти несколько общих сомножителей: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Выносим (x+7z) и получаем: (x+7z)(x + 3y) .

см. также Деление многочленов уголком (показаны все шаги деления столбиком)

Полезным при изучении правил разложения на множители будут формулы сокращенного умножения , с помощью которых будет ясно, как раскрывать скобки с квадратом:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методы разложения на множители

Изучив несколько приемов разложение на множители можно составить следующую классификацию решений:

Использование формул сокращенного умножения.
Поиск общего множителя.

Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.

Содержание

См. также: Методы разложения многочленов на множители
Корни квадратного уравнения
Решение кубических уравнений

1. Примеры с решением квадратного уравнения

Пример 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2 .

Выносим x 2 за скобки:
.
2 + x - 6 = 0 :
.
Корни уравнения:
, .

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6 x 2 + 9 x .

Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6 x + 9 = 0 :
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3 .

Выносим x 3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 - 2 x + 10 = 0 .
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .

Разложение многочлена на множители имеет вид:
.

Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 + x 2 - 20 .

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) .

;
.

Пример 2.2

Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 + x 4 + 1 .

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) :

;

;
.

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен:
.

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = -1 . Делим многочлен на x - (-1) = x + 1 . В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;

;
.

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители:
.

Предположим, что уравнение

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504 ;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120 ;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60 ;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24 ;
1 3 - 6·1 2 + 11·1 - 6 = 0 ;
2 3 - 6·2 2 + 11·2 - 6 = 0 ;
3 3 - 6·3 2 + 11·3 - 6 = 0 ;
6 3 - 6·6 2 + 11·6 - 6 = 60 .

Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Поскольку исходный многочлен - третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители:
.

Предположим, что уравнение

имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
-2, -1, 1, 2 .
Подставляем поочередно эти значения:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12 ;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54 .

Итак, мы нашли один корень:
x 1 = -1 .
Делим многочлен на x - x 1 = x - (-1) = x + 1 :

Тогда,
.

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2 .
Подставим x = -1 :
.

Итак, мы нашли еще один корень x 2 = -1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.

Методы разложения на множители

1. Примеры с решением квадратного уравнения

Пример 1.1

Пример 1.2

Пример 1.3

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Пример 2.2

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Пример 3.2

Вас может заинтересовать