Rozšírenie polynómov na získanie produktu sa niekedy môže zdať mätúce. Ale nie je to také ťažké, ak pochopíte proces krok za krokom. Článok podrobne popisuje, ako faktorizovať kvadratický trinom.

Mnoho ľudí nerozumie tomu, ako vypočítať štvorcovú trojčlenku a prečo sa to robí. Spočiatku sa to môže zdať ako zbytočné cvičenie. Ale v matematike sa nič nerobí pre nič za nič. Transformácia je potrebná na zjednodušenie vyjadrenia a zjednodušenia výpočtu.

Polynóm v tvare – ax²+bx+c, nazývaný kvadratický trinom. Výraz „a“ musí byť záporný alebo kladný. V praxi sa tento výraz nazýva kvadratická rovnica. Preto to niekedy hovoria inak: ako rozšíriť kvadratickú rovnicu.

Zaujímavé! Polynóm sa nazýva štvorec kvôli jeho najväčšiemu stupňu, štvorcu. A trojčlenka - kvôli 3 komponentom.

Niektoré ďalšie typy polynómov:

• lineárny binomický (6x+8);
• kubický kvadrinom (x³+4x²-2x+9).

Rozdelenie kvadratického trinomu

Po prvé, výraz sa rovná nule, potom musíte nájsť hodnoty koreňov x1 a x2. Nemusí tam byť žiadne korene, môže existovať jeden alebo dva korene. Prítomnosť koreňov je určená diskriminantom. Musíte poznať jeho vzorec naspamäť: D=b²-4ac.

Ak je výsledok D negatívny, neexistujú žiadne korene. Ak je kladný, existujú dva korene. Ak je výsledok nula, koreň je jedna. Korene sa tiež vypočítajú pomocou vzorca.

Ak je pri výpočte diskriminantu výsledok nula, môžete použiť ktorýkoľvek zo vzorcov. V praxi sa vzorec jednoducho skráti: -b / 2a.

Vzorce pre rôzne diskriminačné hodnoty sú rôzne.

Ak je D kladné:

Ak je D nula:

Online kalkulačky

Na internete je online kalkulačka. Môže sa použiť na vykonanie faktorizácie. Niektoré zdroje poskytujú možnosť prezrieť si riešenie krok za krokom. Takéto služby pomáhajú lepšie porozumieť téme, no treba sa ju snažiť dobre pochopiť.

Užitočné video: Faktorizácia kvadratického trinomu

Príklady

Odporúčame pozrieť sa na jednoduché príklady, ako faktorizovať kvadratickú rovnicu.

Príklad 1

To jasne ukazuje, že výsledkom sú dve x, pretože D je kladné. Je potrebné ich nahradiť do vzorca. Ak sa ukáže, že korene sú negatívne, znamienko vo vzorci sa zmení na opak.

Poznáme vzorec na rozklad kvadratického trinómu: a(x-x1)(x-x2). Hodnoty vložíme do zátvoriek: (x+3)(x+2/3). V mocnine nie je žiadne číslo pred pojmom. To znamená, že tam je jeden, ide dole.

Príklad 2

Tento príklad jasne ukazuje, ako vyriešiť rovnicu, ktorá má jeden koreň.

Výslednú hodnotu dosadíme:

Príklad 3

Dané: 5x²+3x+7

Najprv si vypočítajme diskriminant, ako v predchádzajúcich prípadoch.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant je záporný, čo znamená, že neexistujú žiadne korene.

Po obdržaní výsledku by ste mali otvoriť zátvorky a skontrolovať výsledok. Mal by sa objaviť pôvodný trojčlen.

Alternatívne riešenie

Niektorí ľudia sa nikdy nedokázali spriateliť s diskriminátorom. Existuje ďalší spôsob rozkladu kvadratického trinomu. Pre pohodlie je metóda znázornená na príklade.

Dané: x²+3x-10

Vieme, že by sme mali dostať 2 zátvorky: (_)(_). Keď výraz vyzerá takto: x²+bx+c, na začiatok každej zátvorky vložíme x: (x_)(x_). Zvyšné dve čísla sú súčin, ktorý dáva „c“, t.j. v tomto prípade -10. Jediný spôsob, ako zistiť, o aké čísla ide, je výber. Nahradené čísla musia zodpovedať zvyšnému termínu.

Napríklad vynásobením nasledujúcich čísel získate -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nie
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nie
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nie
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Pasuje.

To znamená, že transformácia výrazu x2+3x-10 vyzerá takto: (x-2)(x+5).

Dôležité! Mali by ste byť opatrní, aby ste si nepomýlili znamenia.

Rozšírenie komplexného trinomu

Ak je „a“ väčšie ako jedna, začínajú ťažkosti. Ale všetko nie je také ťažké, ako sa zdá.

Ak chcete faktorizovať, musíte najprv zistiť, či sa dá niečo vypočítať.

Napríklad pri výraze: 3x²+9x-30. Tu je číslo 3 vyňaté zo zátvoriek:

3(x²+3x-10). Výsledkom je už dobre známa trojčlenka. Odpoveď vyzerá takto: 3(x-2)(x+5)

Ako rozložiť, ak je výraz, ktorý je v štvorci, záporný? V tomto prípade je číslo -1 vyňaté zo zátvoriek. Napríklad: -x²-10x-8. Výraz potom bude vyzerať takto:

Schéma sa len málo líši od predchádzajúcej. Je tu len pár nových vecí. Povedzme, že je daný výraz: 2x²+7x+3. Odpoveď je tiež napísaná v 2 zátvorkách, ktoré je potrebné vyplniť (_)(_). V 2. zátvorke je napísané x a v 1. čo ostalo. Vyzerá to takto: (2x_) (x_). V opačnom prípade sa zopakuje predchádzajúca schéma.

Číslo 3 je dané číslami:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Rovnice riešime dosadením týchto čísel. Posledná možnosť je vhodná. To znamená, že transformácia výrazu 2x²+7x+3 vyzerá takto: (2x+1)(x+3).

Iné prípady

Nie vždy je možné previesť výraz. Pri druhej metóde nie je potrebné riešiť rovnicu. Ale možnosť transformácie výrazov na produkt sa kontroluje iba cez diskriminant.

Oplatí sa precvičiť riešenie kvadratických rovníc, aby pri používaní vzorcov nevznikali žiadne ťažkosti.

Užitočné video: faktorizácia trojčlenky

Záver

Môžete ho použiť akýmkoľvek spôsobom. Ale je lepšie cvičiť oboje, kým sa nestanú automatickými. Naučiť sa dobre riešiť kvadratické rovnice a faktorové polynómy je tiež potrebné pre tých, ktorí plánujú spojiť svoj život s matematikou. Na tom sú postavené všetky nasledujúce matematické témy.

V kontakte s

Faktorovanie polynómov je transformácia identity, v dôsledku ktorej sa polynóm premení na súčin viacerých faktorov – polynómov alebo monomálov.

Existuje niekoľko spôsobov, ako faktorizovať polynómy.

Metóda 1. Vybratie spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Táto transformácia je založená na distributívnom zákone násobenia: ac + bc = c(a + b). Podstatou transformácie je izolovať spoločný faktor v dvoch uvažovaných zložkách a „vybrať“ ho zo zátvoriek.

Vynásobme polynóm 28x 3 – 35x 4.

Riešenie.

1. Nájdite spoločného deliteľa pre prvky 28x3 a 35x4. Pre 28 a 35 to bude 7; pre x 3 a x 4 – x 3. Inými slovami, náš spoločný faktor je 7x3.

2. Každý z prvkov predstavujeme ako súčin faktorov, z ktorých jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Zo zátvoriek vyberieme spoločný faktor
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metóda 2. Použitie skrátených vzorcov na násobenie. „Majstrovstvom“ používania tejto metódy je všimnúť si jeden zo skrátených vzorcov násobenia vo výraze.

Vynásobme polynóm x 6 – 1.

Riešenie.

1. Na tento výraz môžeme použiť vzorec rozdielu štvorcov. Aby ste to urobili, predstavte si x 6 ako (x 3) 2 a 1 ako 1 2, t.j. 1. Výraz bude mať tvar:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Na výsledný výraz môžeme použiť vzorec pre súčet a rozdiel kociek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

takže,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metóda 3. Zoskupovanie. Metóda zoskupovania spočíva v spájaní zložiek polynómu tak, aby sa s nimi dali ľahko vykonávať operácie (sčítanie, odčítanie, odčítanie spoločného činiteľa).

Vynásobme polynóm x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Riešenie.

1. Zoraďme komponenty takto: 1. s 2. a 3. so 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Vo výslednom výraze vyberieme zo zátvoriek spoločné činitele: x 2 v prvom prípade a 5 v druhom.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).

3. Vyberieme spoločný faktor x – 3 zo zátvoriek a dostaneme:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).

takže,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Zabezpečme materiál.

Faktor polynómu a 2 – 7ab + 12b 2 .

Riešenie.

1. Znázornime monomiál 7ab ako súčet 3ab + 4ab. Výraz bude mať tvar:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otvorme zátvorky a získame:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Zoskupme zložky polynómu takto: 1. s 2. a 3. so 4.. Dostaneme:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Vyberme zo zátvoriek bežné faktory:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Vyberme spoločný faktor (a – 3b) zo zátvoriek:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

takže,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Aby bolo možné faktorizovať, je potrebné zjednodušiť výrazy. To je potrebné, aby sa mohlo ďalej znižovať. Rozšírenie polynómu má zmysel vtedy, keď jeho stupeň nie je nižší ako dva. Polynóm s prvým stupňom sa nazýva lineárny.

Článok bude pokrývať všetky koncepty rozkladu, teoretické základy a metódy faktorizácie polynómu.

teória

Veta 1

Pri akomkoľvek polynóme so stupňom n, ktorý má tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sú reprezentované ako súčin s konštantným faktorom s najvyšším stupňom a n a n lineárnych faktorov (x - x i), i = 1, 2, ..., n, potom P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kde x i, i = 1, 2, …, n sú korene polynómu.

Veta je určená pre korene komplexného typu x i, i = 1, 2, …, n a pre komplexné koeficienty a k, k = 0, 1, 2, …, n. To je základ každého rozkladu.

Keď koeficienty tvaru a k, k = 0, 1, 2, …, n sú reálne čísla, potom sa komplexné korene budú vyskytovať v konjugovaných pároch. Napríklad korene x 1 a x 2 súvisia s polynómom v tvare P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sa považujú za komplexne konjugované, potom sú ostatné korene reálne, z čoho dostaneme, že polynóm má tvar P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).

Komentujte

Korene polynómu sa môžu opakovať. Zoberme si dôkaz algebrickej vety, dôsledok Bezoutovej vety.

Základná veta algebry

Veta 2

Každý polynóm so stupňom n má aspoň jeden koreň.

Bezoutova veta

Po delení polynómu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s), potom dostaneme zvyšok, ktorý sa rovná polynómu v bode s, potom dostaneme

Pn x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynóm so stupňom n - 1.

Dôsledok Bezoutovej vety

Keď sa koreň polynómu P n (x) považuje za s, potom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Qn - 1 (x) . Tento dôsledok je dostatočný, keď sa použije na opis riešenia.

Rozdelenie kvadratického trinomu

Štvorcový trojčlen v tvare a x 2 + b x + c možno rozdeliť na lineárne faktory. potom dostaneme, že a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kde x 1 a x 2 sú korene (komplexné alebo skutočné).

To ukazuje, že samotná expanzia sa redukuje na následné riešenie kvadratickej rovnice.

Príklad 1

Faktor kvadratického trinomu.

Riešenie

Je potrebné nájsť korene rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby ste to dosiahli, musíte pomocou vzorca nájsť hodnotu diskriminantu, potom dostaneme D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Odtiaľ to máme

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Z toho dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Ak chcete vykonať kontrolu, musíte otvoriť zátvorky. Potom dostaneme výraz vo forme:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Po kontrole sa dostávame k pôvodnému výrazu. To znamená, že môžeme konštatovať, že rozklad bol vykonaný správne.

Príklad 2

Faktor kvadratického trinomu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 .

Riešenie

Zistíme, že je potrebné vypočítať výslednú kvadratickú rovnicu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Ak chcete nájsť korene, musíte určiť hodnotu diskriminantu. Chápeme to

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Z toho dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Príklad 3

Vynásobte polynóm 2 x 2 + 1.

Riešenie

Teraz musíme vyriešiť kvadratickú rovnicu 2 x 2 + 1 = 0 a nájsť jej korene. Chápeme to

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Tieto korene sa nazývajú komplexne konjugované, čo znamená, že samotná expanzia môže byť znázornená ako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Príklad 4

Rozlož kvadratickú trojčlenku x 2 + 1 3 x + 1 .

Riešenie

Najprv musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a nájsť jej korene.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Po získaní koreňov píšeme

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Komentujte

Ak je diskriminačná hodnota záporná, potom polynómy zostanú polynómami druhého rádu. Z toho vyplýva, že ich nebudeme rozširovať na lineárne faktory.

Metódy faktorizácie polynómu stupňa vyššieho ako dva

Pri rozklade sa predpokladá univerzálna metóda. Väčšina všetkých prípadov je založená na dôsledku Bezoutovej vety. Aby ste to dosiahli, musíte vybrať hodnotu koreňa x 1 a znížiť jeho stupeň delením polynómom o 1 delením (x - x 1). Výsledný polynóm potrebuje nájsť koreň x 2 a proces vyhľadávania je cyklický, kým nedosiahneme úplné rozšírenie.

Ak sa koreň nenájde, potom sa použijú iné metódy faktorizácie: zoskupenie, ďalšie výrazy. Táto téma zahŕňa riešenie rovníc s vyššími mocninami a celočíselnými koeficientmi.

Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek

Uvažujme prípad, keď sa voľný člen rovná nule, potom tvar polynómu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Je vidieť, že koreň takéhoto polynómu sa bude rovnať x 1 = 0, potom je možné polynóm znázorniť ako výraz P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Táto metóda sa považuje za vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.

Príklad 5

Faktor polynómu tretieho stupňa 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Riešenie

Vidíme, že x 1 = 0 je koreň daného polynómu, potom môžeme odstrániť x zo zátvoriek celého výrazu. Dostaneme:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Prejdime k hľadaniu koreňov štvorcového trojčlenu 4 x 2 + 8 x - 1. Poďme nájsť diskriminant a korene:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Potom z toho vyplýva

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Na začiatok zoberme do úvahy metódu rozkladu obsahujúcu celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, kde koeficient najvyššieho stupňa je 1.

Keď má polynóm celé číslo, potom sa považujú za deliteľa voľného člena.

Príklad 6

Rozložte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Riešenie

Zvážme, či existujú úplné korene. Je potrebné zapísať deliteľa čísla - 18. Dostaneme, že ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Z toho vyplýva, že tento polynóm má celočíselné korene. Môžete to skontrolovať pomocou Hornerovej schémy. Je to veľmi pohodlné a umožňuje vám rýchlo získať koeficienty expanzie polynómu:

Z toho vyplýva, že x = 2 a x = - 3 sú korene pôvodného polynómu, ktorý možno znázorniť ako súčin tvaru:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Pristúpime k rozvoju kvadratického trinómu v tvare x 2 + 2 x + 3.

Keďže diskriminant je záporný, znamená to, že neexistujú žiadne skutočné korene.

odpoveď: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentujte

Namiesto Hornerovej schémy je dovolené použiť výber koreňa a delenie polynómu polynómom. Prejdime k úvahe o expanzii polynómu obsahujúceho celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z ktorých najvyššia sa rovná jednej.

Tento prípad nastáva pre racionálne zlomky.

Príklad 7

Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Riešenie

Je potrebné nahradiť premennú y = 2 x, mali by ste prejsť na polynóm s koeficientmi rovnými 1 na najvyššom stupni. Musíte začať vynásobením výrazu číslom 4. Chápeme to

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Keď má výsledná funkcia tvaru g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celé číslo, potom je ich umiestnenie medzi deliteľmi voľného člena. Záznam bude vyzerať takto:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Prejdime k výpočtu funkcie g (y) v týchto bodoch, aby sme vo výsledku dostali nulu. Chápeme to

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Zistíme, že y = - 5 je koreň rovnice v tvare y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, čo znamená, že x = y 2 = - 5 2 je koreň pôvodnej funkcie.

Príklad 8

Je potrebné rozdeliť stĺpcom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.

Riešenie

Zapíšme si to a získame:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Kontrola deliteľov zaberie veľa času, preto je výhodnejšie výsledný kvadratický trojčlen v tvare x 2 + 7 x + 3 rozložiť na faktor. Vyrovnaním nuly nájdeme diskriminant.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Z toho vyplýva

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Umelé techniky faktorizácie polynómu

Racionálne korene nie sú vlastné všetkým polynómom. Aby ste to dosiahli, musíte použiť špeciálne metódy na nájdenie faktorov. Ale nie všetky polynómy môžu byť rozšírené alebo reprezentované ako súčin.

Metóda zoskupovania

Existujú prípady, keď môžete zoskupiť členy polynómu, aby ste našli spoločný faktor a dali ho mimo zátvorky.

Príklad 9

Vynásobte polynóm x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Riešenie

Pretože koeficienty sú celé čísla, potom korene môžu byť pravdepodobne aj celé čísla. Pre kontrolu vezmite hodnoty 1, - 1, 2 a - 2, aby ste vypočítali hodnotu polynómu v týchto bodoch. Chápeme to

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

To ukazuje, že neexistujú žiadne korene, je potrebné použiť iný spôsob expanzie a riešenia.

Je potrebné zoskupiť:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Po zoskupení pôvodného polynómu ho musíte reprezentovať ako súčin dvoch štvorcových trojčlenov. Aby sme to dosiahli, musíme faktorizovať. dostaneme to

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentujte

Jednoduchosť zoskupovania neznamená, že výber výrazov je dostatočne jednoduchý. Neexistuje žiadna špecifická metóda riešenia, preto je potrebné použiť špeciálne vety a pravidlá.

Príklad 10

Faktor polynóm x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Riešenie

Daný polynóm nemá celočíselné korene. Pojmy by mali byť zoskupené. Chápeme to

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktorizácii to dostaneme

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Použitie skrátených vzorcov na násobenie a Newtonovho binomu na faktor polynómu

Zo vzhľadu často nie je vždy jasné, ktorá metóda by sa mala pri rozklade použiť. Po vykonaní transformácií môžete zostaviť čiaru pozostávajúcu z Pascalovho trojuholníka, inak sa nazývajú Newtonov binom.

Príklad 11

Vynásobte polynóm x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Riešenie

Je potrebné previesť výraz do formy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Postupnosť koeficientov súčtu v zátvorkách je označená výrazom x + 1 4 .

To znamená, že máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Po nanesení rozdielu štvorcov dostaneme

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Zvážte výraz, ktorý je v druhej zátvorke. Je jasné, že tam nie sú žiadni rytieri, takže by sme mali znova použiť vzorec rozdielu štvorcov. Dostaneme vyjadrenie formy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Príklad 12

Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Riešenie

Začnime transformovať výraz. Chápeme to

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie rozdielu kociek. Dostaneme:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metóda nahradenia premennej pri faktorizácii polynómu

Pri nahradení premennej sa stupeň zníži a polynóm sa rozloží.

Príklad 13

Faktor polynóm tvaru x 6 + 5 x 3 + 6 .

Riešenie

Podľa podmienky je zrejmé, že je potrebné urobiť náhradu y = x 3. Dostaneme:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Korene výslednej kvadratickej rovnice sú teda y = - 2 a y = - 3

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie súčtu kociek. Dostávame výrazy vo forme:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

To znamená, že sme získali požadovaný rozklad.

Vyššie uvedené prípady pomôžu pri zvažovaní a faktorizácii polynómu rôznymi spôsobmi.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vo všeobecnosti si táto úloha vyžaduje kreatívny prístup, pretože neexistuje univerzálna metóda na jej riešenie. Ale skúsme dať pár tipov.

V drvivej väčšine prípadov je faktorizácia polynómu založená na dôsledku Bezoutovej vety, to znamená, že koreň sa nájde alebo vyberie a stupeň polynómu sa zníži o jednu delením . Hľadá sa koreň výsledného polynómu a proces sa opakuje až do úplného rozšírenia.

Ak koreň nemožno nájsť, potom sa použijú špecifické metódy rozšírenia: od zoskupovania až po zavedenie ďalších vzájomne sa vylučujúcich výrazov.

Ďalšia prezentácia je založená na zručnostiach riešenia rovníc vyšších stupňov s celočíselnými koeficientmi.

Vymedzenie spoločného faktora.

Začnime s najjednoduchším prípadom, keď sa voľný člen rovná nule, čiže polynóm má tvar .

Je zrejmé, že koreň takéhoto polynómu je , to znamená, že polynóm môžeme reprezentovať v tvare .

Táto metóda nie je nič iné ako uvedenie spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Príklad.

Faktor polynómu tretieho stupňa.

Riešenie.

Je zrejmé, čo je koreňom polynómu, tj X možno vyňať zo zátvoriek:

Poďme nájsť korene kvadratického trinomu

teda

Začiatok stránky

Rozdelenie polynómu s racionálnymi koreňmi.

Najprv zvážime metódu rozšírenia polynómu s celočíselnými koeficientmi tvaru , koeficient najvyššieho stupňa sa rovná jednej.

V tomto prípade, ak má polynóm celé číslo, potom sú deliteľmi voľného člena.

Príklad.

Riešenie.

Skontrolujeme, či sú neporušené korene. Ak to chcete urobiť, zapíšte si deliteľa čísla -18 : . To znamená, že ak má polynóm celé číslo, patria medzi zapísané čísla. Skontrolujme tieto čísla postupne pomocou Hornerovej schémy. Jeho výhoda spočíva aj v tom, že nakoniec získame koeficienty expanzie polynómu:

teda x=2 A x = -3 sú korene pôvodného polynómu a môžeme ho reprezentovať ako súčin:

Zostáva rozšíriť kvadratický trinom.

Diskriminant tejto trojčlenky je záporný, preto nemá žiadne skutočné korene.

odpoveď:

komentár:

Namiesto Hornerovej schémy by sa dal použiť výber koreňa a následné delenie polynómu polynómom.

Teraz zvážte rozšírenie polynómu s celočíselnými koeficientmi tvaru , pričom koeficient najvyššieho stupňa sa nerovná jednej.

V tomto prípade môže mať polynóm zlomkové racionálne korene.

Príklad.

Zvážte výraz.

Riešenie.

Vykonaním premennej zmeny y=2x, prejdime k polynómu s koeficientom rovným jednej na najvyššom stupni. Ak to chcete urobiť, najprv vynásobte výraz číslom 4 .

Ak má výsledná funkcia celočíselné korene, potom patria medzi deliteľov voľného člena. Zapíšme si ich:

Poďme postupne vypočítať hodnoty funkcie g(y) v týchto bodoch, kým sa nedosiahne nula.

teda y = -5 je koreň , je teda koreňom pôvodnej funkcie. Rozdeľme polynóm stĺpcom (rohom) na dvojčlen.

teda

Neodporúča sa pokračovať v kontrole zostávajúcich deliteľov, pretože je jednoduchšie rozložiť výsledný kvadratický trinom

teda

Neznáme polynómy. Veta o rozdelení polynómov pri sčítaní neznámych. Kanonické usporiadanie polynómu.

Polynóm je výraz pozostávajúci zo súčtu monomov. Tie sú súčinom konštanty (čísla) a koreňa (alebo koreňov) výrazu na mocninu k. V tomto prípade hovoríme o polynóme stupňa k. Rozšírenie polynómu zahŕňa transformáciu výrazu, v ktorom sú členy nahradené faktormi. Pozrime sa na hlavné spôsoby vykonania tohto druhu transformácie.

Metóda rozšírenia polynómu izoláciou spoločného činiteľa

Táto metóda je založená na zákonoch distribučného zákona. Takže mn + mk = m * (n + k).

• Príklad: expandovať 7r 2 + 2uy a 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7r 2 + 2uy = y * (7r + 2u),

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m2 – 6m + 2l).

Faktor, ktorý je nevyhnutne prítomný v každom polynóme, však nemusí byť vždy nájdený, takže táto metóda nie je univerzálna.

Metóda rozšírenia polynómu založená na skrátených vzorcoch násobenia

Skrátené vzorce násobenia sú platné pre polynómy akéhokoľvek stupňa. Vo všeobecnosti výraz transformácie vyzerá takto:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), kde k je zástupca prirodzené čísla.

V praxi sa najčastejšie používajú vzorce pre polynómy druhého a tretieho rádu:

u 2 – l 2 = (u – l) (u + l),

u 3 – l 3 = (u – l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 – ul + l 2).

• Príklad: rozšírenie 25p 2 – 144b 2 a 64m 3 – 8l 3.

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),

64 m 3 – 8 l 3 = (4 m) 3 – (2 l) 3 = (4 m – 2 l) ((4 m) 2 + 4 m * 2 l + (2 l) 2) = (4 m – 2 l) (16 m 2 + 8 ml + 4 l 2 ).

Metóda polynomického rozšírenia - zoskupenie členov výrazu

Táto metóda má určitým spôsobom niečo spoločné s technikou odvodenia spoločného faktora, ale má určité rozdiely. Najmä pred izoláciou spoločného faktora by sa mali monomiály zoskupiť. Zoskupenie je založené na pravidlách kombinačných a komutatívnych zákonov.

Všetky monomiály uvedené vo výraze sú rozdelené do skupín, z ktorých každá má spoločnú hodnotu, takže druhý faktor bude rovnaký vo všetkých skupinách. Vo všeobecnosti možno túto metódu rozkladu znázorniť ako výraz:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

• Príklad: rozložené 14mn + 16ln – 49m – 56l.

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).

Metóda polynomickej expanzie - vytvorenie dokonalého štvorca

Táto metóda je jednou z najúčinnejších pri rozširovaní polynómu. V počiatočnom štádiu je potrebné určiť monomiály, ktoré sa môžu „zrútiť“ na druhú mocninu rozdielu alebo súčtu. Ak to chcete urobiť, použite jeden zo vzťahov:

(p – b) 2 = p 2 – 2 pb + b 2,

• Príklad: rozviňte výraz u 4 + 4u 2 – 1.

Spomedzi jeho monomiálov vyberieme členy, ktoré tvoria úplný štvorec: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

Dokončite transformáciu pomocou skrátených pravidiel násobenia: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

To. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5) (u 2 + 2 + √5).