Trigonometrická rovina. Trigonometrický tvar komplexných čísel. Komplexné čísla v trigonometrickom tvare

Prednáška

Trigonometrický tvar komplexného čísla

Plán

1. Geometrická reprezentácia komplexných čísel.

2. Goniometrický zápis komplexných čísel.

3. Akcie na komplexných číslach v goniometrickom tvare.

Geometrické znázornenie komplexných čísel.

a) Komplexné čísla sú znázornené bodmi v rovine podľa nasledujúceho pravidla: a + bi = M ( a ; b ) (obr. 1).

Obrázok 1

b) Komplexné číslo môže byť reprezentované vektorom, ktorý začína v bodeO a koniec v danom bode (obr. 2).

Obrázok 2

Príklad 7. Zostrojte body reprezentujúce komplexné čísla:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (obr. 3).

Obrázok 3

Trigonometrický zápis komplexných čísel.

Komplexné čísloz = a + bi možno špecifikovať pomocou vektora polomeru so súradnicami( a ; b ) (obr. 4).

Obrázok 4

Definícia . Dĺžka vektora , ktoré predstavuje komplexné čísloz , sa nazýva modul tohto čísla a označuje sa alebor .

Pre akékoľvek komplexné čísloz jeho modulr = | z | je určený jednoznačne vzorcom .

Definícia . Veľkosť uhla medzi kladným smerom reálnej osi a vektorom , predstavujúce komplexné číslo, sa nazýva argument tohto komplexného čísla a označuje saA rg z aleboφ .

Argument komplexných číselz = 0 neurčitý. Argument komplexných číselz≠ 0 – viachodnotová veličina a je určená v rámci termínu2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Kdearg z – hlavná hodnota argumentu obsiahnutého v intervale(-π; π] , teda-π < arg z ≤ π (niekedy sa za hlavnú hodnotu argumentu berie hodnota patriaca do intervalu .

Tento vzorec kedyr =1 často nazývaný Moivreov vzorec:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Príklad 11: Vypočítajte(1 + i ) 100 .

Napíšeme komplexné číslo1 + i v trigonometrickej forme.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (kos + hreším )] 100 = ( ) 100 (kos 100 + hreším ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extrahovanie druhej odmocniny komplexného čísla.

Pri preberaní druhej odmocniny komplexného číslaa + bi máme dva prípady:

Akb >o , To ;

Zvážte komplexné číslo uvedené v obvyklej (algebraickej) forme:

Obrázok 3 zobrazuje komplexné číslo z. Súradnice tohto čísla v karteziánskom súradnicovom systéme ( a, b). Z definície funkcií hriechu a cos akéhokoľvek uhla vyplýva:

Táto forma záznamu je tzv trigonometrické forma zápisu komplexného čísla.

Rovnice (2) sa odmocnia a pridajú sa:

(4)

r−dĺžka vektora polomeru komplexného čísla z sa nazýva modul komplexného čísla a označuje sa | z|. Samozrejme | z|≥0 a | z|=0 vtedy a len vtedy z=0.

Veľkosť polárneho uhla bodu zodpovedajúceho komplexnému číslu z, t.j. uhol φ , sa nazýva argument tohto čísla a označuje sa arg z. Všimni si arg z dáva zmysel len vtedy z≠0. Argument komplexného čísla 0 nedáva zmysel.

Argument komplexného čísla nie je jednoznačne definovaný. Ak φ argument komplexného čísla teda φ +2πk, k=0,1,... je tiež argumentom komplexného čísla, pretože cos( φ +2πk)=cos φ ,hriech( φ +2πk)=hriech φ .

Prevod komplexného čísla z algebraickej formy do goniometrickej formy

Nech je komplexné číslo reprezentované v algebraickom tvare: z=a+bi. Predstavme si toto číslo v trigonometrickom tvare. Vypočítame modul komplexného čísla: . Vypočítajte argument φ komplexné číslo z výrazov alebo . Získané hodnoty vložíme do rovnice (3).

Príklad 1: Predstavuje komplexné číslo z= 1 v trigonometrickom tvare.

Riešenie. Komplexné číslo z=1 môže byť reprezentované takto: z=1+0i φ = 1/1. Odkiaľ to máme? φ =0. Nahradením hodnôt modulu a argumentu do (3) dostaneme: z=1(cos0+ i hriech0).

Odpoveď. z=1(cos0+ i hriech0).

Príklad 2: Predstavuje komplexné číslo z=i v trigonometrickej forme.

Riešenie. Komplexné číslo z=i môže byť reprezentovaný takto: z=0+1i. Vypočítajme modul tohto čísla: . Vypočítajme argument tohto čísla: cos φ = 0/1. Odkiaľ to máme? φ =π /2. Nahradením hodnôt modulu a argumentu do (3) dostaneme: .

Odpoveď. .

Príklad 3: Predstavuje komplexné číslo z=4+3i v trigonometrickej forme.

Riešenie. Vypočítajme modul tohto čísla: . Vypočítajme argument tohto čísla: cos φ = 4/5. Odkiaľ to máme? φ =arccos(4/5). Dosadením hodnôt modulu a argumentu do (3) dostaneme: .

Odpoveď. , Kde φ =arccos(4/5).

Násobenie komplexných čísel v trigonometrickom zápise

z 1 =r 1 (cos φ 1 +i hriech φ 1) a z 2 =r 2 (cos φ 2 +i hriech φ 2). Vynásobme tieto čísla:

tie. modul súčinu komplexných čísel sa rovná súčinu modulov faktorov.

Odpoveď. .

Delenie komplexných čísel v trigonometrickom zápise

Nech sú uvedené komplexné čísla z 1 =r 1 (cos φ 1 +i hriech φ 1) a z 2 =r 2 (cos φ 2 +i hriech φ 2) a nechajte z 2 ≠0, t.j. r 2 ≠0. Poďme počítať z 1 /z 2:

Odpoveď. .

Geometrický význam násobenia a delenia

Obrázok 4 ukazuje násobenie komplexných čísel z 1 a z 2. Z (6) a (7) vyplýva, že získať produkt z 1 z 2, potrebujete vektorový polomer bodu z 1 otočenie proti smeru hodinových ručičiek o uhol φ 2 a natiahnuť na | z 2 | krát (pri 0z 2 |

Uvažujme teraz o delení komplexného čísla z 1 z 2 na z 1 (obr. 4). Zo vzorca (8) vyplýva, že modul požadovaného čísla sa rovná podielu delenia modulu čísla z 1 z 2 na modul čísla z 1 a argument je: φ 2 =φ −φ 1. V dôsledku delenia dostaneme číslo z 2 .

V tejto časti si povieme viac o goniometrickom tvare komplexného čísla. Ukážková forma je v praktických úlohách oveľa menej bežná. Odporúčam stiahnuť a vytlačiť, ak je to možné. trigonometrické tabuľky, metodický materiál nájdete na stránke Matematické vzorce a tabuľky. Bez stolov sa ďaleko nedostanete.

Akékoľvek komplexné číslo (okrem nuly) je možné zapísať v trigonometrickom tvare:

Kde to je modul komplexného čísla, A - argument komplexného čísla.

Predstavme si číslo v komplexnej rovine. Pre jednoznačnosť a jednoduchosť vysvetlenia ho umiestnime do prvého súradnicového kvadrantu, t.j. veríme, že:

Modul komplexného čísla je vzdialenosť od začiatku k príslušnému bodu v komplexnej rovine. Jednoducho povedané, modul je dĺžka vektor polomeru, ktorý je na výkrese vyznačený červenou farbou.

Modul komplexného čísla sa zvyčajne označuje: alebo

Pomocou Pytagorovej vety je ľahké odvodiť vzorec na nájdenie modulu komplexného čísla: . Tento vzorec je správny pre akékoľvek významy „a“ a „byť“.

Poznámka : Modul komplexného čísla je zovšeobecnením pojmu modul reálneho čísla, ako vzdialenosť od bodu k počiatku.

Argument komplexného čísla volal rohu medzi kladná poloos reálna os a vektor polomeru nakreslený z počiatku do zodpovedajúceho bodu. Argument nie je definovaný pre jednotné číslo:.

Uvažovaný princíp je v skutočnosti podobný polárnym súradniciam, kde polárny polomer a polárny uhol jednoznačne definujú bod.

Argument komplexného čísla sa štandardne označuje: alebo

Z geometrických úvah získame nasledujúci vzorec na nájdenie argumentu:

. Pozor! Tento vzorec funguje len v správnej polrovine! Ak sa komplexné číslo nenachádza v 1. alebo 4. súradnicovom kvadrante, vzorec sa bude mierne líšiť. Budeme analyzovať aj tieto prípady.

Najprv sa však pozrime na najjednoduchšie príklady, keď sa komplexné čísla nachádzajú na súradnicových osiach.

Príklad 7

Reprezentujú komplexné čísla v goniometrickom tvare: ,,,. Urobme výkres:

V skutočnosti je úloha ústna. Pre prehľadnosť prepíšem trigonometrickú formu komplexného čísla:

Pamätajme si pevne, modul – dĺžka(čo je vždy nezáporné), argument - rohu

1) Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Poďme nájsť jeho modul a argument. To je zrejmé. Formálny výpočet pomocou vzorca:. Je zrejmé, že (číslo leží priamo na skutočnej kladnej poloosi). Teda číslo v trigonometrickom tvare:.

Akcia spätnej kontroly je jasná ako deň:

2) Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Poďme nájsť jeho modul a argument. To je zrejmé. Formálny výpočet pomocou vzorca:. Samozrejme (alebo 90 stupňov). Na výkrese je roh označený červenou farbou. Takže číslo v trigonometrickom tvare je: .

Použitím , je ľahké získať späť algebraický tvar čísla (súčasne vykonať kontrolu):

3) Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Poďme nájsť jeho modul a

argument. Je zrejmé, že. Formálny výpočet pomocou vzorca:

Samozrejme (alebo 180 stupňov). Na výkrese je roh označený modrou farbou. Teda číslo v trigonometrickom tvare:.

Vyšetrenie:

4) A štvrtý zaujímavý prípad. To je zrejmé. Formálny výpočet pomocou vzorca:.

Argument možno zapísať dvoma spôsobmi: Prvým spôsobom: (270 stupňov) a podľa toho: . Vyšetrenie:

Nasledujúce pravidlo je však štandardnejšie: Ak je uhol väčší ako 180 stupňov, potom sa píše so znamienkom mínus a opačnou orientáciou („rolovanie“) uhla: (mínus 90 stupňov), na výkrese je uhol označený zelenou farbou. Je ľahké si to všimnúť

čo je rovnaký uhol.

Zápis má teda tvar:

Pozor! V žiadnom prípade by ste nemali používať paritu kosínusu, nepárnosť sínusu a ďalej „zjednodušovať“ zápis:

Mimochodom, je užitočné zapamätať si vzhľad a vlastnosti goniometrických a inverzných goniometrických funkcií, referenčné materiály sa nachádzajú v posledných odsekoch stránky Grafy a vlastnosti základných elementárnych funkcií. A komplexné čísla sa budú učiť oveľa jednoduchšie!

Pri návrhu najjednoduchších príkladov by ste to mali napísať takto: : "je zrejmé, že modul je... je zrejmé, že argument je...". To je naozaj zrejmé a ľahko ústne vyriešiť.

Poďme sa pozrieť na bežnejšie prípady. S modulom nie sú žiadne problémy, vždy by ste mali použiť vzorec. Ale vzorce na nájdenie argumentu budú rôzne, záleží na tom, v ktorej súradnicovej štvrtine číslo leží. V tomto prípade sú možné tri možnosti (je užitočné ich prepísať):

1) Ak (1. a 4. súradnicové štvrtiny alebo pravá polrovina), potom treba argument nájsť pomocou vzorca.

2) Ak (2. súradnicová štvrtina), potom treba argument nájsť pomocou vzorca .

3) Ak (3. súradnicová štvrtina), potom treba argument nájsť pomocou vzorca .

Príklad 8

Reprezentujú komplexné čísla v goniometrickom tvare: ,,,.

Keďže existujú hotové vzorce, nie je potrebné kresliť. Ale je tu jeden bod: keď ste požiadaní, aby ste reprezentovali číslo v trigonometrickej forme, potom Aj tak je lepšie urobiť kresbu. Faktom je, že riešenie bez kresby učitelia často odmietajú, absencia kresby je vážny dôvod na mínus a neúspech.

Čísla uvádzame v komplexnej forme a prvé a tretie číslo bude pre samostatné riešenie.

Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Poďme nájsť jeho modul a argument.

Keďže (prípad 2), teda

– tu musíte využiť zvláštnosť arkustangensu. Žiaľ, tabuľka neobsahuje hodnotu , takže v takýchto prípadoch musí byť argument ponechaný v ťažkopádnej forme: – čísla v trigonometrickom tvare.

Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Poďme nájsť jeho modul a argument.

Od (prípad 1), potom (mínus 60 stupňov).

Takto:

– číslo v trigonometrickom tvare.

Ale tu, ako už bolo uvedené, sú nevýhody nedotýkajte sa.

Okrem zábavnej grafickej overovacej metódy existuje aj analytické overenie, ktoré už bolo vykonané v príklade 7. Používame tabuľka hodnôt goniometrických funkcií, pričom sa berie do úvahy, že uhol je presne uhol tabuľky (alebo 300 stupňov): – čísla v pôvodnom algebraickom tvare.

Sami prezentujte čísla v trigonometrickej forme. Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Na konci časti stručne o exponenciálnom tvare komplexného čísla.

Akékoľvek komplexné číslo (okrem nuly) možno zapísať v exponenciálnom tvare:

Kde je modul komplexného čísla a je argumentom komplexného čísla.

Čo musíte urobiť, aby ste reprezentovali komplexné číslo v exponenciálnom tvare? Takmer to isté: vykonajte výkres, nájdite modul a argument. A číslo napíšte do formulára .

Napríklad pre číslo v predchádzajúcom príklade sme našli modul a argument:,. Potom bude toto číslo zapísané v exponenciálnom tvare takto:.

Číslo v exponenciálnom tvare bude vyzerať takto:

číslo -Takže:

Jediná rada je nedotýkajte sa indikátora exponenty, nie je potrebné preusporiadať faktory, otvárať zátvorky atď. Komplexné číslo sa zapisuje v exponenciálnom tvare prísne podľa formy.

2.3. Trigonometrický tvar komplexných čísel

Nech je vektor špecifikovaný v komplexnej rovine číslom .

Označme φ uhol medzi kladnou poloosou Ox a vektorom (uhol φ sa považuje za kladný, ak sa meria proti smeru hodinových ručičiek, a za záporný inak).

Označme dĺžku vektora r. Potom . Označujeme tiež

Zápis nenulového komplexného čísla z v tvare

sa nazýva trigonometrický tvar komplexného čísla z. Číslo r sa nazýva modul komplexného čísla z a číslo φ sa nazýva argument tohto komplexného čísla a označuje sa Arg z.

Trigonometrická forma zápisu komplexného čísla - (Eulerov vzorec) - exponenciálna forma zápisu komplexného čísla:

Komplexné číslo z má nekonečne veľa argumentov: ak φ0 je ľubovoľný argument čísla z, potom všetky ostatné možno nájsť pomocou vzorca

Pre komplexné číslo nie je definovaný argument ani goniometrický tvar.

Argumentom nenulového komplexného čísla je teda akékoľvek riešenie systému rovníc:

(3)

Hodnota φ argumentu komplexného čísla z, ktorá spĺňa nerovnice, sa nazýva hlavná hodnota a označuje sa arg z.

Argumenty Arg z a arg z spolu súvisia

, (4)

Vzorec (5) je dôsledkom sústavy (3), preto všetky argumenty komplexného čísla spĺňajú rovnosť (5), ale nie všetky riešenia φ rovnice (5) sú argumentmi čísla z.

Hlavná hodnota argumentu nenulového komplexného čísla sa nachádza podľa vzorcov:

Vzorce na násobenie a delenie komplexných čísel v trigonometrickom tvare sú nasledovné:

. (7)

Pri zvýšení komplexného čísla na prirodzenú mocninu sa používa vzorec Moivre:

Pri extrakcii koreňa komplexného čísla sa používa vzorec:

, (9)

kde k=0, 1, 2, …, n-1.

Úloha 54. Vypočítajte kde .

Uveďme riešenie tohto výrazu v exponenciálnom tvare zápisu komplexného čísla: .

Ak potom.

potom , . Preto teda A , Kde .

odpoveď: , o .

Úloha 55. Napíšte komplexné čísla v goniometrickom tvare:

A); b) ; V); G); d) ; e) ; a).

Keďže trigonometrický tvar komplexného čísla je , potom:

a) V komplexnom čísle: .

Preto

b) , Kde ,

G) , Kde ,

e) .

a) , A , To .

Preto

odpoveď: ; 4; ; ; ; ; .

Úloha 56. Nájdite goniometrický tvar komplexného čísla

nechaj, .

potom , , .

Od a , , potom , a

Preto, teda

odpoveď: , Kde .

Úloha 57. Pomocou goniometrickej formy komplexného čísla vykonajte nasledujúce akcie: .

Predstavme si čísla a v trigonometrickej forme.

1), kde Potom

Nájdite hodnotu hlavného argumentu:

Dosadíme hodnoty a do výrazu dostaneme

2) , kde potom

Potom

3) Nájdite kvocient

Za predpokladu, že k=0, 1, 2, dostaneme tri rôzne hodnoty požadovaného koreňa:

Ak potom

Ak potom .

odpoveď: :

: .

Úloha 58. Nech sú , , , rôzne komplexné čísla a . Dokáž to

číslo je skutočné kladné číslo;

b) platí rovnosť:

a) Predstavme si tieto komplexné čísla v trigonometrickom tvare:

Pretože .

Predstierajme to. Potom

Posledný výraz je kladné číslo, pretože sínusové znamienka obsahujú čísla z intervalu.

od čísla skutočné a pozitívne. Ak sú a a b komplexné čísla a sú reálne a väčšie ako nula, potom .

okrem toho

preto je dokázaná požadovaná rovnosť.

Úloha 59. Napíšte číslo v algebraickom tvare .

Predstavme si číslo v goniometrickom tvare a potom nájdime jeho algebraický tvar. Máme . Pre dostaneme systém:

To znamená rovnosť: .

Použitie Moivreovho vzorca: ,

dostaneme

Nájde sa trigonometrický tvar daného čísla.

Teraz napíšme toto číslo v algebraickom tvare:

odpoveď: .

Úloha 60. Nájdite súčet , ,

Zvážme množstvo

Aplikovaním Moivreovho vzorca zistíme

Tento súčet je súčtom n členov geometrickej postupnosti s menovateľom a prvý člen .

Aplikovaním vzorca pre súčet členov takejto progresie máme

Keď izolujeme imaginárnu časť v poslednom výraze, nájdeme

Izoláciou reálnej časti získame aj nasledujúci vzorec: , , .

Úloha 61. Nájdite súčet:

A) ; b) .

Podľa Newtonovho vzorca pre umocňovanie máme

Pomocou Moivreovho vzorca nájdeme:

Porovnaním skutočných a imaginárnych častí výsledných výrazov pre , máme:

A .

Tieto vzorce môžu byť napísané v kompaktnej forme takto:

, kde je celá časť čísla a.

Úloha 62. Nájdite všetky , pre ktoré .

Pretože , potom pomocou vzorca

, Ak chcete extrahovať korene, dostaneme ,

teda , ,

, .

Body zodpovedajúce číslam sú umiestnené vo vrcholoch štvorca vpísaného do kruhu s polomerom 2 so stredom v bode (0;0) (obr. 30).

odpoveď: , ,

, .

Úloha 63. Vyriešte rovnicu , .

Podľa podmienok; preto táto rovnica nemá koreň, a preto je ekvivalentná rovnici.

Aby číslo z bolo koreňom tejto rovnice, číslo musí byť n-tou odmocninou čísla 1.

Odtiaľto usudzujeme, že pôvodná rovnica má korene určené z rovnosti

teda

t.j. ,

odpoveď: .

Úloha 64. Vyriešte rovnicu v množine komplexných čísel.

Keďže číslo nie je koreňom tejto rovnice, potom je táto rovnica ekvivalentná rovnici

Teda rovnica.

Všetky korene tejto rovnice sú získané zo vzorca (pozri úlohu 62):

; ; ; ; .

Úloha 65. Nakreslite na komplexnú rovinu množinu bodov, ktoré spĺňajú nerovnosti: . (2. spôsob riešenia problému 45)

Nechaj .

Komplexné čísla s rovnakými modulmi zodpovedajú bodom v rovine ležiacim na kružnici so stredom v počiatku, preto nerovnosť spĺňajú všetky body otvoreného prstenca ohraničeného kružnicami so spoločným stredom v počiatku a polomermi a (obr. 31). Nech nejaký bod komplexnej roviny zodpovedá číslu w0. číslo , má modul niekoľkonásobne menší ako modul w0 a argument väčší ako argument w0. Z geometrického hľadiska možno bod zodpovedajúci w1 získať pomocou homotetity so stredom v počiatku a koeficientom, ako aj otočením vzhľadom k počiatku o uhol proti smeru hodinových ručičiek. V dôsledku aplikácie týchto dvoch transformácií na body prstenca (obr. 31) sa prstenec premení na prstenec ohraničený kružnicami s rovnakým stredom a polomermi 1 a 2 (obr. 32).

Konverzia realizované pomocou paralelného prenosu do vektora. Prenesením prstenca so stredom v bode do naznačeného vektora získame prstenec rovnakej veľkosti so stredom v bode (obr. 22).

Navrhovaná metóda, ktorá využíva myšlienku geometrických transformácií roviny, je pravdepodobne menej vhodná na opis, ale je veľmi elegantná a efektívna.

Úloha 66. Zistite, či .

Nechajte , potom a . Počiatočná rovnosť bude mať formu . Z podmienky rovnosti dvoch komplexných čísel dostaneme , , z čoho , . Teda, .

Napíšme číslo z v trigonometrickom tvare:

, Kde , . Podľa Moivreovho vzorca nájdeme .

odpoveď: - 64.

Úloha 67. Pre komplexné číslo nájdite všetky komplexné čísla také, že , a .

Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare:

. Odtiaľ, . Pre číslo, ktoré dostaneme, sa môže rovnať alebo .

V prvom prípade , v druhom

odpoveď: , .

Úloha 68. Nájdite súčet takých čísel, ktoré . Uveďte jedno z týchto čísel.

Všimnite si, že zo samotnej formulácie problému možno pochopiť, že súčet koreňov rovnice možno nájsť bez výpočtu samotných koreňov. Skutočne, súčet koreňov rovnice je koeficient pre , braný s opačným znamienkom (zovšeobecnená Vietova veta), t.j.

Študenti, školská dokumentácia, vyvodzujú závery o stupni zvládnutia tohto pojmu. Zhrňte štúdium znakov matematického myslenia a procesu tvorby pojmu komplexného čísla. Popis metód. Diagnostika: I. etapa. Rozhovor bol vedený s učiteľkou matematiky, ktorá v 10. ročníku vyučuje algebru a geometriu. Rozhovor sa odohral po nejakom čase od začiatku...

Rezonancia" (!)), ktorého súčasťou je aj posúdenie vlastného správania. 4. Kritické posúdenie chápania situácie (pochybnosti). 5. Napokon využitie odporúčaní právnej psychológie (právnik zohľadňuje psychologické aspekty vykonaných odborných úkonov - odborná psychologická pripravenosť). Uvažujme teraz o psychologickom rozbore právnych skutočností...

Matematika trigonometrickej substitúcie a testovanie efektívnosti vypracovanej metodiky výučby. Etapy práce: 1. Vypracovanie voliteľného predmetu na tému: „Aplikácia goniometrickej substitúcie pri riešení algebraických úloh“ so študentmi v triedach s pokročilou matematikou. 2. Vedenie vypracovaného výberového kurzu. 3. Vykonanie diagnostického testu...

Kognitívne úlohy sú určené len na doplnenie existujúcich učebných pomôcok a musia byť vo vhodnej kombinácii so všetkými tradičnými prostriedkami a prvkami vzdelávacieho procesu. Rozdiel medzi výchovnými problémami vo vyučovaní humanitných vied a exaktnými problémami z matematických úloh je len v tom, že v historických problémoch neexistujú vzorce, prísne algoritmy atď., čo komplikuje ich riešenie. ...

Operácie s komplexnými číslami zapísanými v algebraickej forme

Algebraický tvar komplexného čísla z =(a,b).nazýva sa algebraické vyjadrenie tvaru

z = a + bi.

Aritmetické operácie s komplexnými číslami z 1 = a 1 +b 1 i A z 2 = a 2 +b 2 i, napísané v algebraickej forme, sa vykonávajú nasledovne.

1. Súčet (rozdiel) komplexných čísel

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

tie. sčítanie (odčítanie) sa vykonáva podľa pravidla pre sčítanie polynómov s redukciou podobných členov.

2. Súčin komplexných čísel

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

tie. násobenie sa vykonáva podľa obvyklého pravidla pre násobenie polynómov, berúc do úvahy skutočnosť, že i 2 = 1.

3. Delenie dvoch komplexných čísel sa vykonáva podľa nasledujúceho pravidla:

, (z 2 ≠ 0),

tie. delenie sa vykonáva vynásobením dividendy a deliteľa konjugovaným číslom deliteľa.

Umocňovanie komplexných čísel je definované takto:

Je ľahké to ukázať

Príklady.

1. Nájdite súčet komplexných čísel z 1 = 2 – i A z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Nájdite súčin komplexných čísel z 1 = 2 – 3i A z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3ja∙ 5i = 7+22i.

3. Nájdite kvocient z z divízie z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Vyriešte rovnicu: , X A r Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Vďaka rovnosti komplexných čísel máme:

kde x =–1 , r= 4.

5. Vypočítajte: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,i -2 .

6. Vypočítajte, ak .

7. Vypočítajte prevrátenú hodnotu čísla z=3-i.

Komplexné čísla v trigonometrickom tvare

Komplexná rovina nazývaná rovina s karteziánskymi súradnicami ( x, y), ak každý bod so súradnicami ( a, b) je spojené s komplexným číslom z = a + bi. V tomto prípade sa nazýva os x reálna os a zvislá os je imaginárny. Potom každé komplexné číslo a+bi geometricky znázornené na rovine ako bod A (a, b) alebo vektor.

Preto poloha bodu A(a teda komplexné číslo z) môže byť špecifikovaný dĺžkou vektora | | = r a uhol j, tvorený vektorom | | s kladným smerom reálnej osi. Dĺžka vektora je tzv modul komplexného čísla a označuje sa | z |=r a uhol j volal argument komplexného čísla a je určený j = arg z.

Je jasné, že | z| ³ 0 a | z | = 0 Û z = 0.

Z obr. 2 je zrejmé, že .

Argument komplexného čísla je určený nejednoznačne, ale s presnosťou na 2 pk, kÎ Z.

Z obr. 2 je tiež zrejmé, že ak z=a+bi A j=arg z, To

cos j =,hriech j =, tg j = .

Ak zÎR A z> 0, potom arg z = 0 +2pk;

Ak z ОR A z< 0, potom arg z = p + 2pk;

Ak z = 0,arg z neurčitý.

Hlavná hodnota argumentu je určená na intervale 0 £ arg z 2 £ p,

alebo -p£ arg z £ p.

Príklady:

1. Nájdite modul komplexných čísel z 1 = 4 – 3i A z 2 = –2–2i.