Подготовка к контрольной работе по геометрии
Пример решения задач.
1 уровень
А
В
С
D
Рис. 1
Задача 1. Пересекаются ли отрезки АВ и CD (рис. 1)?
Ответ: Отрезки АВ и CD не пересекаются (по определению отрезка и рис. 1).
Задача 2. Пересекаются ли прямые АВ и CD (рис. 1) ?
Ответ: Прямые АВ и CD пересекаются (по рис. 1)
А
В
С
D
Рис. 2
М
Задача 3. Отметьте точку М так, чтобы она лежала на прямой CD, но не лежала ни на отрезке АВ, ни на отрезке CD?
Ответ: см. рис. 2
А
В
С
D
Рис. 3
L
Задача 4. Отметьте точку N, которая лежит на прямой CD между точками А и В. Как вы назовете такую точку?
Ответ: Точка L принадлежит прямой CD и лежит между точками А и В.(см. рис. 3)
Задача 5.
Сколько лучей с началом в точке О изображено на рис. 4?
Ответ: 3 луча- ОА, ОВ и ОС.
О
А
В
С
Рис. 4
Сколько углов изображено на рис. 4?
Ответ: угол АОВ, угол ВОС, угол АОС.- 3 угол
Постройте луч ОМ так, чтобы угол АОМ был развернутым?
О
А
В
С
Рис. 5
М
Ответ: см. рис. 5 (по определению развернутого угла)
А
О
В
М
Рис. 6
N
Е
Задача 6. Начертите угол. Отметьте точку М, которая лежит на стороне угла, точку N, лежащую во внутренней области угла, и точку Е, принадлежащую его внешней области.
Решение: см. рис. 6. По определению угла.
2 уровень
Задача 7. На рис. 7 СВ=ВЕ, DE > AC. Сравните отрезки АВ и DB.
Решение: Так как СВ=ВЕ, а DE > AC, то DB > АВ.
Ответ: DB > АВ.
Задача 8. На рис. 8 ∠АОВ =∠DOC. Есть ли еще на рисунке равные углы?
Ответ: Да, ∠ВОD=∠АOC.
3 уровень
М
N
К
К
М
N
Задача 9. На прямой m лежат точки M, N и K, причем MN= 85 мм, NK=1,15 дм. Какой может быть длина отрезка MK в сантиметрах?
Дано: m – прямая, MN= 85 мм,
NK=1,15 дм
Найти: MK ? Решение: 1) MN= 85 мм = 8,5 см.
NK =1,15 дм = 15 см
2) MK= MN+NK =8,5+15= 23,5 см
Ответ: 23,5 см
Задача 10. На рисунке 9 прямые a и b перпендикулярны, ∠1= 40°. Найдите углы 2,3 и 4.
63522-3175Дано: a и b – прямые, a ⊥ b, ∠1= 40°.
Найти: ∠2, ∠3, ∠4?
Решение: 1) ∠1= ∠3=40°- как вертикальные;
2) Т. к. a ⊥ b, то ∠2+∠3=90°. Тогда ∠2=90° - ∠3=90°- 40°=50°.
3) Т. к. a ⊥ b, то ∠4=90°.
Ответ: ∠3=40°, ∠2=50°, ∠4=90°.
Домашнее задание
1 уровень
4330700285115Задания с 1по 4 по рис. 10
Пересекает ли прямая KL отрезок EF?
Пересекает ли прямая KL прямую EF?
Отметьте точку А, которая лежит на прямой EF, но не лежит на прямой KL.
Рис. 10
Существуют ли точки, которые одновременно лежат на отрезке EFи прямой KL?
3707130901701) Сколько лучей с началом в точке О изображено на рисунке 11?
2) Сколько углов изображено на рис. 11?
Рис. 11
3) Начертите луч ОА так, чтобы угол АОN был развернутым.
Начертите угол. Изобразите отрезок: а) все точки которого лежат во внутренней области угла; б) все точки которого лежат во внешней области угла; в) часть точек которого лежит во внутренней области угла.
2 уровень
На рис. 12 ЕО = NO, ОК > ОL. Сравните отрезки EK и NL.
Рис. 13
Рис. 12
На рис. 13 ∠MOL =∠KON. Есть ли еще на рис. равные углы?
Точки А, В и С лежат на прямой а, причем АВ=5,7 м, ВС= 730 см. Какой может быть длина отрезка АС в дециметрах?
3 уровень
Один из смежных углов больше другого на 40°. Найдите эти углы.
2669540487045 На рис. 14 прямые а и b перпендикулярны, ∠1= 130°. Найдите углы 2,3 и 4.
Тема урока: Начальные геометрические сведения. Прямая и отрезок.
Цель: познакомить обучающихся с новым для них предметом, с историей развития геометрии, с основными геометрическими фигурами на плоскости;
Задачи :
сформировать понятие о геометрической фигуре, как множества точек;
систематизировать знания обучающихся о взаимном расположении точек и прямых;
формировать понимание взаимосвязи математики и объективной реальности.
Оргмомент
Сообщение темы и цели урока
Изучение нового материала
1.Вступительная беседа
Сегодня мы начинаем изучение нового математического предмета геометрии, который является составной частью большой науки математики.
Со многими геометрическими фигурами вы уже знакомы. Перечислите их и укажите в классной комнате.
Геометрия(греч) – «геос» - земля, «метрео» - измеряю.
Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур.
Геометрия имеет широкое применение в работе людей разных профессий.
Ещё в Древней Греции на воротах академии были высечены слова: «Да не войдет сюда не знающий геометрии».
Древнегреческий историк Геродот (V в до н.э.) о зарождении геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до н.э. писал так: «Египетский фараон разделил землю, дав каждому египтянину участок землю по жребию, и взимал налог с каждого участка. Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к Царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить на сколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию».
Геометрия как наука возникла в результате практической деятельности человека (кожевенник, строитель и т.д.). Человек сталкивался с геометрическими фигурами и их свойствами в повседневной жизни к изучению геометрических фигур и их свойств, т.е. к изучению геометрии.
За несколько столетий до н.э. в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, однако они еще не были систематизированы и сообщались обычно в виде правил и рецептов – для определения, например, площадей фигур, объемов тел и др. В них не было доказательств и изложение не представляло собой научной теории.
Назрела необходимость систематизации знаний. Первая попытка была сделана Гиппократом(были и др. попытки) Но все эти попытки были забыты, когда появилось бессмертное произведение Евклида «Начала» в III В Д.Э.
Ни одна научная книга не пользовалась таким многовековым успехом, как «Начала» Евклида. Она являлась основным учебником почти 2000 лет.
Геометрию, которую мы изучаем в школе называют евклидовой.
7-9 кл – изучают раздел геометрии – плпниметрию. В ней изучаются свойства фигур на плоскости (отрезки, треугольник, прямоугольники, окружность, круг и т.д)
Куб можем изучать в планиметрии?
Изучение планиметрии начнем с изучения основных геометрических фигур, которыми являются – точка, прямая. Рассмотрим, как изображаются точка и прямая.
2.Основной материал
Из чего составлена любая геометрическая фигура? (из точек)
Для изображения прямой на чертеже пользуются линейкой (изображается только часть прямой)
а) Прямая бесконечна
Начертить прямую. Имеет ли концы прямая?
б)Обозначение
прямая – a, b , c , d , e , f и т.д.
точка – A , B , C , D , E , F и т.д.
в) Отметить 2 точки на прямой и 1 вне ее.
А а, В а, С а
г) Сколько точек можно отметить на прямой и вне её? (∞)
д) Отметить 1 точку и провести через нее прямые.
Через 3 точки.
Через 2 точки
Сколько прямых можно провести?
Через любые 2 точки можно провести прямую, и притом только одну .
е) a b - A , e d – нет общих точек
ё) не могут иметь 2 и т.д. общих точек, т.к. аксиома
ж) – часть прямой, ограниченная двумя точками
[ АВ ] А, В –концы отрезка
Применение знаний в стандартной ситуации
№ 1, № 2, № 4, №7
Подведение итогов
Сколько прямых можно провести через одну точку, через две точки?
Могут ли быть различными прямые ОА и АВ, если точка О АВ ( нет, т.к. обе они проходят через А и О, а через две точки проходит только одна прямая)
Даны 2 прямые а и b , пресекающие в точке С, и точка D b (нет, т.к 2 прямые не могут иметь 2-х общих точек )
по теме: «Начальные понятия планиметрии. Прямая и отрезок. Луч и угол».
Тип урока- ОНЗ.
Цели урока:
I Обучающие:
Систематизировать сведения о взаимном расположении точек и прямых;
Рассмотреть свойства прямой;
Научить обозначать точки и прямые на рисунке;
Ввести понятие отрезка;
Напомнить учащимся, что такое луч и угол; ввести понятия внутренней и внешней областей неразвернутого угла, познакомить с различными обозначениями лучей и углов;
Начать обучение умению выделить из текста геометрической задачи, что дано и что требуется найти, отразить ситуацию, данную в условии задачи и возникающую по ходу ее решения, на рисунке, кратко и четко записать решение задачи.
II Развивающие:
Развитие познавательного интереса учащихся;
Развитие памяти учащихся;
Развитие любознательности учащихся.
III Воспитательные:
Умственное воспитание (формирование логического, абстрактного, системного мышления; владение интеллектуальными умениями и мыслительными операциями – анализом и синтезом, сравнением, обобщением);
Формирование таких качеств личности, как организованность, дисциплинированность, аккуратность.
IV Метапредметные: развитие познавательного интереса к предмету, способности находить аналогии и связи с другими науками.
Ход урока
I . Организационный момент.
Учитель: ” Прозвенел звонок, учащиеся готовы к уроку. Начинаем наш урок”.
II . Сообщение темы урока с записью в тетрадь. Постановка целей урока перед учащимися.
III . Вводная беседа о возникновении и развитии геометрии.
План беседы:
1. Зарождение геометрии.
2. От практической геометрии к науке геометрия.
3. Геометрия Евклида.
4. История развития геометрии.
5. Геометрические фигуры.
Слайды № 2-5.
Геометрия возникла в результате практической деятельности людей: нужно было сооружать жилища, храмы, прокладывать дороги, оросительные каналы, устанавливать границы земельных участков и определять их размеры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео»- по-гречески земля, а «метрео» - мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами.
Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений.
За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построения прямых углов и т. д.
Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории. Первым, кто начал получать геометрические факты при помощи рассуждений (доказательств), был древнегреческий математик Фалес (6 в. до н. э.), который в своих исследованиях применял перегибание чертежа, поворот части фигуры и так далее, то есть то, что на современном геометрическом языке называется движением.
Постепенно геометрия становится наукой, в которой большинство фактов устанавливается путем выводов, рассуждений, доказательств.
Попытки греческих ученых привести геометрические факты в систему начинаются уже с 5 в. до н. э. Наибольшее влияние на все последующее развитие геометрии оказали труды греческого ученого Евклида, жившего в Александрии в 3 в. до н. э. Сочинение Евклида «Начала» почти 2000 лет служило основной книгой, по которой изучали геометрию. В «Началах» были систематизированы известные к тому времени геометрические сведения, и геометрия впервые предстала как математическая наука.
Эта книга была переведена на языки многих народов мира, а сама геометрия, изложенная в ней, стала называться евклидовой геометрией.
Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию . Раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости, называется планиметрией (от латинского слова «планум» - плоскость и греческого «метрео» - измеряю). В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, таких как параллелепипед, шар, цилиндр, пирамида. Мы начнем изучение геометрии с планиметрии.
В геометрии изучаются формы, размеры, взаимное расположение предметов независимо от их других свойств: массы, цвета и т. д. Отвлекаясь от этих свойств и беря во внимание только форму и размеры предметов, мы приходим к понятию геометрической фигуры.
Геометрия не только дает представление о фигурах, их свойствах, взаимном расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить.
На уроках математики вы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и представляете себе, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол, как они могут быть расположены относительно друг друга.
IV . Изложение нового материала.
Слайд № 7.
Постройте две пары точек проведите через точки линии по линейке. Много ли линий можно провести через две различные точки?
Устанавливается первое характеристическое свойство прямой.
Слайд № 8.
Учащийся делает вывод, что через две различные точки проходит единственная прямая.
Учитель знакомит учащихся со знаком принадлежности
и 
. Главное назначение слайда – побудить детей выявить второе свойство прямой: можно построить любую ее точку, прямая имеет «сколько угодно» точек. Ученики естественно воспринимают замену фразы «сколько угодно точек» фразой «бесконечно много точек».
Слайд № 9.
Работая с данным слайдом, ученики осознают, что модель прямой еще не получена: построение следует продолжить, сдвигая линейку вправо или влево. Возникает вопрос: как далеко можно «уйти» при таком построении? Наглядность операции побуждает дать ответ: как угодно далеко, бесконечно далеко и вправо, и влево. Значит, прямая бесконечна, это ее второе свойство. Именно поэтому, как сказано в учебнике, «от любой точки прямой можно отложить в обе стороны отрезки какой угодно длины». Учитель читает фразу из учебника: «Прямая, в отличие от отрезка, не имеет ни начала, ни конца». Но и окружность не имеет ни начала, ни конца. Может быть, прямая «похожа» на окружность? Теперь следует заняться вторым вопросом слайда: встретятся ли крокодил и пчела, выполняющие построение прямой один влево, другой вправо. Обычно дети отвечают: «Не встретятся, прямая не похожа на окружность, она не замкнута» (логичен и другой ответ, но о нем ученики могут и не подозревать).
Если таким наглядным способом выяснить свойство незамкнутости прямой, то учащиеся смогут потом осознать, как «получается» луч, увидеть происхождение понятия.
Слайд № 10.
Этот слайд демонстрируется для подведения итога. Умение сослаться на то или иное свойство будет свидетельствовать о том, что в мышлении ученика образовано понятие прямой.
Выполнение учащимися физкультминутки для улучшения мозгового кровообращения:
И физкультминутки для глаз:
Слайд № 11.
Естественно поставить перед учениками вопрос: нельзя ли объяснить, как получается отрезок? Используем слайд. При этом термин «между» воспринимается по интуиции.
Слайды № 12 и 13.
Учащиеся решают задачу № 5 и задачу № 7 (текст задач приведен на слайдах). Данные задачи можно решить вместе с комментариями учителя (или можно показать ответ для того, чтобы учащийся проверил свое решение).
Слайд № 14.
Учитель вводит понятие луча. Выполняется построение прямой АВ и точки О, принадлежащей ей. Получен чертеж. Учитель предлагает покрасить точку О и часть прямой,лежащей справа от точки О, например, в розовый цвет. Получилась новая фигура – луч. Его получение описано на слайде «луч». Выполняются построения лучей, вводится обозначение, дети выясняют, почему луч бесконечен в сторону от начала. Луч получается как объединение точки прямой и одной из частей, на которые эта точка делит прямую.
Слайд № 15.
Для закрепления понятия дети выполняют задачу №8 учебника (текст задачи приведен на слайде).
Слайд № 16.
Образование понятия угла проводится примерно таким же образом, как понятия пересечения и объединения фигур (например, как ранее был введен луч). Ученики строят два различных луча с общим началом. Вспоминая, что луч бесконечен, дети выясняют, что построенные два луча с общим началом делят плоскость на две области. Одну из областей предлагается закрасить. То, что лучи и выбранная область окрашены в один цвет, означает, что построено их объединение. Полученная фигура и называется углом. Как строится угол? Учитель побуждает школьников составить описание понятия с помощью данного слайда. Вводим обозначение углов.
Слайд № 17.
Слайды № 18 и 19.
Учащиеся выполняют упражнения, способствующих образованию понятия угла и формированию понятия пересечения фигур. Данные упражнения особенно интересны, они позволят выяснить, образовано ли понятие.
Выполнение учащимися физкультминутки для глаз: Крепко зажмурить глаза (считать до 3, открыть их и посмотреть вдаль (считать до 5). Повторять 4 - 5 раз.
V . Закрепление изучаемого материала.
Слайд № 20.
Учитель предлагает учащимся выполнить самостоятельно следующие задания:
По рисунку 1 ответьте на вопросы:
1. Запишите все отрезки.
2. Запишите все прямые.
3. Какие точки принадлежат прямой AD , а какие не принадлежат? Ответ запишите, используя математические символы.
4. Укажите такую точку, которая принадлежит и прямой ВС и прямой АС. Как еще можно назвать указанную точку?
5. По рисунку 2 запишите точки, принадлежащие:
А) внешней области угла;
Б) внутренней области угла;
Ответы для самопроверки:
1. AB, BD, AD, DC, BC, DM, AM.
Учащиеся подводят итог урока, отвечают устно на вопросы учителя:
1) что нового они узнали?
2) что такое «геометрия»?
3) какие разделы геометрии существуют?
4) какие основные понятия были рассмотрены на уроке?
5) что такое «прямая»? «отрезок»? «луч»? «угол»?
VII . Выставление оценки за урок с комментарием учителя.
VIII . Домашнее задание (слайд № 22):
Литература:
1) Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений.- М.: Просвещение, 2010 .
2) Гаврилова Н. Ф. Поурочные разработки по геометрии. 7 класс. М.: «ВАКО», 2010 .
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Галилео Галилей «Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры»
Геометрия - одна из наиболее древних наук, возникла более 4000 лет назад. Слово геометрия греческого происхождения. В буквальном смысле оно означает « землемерие ». «гео» – по-гречески земля, «метрео» - мерить
Эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека: нужно было строить храмы, жилища, прокладывать дороги и оросительные каналы, определять границы земельных участков и их размеры. Важную роль играли и эстетические потребности людей: рисовать картины, украшать одежду и жилище. Все это способствовало приобретению и накоплению геометрических сведений. Во времена зарождения геометрии правила выводились на основе сведений и фактов добытых опытным путем, поэтому наука не была точной. Постепенно геометрия становилась наукой, в которой большинство фактов устанавливается путем вывода, рассуждений, доказательств
Первым, кто начал получать новые геометрические факты при помощи рассуждений (доказательств), был древнегреческий ученый Фалес (VI в. до н.э.). Фале́с (др.-греч. Θαλῆς ὁ Μιλήσιος, 640/624 - 548/545 до н. э.) - древнегреческий философ и математик из Милета (Малая Азия). Представитель ионической натурфилософии и основатель милетской (ионийской) школы, с которой начинается история европейской науки. Традиционно считается основоположником греческой философии (и науки)
Наибольшее влияние на все последующее развитие геометрии оказали труды греческого ученого Евклида. В III в. до н.э. он написал сочинение «Начала», и почти 2000 лет геометрия изучалась по этой книге, а наука в честь ученого была названа евклидовой геометрией. Евклид - первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.
Геометрия планиметрия стереометрия Часть геометрии, в которой рассматриваются фигуры на плоскости (прямая, отрезок, луч, угол, многоугольник) Часть геометрии, в которой рассматриваются фигуры в пространстве (шар, куб, цилиндр, пирамида) Геометрия – это наука, занимающаяся изучением геометрических фигур
Начертите прямую. Как ее можно обозначить? 2. Отметьте точку С, не лежащую данной прямой, и точки D, E, K , лежащие на этой же прямой. 3. Используя символы принадлежности, запишите предложение: «Точка К принадлежит прямой АВ, точка С не принадлежит прямой а».
Начертите две пересекающиеся прямые. Обозначьте прямые и точку пересечения. Сколько общих точек может быть у двух прямых? Две прямые либо имеют одну общую точку, либо не имеют общих точек.
2. Отметьте две точки А и В. Начертите прямую проходящую через эти точки. 1. Отметьте точку А. Начертите три прямые а, b и с, проходящие через эту точку. Сколько прямых можно провести через заданную точку А? Начертите еще одну прямую, проходящую через данные точки. Сколько прямых можно провести через две точки? Через любые две точки можно провести прямую? Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну Через заданную точку А можно провести множество прямых
Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется ОТРЕЗКОМ А и В – концы отрезка АВ
1. Проведите прямую, обозначьте ее буквой а. Отметьте точки A, B, C, D , лежащие на этой прямой. Запишите все получившиеся отрезки 2. Начертите прямые m и n , пересекающиеся в точке К. На прямой m отметьте точку М, отличную от точки К. а) Являются ли прямые КМ и m различными прямыми? б) Являются ли прямые КМ и n различными прямыми? в) Может ли прямая n проходить через точку М?
1. В чем заключается смысл приема «Провешивание прямой»? 2. Где на практике используется данный прием? 3. Возможно ли применение данного приема в учебной деятельности?
1 уровень сложности: 1. № 2, 5, 6 (учебник) 2 уровень сложности: 1. Сколько точек пересечения могут иметь три прямые? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте соответствующие рисунки. 2. На плоскости даны три точки. Сколько прямых можно провести через эти точки так, чтобы на каждой прямой лежали хотя бы две из данных точек? ? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте соответствующие рисунки.
1. Как называется наука, занимающаяся изучением геометрических фигур 2. Как называется часть геометрии, в которой рассматриваются фигуры на плоскости 3. Как называется часть геометрии, в которой рассматриваются фигуры в пространстве 4. Сколько прямых можно провести через две точки? 5. Сколько точек пересечения могут иметь две прямые?
Учебник: пп.1, 2; вопросы 1-3 (с.25) Учебник: № 1, 3, 4, 7. Дополнительное задание: Сколько различных прямых можно провести через четыре точки? Рассмотрите все случаи и сделайте соответствующие рисунки.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Вводный урок геометрии в 7-м классе "Краткая история возникновения и развития геометрии. Начальные геометрические сведения"
Вводный урок геометрии в 7-м классе с использованием средств мультимедиа"Краткая история возникновения и развития геометрии. Начальные геометрические сведения"Тип: комбинированный, с приме...
Геометрия -одна из наиболее древних наук. Первые геометрические факты найдены в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до нашей эры), а также в других источниках. Название науки «геометрия» древнегреческого происхождения, оно составлено из двух древнегреческих слов: «ge » - «земля» и «metreo » - «измеряю» (землю измеряю).
