Studenti dostávají spoustu matematických úkolů. Mezi nimi se velmi často vyskytují úlohy s následující formulací: existují dvě hodnoty. Jak najít nejmenší společný násobek daná čísla? Takové úkoly je nutné umět, protože získané dovednosti slouží k práci se zlomky s různými jmenovateli. V článku si rozebereme, jak najít LCM a základní pojmy.

Než najdete odpověď na otázku, jak najít LCM, musíte definovat pojem násobek. Nejčastěji zní formulace tohoto pojmu takto: násobek nějaké hodnoty A se nazývá takový přirozené číslo, který beze zbytku bude dělitelný A. Takže pro 4 násobky bude 8, 12, 16, 20 atd., až do požadovaného limitu.

V tomto případě může být počet dělitelů pro určitou hodnotu omezen a násobků je nekonečně mnoho. Stejnou hodnotu mají také přírodní hodnoty. Jedná se o ukazatel, který se jimi dělí beze zbytku. Poté, co jsme se zabývali konceptem nejmenší hodnoty pro určité ukazatele, přejděme k tomu, jak ji najít.

Hledání NOC

Nejmenší násobek dvou nebo více exponentů je nejmenší přirozené číslo, které je plně dělitelné všemi danými čísly.

Existuje několik způsobů, jak takovou hodnotu zjistit. Zvažme následující metody:

Pokud jsou čísla malá, napište do řádku všechna jím dělitelná. Pokračujte v tom, dokud mezi nimi nenajdete něco společného. V záznamu se označují písmenem K. Například pro 4 a 3 je nejmenší násobek 12.
Pokud jsou velké nebo potřebujete najít násobek pro 3 nebo více hodnot, měli byste zde použít jinou techniku, která zahrnuje rozklad čísel na prvočinitele. Nejprve rozložte největší z uvedených a poté všechny ostatní. Každý z nich má svůj vlastní počet násobitelů. Jako příklad si rozložme 20 (2*2*5) a 50 (5*5*2). U menšího z nich podtrhněte faktory a přidejte k největšímu. Výsledkem bude 100, což bude nejmenší společný násobek výše uvedených čísel.
Při hledání 3 čísel (16, 24 a 36) jsou principy stejné jako u ostatních dvou. Rozšiřme každý z nich: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Do rozšíření největšího nebyly zahrnuty pouze dvě dvojky z rozkladu čísla 16. Sečteme je a dostaneme 144, což je nejmenší výsledek pro dříve uvedené číselné hodnoty.

Teď víme co obecná technika nalezení nejmenší hodnoty pro dvě, tři nebo více hodnot. Existují však i soukromé metody, pomáhající při hledání NOC, pokud předchozí nepomohou.

Jak najít GCD a NOC.

Soukromé způsoby hledání

Stejně jako u každé matematické sekce existují speciální případy hledání LCM, které pomáhají v konkrétních situacích:

je-li jedno z čísel dělitelné ostatními beze zbytku, pak se mu rovná nejnižší násobek těchto čísel (NOC 60 a 15 se rovná 15);
Dvojčísla nemají společné prvočísla. Jejich nejmenší hodnota je rovna součinu těchto čísel. Pro čísla 7 a 8 to tedy bude 56;
stejné pravidlo funguje i pro další případy, včetně speciálních, o kterých se lze dočíst v odborné literatuře. Sem by měly patřit i případy rozkladu složených čísel, které jsou předmětem samostatných článků a dokonce i dizertací Ph.D.

Speciální případy jsou méně časté než standardní příklady. Ale díky nim se můžete naučit pracovat se zlomky různého stupně složitosti. To platí zejména pro zlomky., kde jsou různí jmenovatelé.

Nějaké příklady

Podívejme se na pár příkladů, díky kterým pochopíte princip hledání nejmenšího násobku:

Najdeme LCM (35; 40). Rozložíme nejprve 35 = 5*7, poté 40 = 5*8. K nejmenšímu číslu přidáme 8 a získáme NOC 280.
NOC (45; 54). Každý z nich rozložíme: 45 = 3*3*5 a 54 = 3*3*6. Přičteme číslo 6 ke 45. Dostaneme NOC rovné 270.
No, poslední příklad. Existuje 5 a 4. Neexistují pro ně jednoduché násobky, takže nejmenší společný násobek v tomto případě bude jejich součin rovný 20.

Díky příkladům můžete pochopit, jak se nachází NOC, jaké jsou nuance a jaký je význam takových manipulací.

Najít NOC je mnohem jednodušší, než by se na první pohled mohlo zdát. K tomu se používá jak jednoduchá expanze, tak násobení jednoduchých hodnot mezi sebou.. Schopnost pracovat s tímto úsekem matematiky pomáhá při dalším studiu matematických témat, zejména zlomků. různé míry potíže.

Nezapomeňte pravidelně řešit příklady různými metodami, rozvíjí se tím logický aparát a umožňuje vám zapamatovat si četné termíny. Naučte se metody pro nalezení takového ukazatele a budete umět dobře pracovat se zbytkem matematických částí. Hodně štěstí při učení matematiky!

Video

Toto video vám pomůže pochopit a zapamatovat si, jak najít nejmenší společný násobek.

Nejmenší společný násobek dvou čísel přímo souvisí s největším společným dělitelem těchto čísel. Tento spojení mezi GCD a NOC je definována následující větou.

Teorém.

Nejmenší společný násobek dvou kladných celých čísel aab se rovná součinu aab děleno největším společným dělitelem aab, tj. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Důkaz.

Nechat M je nějaký násobek čísel a a b. To znamená, že M je dělitelné a a podle definice dělitelnosti existuje nějaké celé číslo k takové, že rovnost M=a·k platí. Ale M je také dělitelné b, pak a k je dělitelné b.

Označte gcd(a, b) jako d . Pak můžeme zapsat rovnosti a=a 1 ·d a b=b 1 ·d a a 1 =a:dab 1 =b:d budou prvočísla. Proto podmínku získanou v předchozím odstavci, že a k je dělitelné b, lze přeformulovat následovně: a 1 d k je dělitelné b 1 d , a to je vzhledem k vlastnostem dělitelnosti ekvivalentní podmínce, že a 1 k je dělitelné b 1 .

Musíme si také zapsat dva důležité důsledky z uvažované věty.

Společné násobky dvou čísel jsou stejné jako násobky jejich nejmenšího společného násobku.

To je pravda, protože jakýkoli společný násobek M čísel aab je definován rovností M=LCM(a, b) t pro nějakou celočíselnou hodnotu t .

Nejmenší společný násobek kladných čísel aab se rovná jejich součinu.

Odůvodnění této skutečnosti je zcela zřejmé. Vzhledem k tomu, že a a b jsou dvojčíslo, pak gcd(a, b)=1 , proto, LCM(a,b)=ab: GCD(a,b)=a b:l=ab.

Nejmenší společný násobek tří nebo více čísel

Hledání nejmenšího společného násobku tří nebo více čísel lze redukovat na postupné hledání LCM dvou čísel. Jak se to dělá, je naznačeno v následující větě: a 1 , a 2 , …, a k se shodují se společnými násobky čísel m k-1 a a k se tedy shodují s násobky m k . A protože nejmenší kladný násobek čísla m k je samotné číslo m k, pak nejmenší společný násobek čísel a 1 , a 2 , …, a k je m k .

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya. atd. Matematika. 6. třída: učebnice pro vzdělávací instituce.
Vinogradov I.M. Základy teorie čísel.
Mikhelovič Sh.Kh. Teorie čísel.
Kulikov L.Ya. a další Sbírka úloh z algebry a teorie čísel: Tutorial pro studenty fyziky a matematiky. odbornosti pedagogických ústavů.

Druhé číslo: b=

Oddělovač číslicŽádný oddělovač mezery „ “

Výsledek:

Největší společný dělitel gcd( A,b)=6

Nejmenší společný násobek LCM( A,b)=468

Říká se největší přirozené číslo, kterým jsou čísla a a b beze zbytku dělitelná největší společný dělitel(gcd) těchto čísel. Označuje se gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) nebo hcf(a,b).

Nejmenší společný násobek(LCM) dvou celých čísel aab je nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné aab beze zbytku. Označuje se LCM(a,b) nebo lcm(a,b).

Volají se celá čísla a a b coprime pokud nemají žádné jiné společné dělitele než +1 a -1.

Největší společný dělitel

Nechť jsou dána dvě kladná čísla A 1 a A 21). Je požadováno najít společného dělitele těchto čísel, tzn. najít takové číslo λ , který rozděluje čísla A 1 a A 2 ve stejnou dobu. Pojďme si popsat algoritmus.

1) V tomto článku bude slovo číslo znamenat celé číslo.

Nechat A 1 ≥ A 2 a nechat

Kde m 1 , A 3 jsou nějaká celá čísla, A 3 <A 2 (zbytek z divize A 1 na A 2 by mělo být méně A 2).

Pojďme to předstírat λ rozděluje A 1 a A 2, tedy λ rozděluje m 1 A 2 a λ rozděluje A 1 −m 1 A 2 =A 3 (2. tvrzení článku "Dělitelnost čísel. Znak dělitelnosti"). Z toho vyplývá, že každý společný dělitel A 1 a A 2 je společný dělitel A 2 a A 3. Opak je také pravdou, pokud λ společný dělitel A 2 a A 3, tedy m 1 A 2 a A 1 =m 1 A 2 +A 3 se také dělí na λ . Proto společný dělitel A 2 a A 3 je také společný dělitel A 1 a A 2. Protože A 3 <A 2 ≤A 1 , pak můžeme říci, že řešení problému hledání společného dělitele čísel A 1 a A 2 zredukován na jednodušší problém nalezení společného dělitele čísel A 2 a A 3 .

Li A 3 ≠0, pak můžeme dělit A 2 na A 3. Pak

Kde m 1 a A 4 jsou nějaká celá čísla, ( A 4 zbytek divize A 2 na A 3 (A 4 <A 3)). Podobnou úvahou dojdeme k závěru, že společné dělitele čísel A 3 a A 4 je totéž jako společné dělitele čísel A 2 a A 3 a také se společnými děliteli A 1 a A 2. Protože A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... čísla, která se neustále snižují, a protože mezi nimi je konečný počet celých čísel A 2 a 0, pak v určitém kroku n, zbytek divize A n na A n+1 se bude rovnat nule ( A n+2=0).

Každý společný dělitel λ čísla A 1 a A 2 je také dělitel čísel A 2 a A 3 , A 3 a A 4 , .... A n a A n+1. Platí to i obráceně, společné dělitele čísel A n a A n+1 jsou také dělitelé čísel A n−1 a A n , .... , A 2 a A 3 , A 1 a A 2. Ale společný dělitel A n a A n+1 je číslo A n+1, protože A n a A n+1 jsou dělitelné A n+1 (připomeňme si to A n+2=0). Proto A n+1 je také dělitel čísel A 1 a A 2 .

Všimněte si, že číslo A n+1 je největší dělitel čísel A n a A n+1 , protože největší dělitel A n+1 je samo sebou A n+1. Li A n + 1 lze reprezentovat jako součin celých čísel, pak jsou tato čísla také společnými děliteli čísel A 1 a A 2. Číslo A n+1 jsou volány největší společný dělitelčísla A 1 a A 2 .

Čísla A 1 a A 2 mohou být kladná i záporná čísla. Pokud je jedno z čísel rovno nule, pak se největší společný dělitel těchto čísel bude rovnat absolutní hodnotě druhého čísla. Největší společný dělitel nulových čísel není definován.

Výše uvedený algoritmus se nazývá Euklidův algoritmus najít největšího společného dělitele dvou celých čísel.

Příklad hledání největšího společného dělitele dvou čísel

Najděte největšího společného dělitele dvou čísel 630 a 434.

Krok 1. Vydělte číslo 630 číslem 434. Zbytek je 196.
Krok 2. Vydělte číslo 434 číslem 196. Zbytek je 42.
Krok 3. Vydělte číslo 196 42. Zbytek je 28.
Krok 4. Vydělte číslo 42 28. Zbytek je 14.
Krok 5. Vydělte číslo 28 14. Zbytek je 0.

V kroku 5 je zbytek dělení 0. Proto je největší společný dělitel čísel 630 a 434 14. Všimněte si, že čísla 2 a 7 jsou také děliteli čísel 630 a 434.

Coprime čísla

Definice 1. Nechť největší společný dělitel čísel A 1 a A 2 se rovná jedné. Poté se volají tato čísla koprime čísla které nemají společného dělitele.

Teorém 1. Li A 1 a A 2 relativně prvočísla a λ nějaké číslo, pak libovolný společný dělitel čísel λa 1 a A 2 je také společný dělitel čísel λ A A 2 .

Důkaz. Zvažte Euklidův algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele čísel A 1 a A 2 (viz výše).

Z podmínek věty vyplývá, že největší společný dělitel čísel A 1 a A 2, a proto A n a A n+1 je 1. Tj. A n+1=1.

Vynásobme všechny tyto rovnosti λ , Pak

Nechť společný dělitel A 1 λ A A 2 je δ . Pak δ vstupuje jako faktor A 1 λ , m 1 A 2 λ a dovnitř A 1 λ -m 1 A 2 λ =A 3 λ (Viz "Dělitelnost čísel", Příkaz 2). Dále δ vstupuje jako faktor A 2 λ A m 2 A 3 λ , a proto vstupuje jako faktor A 2 λ -m 2 A 3 λ =A 4 λ .

Tímto uvažováním jsme o tom přesvědčeni δ vstupuje jako faktor A n−1 λ A m n−1 A n λ , a proto v A n−1 λ −m n−1 A n λ =A n+1 λ . Protože A n+1 = 1, tedy δ vstupuje jako faktor λ . Proto to číslo δ je společný dělitel čísel λ A A 2 .

Zvažte speciální případy věty 1.

Následek 1. Nechat A A C prvočísla jsou relativní b. Pak jejich produkt ac je prvočíslo vzhledem k b.

Opravdu. Z věty 1 ac A b mají stejné společné dělitele jako C A b. Ale ta čísla C A b coprime, tj. mít jediného společného dělitele 1. Pak ac A b mají také jediného společného dělitele 1. Proto ac A b vzájemně jednoduché.

Následek 2. Nechat A A b coprime čísla a nechat b rozděluje ak. Pak b rozděluje a k.

Opravdu. Z podmínky tvrzení ak A b mají společného dělitele b. Na základě věty 1, b musí být společný dělitel b A k. Proto b rozděluje k.

Důsledek 1 lze zobecnit.

Následek 3. 1. Nechte čísla A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m jsou prvočísla vzhledem k číslu b. Pak A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m , součin těchto čísel je prvočíslo vzhledem k číslu b.

2. Mějme dvě řady čísel

tak, že každé číslo v prvním řádku je prvočíslo vzhledem ke každému číslu v druhém řádku. Poté produkt

Je potřeba najít taková čísla, která jsou dělitelná každým z těchto čísel.

Pokud je číslo dělitelné A 1, pak to vypadá sa 1, kde s nějaké číslo. Li q je největší společný dělitel čísel A 1 a A 2, tedy

Kde s 1 je nějaké celé číslo. Pak

je nejmenší společný násobek čísel A 1 a A 2 .

A 1 a A 2 coprime, pak nejmenší společný násobek čísel A 1 a A 2:

Najděte nejmenší společný násobek těchto čísel.

Z výše uvedeného vyplývá, že libovolný násobek čísel A 1 , A 2 , A 3 musí být násobkem čísel ε A A 3 a naopak. Nechť nejmenší společný násobek čísel ε A A 3 je ε 1. Dále násobek čísel A 1 , A 2 , A 3 , A 4 musí být násobkem čísel ε 1 a A 4. Nechť nejmenší společný násobek čísel ε 1 a A 4 je ε 2. Zjistili jsme tedy, že všechny násobky čísel A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m se shodují s násobky nějakého konkrétního čísla ε n , které se nazývá nejmenší společný násobek daných čísel.

V konkrétním případě, kdy čísla A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m coprime, pak nejmenší společný násobek čísel A 1 , A 2, jak je znázorněno výše, má tvar (3). Dále od A 3 prvočíslo vzhledem k číslům A 1 , A 2, tedy A 3 je prvočíslo relativní A 1 · A 2 (důsledek 1). Tedy nejmenší společný násobek čísel A 1 ,A 2 ,A 3 je číslo A 1 · A 2 · A 3. Při argumentaci podobným způsobem dojdeme k následujícím tvrzením.

Prohlášení 1. Nejmenší společný násobek prvočísel A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m se rovná jejich součinu A 1 · A 2 · A 3 ··· A m .

Prohlášení 2. Jakékoli číslo, které je dělitelné každým z prvočísel A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m je také dělitelné jejich součinem A 1 · A 2 · A 3 ··· A m .

Zvažte řešení následujícího problému. Krok chlapce je 75 cm, krok dívky 60 cm. Je třeba najít nejmenší vzdálenost, na kterou oba udělají celočíselný počet kroků.

Řešení. Celá cesta, kterou kluci projdou, musí být beze zbytku dělitelná 60 a 70, protože každý musí udělat celočíselný počet kroků. Jinými slovy, odpověď musí být násobkem 75 i 60.

Nejprve vypíšeme všechny násobky pro číslo 75. Dostaneme:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Nyní si vypišme čísla, která budou násobkem 60. Dostaneme:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Nyní najdeme čísla, která jsou v obou řádcích.

Společné násobky čísel budou čísla, 300, 600 atd.

Nejmenší z nich je číslo 300. V tomto případě se bude nazývat nejmenší společný násobek čísel 75 a 60.

Vrátíme-li se ke stavu problému, nejmenší vzdálenost, na kterou kluci udělají celý počet kroků, bude 300 cm. Chlapec tudy ujde ve 4 krocích a dívka bude muset udělat 5 kroků.

Hledání nejmenšího společného násobku

Nejmenší společný násobek dvou přirozených čísel aab je nejmenší přirozené číslo, které je násobkem obou přirozených čísel a a b.

Abychom našli nejmenší společný násobek dvou čísel, není nutné zapisovat všechny násobky těchto čísel za sebou.

Můžete použít následující metodu.

Jak najít nejmenší společný násobek

Nejprve musíte tato čísla rozložit na prvočinitele.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Nyní si sepišme všechny faktory, které jsou v rozšíření prvního čísla (2,2,3,5) a doplňte k tomu všechny chybějící faktory z rozšíření druhého čísla (5).

Výsledkem je řada prvočísel: 2,2,3,5,5. Součin těchto čísel bude pro tato čísla nejméně společným faktorem. 2*2*3*5*5 = 300.

Obecné schéma hledání nejmenšího společného násobku

1. Rozložte čísla na prvočinitele.
2. Zapište prvočinitele, které jsou součástí jednoho z nich.
3. K těmto faktorům přidejte všechny, které jsou v rozkladu zbytku, ale ne ve vybraném.
4. Najděte součin všech vypsaných faktorů.

Tato metoda je univerzální. Lze jej použít k nalezení nejmenšího společného násobku libovolného počtu přirozených čísel.

Jak najít LCM (nejmenší společný násobek)

Společný násobek dvou celých čísel je celé číslo, které je beze zbytku rovnoměrně dělitelné oběma danými čísly.

Nejmenší společný násobek dvou celých čísel je nejmenší ze všech celých čísel, který je dělitelný rovnoměrně a beze zbytku oběma danými čísly.

Metoda 1. LCM můžete najít pro každé z uvedených čísel tak, že ve vzestupném pořadí zapíšete všechna čísla, která získáte vynásobením 1, 2, 3, 4 atd.

Příklad pro čísla 6 a 9.
Číslo 6 vynásobíme postupně 1, 2, 3, 4, 5.
Dostáváme: 6, 12, 18 , 24, 30
Číslo 9 vynásobíme postupně 1, 2, 3, 4, 5.
Dostáváme: 9, 18 , 27, 36, 45
Jak můžete vidět, LCM pro čísla 6 a 9 bude 18.

Tato metoda je vhodná, když jsou obě čísla malá a je snadné je vynásobit posloupností celých čísel. Existují však případy, kdy potřebujete najít LCM pro dvouciferná nebo tříciferná čísla, a také když existují tři nebo dokonce více počátečních čísel.

Metoda 2. LCM můžete najít rozkladem původních čísel na prvočinitele.
Po rozkladu je nutné z výsledné řady prvočinitelů vyškrtnout stejná čísla. Zbývající čísla prvního čísla budou faktorem pro druhé a zbývající čísla druhého čísla budou faktorem pro první.

Příklad pro číslo 75 a 60.
Nejmenší společný násobek čísel 75 a 60 lze najít bez vypsání násobků těchto čísel za sebou. Za tímto účelem rozložíme 75 a 60 na prvočinitele:
75 = 3 * 5 * 5 a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Jak vidíte, faktory 3 a 5 se vyskytují v obou řádcích. Mentálně je „odškrtáváme“.
Zapišme si zbývající faktory zahrnuté v rozšíření každého z těchto čísel. Při rozkladu čísla 75 jsme nechali číslo 5 a při rozkladu čísla 60 jsme nechali 2 * 2
Abychom tedy určili LCM pro čísla 75 a 60, musíme vynásobit zbývající čísla z rozšíření 75 (to je 5) 60 a čísla zbývající z rozšíření čísla 60 (to je 2 * 2 ) násobíme 75. To znamená, že pro snazší pochopení říkáme, že násobíme „křížově“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Takto jsme našli LCM pro čísla 60 a 75. Toto je číslo 300.

Příklad. Určete LCM pro čísla 12, 16, 24
V tomto případě bude naše jednání poněkud složitější. Nejprve však jako vždy rozložíme všechna čísla na prvočinitele
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Abychom správně určili LCM, vybereme nejmenší ze všech čísel (to je číslo 12) a postupně procházíme jeho faktory a škrtáme je, pokud alespoň jedna z dalších řad čísel má stejný faktor, který ještě nebyl přeškrtnut ven.

Krok 1 . Vidíme, že 2 * 2 se vyskytuje ve všech řadách čísel. Přeškrtneme je.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Krok 2. V prvočinitelích čísla 12 zůstane pouze číslo 3. Ale je přítomno v prvočinitelích čísla 24. Z obou řádků škrtneme číslo 3, přičemž u čísla 16 se neočekává žádná akce .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Jak vidíte, při rozkladu čísla 12 jsme všechna čísla „odškrtali“. Takže nález NOC je dokončen. Zbývá pouze vypočítat jeho hodnotu.
Pro číslo 12 vezmeme zbývající faktory z čísla 16 (nejbližší ve vzestupném pořadí)
12 * 2 * 2 = 48
Toto je NOC

Jak vidíte, v tomto případě bylo nalezení LCM poněkud obtížnější, ale když jej potřebujete najít pro tři nebo více čísel, tato metoda vám to umožní rychleji. Oba způsoby nalezení LCM jsou však správné.