Podle segmentu nazývat část přímky sestávající ze všech bodů této přímky, které se nacházejí mezi těmito dvěma body - nazývají se konce úsečky.

Podívejme se na první příklad. Nechť je určitý segment definován dvěma body v souřadnicové rovině. V tomto případě můžeme jeho délku zjistit pomocí Pythagorovy věty.

V souřadnicovém systému tedy nakreslíme segment s danými souřadnicemi jeho konců(x1; y1) A (x2; y2) . Na ose X A Y Nakreslete kolmice z konců segmentu. Označme červeně segmenty, které jsou průměty z původního segmentu na souřadnicovou osu. Poté přeneseme projekční segmenty rovnoběžně s konci segmentů. Dostaneme trojúhelník (obdélník). Přepona tohoto trojúhelníku bude samotný segment AB a jeho nohy jsou přenesenými projekcemi.

Vypočítejme délku těchto projekcí. Takže na osu Y délka projekce je y2-y1 a na ose X délka projekce je x2-x1 . Aplikujme Pythagorovu větu: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . V tomto případě |AB| je délka segmentu.

Pokud použijete tento diagram k výpočtu délky segmentu, nemusíte segment ani konstruovat. Nyní vypočítejme délku segmentu se souřadnicemi (1;3) A (2;5) . Použitím Pythagorovy věty dostaneme: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . To znamená, že délka našeho segmentu je rovna 5:1/2 .

Zvažte následující metodu pro zjištění délky segmentu. K tomu potřebujeme znát souřadnice dvou bodů v nějaké soustavě. Zvažme tuto možnost pomocí dvourozměrného kartézského souřadnicového systému.

Takže ve dvourozměrném souřadnicovém systému jsou zadány souřadnice krajních bodů segmentu. Pokud těmito body vedeme přímky, musí být kolmé na souřadnicovou osu, pak dostaneme pravoúhlý trojúhelník. Původní úsečka bude přepona výsledného trojúhelníku. Nohy trojúhelníku tvoří úsečky, jejich délka se rovná průmětu přepony na souřadnicové osy. Na základě Pythagorovy věty docházíme k závěru: abyste našli délku daného segmentu, musíte najít délky průmětů na dvě souřadnicové osy.

Pojďme najít projekční délky (X a Y) původní segment na souřadnicové osy. Vypočítáme je tak, že najdeme rozdíl v souřadnicích bodů podél samostatné osy: X = X2-Xi, Y = Y2-Y1 .

Vypočítejte délku segmentu A , k tomu najdeme druhou odmocninu:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Pokud se náš segment nachází mezi body, jejichž souřadnice 2;4 A 4;1 , pak je jeho délka odpovídajícím způsobem rovna √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Jak se naučit řešit problémy v analytické geometrii?
Typický problém s trojúhelníkem v rovině

Tato lekce je vytvořena o přiblížení k rovníku mezi geometrií roviny a geometrií prostoru. V tuto chvíli je potřeba systematizovat nashromážděné informace a odpovědět na velmi důležitou otázku: jak se naučit řešit problémy v analytické geometrii? Potíž je v tom, že v geometrii můžete přijít s nekonečným množstvím problémů a žádná učebnice nebude obsahovat tolik a rozmanitost příkladů. Není derivace funkce s pěti pravidly diferenciace, tabulkou a několika technikami….

Existuje řešení! Nebudu mluvit nahlas o tom, že jsem vyvinul nějakou grandiózní techniku, ale podle mého názoru existuje efektivní přístup k uvažovanému problému, který umožňuje i úplné figuríně dosáhnout dobrých a vynikajících výsledků. Obecný algoritmus pro řešení geometrických problémů se alespoň v mé hlavě zformoval velmi jasně.

CO MUSÍTE VĚDĚT A UMĚT
pro úspěšné řešení geometrických problémů?

Z toho není úniku - abyste si náhodně nestrkali knoflíky nosem, musíte zvládnout základy analytické geometrie. Proto, pokud jste právě začali studovat geometrii nebo jste ji úplně zapomněli, začněte prosím s lekcí Vektory pro figuríny. Kromě vektorů a akcí s nimi musíte znát základní pojmy rovinné geometrie, zejména rovnice přímky v rovině A . Geometrie prostoru je prezentována v článcích Rovinná rovnice, Rovnice přímky v prostoru, Základní úlohy na přímce a rovině a některé další lekce. Zakřivené linie a prostorové plochy druhého řádu stojí poněkud stranou a není s nimi tolik specifických problémů.

Předpokládejme, že student již má základní znalosti a dovednosti v řešení nejjednodušších úloh analytické geometrie. Ale stane se to takto: přečtete si popis problému a... chcete celou věc úplně uzavřít, hodit ji do vzdáleného rohu a zapomenout na ni jako ve zlém snu. Navíc to zásadně nezávisí na úrovni vaší kvalifikace, sám se čas od času setkávám s úkoly, u kterých není řešení zřejmé. Co dělat v takových případech? Nemusíte se bát úkolu, kterému nerozumíte!

Za prvé, měl by být nainstalován - Je to „plochý“ nebo prostorový problém? Pokud například podmínka zahrnuje vektory se dvěma souřadnicemi, pak se samozřejmě jedná o geometrii roviny. A pokud učitel naložil vděčnému posluchači pyramidu, pak je tu jednoznačně geometrie prostoru. Výsledky prvního kroku jsou již docela dobré, protože se nám podařilo odříznout obrovské množství informací nepotřebných pro tento úkol!

Druhý. Podmínka se vás obvykle bude týkat nějakého geometrického útvaru. Opravdu, projděte se po chodbách své rodné univerzity a uvidíte spoustu ustaraných tváří.

V „plochých“ úlohách, nemluvě o zřejmých bodech a liniích, je nejoblíbenějším obrazcem trojúhelník. Budeme to analyzovat velmi podrobně. Dále následuje rovnoběžník a mnohem méně obvyklé jsou obdélník, čtverec, kosočtverec, kruh a další tvary.

V prostorových úlohách mohou létat stejné ploché obrazce + samotná letadla a běžné trojúhelníkové jehlany s rovnoběžnostěny.

Otázka druhá - Víte všechno o této postavě? Předpokládejme, že podmínka hovoří o rovnoramenném trojúhelníku a vy si velmi matně pamatujete, o jaký trojúhelník se jedná. Otevíráme školní učebnici a čteme o rovnoramenném trojúhelníku. Co dělat... doktor řekl kosočtverec, to znamená kosočtverec. Analytická geometrie je analytická geometrie, ale problém vyřeší geometrické vlastnosti samotných obrazců, nám známý ze školních osnov. Pokud nevíte, jaký je součet úhlů trojúhelníku, můžete trpět dlouhou dobu.

Třetí. VŽDY se snažte řídit nákresem(na konceptu/dokončovací kopii/mentálně), i když to podmínka nevyžaduje. V „plochých“ problémech sám Euclid nařídil vzít do ruky pravítko a tužku – a to nejen proto, aby porozuměl stavu, ale také za účelem vlastního testu. V tomto případě je nejvhodnější měřítko 1 jednotka = 1 cm (2 buňky notebooku). Nemluvme o neopatrných studentech a matematicích, kteří se točí v hrobech – udělat chybu v takových úlohách je téměř nemožné. U prostorových úloh provádíme schematický nákres, který také pomůže analyzovat stav.

Výkres nebo schematický výkres často umožňuje okamžitě vidět způsob, jak vyřešit problém. K tomu je samozřejmě potřeba znát základy geometrie a rozumět vlastnostem geometrických tvarů (viz předchozí odstavec).

Čtvrtý. Vývoj algoritmu řešení. Mnoho geometrických problémů je vícekrokových, takže řešení a jeho návrh je velmi vhodné rozdělit do bodů. Algoritmus se často vybaví okamžitě poté, co si přečtete podmínku nebo dokončíte výkres. V případě potíží začínáme OTÁZKOU úkolu. Například podle podmínky „potřebujete sestrojit přímku...“. Zde je nejlogičtější otázka: „Co stačí vědět k sestrojení této přímky? Předpokládejme, že „známe bod, potřebujeme znát směrový vektor“. Klademe si následující otázku: „Jak najít tento směrový vektor? Kde?" atd.

Někdy se vyskytne „chyba“ - problém není vyřešen a je to. Důvody zastavení mohou být následující:

– Vážná mezera v základních znalostech. Jinými slovy, neznáte a/nebo nevidíte nějakou velmi jednoduchou věc.

– Neznalost vlastností geometrických obrazců.

- Úkol byl těžký. Ano, to se stává. Nemá smysl hodiny pařit a sbírat slzy do kapesníku. Požádejte o radu svého učitele, spolužáky nebo položte otázku na fóru. Navíc je lepší, aby jeho prohlášení bylo konkrétní - o té části řešení, které nerozumíte. Výkřik ve formě "Jak vyřešit problém?" nevypadá moc dobře... a především pro vaši vlastní pověst.

Pátá fáze. Rozhodneme-kontrolujeme, rozhodujeme-kontrolujeme, rozhodujeme-kontrolujeme-dejme odpověď. Je výhodné zkontrolovat každý bod úkolu ihned po jeho dokončení. To vám pomůže okamžitě zjistit chybu. Nikdo samozřejmě nezakazuje rychle vyřešit celý problém, ale existuje riziko přepsání všeho znovu (často několik stránek).

To jsou snad všechny hlavní úvahy, které je třeba při řešení problémů dodržovat.

Praktická část lekce je prezentována v rovinné geometrii. Budou jen dva příklady, ale nebude to stačit =)

Pojďme si projít vlákno algoritmu, na který jsem se právě podíval ve své malé vědecké práci:

Příklad 1

Jsou dány tři vrcholy rovnoběžníku. Najděte vrchol.

Začněme rozumět:

Krok první: Je zřejmé, že mluvíme o „plochém“ problému.

Krok dva: Problém se zabývá rovnoběžníkem. Pamatuje si každý tento rovnoběžník? Není třeba se usmívat, mnoho lidí se vzdělává ve 30-40-50 i více letech, takže i jednoduchá fakta lze vymazat z paměti. Definice rovnoběžníku je uvedena v příkladu č. 3 lekce Lineární (ne)závislost vektorů. Základy vektorů.

Krok tři: Udělejme nákres, na kterém označíme tři známé vrcholy. Je legrační, že není těžké okamžitě vytvořit požadovaný bod:

Zkonstruovat to je samozřejmě dobré, ale řešení musí být formulováno analyticky.

Krok čtyři: Vývoj algoritmu řešení. První věc, která vás napadne, je, že jako průsečík přímek lze najít bod. Neznáme jejich rovnice, takže se budeme muset vypořádat s tímto problémem:

1) Protilehlé strany jsou rovnoběžné. Podle bodů Pojďme najít směrový vektor těchto stran. Toto je nejjednodušší problém, který se ve třídě probíral. Vektory pro figuríny.

Poznámka: správnější je říkat „rovnice přímky obsahující stranu“, ale zde a dále pro stručnost použiji fráze „rovnice strany“, „směrový vektor strany“ atd.

3) Protilehlé strany jsou rovnoběžné. Pomocí bodů najdeme směrový vektor těchto stran.

4) Vytvořme rovnici přímky pomocí bodu a směrového vektoru

V odstavcích 1-2 a 3-4 jsme tentýž problém řešili vlastně dvakrát, mimochodem byl probírán v ukázce č. 3 lekce Nejjednodušší úlohy s přímkou ​​na rovině. Bylo možné jít delší cestou - nejprve najít rovnice čar a teprve potom z nich „vytáhnout“ směrové vektory.

5) Nyní jsou známy rovnice přímek. Zbývá jen poskládat a vyřešit odpovídající soustavu lineárních rovnic (viz příklady č. 4, 5 téže lekce Nejjednodušší úlohy s přímkou ​​na rovině).

Pointa byla nalezena.

Úkol je celkem jednoduchý a jeho řešení je nasnadě, ale existuje kratší cesta!

Druhé řešení:

Úhlopříčky rovnoběžníku jsou půleny jejich průsečíkem. Bod jsem označil, ale abych kresbu nezaneřádil, nekreslil jsem samotné úhlopříčky.

Vytvořme rovnici pro stranu bod po bodu:

Pro kontrolu byste měli v duchu nebo na náčrtu dosadit souřadnice každého bodu do výsledné rovnice. Nyní najdeme svah. Za tímto účelem přepíšeme obecnou rovnici do tvaru rovnice se sklonovým koeficientem:

Sklon je tedy:

Podobně najdeme rovnice stran. Nevidím moc smysl popisovat to samé, takže hned dám hotový výsledek:

2) Najděte délku strany. Toto je nejjednodušší problém ve třídě. Vektory pro figuríny. Za body použijeme vzorec:

Pomocí stejného vzorce je snadné najít délky dalších stran. Kontrolu lze provést velmi rychle běžným pravítkem.

Používáme vzorec .

Pojďme najít vektory:

Tím pádem:

Mimochodem, cestou jsme našli délky stran.

Jako výsledek:

Zdá se, že je to pravda, abyste byli přesvědčiví, můžete do rohu připevnit úhloměr.

Pozornost! Nezaměňujte úhel trojúhelníku s úhlem mezi přímkami. Úhel trojúhelníku může být tupý, ale úhel mezi přímkami nikoli (viz poslední odstavec článku Nejjednodušší úlohy s přímkou ​​na rovině). Chcete-li však najít úhel trojúhelníku, můžete také použít vzorce z výše uvedené lekce, ale drsné je, že tyto vzorce vždy dávají ostrý úhel. S jejich pomocí jsem tento problém vyřešil v návrhu a dostal výsledek. A na poslední kopii bych musel napsat další výmluvy, že .

4) Napište rovnici pro přímku procházející bodem rovnoběžným s přímkou.

Standardní úkol, podrobně rozebrán v příkladu č. 2 lekce Nejjednodušší úlohy s přímkou ​​na rovině. Z obecné rovnice přímky Vyjmeme vodicí vektor. Vytvořme rovnici přímky pomocí bodu a směrového vektoru:

Jak zjistit výšku trojúhelníku?

5) Vytvoříme rovnici pro výšku a zjistíme její délku.

Před přísnými definicemi není úniku, takže budete muset krást ze školní učebnice:

Výška trojúhelníku se nazývá kolmice vedená z vrcholu trojúhelníku k přímce obsahující opačnou stranu.

To znamená, že je nutné vytvořit rovnici pro kolmici vedenou z vrcholu na stranu. Tento úkol je probrán v příkladech č. 6, 7 lekce Nejjednodušší úlohy s přímkou ​​na rovině. Z rov. odstranit normální vektor. Sestavme výškovou rovnici pomocí bodu a směrového vektoru:

Upozorňujeme, že neznáme souřadnice bodu.

Někdy se výšková rovnice zjistí z poměru úhlových koeficientů kolmých čar: . V tomto případě pak: . Sestavme výškovou rovnici pomocí bodu a úhlového koeficientu (viz začátek lekce Rovnice přímky na rovině):

Výšku délky lze zjistit dvěma způsoby.

Existuje kruhový objezd:

a) najít – průsečík výšky a strany;
b) zjistěte délku úsečky pomocí dvou známých bodů.

Ale ve třídě Nejjednodušší úlohy s přímkou ​​na rovině byl uvažován vhodný vzorec pro vzdálenost od bodu k přímce. Bod je znám: , rovnice přímky je také známa: , Tím pádem:

6) Vypočítejte obsah trojúhelníku. Ve vesmíru se plocha trojúhelníku tradičně vypočítává pomocí vektorový součin vektorů, ale zde je nám dán trojúhelník v rovině. Používáme školní vzorec:
- Plocha trojúhelníku se rovná polovině součinu jeho základny a jeho výšky.

V tomto případě:

Jak zjistit střední hodnotu trojúhelníku?

7) Vytvořme rovnici pro medián.

Medián trojúhelníku nazývá se úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem protější strany.

a) Najděte bod - střed strany. Používáme vzorce pro souřadnice středu segmentu. Souřadnice konců segmentu jsou známé: , pak souřadnice středu:

Tím pádem:

Sestavme střední rovnici bod po bodu :

Chcete-li rovnici zkontrolovat, musíte do ní dosadit souřadnice bodů.

8) Najděte průsečík výšky a mediánu. Myslím, že každý se již naučil, jak provádět tento prvek krasobruslení bez pádu:

Co je to funkce? Jde o závislost jedné veličiny na druhé. V matematické funkci jsou nejčastěji dvě neznámé: nezávislá a závislá, respektive x a y.

Co to znamená? To znamená, že x může nabývat absolutně libovolné hodnoty a y se jí přizpůsobí a mění se v souladu s koeficienty funkce.

Existují situace, kdy má funkce více proměnných. Závislá je vždy 1, ale může ji ovlivnit několik faktorů. Ne vždy je možné takovou funkci zobrazit na grafu. V nejlepším případě můžete graficky zobrazit závislost y na 2 proměnných.

Jaký je nejjednodušší způsob vyjádření závislosti y(x)?

Ano, velmi jednoduché. Představte si rozmazlené dítě a bohatou, milující matku. Přijdou spolu do obchodu a začnou žebrat o sladkosti. Kdo ví, kolik bonbónů si dnes chlapec vyžádá?

Nikdo, ale podle počtu bonbónů se bude zvyšovat částka, kterou maminka zaplatí u pokladny. V tomto případě je závislá proměnná částka v šeku a nezávislá proměnná počet sladkostí, které dnes chlapec chce.

Je velmi důležité pochopit, že jedna hodnota funkce y vždy odpovídá 1 hodnotě argumentu x. Ale stejně jako u kořenů kvadratické rovnice se tyto hodnoty mohou shodovat.

Rovnice přímky

Proč potřebujeme rovnici přímky, pokud mluvíme o rovnici délek stran trojúhelníku?

Ano, protože každá strana trojúhelníku je segment. Úsek je omezená část přímky. To znamená, že můžeme specifikovat rovnice přímek. A v bodech jejich průsečíku omezte čáry, čímž odřízněte přímky a přeměňte je na segmenty.

Rovnice přímky vypadá takto:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Rovnice stran trojúhelníku

Je třeba najít rovnici pro délky stran trojúhelníku s vrcholy v bodech A(3,7); B(5,3); C(12;9)

Všechny souřadnice jsou kladné, což znamená, že trojúhelník bude umístěn v 1 souřadnicovém kvadrantu.

Sestavme rovnice pro každou z přímek trojúhelníku jednu po druhé.

• První řádek bude AB. Souřadnice bodů dosadíme do rovnice přímky na místo x a y. Dostaneme tak soustavu dvou lineárních rovnic. Po vyřešení můžete najít hodnotu koeficientů pro funkci:

A(3,7); B(5,3):

Z první rovnice vyjádříme b a dosadíme ji do druhé.

Dosadíme hodnotu a a najdeme b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Vytvořme rovnici pro přímku.

• Stejným způsobem vytvoříme zbývající dvě rovnice.

B(5,3); C(12;9)

9=12a+b=12a+3-5a

$$b=3-5*(6\over7)=-(9\over7)$$

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

• A(3,7); C(12;9)

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

$$b=7-(6\over9)=(57\over9)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

• Napišme rovnici pro délky stran trojúhelníku:

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

co jsme se naučili?

Dozvěděli jsme se, co je to funkce, mluvili o funkci přímky a naučili jsme se odvodit rovnice stran trojúhelníku ze souřadnic jeho vrcholů.

Test na dané téma

Hodnocení článku

Průměrné hodnocení: 4.8. Celkem obdržených hodnocení: 45.