Eksponentsiaali (e astmele x) ja eksponentsiaalfunktsiooni (a astmele x) tuletise valemite tõestamine ja tuletamine. Näited e^2x, e^3x ja e^nx tuletiste arvutamiseks. Kõrgema järgu tuletisinstrumentide valemid.

Sisu

Vaata ka: Eksponentfunktsioon – omadused, valemid, graafik
Eksponent, e x astmele - omadused, valemid, graafik

Põhivalemid

Eksponendi tuletis on võrdne eksponendi endaga (e tuletis x astmega võrdub e astmega x):
(1) (e x )′ = e x.

Alusega a eksponentsiaalfunktsiooni tuletis võrdub funktsiooni endaga, mis on korrutatud a naturaallogaritmiga:
(2) .

Eksponentsiaalne on eksponentsiaalne funktsioon, mille alus on võrdne arvuga e, mis on järgmine piir:
.
Siin võib see olla kas naturaalarv või reaalarv. Järgmisena tuletame eksponentsiaali tuletise valemi (1).

Eksponenttuletise valemi tuletamine

Vaatleme eksponentsiaali, e x astmega:
y = e x.
See funktsioon on määratletud kõigile. Leiame selle tuletise muutuja x suhtes. Definitsiooni järgi on tuletis järgmine piir:
(3) .

Teisendame selle avaldise, et taandada see teadaolevateks matemaatilisteks omadusteks ja reegliteks. Selleks vajame järgmisi fakte:
A) Eksponent omadus:
(4) ;
B) Logaritmi omadus:
(5) ;
IN) Logaritmi pidevus ja pideva funktsiooni piirväärtuste omadus:
(6) .
Siin on funktsioon, millel on piirang ja see piir on positiivne.
G) Teise tähelepanuväärse piiri tähendus:
(7) .

Rakendame neid fakte oma piirile (3). Kasutame kinnisvara (4):
;
.

Teeme asendus. Siis ; .
Eksponentsiaalse järjepidevuse tõttu
.
Seega, kui . Selle tulemusena saame:
.

Teeme asendus. Siis . Kell , . Ja meil on:
.

Rakendame logaritmi omadust (5):
. Siis
.

Rakendame omadust (6). Kuna on positiivne piir ja logaritm on pidev, siis:
.
Siin kasutasime ka teist tähelepanuväärset piiri (7). Siis
.

Seega saime eksponentsiaali tuletise valemi (1).

Eksponentfunktsiooni tuletise valemi tuletamine

Nüüd tuletame valemi (2) eksponentsiaalfunktsiooni tuletise jaoks astme a baasiga. Usume, et ja. Siis eksponentsiaalfunktsioon
(8)
Määratletud kõigile.

Teisendame valemi (8). Selleks kasutame eksponentsiaalfunktsiooni ja logaritmi omadusi.
;
.
Seega teisendasime valemi (8) järgmisele kujule:
.

e kõrgemat järku tuletised x astmele

Nüüd leiame kõrgema järgu tuletised. Vaatame kõigepealt eksponenti:
(14) .
(1) .

Näeme, et funktsiooni (14) tuletis on võrdne funktsiooniga (14) endaga. Diferentseerides (1), saame teist ja kolmandat järku tuletised:
;
.

See näitab, et n-ndat järku tuletis on samuti võrdne algfunktsiooniga:
.

Eksponentfunktsiooni kõrgemat järku tuletised

Nüüd kaaluge eksponentsiaalfunktsiooni astme a baasiga:
.
Leidsime selle esimest järku tuletise:
(15) .

Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:
;
.

Näeme, et iga diferentseerimine viib algfunktsiooni korrutamiseni . Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:
.

Vaata ka: Tuletisarvutus- üks olulisemaid tehteid diferentsiaalarvutuses. Allpool on tabel lihtsate funktsioonide tuletiste leidmiseks. Keerulisemate diferentseerimisreeglite kohta vaadake teisi õppetükke:

• Eksponent- ja logaritmfunktsioonide tuletiste tabel

Kasutage etteantud valemeid võrdlusväärtustena. Need aitavad lahendada diferentsiaalvõrrandeid ja ülesandeid. Pildil on lihtfunktsioonide tuletiste tabelis "petuleht" tuletise leidmise põhijuhtudest kasutamiseks arusaadaval kujul, selle kõrval iga juhtumi kohta selgitused.

Lihtfunktsioonide tuletised

1. Arvu tuletis on null
с´ = 0
Näide:
5´ = 0

Selgitus:
Tuletis näitab kiirust, millega funktsiooni väärtus muutub selle argumendi muutumisel. Kuna arv ei muutu ühelgi tingimusel, on selle muutumise kiirus alati null.

2. Muutuja tuletis võrdne ühega
x´ = 1

Selgitus:
Argumendi (x) iga suurendamisega ühe võrra suureneb funktsiooni väärtus (arvutuse tulemus) sama palju. Seega on funktsiooni y = x väärtuse muutumise kiirus täpselt võrdne argumendi väärtuse muutumise kiirusega.

3. Muutuja ja teguri tuletis on võrdne selle teguriga
сx´ = с
Näide:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Selgitus:
Sel juhul muutub iga kord, kui funktsiooni argument ( X) selle väärtus (y) suureneb Koosüks kord. Seega on funktsiooni väärtuse muutumise kiirus argumendi muutumise kiiruse suhtes täpselt võrdne väärtusega Koos.

Kust see järeldub
(cx + b)" = c
see tähendab, et lineaarfunktsiooni y=kx+b diferentsiaal on võrdne sirge (k) kaldega.

4. Muutuja moodultuletis võrdne selle muutuja ja selle mooduli jagatisega
|x|"= x / |x| eeldusel, et x ≠ 0
Selgitus:
Kuna muutuja tuletis (vt valem 2) on võrdne ühega, erineb mooduli tuletis ainult selle poolest, et funktsiooni muutumise kiiruse väärtus muutub lähtepunkti ületamisel vastupidiseks (proovi joonistada graafik funktsiooni y = |x| ja vaadake ise. See on täpselt see väärtus ja tagastab avaldise x / |x|. Kui x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - üks. See tähendab, et muutuja x negatiivsete väärtuste korral väheneb funktsiooni väärtus iga argumendi suurenemisega täpselt sama väärtuse võrra ja positiivsete väärtuste korral see vastupidi suureneb, kuid täpselt sama väärtuse võrra. .

5. Muutuja tuletis astmest võrdne selle astme arvu ja muutuja korrutisega astmega, mida on vähendatud ühe võrra
(x c)"= cx c-1 tingimusel, et x c ja cx c-1 on defineeritud ja c ≠ 0
Näide:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Valemi meeldejätmiseks:
Liigutage muutuja astet tegurina allapoole ja seejärel vähendage astet ühe võrra. Näiteks x 2 puhul - need kaks olid x-st ees ja siis andis vähendatud võimsus (2-1 = 1) meile lihtsalt 2x. Sama juhtus ka x 3 puhul - “liigutame” kolmiku alla, vähendame seda ühe võrra ja kuubi asemel on ruut, see tähendab 3x 2. Natuke "ebateaduslik", kuid väga lihtne meelde jätta.

6.Murru tuletis 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Näide:
Kuna murdosa saab kujutada negatiivse astmeni tõstmisena
(1/x)" = (x -1)", siis saate rakendada tuletiste tabeli 5. reegli valemit
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Murru tuletis suvalise astme muutujaga nimetajas
(1/x c)" = - c / x c+1
Näide:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Juure tuletis(ruutjuure all oleva muutuja tuletis)
(√x)" = 1 / (2√x) või 1/2 x -1/2
Näide:
(√x)" = (x 1/2)" tähendab, et saate rakendada 5. reegli valemit
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Suvalise astme juure all oleva muutuja tuletis
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Tuletis

Matemaatilise funktsiooni tuletise (diferentseerimise) arvutamine on kõrgema matemaatika lahendamisel väga levinud ülesanne. Lihtsate (elementaarsete) matemaatiliste funktsioonide puhul on see üsna lihtne asi, kuna elementaarfunktsioonide tuletiste tabeleid on pikka aega koostatud ja need on hõlpsasti juurdepääsetavad. Keerulise matemaatilise funktsiooni tuletise leidmine ei ole aga triviaalne ülesanne ja nõuab sageli märkimisväärset pingutust ja aega.

Otsige tuletisinstrumenti Internetist

Meie veebiteenus võimaldab teil vabaneda mõttetutest pikkadest arvutustest ja leia tuletis Internetistühe hetkega. Veelgi enam, kasutades meie veebisaidil asuvat teenust www.sait, saate arvutada Interneti-tuletis nii elementaarfunktsioonist kui ka väga keerulisest, millel puudub analüütiline lahendus. Meie saidi peamised eelised võrreldes teistega on järgmised: 1) tuletise arvutamise matemaatilise funktsiooni sisestamise meetodile puuduvad ranged nõuded (näiteks siinuse x funktsiooni sisestamisel saate selle sisestada sin x või sin (x) või sin[x] jne. d.); 2) Interneti-tuletise arvutamine toimub režiimis koheselt võrgus ja absoluutselt tasuta; 3) võimaldame leida funktsiooni tuletise mis tahes tellimus, tuletise järjekorra muutmine on väga lihtne ja arusaadav; 4) Võimaldame leida võrgust peaaegu kõigi matemaatiliste funktsioonide tuletise, isegi väga keerukate, mida teised teenused ei suuda lahendada. Esitatud vastus on alati täpne ega tohi sisaldada vigu.

Meie serveri kasutamine võimaldab teil 1) arvutada tuletise teie eest võrgus, välistades aeganõudvad ja tüütud arvutused, mille käigus võite teha vea või kirjavea; 2) kui arvutate ise matemaatilise funktsiooni tuletise, siis anname teile võimaluse võrrelda saadud tulemust meie teenuse arvutustega ja veenduda lahenduse õigsuses või leida sisse hiilinud vea; 3) kasutage meie teenust lihtsate funktsioonide tuletiste tabelite asemel, kus soovitud funktsiooni leidmine võtab sageli aega.

Kõik, mida pead tegema, on leia tuletis Internetist- on kasutada meie teenust