Matemaatiline pendel helistas materiaalne punkt riputatud vedrustuse küljes oleva kaaluta ja venimatu keerme küljes ning paikneb raskusjõu (või muu jõu) väljas.

Uurime matemaatilise pendli võnkumisi inertsiaalses tugisüsteemis, mille suhtes tema vedrustuspunkt on puhkeasendis või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt. Jätame tähelepanuta õhutakistuse jõu (ideaalne matemaatiline pendel). Esialgu on pendel puhkeasendis C. Sel juhul on sellele mõjuv keerme raskusjõud \(\vec F\) ja elastsusjõud \(\vec F_(ynp)\) vastastikku kompenseeritud.

Toome pendli tasakaaluasendist välja (kallutades näiteks asendisse A) ja laseme tal minna ilma algkiiruseta (joon. 13.11). Sel juhul jõud \(\vec F\) ja \(\vec F_(ynp)\) ei tasakaalusta üksteist. Pendlile mõjuv gravitatsiooni tangentsiaalne komponent \(\vec F_\tau\) annab sellele tangentsiaalse kiirenduse \(\vec a_\tau\) (kogukiirenduse komponent, mis on suunatud piki matemaatilise trajektoori puutujat pendel) ja pendel hakkab kiirusmooduli suurenedes liikuma tasakaaluasendisse. Gravitatsiooni tangentsiaalne komponent \(\vec F_\tau\) on seega taastav jõud. Gravitatsiooni normaalkomponent \(\vec F_n\) on suunatud piki keerme vastu elastsusjõudu \(\vec F_(ynp)\). Jõudude \(\vec F_n\) ja \(\vec F_(ynp)\) resultant annab pendlile normaalkiirenduse \(~a_n\), mis muudab kiirusvektori suunda ja pendel liigub mööda kaar ABCD.

Mida lähemale pendel läheneb tasakaaluasendile C, seda väiksemaks muutub tangentsiaalkomponendi \(~F_\tau = F \sin \alpha\) väärtus. Tasakaalusendis on see võrdne nulliga ja kiirus saavutab maksimaalse väärtuse ning pendel liigub inertsist edasi, tõustes mööda kaare üles. Sel juhul on komponent \(\vec F_\tau\) suunatud kiiruse vastu. Paindenurga a suurenemisega suureneb jõumoodul \(\vec F_\tau\) ja kiirusmoodul väheneb ning punktis D muutub pendli kiirus nulliks. Pendel peatub hetkeks ja hakkab seejärel liikuma tasakaaluasendile vastupidises suunas. Olles sellest taas inertsi abil läbinud, jõuab pendel aeglustudes punkti A (puudub hõõrdumine), s.o. teeb täie hoo sisse. Pärast seda korratakse pendli liikumist juba kirjeldatud järjekorras.

Saame võrrandi, mis kirjeldab matemaatilise pendli vabavõnkumisi.

Olgu pendel antud ajahetkel punktis B. Selle nihe S tasakaaluasendist sel hetkel on võrdne kaare CB pikkusega (st S = |CB|). Märkige vedrustuse keerme pikkus l ja pendli mass - m.

Joonis 13.11 näitab, et \(~F_\tau = F \sin \alpha\), kus \(\alpha =\frac(S)(l).\) Väikeste nurkade korral \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Selle valemi miinusmärk pannakse seetõttu, et raskusjõu tangentsiaalne komponent on suunatud tasakaaluasendisse ja nihet arvestatakse tasakaaluasendist.

Vastavalt Newtoni teisele seadusele \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Projekteerime selle võrrandi vektorkogused matemaatilise pendli trajektoori puutuja suunas

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Nendest võrranditest saame

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - matemaatilise pendli dünaamiline liikumisvõrrand. Matemaatilise pendli tangentsiaalne kiirendus on võrdeline selle nihkega ja on suunatud tasakaaluasendisse. Selle võrrandi saab kirjutada kujul \. Võrreldes seda harmooniliste võnkumiste võrrandiga \(~a_x + \omega^2x = 0\) (vt § 13.3), võime järeldada, et matemaatiline pendel teostab harmoonilisi võnkumisi. Ja kuna pendli vaadeldavad võnkumised toimusid ainult sisemiste jõudude toimel, olid need pendli vabavõnked. Seega matemaatilise pendli vabavõnkumised väikeste kõrvalekalletega on harmoonilised.

Tähistage \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Kust \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) on pendli tsükliline sagedus.

Pendli võnkeperiood \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Seetõttu

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Seda väljendit nimetatakse Huygensi valem. See määrab matemaatilise pendli vabavõnkumiste perioodi. Valemist järeldub, et tasakaaluasendist kõrvalekaldumise väikeste nurkade korral matemaatilise pendli võnkeperiood: 1) ei sõltu tema massist ja võnkeamplituudist; 2) on võrdeline pendli pikkuse ruutjuurega ja pöördvõrdeline gravitatsioonikiirenduse ruutjuurega. See on kooskõlas matemaatilise pendli väikeste võnkumiste eksperimentaalsete seadustega, mille avastas G. Galileo.

Rõhutame, et selle valemiga saab perioodi arvutada, kui üheaegselt on täidetud kaks tingimust: 1) pendli võnkumised peavad olema väikesed; 2) pendli riputuspunkt peab olema puhkeasendis või liikuma ühtlaselt sirgjooneliselt selle inertsiaalse tugisüsteemi suhtes, milles see asub.

Kui matemaatilise pendli riputuspunkt liigub kiirendusega \(\vec a\), siis muutub keerme tõmbejõud, mis toob kaasa taastava jõu muutumise ja sellest tulenevalt ka võnkesageduse ja perioodi muutumise. Nagu arvutused näitavad, saab pendli võnkeperioodi sel juhul arvutada valemiga

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

kus \(~g"\) on pendli "efektiivne" kiirendus mitteinertsiaalses võrdlusraamis. See võrdub vabalangemise kiirenduse \(\vec g\) ja vektori vastassuunalise vektori geomeetrilise summaga. vektor \(\vec a\), st seda saab arvutada valemi abil

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Kirjandus

Aksenovitš L. A. Füüsika keskkoolis: teooria. Ülesanded. Testid: Proc. toetus üldisi osutavatele asutustele. keskkonnad, haridus / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 374-376.

Pendel Foucault- pendel, millega demonstreeritakse eksperimentaalselt Maa igapäevast pöörlemist.

Foucault pendel on traadile või niidile riputatud massiivne raskus, mille ülemine ots on tugevdatud (näiteks kardaanliigendiga), nii et see võimaldab pendlil õõtsuda mis tahes vertikaaltasandil. Kui Foucault' pendel kaldub vertikaalist kõrvale ja vabastatakse ilma algkiiruseta, siis pendli raskusele mõjuvad keerme raskus- ja pingejõud asuvad kogu aeg pendli õõtsumise tasapinnal ega suuda seda põhjustada. pöörlemine tähtede suhtes (tähtedega seotud inertsiaalsele tugiraamistikule) . Vaatleja, kes on Maal ja pöörleb koos sellega (st asub mitteinertsiaalses tugiraamistikus), näeb, et Foucault pendli pöördetasand pöörleb aeglaselt maapinna suhtes vastupidises suunas. Maa pöörlemine. See kinnitab Maa igapäevase pöörlemise fakti.

Põhja- või lõunapoolusel pöörleb Foucault pendli pöördetasapind 360° ühe sidereaalse päeva kohta (15 o sidereaalse tunni kohta). Maapinna punktis, mille geograafiline laiuskraad on φ, pöörleb horisondi tasapind ümber vertikaali nurkkiirusega ω 1 = ω sinφ (ω on Maa nurkkiiruse moodul) ja pöördetasand pendel pöörleb sama nurkkiirusega. Seetõttu on Foucault pendli võnketasandi pöörlemise näiv nurkkiirus laiuskraadil φ, väljendatuna kraadides sidereaalse tunni kohta, väärtus pöörleb). Lõunapoolkeral jälgitakse õõtsuva tasapinna pöörlemist põhjapoolkeral täheldatavaga vastupidises suunas. Täpsustatud arvutus annab väärtuse

ω m = 15 o sinφ

Kus A- pendli raskuse võnkumiste amplituud, l- keerme pikkus. Täiendav termin, mis vähendab nurkkiirust, mida vähem, seda rohkem l. Seetõttu on kogemuse demonstreerimiseks soovitatav kasutada võimalikult suure keerme pikkusega Foucault pendlit (mitukümmend meetrit).

Lugu

Esimest korda kujundas selle seadme prantsuse teadlane Jean Bernard Leon Foucault.

See seade oli viiekilone messingkuul, mis riputati lae alla kahemeetrisele terastraadile.

Foucault' esimene kogemus oli tema enda maja keldris. 8. jaanuar 1851. See kanti teadlase teaduslikku päevikusse.

3. veebruar 1851 Jean Foucault demonstreeris oma pendlit Pariisi observatooriumis akadeemikutele, kes said selliseid kirju: "Kutsun teid jälgima Maa pöörlemist."

Selle kogemuse esimene avalik demonstratsioon toimus Louis Bonaparte’i eestvõttel Pariisi Panthéonis sama aasta aprillis. Pantheoni kupli all riputati metallkuul. kaalub 28 kg, millel on terastraadile kinnitatud ots 1,4 mm läbimõõduga ja 67 m pikk. pendel võimaldas tal vabalt kõikuda juhised. Under kinnituskohaks tehti 6 meetrise läbimõõduga ringikujuline piirdeaed, piki aia äärt valati liivarada nii, et liikumisel olev pendel võis selle ületamisel liivale jäljed tõmmata. Et vältida pendli käivitamisel külgtõuget, võeti ta kõrvale ja seoti nööriga, misjärel nöör läbi põlenud. Võnkeperiood oli 16 sekundit.

Eksperiment oli suur edu ja tekitas laialdast vastukaja Prantsusmaa ja teiste maailma riikide teaduslikes ja avalikes ringkondades. Alles 1851. aastal loodi esimese eeskujul teised pendlid ja Foucault’ katsed viidi läbi Pariisi tähetornis, Reimsi katedraalis, Rooma Püha Ignatiuse kirikus, Liverpoolis, Oxfordis, Dublinis, aastal. Rio de Janeiros, Colombo linnas Ceylonis, New Yorgis.

Kõigis neis katsetes olid kuuli mõõtmed ja pendli pikkus erinevad, kuid need kõik kinnitasid järeldusiJean Bernard Leon Foucault.

Panteonis demonstreeritud pendli elemente hoitakse nüüd Pariisi kunsti- ja käsitöömuuseumis. Ja Foucault’ pendlid on praegu mitmel pool maailmas: polütehnilistes ja loodusloomuuseumides, teadusobservatooriumides, planetaariumides, ülikoolide laborites ja raamatukogudes.

Ukrainas on kolm Foucault pendlit. Ühte hoitakse Ukraina Riiklikus Tehnikaülikoolis “I järgi nimetatud KPI. Igor Sikorsky", teine ​​- Harkivi riiklikus ülikoolis. V.N. Karazin, kolmas - Harkivi planetaariumis.

Matemaatiline pendel.

Matemaatiline pendel on materiaalne punkt, mis ripub pikendamatul kaaluta niidil ja võngub gravitatsiooni mõjul ühes vertikaaltasandis.

Sellist pendlit võib pidada õhukesel niidil riputatud raskeks palliks massiga m, mille pikkus l on kuuli suurusest palju suurem. Kui see kaldub vertikaaljoonest kõrvale nurga α võrra (joon. 7.3.), siis jõu F - ühe raskuse P komponendi - mõjul hakkab see võnkuma. Teist komponenti, mis on suunatud piki keerme, ei võeta arvesse, sest mida tasakaalustab stringi pinge. Väikeste nihkenurkade ja siis saab x-koordinaati lugeda horisontaalsuunas. Jooniselt 7.3 on näha, et keermega risti olev kaalukomponent on võrdne

Jõumoment punkti O suhtes: , ja inertsimoment:
M = FL .
Inertsimoment J sel juhul
Nurkkiirendus:

Neid väärtusi arvesse võttes on meil:

(7.8)

Tema otsus
,

kus ja

(7.9)

Nagu näete, sõltub matemaatilise pendli võnkeperiood selle pikkusest ja raskuskiirendusest ning ei sõltu võnkumiste amplituudist.

füüsiline pendel.

Füüsiline pendel on jäik keha, mis on fikseeritud fikseeritud horisontaalteljele (vedrustustelg), mis ei läbi raskuskeset ja võngub gravitatsiooni mõjul ümber selle telje. Erinevalt matemaatilisest pendlist ei saa sellise keha massi lugeda punktmassiks.

Väikeste läbipaindenurkade α (joon. 7.4) korral teostab füüsikaline pendel ka harmoonilisi võnkumisi. Eeldame, et füüsilise pendli raskus on rakendatud selle raskuskeskmele punktis C. Jõud, mis viib pendli tagasi tasakaaluasendisse, on sel juhul gravitatsiooni komponent – ​​jõud F.

Parempoolne miinusmärk tähendab, et jõud F on suunatud nurga α vähendamisele. Võttes arvesse nurga α väiksust

Matemaatiliste ja füüsikaliste pendlite liikumisseaduse tuletamiseks kasutame pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandit

Jõumoment: ei saa selgesõnaliselt määrata. Võttes arvesse kõiki füüsikalise pendli võnkumiste algses diferentsiaalvõrrandis sisalduvaid suurusi, on sellel vorm

Matemaatiline pendel nimetatakse materiaalseks punktiks, mis on riputatud vedrustuse küljes oleva kaaluta ja venimatu keerme küljes ning paikneb gravitatsiooni (või muu jõu) väljas.

Uurime matemaatilise pendli võnkumisi inertsiaalses tugisüsteemis, mille suhtes tema vedrustuspunkt on puhkeasendis või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt. Jätame tähelepanuta õhutakistuse jõu (ideaalne matemaatiline pendel). Esialgu on pendel puhkeasendis C. Sel juhul kompenseeritakse vastastikku talle mõjuv gravitatsioonijõud ja keerme elastsusjõud F?ynp.

Toome pendli tasakaaluasendist välja (painides selle näiteks asendisse A) ja laseme tal minna ilma algkiiruseta (joonis 1). Sel juhul jõud ja ei tasakaalusta üksteist. Pendlile mõjuv gravitatsiooni tangentsiaalne komponent annab sellele tangentsiaalse kiirenduse a?? (kogukiirenduse komponent, mis on suunatud piki matemaatilise pendli trajektoori puutujat) ja pendel hakkab absoluutväärtuses kasvava kiirusega liikuma tasakaaluasendi poole. Gravitatsiooni tangentsiaalne komponent on seega taastav jõud. Gravitatsiooni normaalne komponent on suunatud piki niiti elastsusjõu vastu. Resultantjõud ja ütleb pendli normaalkiirenduse, mis muudab kiirusvektori suunda ja pendel liigub mööda kaare ABCD.

Mida lähemale pendel läheneb tasakaaluasendile C, seda väiksemaks muutub tangentsiaalse komponendi väärtus. Tasakaalusendis on see võrdne nulliga ja kiirus saavutab maksimaalse väärtuse ning pendel liigub inertsist edasi, tõustes mööda kaare üles. Sel juhul on komponent suunatud kiiruse vastu. Paindenurga a suurenemisega jõumoodul suureneb ja kiirusmoodul väheneb ning punktis D pendli kiirus võrdub nulliga. Pendel peatub hetkeks ja hakkab seejärel liikuma tasakaaluasendile vastupidises suunas. Olles sellest taas inertsi abil läbinud, jõuab pendel aeglustudes punkti A (puudub hõõrdumine), s.o. teeb täie hoo sisse. Pärast seda korratakse pendli liikumist juba kirjeldatud järjekorras.

Saame võrrandi, mis kirjeldab matemaatilise pendli vabavõnkumisi.

Olgu pendel antud ajahetkel punktis B. Selle nihe S tasakaaluasendist sel hetkel on võrdne kaare CB pikkusega (st S = |CB|). Tähistame riputuskeere pikkuseks l ja pendli massiks m.

Joonis 1 näitab, et kus . Väikeste nurkade korral () pendli läbipaine, seega

Selle valemi miinusmärk pannakse seetõttu, et raskusjõu tangentsiaalne komponent on suunatud tasakaaluasendisse ja nihet arvestatakse tasakaaluasendist.

Newtoni teise seaduse järgi. Projekteerime selle võrrandi vektorkogused matemaatilise pendli trajektoori puutuja suunas

Nendest võrranditest saame

Matemaatilise pendli dünaamiline liikumisvõrrand. Matemaatilise pendli tangentsiaalne kiirendus on võrdeline selle nihkega ja on suunatud tasakaaluasendisse. Selle võrrandi saab kirjutada kui

Võrreldes seda harmooniliste võnkumiste võrrandiga , võime järeldada, et matemaatiline pendel teeb harmoonilisi võnkumisi. Ja kuna pendli vaadeldavad võnkumised toimusid ainult sisemiste jõudude toimel, olid need pendli vabavõnked. Järelikult on matemaatilise pendli vabavõnkumised väikeste kõrvalekalletega harmoonilised.

Tähistage

Pendli võnkumiste tsükliline sagedus.

Pendli võnkeperiood. Seega

Seda väljendit nimetatakse Huygensi valemiks. See määrab matemaatilise pendli vabavõnkumiste perioodi. Valemist järeldub, et tasakaaluasendist kõrvalekaldumise väikeste nurkade korral on matemaatilise pendli võnkeperiood:

1. ei sõltu selle massist ja võnkumiste amplituudist;
2. võrdeline pendli pikkuse ruutjuurega ja pöördvõrdeline vabalangemise kiirenduse ruutjuurega.

See on kooskõlas matemaatilise pendli väikeste võnkumiste eksperimentaalsete seadustega, mille avastas G. Galileo.

Rõhutame, et seda valemit saab kasutada perioodi arvutamiseks, kui samaaegselt on täidetud kaks tingimust:

1. pendli võnkumised peaksid olema väikesed;
2. pendli riputuspunkt peab olema puhkeasendis või liikuma ühtlaselt sirgjooneliselt inertsiaalse võrdlusraami suhtes, milles see asub.

Kui matemaatilise pendli riputuspunkt liigub kiirendusega, siis muutub keerme tõmbejõud, mis toob kaasa taastava jõu muutumise ning sellest tulenevalt ka võnkesageduse ja perioodi muutumise. Nagu arvutused näitavad, saab pendli võnkeperioodi sel juhul arvutada valemiga

kus on pendli "efektiivne" kiirendus mitteinertsiaalses tugisüsteemis. See on võrdne gravitatsioonikiirenduse ja vektorile vastupidise vektori geomeetrilise summaga, s.o. seda saab arvutada valemi abil