Kui teil on vaja teatud arv astmeni tõsta, võite kasutada . Nüüd vaatame lähemalt kraadide omadused.

Eksponentarvud avavad suurepäraseid võimalusi, võimaldavad meil muuta korrutamise liitmiseks ja liitmine on palju lihtsam kui korrutamine.

Näiteks peame korrutama 16 64-ga. Nende kahe arvu korrutis on 1024. Kuid 16 on 4x4 ja 64 on 4x4x4. See tähendab, et 16 x 64 = 4x4x4x4x4, mis on samuti võrdne 1024-ga.

Arvu 16 saab esitada ka kui 2x2x2x2 ja 64 kui 2x2x2x2x2x2 ja kui me korrutame, saame jälle 1024.

Nüüd kasutame reeglit. 16 = 4 2 või 2 4, 64 = 4 3 või 2 6, samal ajal 1024 = 6 4 = 4 5 või 2 10.

Seetõttu saab meie ülesande kirjutada erinevalt: 4 2 x4 3 =4 5 või 2 4 x2 6 =2 10 ja iga kord saame 1024.

Me saame lahendada mitmeid sarnaseid näiteid ja näha, et arvude korrutamine astmetega taandub eksponentide lisamine, või eksponentsiaalne, muidugi eeldusel, et tegurite alused on võrdsed.

Seega võime korrutamist tegemata kohe öelda, et 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

See reegel kehtib ka arvude astmetega jagamisel, kuid sel juhul jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist. Seega 2 5:2 3 = 2 2, mis tavaarvudes võrdub 32:8 = 4, see tähendab 2 2. Teeme kokkuvõtte:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, kus m ja n on täisarvud.

Esmapilgul võib tunduda, et see on nii arvude korrutamine ja jagamine astmetega pole eriti mugav, sest kõigepealt peate arvu esitama eksponentsiaalsel kujul. Sellel kujul pole keeruline kujutada numbreid 8 ja 16, see tähendab 2 3 ja 2 4, kuid kuidas seda teha numbritega 7 ja 17? Või mida teha juhtudel, kui arvu saab esitada eksponentsiaalsel kujul, kuid arvude eksponentsiaalsete avaldiste alused on väga erinevad. Näiteks 8x9 on 2 3 x 3 2, sel juhul ei saa me eksponente summeerida. Ei 2 5 ega 3 5 ei ole vastus, samuti ei peitu vastus nende kahe numbri vahelises intervallis.

Kas siis tasub selle meetodiga üldse vaeva näha? Kindlasti seda väärt. See pakub tohutuid eeliseid, eriti keeruliste ja aeganõudvate arvutuste puhul.

Avaldised, väljendite teisendamine

Jõuväljendid (väljendid võimsustega) ja nende teisenemine

Selles artiklis räägime avaldiste teisendamisest võimsustega. Esiteks keskendume teisendustele, mida tehakse mis tahes tüüpi avaldistega, sealhulgas jõuväljenditega, nagu sulgude avamine ja sarnaste terminite toomine. Ja seejärel analüüsime teisendusi, mis on omased spetsiifiliselt astmetega avaldistele: töötamine baasi ja eksponendiga, kasutades kraadide omadusi jne.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on võimuväljendid?

Koolimatemaatikaõpikutes mõistet “jõuväljendid” praktiliselt ei esine, kuid ülesannete kogumites, eriti näiteks ühtseks riigieksamiks ja ühtseks riigieksamiks valmistumiseks mõeldud ülesandekogumites, esineb seda üsna sageli. Analüüsides ülesandeid, milles on vaja sooritada mis tahes toiminguid jõuavaldistega, saab selgeks, et jõuväljendite all mõeldakse väljendeid, mis sisaldavad oma kirjetes volitusi. Seetõttu võite enda jaoks nõustuda järgmise määratlusega:

Definitsioon.

Jõuväljendid on võimeid sisaldavad väljendid.

Anname näiteid võimuväljenditest. Lisaks esitame need vastavalt sellele, kuidas toimub vaadete areng loomuliku astendajaga astmest reaalastendajaga astmeni.

Teatavasti tutvutakse esmalt naturaalastendajaga arvu astmega, selles etapis on esimesed lihtsamad tüübi 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) astmeavaldised. 4, 3 a 2 ilmuvad −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 jne.

Veidi hiljem uuritakse täisarvu astendajaga arvu võimsust, mille tulemusel ilmuvad negatiivsete täisarvu astmetega astmeavaldised, näiteks: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Keskkoolis naasevad nad kraadide juurde. Seal võetakse kasutusele ratsionaalse astendajaga aste, mis toob kaasa vastavate võimsusavaldiste ilmumise: , , ja nii edasi. Lõpuks vaadeldakse irratsionaalsete astendajatega astmeid ja neid sisaldavaid avaldisi: , .

Asi ei piirdu loetletud võimsusavaldistega: edasi tungib muutuja eksponendisse ja tekivad näiteks järgmised avaldised: 2 x 2 +1 või . Ja pärast tutvumist hakkavad tekkima astmete ja logaritmidega avaldised, näiteks x 2·lgx −5·x lgx.

Niisiis, oleme käsitlenud küsimust, mida võimuväljendid esindavad. Järgmisena õpime neid teisendama.

Võimuavaldiste teisenduste põhitüübid

Võimuavaldistega saate sooritada mis tahes põhilise identiteedi teisendusi. Näiteks saate avada sulgusid, asendada arvavaldisi nende väärtustega, lisada sarnaseid termineid jne. Loomulikult on sel juhul vaja toimingute tegemiseks järgida aktsepteeritud protseduuri. Toome näiteid.

Näide.

Arvutage võimsusavaldise 2 3 ·(4 2 −12) väärtus.

Lahendus.

Vastavalt toimingute sooritamise järjekorrale soorita esmalt sulgudes olevad toimingud. Seal asendame esiteks võimsuse 4 2 selle väärtusega 16 (vajadusel vt) ja teiseks arvutame vahe 16−12=4. Meil on 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4.

Saadud avaldises asendame astme 2 3 selle väärtusega 8, mille järel arvutame korrutise 8·4=32. See on soovitud väärtus.

Niisiis, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Vastus:

2 3 · (4 2 -12)=32.

Näide.

Lihtsustage väljendeid volituste abil 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Lahendus.

Ilmselgelt sisaldab see avaldis sarnaseid termineid 3·a 4 ·b −7 ja 2·a 4 ·b −7 ning me saame need esitada: .

Vastus:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Näide.

Väljendage võimsustega väljendit produktina.

Lahendus.

Ülesandega saate hakkama, esitades arvu 9 astmena 3 2 ja kasutades seejärel lühendatud korrutamise valemit - ruutude erinevus:

Vastus:

Samuti on mitmeid identseid teisendusi, mis on omased konkreetselt võimuavaldistele. Analüüsime neid edasi.

Aluse ja eksponendiga töötamine

On astmeid, mille baas ja/või astendaja ei ole lihtsalt arvud või muutujad, vaid mõned avaldised. Näitena anname kirjed (2+0.3·7) 5−3.7 ja (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Selliste avaldistega töötades saate asendada nii astme aluses kui ka eksponendis oleva avaldise muutujate ODZ-s identselt võrdse avaldisega. Ehk siis meile teadaolevate reeglite järgi saame eraldi teisendada astme baasi ja eraldi eksponendi. On selge, et selle teisenduse tulemusel saadakse avaldis, mis on identselt võrdne esialgsega.

Sellised teisendused võimaldavad meil väljendeid jõududega lihtsustada või muid vajalikke eesmärke saavutada. Näiteks eelpool mainitud astmeavaldises (2+0,3 7) 5−3,7 saab teha tehteid baasis ja astendajas olevate arvudega, mis võimaldavad liikuda astmele 4,1 1,3. Ja pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite toomist astme (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) alusele saame astmeavaldise lihtsamal kujul a 2·(x+ 1) .

Kraadi omaduste kasutamine

Üks peamisi tööriistu avaldiste võimsustega teisendamiseks on võrdsused, mis peegeldavad . Meenutagem peamisi. Mis tahes positiivsete arvude a ja b ning suvaliste reaalarvude r ja s korral kehtivad järgmised astmete omadused:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a · b) r =a r · b r ;
• (a:b) r =a r:br;
• (a r) s =a r·s .

Pange tähele, et loomulike, täisarvude ja positiivsete eksponentide puhul ei pruugi arvude a ja b piirangud olla nii ranged. Näiteks naturaalarvude m ja n puhul kehtib võrdsus a m ·a n =a m+n mitte ainult positiivse a, vaid ka negatiivse a puhul ja a=0 korral.

Koolis on jõuväljendite teisendamisel põhirõhk oskusel valida sobiv omadus ja seda õigesti rakendada. Sel juhul on kraadide alused tavaliselt positiivsed, mis võimaldab kraadide omadusi piiranguteta kasutada. Sama kehtib ka astmete baasides muutujaid sisaldavate avaldiste teisendamise kohta - muutujate lubatud väärtuste vahemik on tavaliselt selline, et alused võtavad sellelt ainult positiivseid väärtusi, mis võimaldab teil vabalt kasutada astmete omadusi . Üldiselt peate endalt pidevalt küsima, kas sel juhul on võimalik kasutada mõnda kraadi omadust, kuna omaduste ebatäpne kasutamine võib põhjustada haridusliku väärtuse vähenemist ja muid probleeme. Neid punkte käsitletakse üksikasjalikult ja näidetega artiklis Avaldiste teisendamine kraadide omaduste abil. Siinkohal piirdume mõne lihtsa näitega.

Näide.

Väljendage avaldis a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 astmena, mille alus on a.

Lahendus.

Esiteks teisendame teise teguri (a 2) −3, kasutades omadust tõsta võimsus astmeks: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Algne võimsuse avaldis on kujul 2,5 ·a −6:a −5,5. Ilmselgelt jääb üle kasutada sama alusega võimude korrutamise ja jagamise omadusi, mis meil on
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Vastus:

a 2,5 · (a 2) -3:a -5,5 =a 2.

Võimuavaldiste teisendamisel kasutatakse võimsuste omadusi nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule.

Näide.

Leia võimsusavaldise väärtus.

Lahendus.

Võrdsus (a·b) r =a r ·b r, mida rakendatakse paremalt vasakule, võimaldab liikuda algväljendist vormi korrutisele ja edasi. Ja kui korrutada astmed samade alustega, liidetakse eksponendid: .

Algset väljendit oli võimalik muul viisil muuta:

Vastus:

.

Näide.

Arvestades võimsuse avaldist a 1,5 −a 0,5 −6, sisestage uus muutuja t=a 0,5.

Lahendus.

Astet a 1,5 saab esitada kui 0,5 3 ja seejärel, lähtudes astme omadusest astmele (a r) s =a r s, rakendades paremalt vasakule, teisendada see kujule (a 0,5) 3. Seega a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Nüüd on lihtne sisestada uus muutuja t=a 0,5, saame t 3 −t−6.

Vastus:

t 3 −t−6 .

Astmeid sisaldavate murdude teisendamine

Jõuavaldised võivad sisaldada või esindada astmetega murde. Mis tahes põhilised murdude teisendused, mis on omased mis tahes tüüpi murdudele, on sellistele murdudele täielikult rakendatavad. See tähendab, et astmeid sisaldavaid murde saab taandada, taandada uue nimetajani, töötada eraldi nende lugejaga ja eraldi nimetajaga jne. Nende sõnade illustreerimiseks kaaluge mitme näite lahendusi.

Näide.

Lihtsustage võimsuse väljendust .

Lahendus.

See võimsuse avaldis on murdosa. Töötame selle lugeja ja nimetajaga. Lugejas avame sulud ja lihtsustame saadud avaldist astmete omaduste abil ning nimetajas esitame sarnased terminid:

Ja muudame ka nimetaja märki, asetades murdu ette miinuse: .

Vastus:

.

Astmeid sisaldavate murdude taandamine uuele nimetajale toimub sarnaselt ratsionaalsete murdude taandamisega uuele nimetajale. Sel juhul leitakse ka lisategur ning sellega korrutatakse murdu lugeja ja nimetaja. Selle toimingu tegemisel tasub meeles pidada, et taandamine uuele nimetajale võib viia VA kitsenemiseni. Selle vältimiseks on vajalik, et lisategur ei läheks nulliks algse avaldise ODZ-muutujate muutujate ühegi väärtuse puhul.

Näide.

Vähendage murrud uue nimetajani: a) nimetajaks a, b) nimetaja juurde.

Lahendus.

a) Sel juhul on üsna lihtne aru saada, milline lisakordaja aitab soovitud tulemust saavutada. See on kordaja 0,3, kuna 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Pange tähele, et muutuja a (see on kõigi positiivsete reaalarvude kogum) lubatud väärtuste vahemikus 0,3 aste ei kao, seetõttu on meil õigus antud lugeja ja nimetaja korrutada. murdosa selle lisateguri järgi:

b) Nimetajat lähemalt uurides leiate, et

ja selle avaldise korrutamine annab kuubikute summa ja See tähendab, . Ja see on uus nimetaja, milleni peame algset murdosa vähendama.

Nii leidsime lisateguri. Muutujate x ja y lubatud väärtuste vahemikus avaldis ei kao, seetõttu saame sellega korrutada murdosa lugeja ja nimetaja:

Vastus:

A) , b) .

Ka astmeid sisaldavate murdude redutseerimises pole midagi uut: lugeja ja nimetaja esitatakse mitmete teguritena ning lugeja ja nimetaja samu tegureid vähendatakse.

Näide.

Vähendage murdosa: a) , b) .

Lahendus.

a) Esiteks saab lugejat ja nimetajat vähendada arvude 30 ja 45 võrra, mis võrdub 15-ga. Ilmselgelt on võimalik ka vähendada x 0,5 +1 ja võrra . Siin on see, mis meil on:

b) Sel juhul ei ole lugejas ja nimetajas identsed tegurid kohe nähtavad. Nende saamiseks peate tegema esialgseid teisendusi. Sel juhul seisnevad need nimetaja faktoriseerimises ruutude erinevuse valemi abil:

Vastus:

A)

b) .

Murdude teisendamist uueks nimetajaks ja murdude vähendamist kasutatakse peamiselt murdarvudega asjade tegemiseks. Toiminguid tehakse teadaolevate reeglite järgi. Murdude liitmisel (lahutamisel) taandatakse need ühiseks nimetajaks, misjärel lugejad liidetakse (lahutatakse), kuid nimetaja jääb samaks. Tulemuseks on murd, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nimetajate korrutis. Murruga jagamine on selle pöördarvuga korrutamine.

Näide.

Järgige juhiseid .

Lahendus.

Esiteks lahutame sulgudes olevad murrud. Selleks viime need ühise nimetajani, mis on , mille järel lahutame lugejad:

Nüüd korrutame murrud:

Ilmselgelt on võimalik vähendada astme võrra x 1/2, misjärel meil on .

Samuti saate nimetaja võimsuse avaldist lihtsustada, kasutades ruutude erinevuse valemit: .

Vastus:

Näide.

Lihtsustada Power Expression .

Lahendus.

Ilmselgelt saab seda murdosa vähendada (x 2,7 +1) 2 võrra, see annab murdosa . On selge, et X-i jõududega tuleb veel midagi ette võtta. Selleks teisendame saadud fraktsiooni tooteks. See annab meile võimaluse kasutada ära võimude jagamise omadust samadel alustel: . Ja protsessi lõpus liigume viimaselt tootelt fraktsioonile.

Vastus:

.

Ja lisagem veel, et negatiivsete astendajatega tegureid on võimalik ja paljudel juhtudel ka soovitav üle kanda lugejast nimetajasse või nimetajast lugejasse, muutes astendaja märki. Sellised teisendused lihtsustavad sageli edasisi toiminguid. Näiteks võib võimsusavaldise asendada .

Avaldiste teisendamine juurte ja jõududega

Sageli esinevad avaldistes, milles on vaja mõningaid teisendusi, koos astmetega ka murdosaastendajatega juured. Sellise avaldise soovitud vormi muutmiseks piisab enamikul juhtudel ainult juurte või ainult jõudude juurde minemisest. Aga kuna võimudega on mugavam töötada, liiguvad nad tavaliselt juurtelt võimudele. Siiski on soovitatav selline üleminek läbi viia, kui algse avaldise muutujate ODZ võimaldab asendada juured võimsustega, ilma et oleks vaja viidata moodulile või jagada ODZ mitmeks intervalliks (me arutasime seda üksikasjalikult artikli üleminek juurtelt astmetele ja tagasi Peale ratsionaalse astendajaga astmega tutvumist tutvustatakse irratsionaalse astendajaga astet, mis võimaldab rääkida suvalise reaalastendajaga astmest.Selles etapis hakkab kool Uuring eksponentsiaalne funktsioon, mis on analüütiliselt antud astmega, mille aluseks on arv ja eksponendiks on muutuja. Seega seisame silmitsi astmeavaldistega, mis sisaldavad numbreid astme baasis ja astendajas - muutujatega avaldisi ning loomulikult tekib vajadus selliste avaldiste teisenduste tegemiseks.

Olgu öeldud, et antud tüüpi avaldiste teisendus tuleb enamasti sooritada lahendamisel eksponentsiaalvõrrandid Ja eksponentsiaalne ebavõrdsus, ja need teisendused on üsna lihtsad. Valdav enamus juhtudel põhinevad need kraadi omadustel ja on enamasti suunatud uue muutuja kasutuselevõtule tulevikus. Võrrand võimaldab meil neid näidata 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Esiteks asendatakse astmed, mille eksponentides on teatud muutuja (või muutujatega avaldise) ja arvu summa, korrutistega. See kehtib vasakul pool oleva avaldise esimese ja viimase termini kohta:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Järgmisena jagatakse võrdsuse mõlemad pooled avaldisega 7 2 x, mis algvõrrandi muutuja x ODZ-l võtab ainult positiivseid väärtusi (see on standardtehnika seda tüüpi võrrandite lahendamiseks, me ei ole räägime sellest praegu, nii et keskenduge järgmistele võimsustega väljendite teisendustele):

Nüüd saame astmetega murde tühistada, mis annab .

Lõpuks asendatakse samade astendajatega astmete suhe suhete astmetega, mille tulemuseks on võrrand , mis on samaväärne . Tehtud teisendused võimaldavad kasutusele võtta uue muutuja, mis taandab algse eksponentsiaalvõrrandi lahendi ruutvõrrandi lahendiks

I. V. Boykov, L. D. RomanovaÜlesannete kogu ühtseks riigieksamiks valmistumiseks. 1. osa. Penza 2003.

Miks on kraade vaja?

Kus te neid vajate?

Miks peaksite nende uurimiseks aega võtma?

KRAADIDE KOHTA KÕIKE teada saamiseks lugege seda artiklit.

Ja loomulikult viivad teadmised kraadidest lähemale ühtse riigieksami edukale sooritamisele.

Ja sisseastumiseks oma unistuste ülikooli!

Lähme... (Lähme!)

ESIMESE TASE

Astendamine on matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd selgitan kõike inimkeeli kasutades väga lihtsaid näiteid. Ole ettevaatlik. Näited on elementaarsed, aga selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Siin pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Igaühel on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat on? Täpselt nii – 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama näite koolaga saab kirjutada erinevalt: . Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad, kuidas neid kiiremini "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja nad leidsid tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Seega, et loendada kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel. Muidugi saab kõike teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Milliseid nutikaid loendamisnippe on laisad matemaatikud veel välja mõelnud? Õige - arvu tõstmine astmeni.

Arvu tõstmine astmeni

Kui peate arvu endaga viis korda korrutama, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on... Ja nad lahendavad sellised probleemid oma peas – kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.

Kõik, mida pead tegema, on pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks seda nimetatakse teiseks astmeks? ruut numbrid ja kolmas - kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Näide päriselust nr 1

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Kujutage ette ruudukujulist basseini, mille mõõtmed on üks meeter korda üks meeter. Bassein on teie suvilas. On palav ja ma tahan väga ujuda. Aga... basseinil pole põhja! Basseini põhi tuleb katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlaksmääramiseks peate teadma basseini põhjapinda.

Saate lihtsalt näpuga näidates arvutada, et basseini põhi koosneb meeterhaaval kuubikutest. Kui teil on plaate üks meeter korda üks meeter, vajate tükke. See on lihtne... Aga kus sa selliseid plaate näinud oled? Plaat on suure tõenäosusega cm kaupa. Ja siis piinatakse teid "näpuga loendamisega". Siis tuleb korrutada. Seega paigaldame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutage ja saate plaadid ().

Kas märkasite, et basseini põhja pindala määramiseks korrutasime sama arvu iseendaga? Mida see tähendab? Kuna me korrutame sama arvu, saame kasutada astendamise tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks arvu, peate need ikkagi korrutama või tõstma astmeni. Aga kui teil on neid palju, siis on nende tõstmine astmeni palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu Ühtse riigieksami jaoks on see väga oluline).
Niisiis, kolmkümmend kuni teine ​​aste on (). Või võime öelda, et kolmkümmend ruutu tuleb. Teisisõnu, arvu teist astet saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI mõne arvu teine ​​aste. Ruut on arvu teise astme kujutis.

Näide päriselust nr 2

Siin on teile ülesanne: loendage, mitu ruutu on malelaual, kasutades arvu ruutu... Ühel pool lahtreid ja ka teisel pool. Nende arvu arvutamiseks tuleb kaheksa korrutada kaheksaga või... kui märkad, et malelaud on küljega ruut, siis saad kaheksa ruutu. Sa saad rakke. () Nii et?

Näide päriselust nr 3

Nüüd kuup ehk arvu kolmas aste. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Mahtusi ja vedelikke, muide, mõõdetakse kuupmeetrites. Ootamatu, eks?) Joonistage bassein: põhja on meeter suur ja meeter sügav ning proovige kokku lugeda, mitu kuubikut mõõtudega meeter korda meeter mahub oma basseini.

Näita lihtsalt näpuga ja loe! Üks, kaks, kolm, neli... kakskümmend kaks, kakskümmend kolm... Kui palju sa said? Pole kadunud? Kas sõrmega on raske lugeda? Nii et! Võtke eeskuju matemaatikutelt. Nad on laisad ja märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega korrutama. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega... Lihtsam, eks?

Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad on matemaatikud, kui nad ka seda lihtsustaksid. Me taandasime kõik ühele tegevusele. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest... Mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi ära kasutada. Niisiis, see, mida sa kunagi oma sõrmega lugesid, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubikut on võrdne. See on kirjutatud nii: .

Alles jääb vaid mäleta kraaditabelit. Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid jätkata näpuga loendamist.

Noh, et teid lõpuks veenda, et kraadid leiutasid loobujad ja kavalad inimesed oma eluprobleemide lahendamiseks, mitte teile probleemide tekitamiseks, on siin veel paar näidet elust.

Näide päriselust nr 4

Sul on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga teenitud miljoni kohta veel ühe miljoni. See tähendab, et iga sinu miljon kahekordistub iga aasta alguses. Kui palju teil aastate pärast raha on? Kui sa praegu istud ja “näpuga loendad”, siis oled väga töökas inimene ja... loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Nii et esimesel aastal - kaks korrutati kahega... teisel aastal - mis juhtus, veel kahega, kolmandal aastal... Stop! Märkasite, et arv korrutatakse iseendaga kordadega. Nii et kaks kuni viies aste on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on võistlus ja see, kes suudab kõige kiiremini lugeda, saab need miljonid ... Tasub meeles pidada arvude jõude, kas te ei arva?

Näide päriselust nr 5

Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite iga teenitud miljoni kohta kaks rohkem. Suurepärane, kas pole? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aasta pärast on? Loeme. Esimene aasta - korrutage teisega, siis tulemus teisega... See on juba igav, sest olete juba kõigest aru saanud: kolm korrutatakse iseendaga kordadega. Seega on see neljanda astme jaoks võrdne miljoniga. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.

Nüüd teate, et kui tõstate arvu astmeni, muudate oma elu palju lihtsamaks. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Terminid ja mõisted... et mitte segadusse sattuda

Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne – see on number, mis on numbri astme "ülaosas". Mitte teaduslik, kuid selge ja kergesti meeldejääv...

Noh, samal ajal, mida selline kraadi alus? Veelgi lihtsam - see on number, mis asub allpool, aluses.

Siin on hea mõõdupuu joonis.

Noh, üldiselt, et üldistada ja paremini meelde jätta... Astet alusega “ ” ja astendajaga “ ” loetakse “kraadini” ja kirjutatakse järgmiselt:

Naturaalastendajaga arvu võimsus

Tõenäoliselt juba arvasite: kuna astendaja on naturaalarv. Jah, aga mis see on naturaalarv? Elementaarne! Naturaalarvud on need arvud, mida kasutatakse loendamisel objektide loetlemisel: üks, kaks, kolm... Objekte loendades ei ütle me: “miinus viis”, “miinus kuus”, “miinus seitse”. Samuti ei ütle me: "üks kolmandik" või "null koma viis". Need ei ole naturaalarvud. Mis need numbrid teie arvates on?

Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarve, naturaalarvudele vastandlikke arve (st miinusmärgiga võetud) ja arvu. Nulli on lihtne mõista – see on siis, kui midagi pole. Mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade näitamiseks: kui teie telefonis on saldo rublades, tähendab see, et olete operaatorile rublades võlgu.

Kõik murrud on ratsionaalarvud. Kuidas need tekkisid, mis sa arvad? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil puuduvad naturaalarvud pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad mõtlesid välja ratsionaalsed arvud... Huvitav, kas pole?

On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Lühidalt öeldes on see lõpmatu kümnendmurd. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalarvu.

Kokkuvõte:

Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

1. Iga arv esimeses astmes võrdub iseendaga:
2. Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
3. Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolmekordset korrutamist:

Definitsioon. Arvu suurendamine loomuliku astmeni tähendab arvu korrutamist iseendaga:
.

Kraadide omadused

Kust need omadused tulid? Ma näitan teile nüüd.

Vaatame: mis see on Ja ?

A-prioor:

Mitu kordajat on kokku?

See on väga lihtne: lisasime teguritele kordajad ja tulemuseks on kordajad.

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste astendajaga, see tähendab: , mida oli vaja tõestada.

Näide: avaldise lihtsustamine.

Lahendus:

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus: Meie reeglis on oluline seda tähele panna Tingimata peavad olema samad põhjused!
Seetõttu ühendame volitused baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:

ainult jõudude korrutisele!

Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.

2. ongi kõik arvu aste

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume kraadi määratluse juurde:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga kordadega, st definitsiooni kohaselt on see arvu th:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudest välja võtmiseks". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:

Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada?

Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.

Võimsus negatiivse alusega

Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema astendaja.

Aga mis peaks olema aluseks?

Volitustel loomulik näitaja aluseks võib olla suvaline number. Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi.

Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. 6. klassist mäletame lihtsat reeglit: "miinus miinus annab plussi." See tähendab, või. Aga kui me korrutame sellega, siis see töötab.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Kas said hakkama?

Siin on vastused: Ma loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

Näites 5) pole ka kõik nii hirmutav, kui tundub: lõppude lõpuks pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne.

Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Alus pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne!

6 näidet harjutamiseks

Lahenduse analüüs 6 näidet

Terve nimetame naturaalarvudeks, nende vastanditeks (see tähendab märgiga " ") ja arvuks.

positiivne täisarv, ja see ei erine loomulikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.

Vaatame nüüd uusi juhtumeid. Alustame näitajaga, mis on võrdne.

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega:

Nagu alati, küsigem endalt: miks see nii on?

Mõelgem mingil määral alusega. Võtke näiteks ja korrutage järgmisega:

Niisiis, me korrutasime arvu arvuga ja saime sama, mis see oli - . Millise arvuga tuleks korrutada, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.

Sama saame teha suvalise arvuga:

Kordame reeglit:

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega.

Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on arv (alusena).

Ühest küljest peab see olema võrdne mis tahes kraadiga - ükskõik kui palju sa nulli iseendaga korrutad, saad ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga nullastmega arv, peab see olema võrdne. Niisiis, kui palju sellest on tõsi? Matemaatikud otsustasid mitte sekkuda ja keeldusid nulli nullvõimsusele tõstmast. See tähendab, et nüüd ei saa me mitte ainult nulliga jagada, vaid ka tõsta seda nullastmeni.

Liigume edasi. Täisarvud hõlmavad lisaks naturaalarvudele ja arvudele ka negatiivseid arve. Et mõista, mis on negatiivne võimsus, teeme nagu eelmisel korral: korrutage mõni normaalne arv sama arvuga negatiivse astmega:

Siit on lihtne väljendada, mida otsite:

Laiendame nüüd saadud reeglit suvalises ulatuses:

Niisiis, sõnastame reegli:

Negatiivse võimsusega arv on sama positiivse võimsusega arvu pöördväärtus. Aga samas Alus ei saa olla null:(sest te ei saa jagada).

Teeme kokkuvõtte:

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Noh, nagu tavaliselt, näited sõltumatute lahenduste jaoks:

Probleemide analüüs iseseisvaks lahendamiseks:

Ma tean, ma tean, numbrid on hirmutavad, aga ühtsel riigieksamil tuleb kõigeks valmis olla! Lahendage need näited või analüüsige nende lahendusi, kui te ei suutnud neid lahendada, ja õpite eksamil nendega hõlpsalt toime tulema!

Jätkame eksponendiks “sobivate” arvude vahemiku laiendamist.

Nüüd kaalume ratsionaalsed arvud. Milliseid arve nimetatakse ratsionaalseteks?

Vastus: kõik, mida saab esitada murdena, kus ja on täisarvud ja.

Et mõista, mis see on "murdjärguline aste", kaaluge murdosa:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled astmeks:

Tuletame nüüd meelde reeglit "kraadist kraadini":

Millise arvu tuleb astmeni tõsta, et saada?

See sõnastus on astme juure määratlus.

Tuletan teile meelde: arvu () astme juur on arv, mis astmeks tõsttuna on võrdne.

See tähendab, et th astme juur on astmeks tõstmise pöördtehing: .

Selgub, et. Ilmselgelt saab seda erijuhtumit laiendada: .

Nüüd lisame lugeja: mis see on? Vastust on lihtne saada võimsuse võimsuse reegli abil:

Aga kas baas võib olla suvaline arv? Juurt ei saa ju kõikidest numbritest välja võtta.

Mitte ühtegi!

Meenutagem reeglit: iga paarisastmeni tõstetud arv on positiivne. See tähendab, et negatiivsetest arvudest on võimatu eraldada isegi juuri!

See tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta paarisnimetajaga murdarvuni, st avaldisel pole mõtet.

Aga väljend?

Siin aga tekib probleem.

Arvu võib esitada muude, taandatavate murdude kujul, näiteks või.

Ja selgub, et see on olemas, aga ei eksisteeri, aga need on vaid kaks erinevat sama numbri kirjet.

Või teine ​​näide: üks kord, siis saate selle üles kirjutada. Kui aga indikaatorit erinevalt kirja panna, jääme jälle hätta: (ehk saime hoopis teistsuguse tulemuse!).

Selliste paradokside vältimiseks kaalume ainult positiivne baaseksponent koos murdosa eksponendiga.

Nii et kui:

• - naturaalarv;
• - täisarv;

Näited:

Ratsionaalastendajad on väga kasulikud juurtega avaldiste teisendamiseks, näiteks:

5 näidet harjutamiseks

5 näite analüüs koolituseks

Noh, nüüd tuleb kõige raskem osa. Nüüd mõtleme selle välja aste irratsionaalse astendajaga.

Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadi puhul, erandiga

Lõppude lõpuks on definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa esitada murruna, kus ja on täisarvud (st irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalsete, täisarvude ja ratsionaalsete eksponentide abil kraadide uurimisel lõime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega.

Näiteks loomuliku astendajaga aste on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda;

...arv nulli astmeni- see on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et nad pole seda veel korrutama hakanud, mis tähendab, et arv ise pole isegi veel ilmunud - seetõttu on tulemuseks ainult teatud "tühi arv" , nimelt number;

...negatiivse täisarvu aste- justkui oleks toimunud mingi "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Muide, loodusteadustes kasutatakse sageli keerulise astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv.

Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.

KUHU OLEME KINDEL, ET LÄHED! (kui õpid selliseid näiteid lahendama :))

Näiteks:

Otsustage ise:

Lahenduste analüüs:

1. Alustame tavalisest reeglist astme astmeks tõstmiseks:

EDASIJÕUDNUTE TASE

Kraadi määramine

Kraad on vormi: , kus:

• — kraadi alus;
• - eksponent.

Kraad loomuliku indikaatoriga (n = 1, 2, 3,...)

Arvu suurendamine loomuliku astmeni n tähendab arvu korrutamist iseendaga:

Kraad täisarvu eksponendiga (0, ±1, ±2,...)

Kui eksponendiks on positiivne täisarv number:

Ehitus null kraadini:

Väljend on määramatu, sest ühelt poolt on see igal astmel ja teiselt poolt mis tahes arv kuni astmeni see.

Kui eksponendiks on negatiivne täisarv number:

(sest te ei saa jagada).

Veelkord nullidest: avaldis ei ole käändes defineeritud. Kui siis.

Näited:

Võimsus ratsionaalse astendajaga

• - naturaalarv;
• - täisarv;

Näited:

Kraadide omadused

Probleemide lahendamise hõlbustamiseks proovime mõista: kust need omadused pärinevad? Tõestame neid.

Vaatame: mis on ja?

A-prioor:

Niisiis, selle väljendi paremal küljel saame järgmise toote:

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste koos astendajaga, see tähendab:

Q.E.D.

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : .

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata peavad olema samad põhjused. Seetõttu ühendame volitused baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:

Veel üks oluline märkus: see reegel - ainult võimsuste korrutis!

Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume kraadi määratluse juurde:

Rühmitame selle töö ümber järgmiselt:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga kordadega, st definitsiooni kohaselt on see arvu th:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudest välja võtmiseks". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku: !

Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada? Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.

Võim negatiivse alusega.

Siiani oleme vaid arutanud, milline see peaks olema indeks kraadid. Aga mis peaks olema aluseks? Volitustel loomulik indikaator aluseks võib olla suvaline number .

Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ?

Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. 6. klassist mäletame lihtsat reeglit: "miinus miinus annab plussi." See tähendab, või. Kui aga korrutada (-ga), saame - .

Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutusega märk muutub. Võib sõnastada järgmised lihtsad reeglid:

1. isegi aste, - arv positiivne.
2. Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
3. Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
4. Null mis tahes astmeni on võrdne nulliga.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Kas said hakkama? Siin on vastused:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

Näites 5) pole ka kõik nii hirmutav, kui tundub: lõppude lõpuks pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne. Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Alus pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda meeles pidada, saab see selgeks, mis tähendab, et baas on nullist väiksem. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.

Ja jällegi kasutame kraadi määratlust:

Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame üles kraadide määratlused ja jagame need üksteisega, jagame paarideks ja saame:

Enne kui vaatame viimast reeglit, lahendame mõned näited.

Arvutage avaldised:

Lahendused :

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Nüüd viimane reegel:

Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame seda:

Noh, nüüd avame sulgud. Mitu tähte on kokku? korda kordajatega – mida see teile meelde tuletab? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: Seal olid ainult kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi astendajaga arvu aste:

Näide:

Kraad irratsionaalse astendajaga

Lisaks teabele keskmise taseme kraadide kohta analüüsime kraadi irratsionaalse astendajaga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga astme puhul, erandiga - on ju definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa murdena esitada, kus ja on täisarvud (st. , on irratsionaalarvud kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalarvud).

Naturaalsete, täisarvude ja ratsionaalsete eksponentide abil kraadide uurimisel lõime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega. Näiteks loomuliku astendajaga aste on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda; arv nullastmeni on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et nad pole seda veel korrutama hakanud, mis tähendab, et arv ise pole veel ilmunudki - seega on tulemus ainult kindel "tühi number", nimelt number; aste täisarvulise negatiivse eksponendiga - justkui oleks toimunud mingi "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Äärmiselt raske on ette kujutada kraadi irratsionaalse eksponendiga (nagu on raske ette kujutada 4-mõõtmelist ruumi). See on pigem puhtmatemaatiline objekt, mille matemaatikud lõid, et laiendada astme mõistet kogu arvude ruumile.

Muide, loodusteadustes kasutatakse sageli keerulise astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.

Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Anname endast parima, et sellest lahti saada! :)

Näiteks:

Otsustage ise:

1)

2)

3)

Vastused:

OSA JA PÕHIVALEMITE KOKKUVÕTE

Kraad nimetatakse vormi väljendiks: , kus:

Kraad täisarvu astendajaga

aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Võimsus ratsionaalse astendajaga

aste, mille eksponendiks on negatiivsed ja murdarvud.

Kraad irratsionaalse astendajaga

aste, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Kraadide omadused

Kraadide omadused.

• Negatiivne arv tõsteti väärtusele isegi aste, - arv positiivne.
• Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
• Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
• Null on võrdne mis tahes võimsusega.
• Mis tahes arv nullastmega on võrdne.

NÜÜD ON SUL SÕNA...

Kuidas teile artikkel meeldib? Kirjutage allpool kommentaaridesse, kas teile meeldis või mitte.

Rääkige meile oma kogemustest kraadi atribuutide kasutamisel.

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse.

Ja edu teile eksamitel!

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Ühtse riigieksami eduka sooritamise, eelarvega kõrgkooli astumise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 899 RUR

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda need!

Neil on samad kraadid, kuid kraadide eksponendid ei ole samad, 2² * 2³, siis on tulemuseks astme alus, millel on sama identne kraadide korrutise liikmete alus, tõstetuna eksponendiks, mis on võrdne kõigi korrutatud kraadide eksponentide summale.

2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

Kui astmete korrutise liikmetel on erinevad astmete alused ja astendajad on samad, näiteks 2³ * 5³, siis saadakse nende astmete aluste korrutis, mis on tõstetud astendajaks, mis on võrdne selle sama astendajaga .

2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

Kui korrutatavad astmed on üksteisega võrdsed, näiteks 5³ * 5³, siis on tulemuseks aste, mille alus on võrdne nende identsete astmete alustega, mis on tõstetud astmete astendajaga võrdseks astendajaks, korrutatuna nende identsete võimsuste arv.

5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625

Või teine ​​näide sama tulemusega:

5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625

Allikad:

• Mis on naturaalastendajaga kraad?
• jõudude toode

Matemaatilisi tehteid astmetega saab sooritada ainult siis, kui eksponentide alused on samad ja kui nende vahel on korrutus- või jagamismärgid. Eksponenti baas on arv, mis on tõstetud astmeni.

Juhised

Kui arvud jaguvad üksteisega (cm 1), siis y (antud näites on see arv 3) esineb astmena, mis moodustub astendajate lahutamisel. Veelgi enam, see toiming viiakse läbi otse: teine ​​lahutatakse esimesest näitajast. Näide 1. Tutvustame: (a)b, kus sulgudes – a on alus, välissulgudes – sees – eksponent. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Kui vastuseks osutub negatiivse astmega arv, siis selline arv teisendatakse harilik murd, mille lugeja on üks , ja nimetajas alus koos erinevusest saadud astendajaga, ainult positiivsel kujul (plussmärgiga). Näide 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Võimude jaotuse saab kirjutada muul kujul, murdosa märgi kaudu, mitte nii, nagu selles etapis märgitakse ":" kaudu. Lahenduse põhimõtet see ei muuda, kõik tehakse täpselt samamoodi, ainult sissekanne tehakse kooloni asemel horisontaalse (või kaldu) murrumärgiga Näide 3. (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Kraadidega identsete aluste korrutamisel astmed liidetakse. Näide 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Kui astendajatel on erinevad märgid, siis nende liitmine toimub matemaatiliste seaduste järgi Näide 5. (2 )1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Kui eksponentide alused erinevad, siis suure tõenäosusega saab need viia samale kujule matemaatilise teisendusega. Näide 6. Oletame, et peame leidma avaldise väärtuse: (4)2: (2)3. Teades, et arvu nelja saab esitada kahe ruuduna, lahendatakse see näide järgmiselt: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Järgmiseks numbri tõstmisel astmeni. Juba kraadi omamisel korrutatakse kraadiindeksid üksteisega: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .

Abistavad nõuanded

Pidage meeles, et kui antud alus tundub teisest erinevast, otsige matemaatilist lahendust. Erinevaid numbreid ei anta lihtsalt. Kui just laduja õpikusse kirjaviga ei teinud.

Arvu kirjutamise võimsusvorming on aluse iseendaga korrutamise operatsiooni kirjutamise lühendatud vorm. Sellel vormil esitatud numbriga saate teha samu toiminguid nagu kõigi teiste numbritega, sealhulgas tõsta need astmesse. Näiteks võite tõsta arvu ruudu suvalise astmeni ja tulemuse saamine praegusel tehnoloogilisel arengutasemel ei tekita raskusi.

Sa vajad

• Interneti-juurdepääs või Windowsi kalkulaator.

Juhised

Ruudu astmeks tõstmiseks kasutage üldreeglit ruudu tõstmiseks astmeks, millel on juba astmeaste. Selle toiminguga indikaatorid korrutatakse, kuid alus jääb samaks. Kui alus on tähistatud kui x ning alg- ja lisanäitajad a ja b, saab selle reegli kirjutada üldkujul järgmiselt: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

Astmete liitmine ja lahutamine

On ilmne, et astmetega numbreid saab liita nagu teisigi suurusi , lisades need üksteise järel oma märkidega.

Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2.
A 3 - b n ja h 5 -d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.

Koefitsiendid identsete muutujate võrdsed astmed saab liita või lahutada.

Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2.

Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.

Aga kraadid erinevaid muutujaid Ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb koostada, lisades need koos nende märkidega.

Seega on 2 ja 3 summa 2 + 3 summa.

On ilmne, et ruut a ja kuup a ei võrdu mitte kahekordse a ruuduga, vaid kahekordse a kuubikuga.

A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6.

Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, välja arvatud see, et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.

Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 — 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Võimude korrutamine

Pädevustega numbreid saab korrutada, nagu ka teisi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.

Seega saadakse a 3 korrutamisel b 2-ga a 3 b 2 ehk aaabb.

Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a

Viimase näite tulemuse saab järjestada identsete muutujate lisamisega.
Väljend on kujul: a 5 b 5 y 3.

Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.

Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Siin on 5 korrutamistulemuse aste, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summaga.

Niisiis, a n .a m = a m+n .

Kui a n , võetakse a tegurina sama mitu korda kui n võimsus;

Ja m võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;

Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada, liites astmete eksponendid.

Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on negatiivne.

1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on

Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus on võrdne nende ruutude summa või erinevusega.

Kui korrutate kahe arvu summa ja vahe, mis on tõstetud ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadid.

Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Kraadide jaotus

Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades dividendist või paigutades need murdosa kujul.

Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga võrdne 3-ga.

5 jagatuna 3-ga kirjutamine näeb välja nagu $\frac $. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.

Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende eksponendid..

Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. See tähendab, $\frac = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac = a^n$.

Või:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadide väärtused.
-5 jagamisel -3-ga saadakse -2.
Samuti $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Korrutamist ja võimsuste jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.

Näiteid näidete lahendamisest astmetega numbreid sisaldavate murdudega

1. Vähenda eksponente $\frac $ võrra. Vastus: $\frac $.

2. Vähendage eksponente $\frac$ võrra. Vastus: $\frac$ või 2x.

3. Vähendage eksponendid a 2 /a 3 ja a -3 /a -4 ning viige ühise nimetajani.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine ​​lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 /5a 7 ja 5a 5 /5a 7 või 2a 3 /5a 2 ja 5/5a 2.

5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.

6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).

7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.

Kraadi omadused

Tuletame meelde, et selles õppetükis me mõistame kraadide omadused loomulike näitajatega ja nulliga. Ratsionaalsete astendajatega astmeid ja nende omadusi käsitletakse 8. klassi tundides.

Naturaalse astendajaga astmel on mitmeid olulisi omadusi, mis võimaldavad astmetega näidetes arvutusi lihtsustada.

Kinnistu nr 1
Võimude toode

Kui korrutada astmeid samade alustega, jääb alus muutumatuks ja liidetakse astmete eksponendid.

a m · a n = a m + n, kus "a" on suvaline arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

See astmete omadus kehtib ka kolme või enama astme korrutisele.

• Lihtsustage väljendit.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Esitage see kraadina.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Esitage see kraadina.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Pange tähele, et nimetatud atribuudis rääkisime ainult volituste korrutamisest samade alustega. See ei kehti nende lisamise kohta.

Te ei saa summat (3 3 + 3 2) asendada 3 5-ga. See on arusaadav, kui
arvuta (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kinnistu nr 2
Osalised kraadid

Jagades astmeid samade alustega, jääb alus muutumatuks ning jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist.

• Kirjutage jagatis astmena
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Arvutama.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Näide. Lahenda võrrand. Kasutame jagatisastmete omadust.
3 8: t = 3 4

Vastus: t = 3 4 = 81

Kasutades atribuute nr 1 ja nr 2, saate hõlpsasti avaldisi lihtsustada ja arvutusi teha.

Näide. Lihtsustage väljendit.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5

Näide. Leidke avaldise väärtus, kasutades eksponentide omadusi.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Pange tähele, et 2. vara puhul rääkisime ainult volituste jagamisest samadel alustel.

Te ei saa vahet (4 3 −4 2) asendada 4 1-ga. See on arusaadav, kui arvutate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4

Kinnistu nr 3
Kraadi tõstmine võimuni

Kraadi tõstmisel astmeni jääb astme alus muutumatuks ja astendajad korrutatakse.

(a n) m = a n · m, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

Tuletame meelde, et jagatist saab esitada murruna. Seetõttu peatume murru astmeks tõstmise teemal lähemalt järgmisel leheküljel.

Kuidas võimeid korrutada

Kuidas võimeid korrutada? Milliseid jõude saab korrutada ja milliseid mitte? Kuidas korrutada arvu astmega?

Algebras leiate võimsuste korrutise kahel juhul:

1) kui kraadidel on samad alused;

2) kui kraadidel on samad näitajad.

Kui korrutada astmeid samade alustega, tuleb baas jätta samaks ja lisada eksponendid:

Kraadide korrutamisel samade näitajatega saab üldnäitaja sulgudest välja võtta:

Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas võimsusi korrutada.

Üksust ei kirjutata eksponendisse, kuid astmete korrutamisel võtavad nad arvesse:

Korrutamisel võib olla suvaline arv astmeid. Tuleb meeles pidada, et tähe ette ei pea kirjutama korrutusmärki:

Avaldistes tehakse kõigepealt astendamine.

Kui teil on vaja arvu korrutada astmega, peaksite esmalt tegema astenduse ja alles seejärel korrutama:

Võimuste korrutamine samade alustega

See videoõpetus on saadaval tellimisel

Kas teil on juba tellimus? Tulla sisse

Selles õppetükis uurime võimsuste korrutamist sarnaste alustega. Kõigepealt tuletagem meelde astme definitsiooni ja sõnastagem teoreem võrdsuse kehtivuse kohta . Seejärel toome näiteid selle rakendamisest konkreetsetel numbritel ja tõestame seda. Samuti rakendame teoreemi erinevate ülesannete lahendamiseks.

Teema: Võimsus koos loomuliku astendajaga ja selle omadused

Õppetund: astmete korrutamine samade alustega (valem)

1. Põhimõisted

Põhimääratlused:

n- eksponent,

— n arvu aste.

2. 1. teoreemi väide

1. teoreem. Mis tahes numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k võrdsus on tõsi:

Teisisõnu: kui A– suvaline number; n Ja k naturaalarvud, siis:

Seega reegel 1:

3. Selgitavad ülesanded

Järeldus: erijuhud kinnitasid teoreemi nr 1 õigsust. Tõestagem seda üldjuhul, see tähendab mis tahes puhul A ja mis tahes loomulik n Ja k.

4. 1. teoreemi tõestus

Antud number A- mis tahes; numbrid n Ja k – loomulik. Tõesta:

Tõestus põhineb kraadi määratlusel.

5. Näidete lahendamine teoreemi 1 abil

Näide 1: Mõelge sellele kui kraadile.

Järgmiste näidete lahendamiseks kasutame teoreemi 1.

ja)

6. 1. teoreemi üldistus

Siin on kasutatud üldistust:

7. Näidete lahendamine teoreemi 1 üldistuse abil

8. Erinevate ülesannete lahendamine teoreemi 1 abil

Näide 2: Arvutage (saate kasutada põhivõimsuste tabelit).

A) (tabeli järgi)

b)

Näide 3: Kirjutage see astmena alusega 2.

A)

Näide 4: Määrake numbri märk:

, A - negatiivne, kuna eksponent -13 juures on paaritu.

Näide 5: Asendage (·) arvu astmega alusega r:

Meil on, see tähendab.

9. Kokkuvõtete tegemine

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. ja teised Algebra 7. 6. väljaanne. M.: Valgustus. 2010. aasta

1. Kooli abiline (Allikas).

1. Esitage võimsusena:

a B C D E)

3. Kirjutage astmena 2. alusega:

4. Määrake numbri märk:

A)

5. Asendage (·) arvu astmega alusega r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Võimude korrutamine ja jagamine samade astendajatega

Selles õppetükis uurime astmete korrutamist võrdsete astendajatega. Kõigepealt tuletagem meelde põhimääratlusi ja teoreeme samade alustega astmete korrutamise ja jagamise ning võimsuste astmeteks tõstmise kohta. Seejärel formuleerime ja tõestame teoreemid astmete korrutamise ja jagamise kohta samade astendajatega. Ja siis lahendame nende abiga mitmeid tüüpilisi probleeme.

Põhimõistete ja teoreemide meeldetuletus

Siin a- kraadi alus,

— n arvu aste.

1. teoreem. Mis tahes numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k võrdsus on tõsi:

Samade alustega astmete korrutamisel liidetakse eksponendid, alus jääb muutumatuks.

2. teoreem. Mis tahes numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k, selline, et n > k võrdsus on tõsi:

Kraadide jagamisel samade alustega lahutatakse eksponendid, kuid alus jääb muutumatuks.

3. teoreem. Mis tahes numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k võrdsus on tõsi:

Kõik loetletud teoreemid puudutasid samasuguseid võimsusi põhjustel, selles õppetükis vaatleme kraade samaga näitajad.

Näited astmete korrutamiseks samade astendajatega

Mõelge järgmistele näidetele.

Paneme kirja astme määramise avaldised.

Järeldus: Näidetest on näha, et , kuid see vajab veel tõestamist. Sõnastame teoreemi ja tõestame seda üldjuhul, st mis tahes puhul A Ja b ja mis tahes loomulik n.

4. teoreemi formuleerimine ja tõestamine

Mis tahes numbrite jaoks A Ja b ja mis tahes loomulik n võrdsus on tõsi:

Tõestus 4. teoreem .

Kraadi määratluse järgi:

Nii et me oleme seda tõestanud .

Astmete korrutamiseks samade astendajatega piisab aluste korrutamisest ja eksponendi muutmata jätmisest.

5. teoreemi formuleerimine ja tõestamine

Sõnastame teoreemi astmete jagamiseks samade astendajatega.

Mis tahes numbri jaoks A Ja b() ja mis tahes loomulik n võrdsus on tõsi:

Tõestus 5. teoreem .

Kirjutame üles kraadi määratluse:

Teoreemide sõnastus sõnades

Niisiis, me oleme seda tõestanud.

Samade astendajatega astmete üksteiseks jagamiseks piisab, kui jagada üks alus teisega ja jätta eksponent muutmata.

Tüüpiliste ülesannete lahendamine teoreemi 4 abil

Näide 1: Esineb jõudude produktina.

Järgmiste näidete lahendamiseks kasutame teoreemi 4.

Järgmise näite lahendamiseks tuletage meelde valemid:

4. teoreemi üldistus

4. teoreemi üldistus:

Näidete lahendamine üldistatud teoreemi 4 abil

Jätkame tüüpiliste probleemide lahendamist

Näide 2: Kirjutage see toote võimsusena.

Näide 3: Kirjutage see astmena astendajaga 2.

Arvutamise näited

Näide 4: Arvutage kõige ratsionaalsemal viisil.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. jt Algebra 7.M.: Valgustus. 2006

2. Kooli abiline (Allikas).

1. Esitage võimsuste korrutisena:

A) ; b) ; V) ; G) ;

2. Kirjutage toote võimsusena:

3. Kirjutage astmena astendajaga 2:

4. Arvutage kõige ratsionaalsemal viisil.

Matemaatikatund teemal “Võimude korrutamine ja jagamine”

Sektsioonid: Matemaatika

Pedagoogiline eesmärk:

õpilane õpib eristada astmete korrutamise ja jagamise omadusi loomulike astendajatega; rakendada neid omadusi samade aluste puhul;

õpilasel avaneb võimalus oskama sooritada astmete teisendusi erinevate alustega ja oskama sooritada teisendusi kombineeritud ülesannetes.

Ülesanded:

korraldada õpilaste tööd, korrates eelnevalt õpitud materjali;

tagada paljunemise tase erinevat tüüpi harjutuste sooritamisega;

korraldada õpilaste enesehinnangu kontrolli testimise teel.

Õpetamise tegevusüksused: astme määramine loomuliku indikaatoriga; kraadi komponendid; eraelu määratlus; korrutamise kombinatsiooniseadus.

I. Demonstratsiooni korraldamine õpilaste olemasolevate teadmiste valdamise kohta. (samm 1)

a) teadmiste värskendamine:

2) Sõnasta astme definitsioon naturaalastendajaga.

a n =a a a a … a (n korda)

b k =b b b b a… b (k korda) Põhjenda vastust.

II. Õpilase praeguse kogemuse oskuse enesehindamise korraldamine. (samm 2)

Enesekontroll: (individuaalne töö kahes versioonis.)

A1) Esitage toode 7 7 7 7 x x x võimsusena:

A2) Esitage võimsust (-3) 3 x 2 tootena

A3) Arvutage: -2 3 2 + 4 5 3

Testis valin ülesannete arvu vastavalt klassitaseme ettevalmistusele.

Annan teile enesekontrolli testi võtme. Kriteerium: läbitud – läbimata.

III. Õppe- ja praktiline ülesanne (3. samm) + 4. etapp (omadused sõnastavad õpilased ise)

arvutada: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Lihtsustatult: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

Ülesannete 1) ja 2) lahendamisel pakuvad õpilased välja lahenduse ning mina õpetajana korraldan tunni, et leida viis, kuidas samade alustega korrutamisel volitusi lihtsustada.

Õpetaja: leidke viis, kuidas samade alustega korrutamisel volitusi lihtsustada.

Klastris kuvatakse kirje:

Tunni teema on sõnastatud. Võimude korrutamine.

Õpetaja: pakkuge välja reegel võimude jagamiseks samadel alustel.

Põhjendus: millist toimingut kasutatakse jagunemise kontrollimiseks? a 5: a 3 = ? et a 2 a 3 = a 5

Naasen diagrammi juurde - kobar ja lisan kirjele - .. jagamisel lahutame ja liidame tunni teema. ...ja kraadide jagamine.

IV. Õpilastele teadmiste piiridest teavitamine (minimaalselt ja maksimumina).

Õpetaja: tänase tunni miinimumülesanne on õppida rakendama korrutamise ja astmete jagamise omadusi samadel alustel ning maksimaalne ülesanne on rakendada korrutamist ja jagamist koos.

Kirjutame tahvlile : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

V. Uue materjali õppimise korraldus. (5. samm)

a) Õpiku järgi: nr 403 (a, c, e) erineva sõnastusega ülesanded

Nr 404 (a, d, f) iseseisev töö, siis korraldan vastastikuse kontrolli, annan võtmed.

b) Millise m väärtuse korral kehtib võrdsus? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Ülesanne: leidke sarnaseid näiteid jagamiseks.

c) nr 417 (a), nr 418 (a) Lõksud õpilastele: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.

VI. Õpitust kokkuvõtete tegemine, diagnostilise töö läbiviimine (mis julgustab õpilasi, mitte õpetajat seda teemat uurima) (6. samm)

Diagnostiline töö.

Test(asetage võtmed taigna tagaküljele).

Ülesande valikud: esitage jagatis x 15 astmena: x 3; esindama astmena korrutist (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; mille m puhul kehtib võrdus a 16 a m = a 32? leida avaldise väärtus h 0: h 2 at h = 0,2; arvuta avaldise väärtus (5 2 5 0) : 5 2 .

Tunni kokkuvõte. Peegeldus. Jagan klassi kahte rühma.

Leidke I rühma argumendid: astme omaduste tundmise kasuks ja II rühm - argumendid, mis ütlevad, et saate ilma omadusteta hakkama. Kuulame kõik vastused ära ja teeme järeldused. Järgmistes õppetundides saate pakkuda statistilisi andmeid ja nimetada rubriiki "See on uskumatu!

Keskmine inimene sööb oma elu jooksul 32 10 2 kg kurki.

Herilane on võimeline tegema vahemaandumiseta 3,2 10 2 km pikkust lendu.

Klaasi pragunemisel levib pragu kiirusega umbes 5 10 3 km/h.

Konn sööb oma elu jooksul ära üle 3 tonni sääski. Kasutades kraadi, kirjutage kg.

Kõige viljakamaks peetakse ookeanikala - kuud (Mola mola), kes muneb ühe kudemisega kuni 300 000 000 muna läbimõõduga umbes 1,3 mm. Kirjutage see arv astme abil.

VII. Kodutöö.

Ajalooline viide. Milliseid numbreid nimetatakse Fermat' numbriteks.

P.19. nr 403, nr 408, nr 417

Kasutatud raamatud:

Õpik "Algebra-7", autorid Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al.

Didaktiline materjal 7. klassile, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavitš, S.B. Suvorov.

Matemaatika entsüklopeedia.

Ajakiri "Kvant".

Kraadide omadused, sõnastused, tõestused, näited.

Pärast arvu astme määramist on loogiline sellest rääkida kraadi omadused. Selles artiklis anname arvude astme põhiomadused, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente. Siin esitame kõigi kraadide omaduste tõendid ja näitame ka, kuidas neid omadusi näidete lahendamisel kasutatakse.

Leheküljel navigeerimine.

Kraadide omadused naturaalastendajatega

Naturaalse astendajaga astme definitsiooni järgi on aste a n n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Sellest määratlusest lähtudes ja ka kasutades reaalarvude korrutamise omadused, saame saada ja põhjendada järgmist astme omadused naturaalse astendajaga:

astme a m ·a n =a m+n põhiomadus, selle üldistus a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

identsete alustega jagatisastmete omadus a m:a n =a m−n ;

korrutise astme omadus (a·b) n =a n ·b n, selle laiend (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

jagatise omadus naturaalastmele (a:b) n =a n:b n ;

astme tõstmine astmeni (a m) n =a m·n, selle üldistus (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

kraadi võrdlus nulliga:

• kui a>0, siis a n>0 mis tahes naturaalarvu n korral;
• kui a=0, siis a n=0;
• kui a 2·m >0 , kui a 2·m−1 n ;
• kui m ja n on sellised naturaalarvud, et m>n, siis 0m n ja a>0 korral on võrratus a m >a n tõene.

Märgime kohe, et kõik kirjalikud võrdsused on identsed kindlaksmääratud tingimustel saab vahetada nii nende paremat kui ka vasakut osa. Näiteks murdu a m ·a n =a m+n põhiomadus koos väljendite lihtsustamine kasutatakse sageli kujul a m+n =a m ·a n .

Nüüd vaatame igaüks neist üksikasjalikumalt.

Alustame kahe samade alustega astme korrutise omadusega, mida nimetatakse kraadi peamine omadus: iga reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral on võrdus a m ·a n =a m+n tõene.

Tõestame kraadi peamist omadust. Loodusliku astendajaga astme definitsiooni järgi saab korrutiseks kirjutada astmete korrutise, millel on identsed alused kujul a m ·a n. . Tänu korrutamise omadustele saab saadud avaldise kirjutada kujul , ja see korrutis on arvu a aste naturaalastendajaga m+n, st a m+n. See lõpetab tõestuse.

Toome näite, mis kinnitab kraadi põhiomadust. Võtame astmed samade alustega 2 ning naturaalastmetega 2 ja 3, kasutades kraadide põhiomadust, saame kirjutada võrrandi 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Kontrollime selle kehtivust, arvutades välja avaldiste 2 2 · 2 3 ja 2 5 väärtused. Astendamist teostades saame 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ja 2 5 =2 2 2 2 2 = 32, kuna saame võrdsed väärtused, siis võrdus 2 2 ·2 3 =2 5 on õige ja see kinnitab astme peamist omadust.

Kraadi põhiomaduse saab korrutamise omaduste põhjal üldistada kolme või enama astme korrutiseks samade aluste ja naturaalastendajatega. Seega on naturaalarvude n 1 , n 2 , …, n k mis tahes arvu k korral tõene võrdus a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Näiteks (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Saame liikuda loomuliku astendajaga astmete järgmise omaduse juurde – samade alustega jagatisastmete omadus: iga nullist erineva reaalarvu a ja suvaliste naturaalarvude m ja n korral, mis vastavad tingimusele m>n, on võrdus a m:a n =a m−n tõene.

Enne selle omaduse tõestuse esitamist arutleme sõnastuses sisalduvate lisatingimuste tähenduse üle. Tingimus a≠0 on vajalik selleks, et vältida nulliga jagamist, kuna 0 n =0 ja jagamisega tutvudes leppisime kokku, et nulliga jagada ei saa. Tingimus m>n võetakse kasutusele selleks, et me ei läheks looduslikest eksponentidest kaugemale. Tõepoolest, eksponent m>n puhul on a m-n naturaalarv, vastasel juhul on see kas null (mis juhtub m-n korral) või negatiivne arv (mis juhtub m m-n korral ·a n =a (m-n) +n =a m. Saadud võrrandist a m−n ·a n =a m ning korrutamise ja jagamise vahelisest seosest järeldub, et m−n on astmete a m ja n jagatis. See tõestab astmete jagatiste omadust samad alused.

Toome näite. Võtame kaks astet samade alustega π ja naturaalastendajatega 5 ja 2, astme vaadeldavale omadusele vastab võrdus π 5:π 2 =π 5−3 =π 3.

Nüüd kaalume toote võimsuse omadus: kahe reaalarvu a ja b korrutise loomulik võimsus n on võrdne astmete a n ja b n korrutisega, st (a·b) n =a n ·b n .

Tõepoolest, naturaalse astendajaga kraadi määratluse järgi on meil olemas . Korrutamise omaduste põhjal saab viimase korrutise ümber kirjutada kui , mis on võrdne a n · b n .

Siin on näide: .

See omadus laieneb kolme või enama teguri korrutisele. See tähendab, et k teguri korrutise naturaalastme n omadus on kirjutatud järgmiselt (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Selguse huvides näitame seda omadust näitega. Kolme teguri korrutis 7 astmega on meil .

Järgmine omadus on mitterahalise jagatise omadus: reaalarvude a ja b, b≠0 jagatis loomuliku astmega n on võrdne astmete a n ja b n jagatisega, st (a:b) n =a n:b n.

Tõestust saab läbi viia eelneva atribuudi abil. Seega (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n ja võrrandist (a:b) n ·b n =a n järeldub, et (a:b) n on jagatis jaotus a n kohta bn.

Kirjutame selle omaduse, kasutades näitena konkreetseid numbreid: .

Nüüd ütleme selle välja omadus tõsta võimu võimuks: mis tahes reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral võrdub a m astme astmega n arvu a astmega, mille aste on m·n, st (a m) n =a m·n.

Näiteks (5 2) 3 = 5 2 · 3 =5 6.

Võimsusastmeni omaduse tõestuseks on järgmine võrdsuste ahel: .

Vaadeldavat omadust saab astme kaupa laiendada jne. Näiteks naturaalarvude p, q, r ja s korral võrdsus . Suurema selguse huvides toome näite konkreetsete arvudega: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Jääb veel peatuda astmete ja naturaalastendajate võrdlemise omadustel.

Alustuseks tõestame nulli ja astme võrdlemise omadust naturaalastendajaga.

Esiteks tõestame, et a n > 0 iga a>0 korral.

Kahe positiivse arvu korrutis on positiivne arv, nagu tuleneb korrutamise definitsioonist. See fakt ja korrutamise omadused viitavad sellele, et mis tahes arvu positiivsete arvude korrutamise tulemus on samuti positiivne arv. Ja arvu a aste naturaalse astendajaga n on definitsiooni järgi n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Need argumendid võimaldavad meil väita, et iga positiivse baasi a korral on aste a n positiivne arv. Tõestatud omaduse tõttu 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ja .

On üsna ilmne, et iga naturaalarvu n puhul, mille a=0, on a n aste null. Tõepoolest, 0 n =0·0·…·0=0. Näiteks 0 3 =0 ja 0 762 =0.

Liigume edasi negatiivsete kraadialuste juurde.

Alustame juhtumist, kui eksponendiks on paarisarv, tähistame seda 2·m, kus m on naturaalarv. Siis . Negatiivsete arvude korrutamise reegli kohaselt on iga vormi a·a korrutis võrdne arvu a ja a absoluutväärtuste korrutisega, mis tähendab, et see on positiivne arv. Seetõttu on toode ka positiivne ja aste a 2·m. Toome näiteid: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ja .

Lõpuks, kui alus a on negatiivne arv ja astendaja on paaritu arv 2 m−1, siis . Kõik korrutised a·a on positiivsed arvud, nende positiivsete arvude korrutis on samuti positiivne ja selle korrutamine ülejäänud negatiivse arvuga a annab tulemuseks negatiivse arvu. Tänu sellele omadusele (−5) 3 17 n on n tõelise ebavõrdsuse a vasaku ja parema külje korrutis võrratuste omadused, on tõene ka tõestatav võrratus kujul a n n. Näiteks sellest omadusest tulenevalt ebavõrdsused 3 7 7 ja .

Jääb üle tõestada viimane loetletud võimsuste omadustest looduslike astendajatega. Sõnastame selle. Kahest astmest, mille naturaalaste ja identsed positiivsed alused on väiksemad kui üks, on suurem see, mille astendaja on väiksem; ja kahest astmest, mille naturaalaste ja identsed alused on suuremad kui üks, on suurem see, mille astendaja on suurem. Jätkame selle omaduse tõestamisega.

Tõestame, et m>n ja 0m n korral. Selleks kirjutame üles erinevuse a m − a n ja võrdleme seda nulliga. Salvestatud erinevus saab pärast n väljavõtmist sulgudest kujul a n ·(a m−n−1) . Saadud korrutis on negatiivne positiivse arvu a n ja negatiivse arvu a m−n −1 korrutisena (a n on positiivne positiivse arvu loomuliku võimsusena ja erinevus a m−n −1 on negatiivne, kuna m−n >0 algtingimuse m>n tõttu, millest järeldub, et kui 0m−n on väiksem kui ühik). Seetõttu a m −a n m n , mida oli vaja tõestada. Näitena toome õige ebavõrdsuse.

Tõendada jääb vara teine ​​osa. Tõestame, et m>n ja a>1 korral on a m >a n tõene. Erinevus a m −a n pärast n väljavõtmist sulgudest saab kujul a n ·(a m−n −1) . See korrutis on positiivne, kuna a>1 korral on aste a n positiivne arv ja erinevus a m-n -1 on positiivne arv, kuna m-n>0 on tingitud algtingimusest ja a>1 korral on aste a m−n on suurem kui üks . Järelikult a m −a n >0 ja a m >a n , mida oli vaja tõestada. Seda omadust illustreerib ebavõrdsus 3 7 > 3 2.

Täisarvuliste astendajatega astmete omadused

Kuna positiivsed täisarvud on naturaalarvud, kattuvad kõik positiivsete täisarvude astendajatega astmete omadused täpselt eelmises lõigus loetletud ja tõestatud naturaalaste astmete omadustega.

Defineerisime nii täisarvulise negatiivse astendajaga astme kui ka nullastendajaga astme nii, et kõik naturaalsete astendajatega astmete omadused, väljendatuna võrdustega, jäid kehtima. Seetõttu kehtivad kõik need omadused nii nullastendajate kui ka negatiivsete eksponentide puhul, samas kui loomulikult on astmete alused nullist erinevad.

Seega kehtivad mis tahes reaal- ja nullist erineva arvu a ja b, aga ka täisarvude m ja n puhul järgmised: Täisarvuliste astendajatega astmete omadused:

• a m ·a n =a m+n ;
• a m:a n =a m−n ;
• (a · b) n =a n · b n;
• (a:b) n =a n:bn;
• (a m) n =a m·n;
• kui n on positiivne täisarv, on a ja b positiivsed arvud ning a n n ja a −n >b −n ;
• kui m ja n on täisarvud ja m>n, siis 0m n ja a>1 korral kehtib võrratus a m >a n.

Kui a=0, on astmetel a m ja a n mõtet ainult siis, kui nii m kui ka n on positiivsed täisarvud, st naturaalarvud. Seega kehtivad just kirjutatud omadused ka juhtudel, kui a=0 ning arvud m ja n on positiivsed täisarvud.

Kõigi nende omaduste tõestamine pole keeruline, selleks piisab, kui kasutada kraadide määratlusi naturaal- ja täisarvude eksponenditega, aga ka reaalarvudega tehte omadusi. Näitena tõestame, et võimsus-võimsuse omadus kehtib nii positiivsete täisarvude kui ka mittepositiivsete täisarvude puhul. Selleks on vaja näidata, et kui p on null või naturaalarv ja q on null või naturaalarv, siis võrrandid (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ja (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Teeme seda.

Positiivsete p ja q korral tõestati võrdus (a p) q =a p·q eelmises lõigus. Kui p=0, siis on meil (a 0) q =1 q =1 ja a 0·q =a 0 =1, kust (a 0) q =a 0·q. Samamoodi, kui q=0, siis (a p) 0 =1 ja a p·0 =a 0 =1, kust (a p) 0 =a p·0. Kui nii p=0 kui q=0, siis (a 0) 0 =1 0 =1 ja a 0·0 =a 0 =1, kust (a 0) 0 =a 0,0.

Nüüd tõestame, et (a −p) q =a (−p)·q . Negatiivse täisarvu astendajaga astme definitsiooni järgi siis . Meil olevate astmete jagandite omaduse järgi . Kuna 1 p =1·1·…·1=1 ja , siis . Viimane avaldis on definitsiooni järgi kujul a −(p·q), mille saab korrutamisreeglite tõttu kirjutada kujul (−p)·q.

Samamoodi .

JA .

Samal põhimõttel saate tõestada kõik muud astme omadused täisarvulise astendajaga, mis on kirjutatud võrduste kujul.

Salvestatud omaduste eelviimases tasub peatuda ebavõrdsuse a −n >b −n tõestusel, mis kehtib iga negatiivse täisarvu −n ja iga positiivse a ja b korral, mille puhul tingimus a on täidetud. . Kirjutame üles ja teisendame selle ebavõrdsuse vasaku ja parema külje erinevuse: . Kuna tingimusel a n n seega b n −a n >0 . Korrutis a n · b n on positiivne ka positiivsete arvude a n ja b n korrutis. Siis on saadud murru positiivne positiivsete arvude b n −a n ja a n ·b n jagatis. Seega, kust a −n >b −n , mida oli vaja tõestada.

Täisarvuliste astendajatega astmete viimane omadus on tõestatud samamoodi nagu loomulike astendajatega astmete sarnane omadus.

Ratsionaalsete astendajatega astmete omadused

Defineerisime astme murdosalise astendajaga, laiendades astme omadusi sellele täisarvulise astendajaga. Teisisõnu, murdeksponentidega astmetel on samad omadused kui täisarvuliste astendajatega astmetel. Nimelt:

1. samade alustega astmete korrutise omadus kui a>0 ja kui ja, siis kui a≥0;
2. samade alustega jagatisastmete omadus a>0 jaoks;
3. toote omadus murdarvule a>0 ja b>0 korral ning kui ja, siis a≥0 ja (või) b≥0 korral;
4. jagatise omadus murdarvule a>0 ja b>0 korral ning kui , siis a≥0 ja b>0 korral;
5. astmest kraadini omadus kui a>0 ja kui ja, siis kui a≥0;
6. astmete võrdlemise omadus võrdsete ratsionaalsete astendajatega: mis tahes positiivsete arvude a ja b korral a 0 võrratus a p p on tõene ja p p >b p korral;
7. astmete võrdlemise omadus ratsionaalsete eksponentide ja võrdsete alustega: ratsionaalarvude p ja q korral p>q 0p q ja a>0 korral – võrratus a p >a q.

Murdastendajatega astmete omaduste tõendamine põhineb murdeksponentiga astme määratlusel, n-nda astme aritmeetilise juure omadustel ja täisarvulise astendajaga astme omadustel. Andkem tõendid.

Määratluse järgi võimsus murdosa astendaja ja , siis . Aritmeetilise juure omadused võimaldavad meil kirjutada järgmised võrdsused. Edasi, kasutades täisarvulise astendajaga astme omadust, saame , millest murdosalise astendajaga astme definitsiooni järgi saame , ja saadud kraadi indikaatorit saab teisendada järgmiselt: . See lõpetab tõestuse.

Teine murdosaastendajatega astmete omadus on tõestatud absoluutselt sarnasel viisil:


Ülejäänud võrdsused tõestatakse sarnaste põhimõtete abil:


Liigume edasi järgmise vara tõestamise juurde. Tõestame, et iga positiivse a ja b korral a 0 võrratus a p p on tõene ja p p >b p korral. Kirjutame ratsionaalarvu p kujul m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Tingimused p 0 on sel juhul samaväärsed tingimustega m 0. Kui m>0 ja am m . Sellest ebavõrdsusest juurte omaduse järgi saame ja kuna a ja b on positiivsed arvud, siis murruastendajaga astme definitsiooni põhjal saab saadud võrratuse ümber kirjutada kujule a p p .

Samamoodi m m >b m korral, kust, st a p >b p .

Jääb tõestada viimane loetletud omadustest. Tõestame, et ratsionaalarvude p ja q korral p>q 0p q korral ning a>0 korral on võrratus a p >a q. Ratsionaalarvud p ja q saame alati taandada ühiseks nimetajaks, isegi kui saame tavalised murrud ja , kus m 1 ja m 2 on täisarvud ning n on naturaalarv. Sel juhul vastab tingimus p>q tingimusele m 1 >m 2, mis tuleneb samade nimetajatega harilike murdude võrdlemise reeglist. Seejärel 0m 1 m 2 ja a>1 korral kraadide võrdlemise omaduse järgi samade aluste ja naturaaleksponentidega ebavõrdsus a m 1 >a m 2. Need ebavõrdsused juurte omadustes saab vastavalt ümber kirjutada kui Ja . Ja astme määratlus ratsionaalse astendajaga võimaldab liikuda edasi ebavõrdsuse juurde ja vastavalt. Siit teeme lõpliku järelduse: p>q ja 0p q korral ning a>0 korral – võrratus a p >a q .

Irratsionaalsete astendajatega astmete omadused

Sellest, kuidas irratsionaalse astendajaga aste on määratletud, võime järeldada, et sellel on kõik ratsionaalse astendajaga astme omadused. Seega on mis tahes a>0, b>0 ja irratsionaalarvude p ja q korral tõesed järgmised irratsionaalsete astendajatega astmete omadused:

1. a p ·a q =a p+q;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a · b) p =a p · b p ;
4. (a:b) p =a p:b p;
5. (a p) q =a p·q;
6. mis tahes positiivsete arvude a ja b korral a 0 võrratus a p p on tõene ja p p >b p korral;
7. irratsionaalarvude p ja q korral p>q 0p q korral ja a>0 korral – võrratus a p >a q.

Sellest võime järeldada, et astmetel a>0 reaalastendajatega p ja q on samad omadused.

• Algebra - 10. klass. Trigonomeetrilised võrrandid Tund ja esitlus teemal: "Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine" Lisamaterjalid Lugupeetud kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, ettepanekuid! Kõik materjalid […]
• Avatud on konkurss "MÜÜJA - KONSULTANT" ametikohale: Tööülesanded: mobiiltelefonide ja mobiilside tarvikute müük, klienditeenindus Beeline'i, Tele2, MTS abonentidele, Beeline'i ja Tele2 tariifiplaanide ja -teenuste ühendamine, MTS nõustamine [… ]
• Rööptahuline valem Rööptahukas on polühedron, millel on 6 tahku, millest igaüks on rööpkülik. Risttahukas on rööptahukas, mille iga tahk on ristkülik. Iga rööptahukat iseloomustab 3 […]
• Võtta vastu perekonnavaraseadus Võtta vastu föderaalseadus, mis käsitleb igale Vene Föderatsiooni kodanikule või kodanike perekonnale maatüki tasuta eraldamist sellel perekonna kinnisvara arendamiseks järgmistel tingimustel: 1. Krunt on eraldatud […]
• Tarbijaõiguste Kaitse Ühing Astana Sellele dokumendile meie veebisaidil juurdepääsuks PIN-koodi saamiseks saatke SMS-sõnum tekstiga zan numbrile GSM-operaatorite (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) abonendid. SMS-i saatmine numbrile, […]
• BRjanski PIIRKONNA GOSTEKHNADZORI KONTROLL Riigilõivu tasumise kviitung (allalaadimine-12,2 kb) Eraisikute registreerimistaotlused (Allalaadimine-12 kb) Juriidilise isiku registreerimistaotlused (Allalaadimine-11,4 kb) 1. Uue auto registreerimisel: 1.avaldus 2.pass […]
• N JA NN ÕIGEKIRJA ERINEVATES KÕNEOSADES S.G. ZELINSKAJA DIDAKTILINE MATERJAL Teoreetiline harjutus 1. Millal nn kirjutatakse omadussõnades? 2. Nimetage nende reeglite erandid. 3. Kuidas eristada sufiksiga -n- verbaalset omadussõna osalausest, millel on […]
• Pivoev V.M. Teaduse filosoofia ja metoodika: õpik magistrantidele ja magistrantidele Petroskoi: PetrSU kirjastus, 2013. - 320 lk. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Õpik on mõeldud abiturientidele, magistrantidele ja magistrantidele sotsiaalsed ja […]