A rövidített szorzóképleteket (FSU) a számok és kifejezések hatványozására és szorzására használják. Gyakran ezek a képletek lehetővé teszik a számítások tömörebb és gyorsabb elvégzését.

Ebben a cikkben felsoroljuk a rövidített szorzás fő képleteit, táblázatba csoportosítjuk, megfontoljuk e képletek használatára vonatkozó példákat, valamint a rövidített szorzási képletek bizonyításának elveit is.

Az FSU témáját először a 7. osztályos „Algebra” kurzuson belül veszik figyelembe. Az alábbiakban 7 alapképlet található.

Rövidített szorzóképletek

1. összeg négyzet képlete: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. különbség négyzetes képlete: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. összeg kocka képlet: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. különbség kocka képlete: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. négyzetek különbsége képlet: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. a kockák összegének képlete: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. kocka különbség képlete: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Az a, b, c betűk ezekben a kifejezésekben tetszőleges számok, változók vagy kifejezések lehetnek. A könnyebb használat érdekében jobb, ha fejből megtanulja a hét alapképletet. Ezeket táblázatban foglaljuk össze, és az alábbiakban adjuk meg, bekarikázva őket egy dobozzal.

Az első négy képlet lehetővé teszi két kifejezés összegének vagy különbségének négyzetének vagy kockájának kiszámítását.

Az ötödik képlet a kifejezések négyzeteinek különbségét úgy számítja ki, hogy megszorozza az összeget és a különbséget.

A hatodik és a hetedik képlet a kifejezések összegének és különbségének szorzata a különbség hiányos, illetve az összeg hiányos négyzetével.

A rövidített szorzási képletet néha rövidített szorzási azonosságoknak is nevezik. Ez nem meglepő, hiszen minden egyenlőség identitás.

Amikor döntenek gyakorlati példák gyakran használnak rövidített szorzóképleteket átrendezve bal és jobb részekkel. Ez különösen kényelmes polinom faktorálásakor.

További rövidített szorzóképletek

Nem korlátozzuk magunkat az algebra 7. osztályos kurzusára, és adjunk hozzá néhány további képletet az FSU táblázatunkhoz.

Először nézzük meg Newton binomiális képletét.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Itt C n k azok a binomiális együtthatók, amelyek a Pascal-háromszög n számú sorában vannak. A binomiális együtthatók a következő képlettel számíthatók ki:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Mint látható, a különbség és az összeg négyzetének és kockájának FSU-ja a Newton-binomiális képlet speciális esete n=2 és n=3 esetén.

De mi van akkor, ha kettőnél több tag van a hatványra emelendő összegben? Hasznos lehet a három, négy vagy több tag összegének négyzetének képlete.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Egy másik képlet, amely jól jöhet, a két tag n-edik hatványának különbségének képlete.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ezt a képletet általában két képletre osztják - páros és páratlan fokokra.

2m páros kitevő esetén:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

2m+1 páratlan kitevő esetén:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

A négyzetek különbségére és a kockák különbségére vonatkozó képletek, gondoltad, ennek a képletnek a speciális esetei n = 2 és n = 3 esetén. A kockák különbségére b-t is -b helyettesíti.

Hogyan kell olvasni a rövidített szorzóképleteket?

Minden képlethez megadjuk a megfelelő megfogalmazásokat, de először a képletek olvasásának elvével foglalkozunk. Ennek legegyszerűbb módja egy példa segítségével. Vegyük a legelső képletet két szám összegének négyzetére.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Azt mondják: két a és b kifejezés összegének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzetének összegével, a kifejezések és a második kifejezés négyzetének szorzatával.

Az összes többi képletet hasonlóan olvassuk. Az a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 négyzetes különbséghez a következőket írjuk:

két a és b kifejezés különbségének négyzete egyenlő ezen kifejezések négyzeteinek összegével, mínusz az első és a második kifejezés szorzatának kétszerese.

Olvassuk fel az a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 képletet. Két a és b kifejezés összegének kocka egyenlő e kifejezések kockáinak összegével, háromszor az első és a második kifejezés négyzetének szorzatával, és háromszor a második kifejezés négyzetének szorzatával. és az első kifejezés.

Folytatjuk az a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 kockák különbségének képletét. Két a és b kifejezés különbségének kockája egyenlő az első kifejezés kockájával mínusz az első és a második kifejezés négyzetének háromszorosa, plusz a második kifejezés és az első kifejezés négyzetének háromszorosa, mínusz a kocka a második kifejezés.

Az ötödik képlet a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (négyzetek különbsége) így hangzik: két kifejezés négyzeteinek különbsége egyenlő a különbség és a két kifejezés összegének szorzatával.

Az olyan kifejezéseket, mint a 2 + a b + b 2 és a 2 - a b + b 2 az egyszerűség kedvéért, rendre az összeg hiányos négyzetének, illetve a különbség nem teljes négyzetének nevezzük.

Ezt szem előtt tartva a kockák összegének és különbségének képlete a következő:

Két kifejezés kockáinak összege egyenlő e kifejezések összegének és különbségük hiányos négyzetének szorzatával.

Két kifejezés kockáinak különbsége egyenlő e kifejezések különbségének az összegük hiányos négyzetével való szorzatával.

FSU igazolás

Az FSU bizonyítása meglehetősen egyszerű. A szorzás tulajdonságai alapján végezzük el a zárójelben lévő képletek részeinek szorzását.

Vegyük például a különbség négyzetének képletét.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Ahhoz, hogy egy kifejezést a második hatványra emeljünk, a kifejezést meg kell szorozni önmagával.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Bővítsük ki a zárójeleket:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

A képlet bevált. A többi FSO hasonlóképpen bizonyított.

Példák az FSO alkalmazására

A redukált szorzóképletek használatának célja a kifejezések gyors és tömör szorzása és hatványozása. Ez azonban nem tartozik az FSO teljes hatálya alá. Széles körben használják kifejezések redukálására, törtek redukálására, polinomok faktorálására. Mondjunk példákat.

1. példa FSO

Egyszerűsítsük a 9 y - (1 + 3 y) 2 kifejezést.

Alkalmazza a négyzetösszeg képletet, és kap:

9 év - (1 + 3 év) 2 = 9 év - (1 + 6 év + 9 év 2) = 9 év - 1 - 6 év - 9 év 2 = 3 év - 1 - 9 év 2

2. példa FSO

Csökkentse a 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 törtet.

Észrevesszük, hogy a számlálóban lévő kifejezés a kockák különbsége, a nevezőben pedig a négyzetek különbsége.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Csökkentjük és megkapjuk:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Az FSU-k segítenek a kifejezések értékeinek kiszámításában is. A lényeg az, hogy észrevegye, hol kell alkalmazni a képletet. Mutassuk meg ezt egy példával.

Nézzük négyzetre a 79-es számot. A nehézkes számítások helyett ezt írjuk:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Úgy tűnik, hogy egy összetett számítást gyorsan elvégeztek, pusztán a rövidített szorzóképletek és a szorzótábla használatával.

Egy másik fontos pont- a binomiális négyzetének kiválasztása. A 4 x 2 + 4 x - 3 kifejezés átváltható 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 -re. Az ilyen átalakításokat széles körben alkalmazzák az integrációban.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Rövidített szorzóképletek.

A rövidített szorzás képleteinek tanulmányozása: két kifejezés összegének négyzete és különbségének négyzete; két kifejezés négyzeteinek különbsége; két kifejezés összegének kockája és különbségének kockája; két kifejezés kockáinak összegei és különbségei.

Példák megoldásánál rövidített szorzási képletek alkalmazása.

A kifejezések egyszerűsítésére, a polinomok faktorizálására és a polinomok szabványos formára való redukálására rövidített szorzási képleteket használnak. Rövidített szorzóképletek, amelyeket fejből kell tudni.

Legyen a, b R. Ezután:

1. Két kifejezés összegének négyzete az az első kifejezés négyzete plusz az első kifejezés szorzata és a második plusz a második kifejezés négyzete.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Két kifejezés különbségének négyzete a az első kifejezés négyzete mínusz az első kifejezés szorzata és a második plusz a második kifejezés négyzete.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. A négyzetek különbsége két kifejezés egyenlő e kifejezések különbségének és összegének szorzatával.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. összeg kocka két kifejezésből egyenlő az első kifejezés kockája plusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa a második és az első kifejezés szorzata a második és a második kifejezés kockája háromszorosa.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. különbség kocka két kifejezésből egyenlő az első kifejezés kockájával mínusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa, a másodiké plusz az első kifejezés és a második kifejezés négyzetének szorzata háromszorosa mínusz a második kifejezés kockájának szorzata.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kockák összege két kifejezés egyenlő az első és a második kifejezés összegének e kifejezések különbségének hiányos négyzetével.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. A kockák különbsége két kifejezés egyenlő az első és a második kifejezés különbségének e kifejezések összegének hiányos négyzetével.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Példák megoldásánál rövidített szorzási képletek alkalmazása.

1. példa

Kiszámítja

a) A két kifejezés összegének négyzetére vonatkozó képlet segítségével megkaptuk

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) A két kifejezés négyzetes különbségének képletével megkapjuk

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 = 9604

2. példa

Kiszámítja

A két kifejezés négyzeteinek különbségére vonatkozó képlet segítségével megkapjuk

3. példa

Kifejezés egyszerűsítése

(x - y) 2 + (x + y) 2

Két kifejezés összegének és különbségének négyzetének képleteit használjuk

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Rövidített szorzóképletek egy táblázatban:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

A csökkentett szorzás képleteit vagy szabályait az aritmetikában, pontosabban az algebrában használják a nagy algebrai kifejezések gyorsabb kiszámításához. Maguk a képletek az algebra létező szabályaiból származnak több polinom szorzására.

Ezeknek a képleteknek a használata meglehetősen gyors megoldást kínál a különféle problémákra matematikai feladatok, és segít a kifejezések egyszerűsítésében is. Az algebrai transzformációk szabályai lehetővé teszik bizonyos manipulációk végrehajtását kifejezésekkel, amelyek után megkaphatjuk a jobb oldalon lévő egyenlőség bal oldalán lévő kifejezést, vagy transzformálhatjuk az egyenlőség jobb oldalát (hogy megkapjuk a kifejezést a bal oldalon az egyenlőségjel után).

Kényelmes, ha ismerjük a rövidített memóriával való szorzáshoz használt képleteket, mivel ezeket gyakran használják feladatok és egyenletek megoldásában. A listában szereplő fő képletek és neveik az alábbiakban találhatók.

összeg négyzet

Az összeg négyzetének kiszámításához meg kell találnia az összeget, amely az első tag négyzetéből, az első és a második tag szorzatának kétszereséből, valamint a második négyzetéből áll. Kifejezés formájában ez a szabály a következőképpen írható: (a + c)² = a² + 2ac + c².

A különbség négyzete

A különbség négyzetének kiszámításához ki kell számítania az összeget, amely az első szám négyzetéből, az első szám és a második (ellentétes előjellel vett) szorzatának kétszereséből és a második szám négyzetéből áll. Kifejezés formájában ez a szabály így néz ki: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

A négyzetek különbsége

A két szám négyzetes különbségének képlete megegyezik e számok és különbségük összegének szorzatával. Kifejezés formájában ez a szabály így néz ki: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

összeg kocka

A két tag összegének kockájának kiszámításához ki kell számítani azt az összeget, amely az első tag kockájából, az első és a második tag négyzetének szorzatából, az első tag hármasszorzatából és a második négyzet, és a második tag kockája. Kifejezés formájában ez a szabály így néz ki: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Kockák összege

A képlet szerint egyenlő e tagok összegének és a különbség hiányos négyzetének szorzatával. Kifejezés formájában ez a szabály így néz ki: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Példa. Ki kell számítani az ábra térfogatát, amelyet két kocka hozzáadásával kapunk. Csak az oldaluk nagysága ismert.

Ha az oldalak értékei kicsik, akkor könnyen elvégezhető a számítások.

Ha az oldalak hosszát nehézkes számokban fejezzük ki, akkor ebben az esetben könnyebb a "Kockaösszeg" képlet alkalmazása, ami nagyban leegyszerűsíti a számításokat.

különbség kocka

A köbös különbség kifejezése így hangzik: az első tag harmadik hatványának összegeként háromszorozza meg az első tag négyzetének negatív szorzatát a másodikkal, az első tag szorzatát háromszorozza meg a második tag négyzetével. , és a második tag negatív kockája. Mint matematikai kifejezés a különbségkocka így néz ki: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

A kockák különbsége

A kockák különbségének képlete csak egy előjelben tér el a kockák összegétől. Így a kockák különbsége egy képlet, amely megegyezik e számok különbségének az összeg hiányos négyzetével való szorzatával. A formában a kockák különbsége így néz ki: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Példa. Ki kell számítani az ábra térfogatát, amely megmarad, miután levonja a kék kocka térfogatát az ábra térfogatából sárga szín, ami szintén kocka. Egy kicsi és egy nagy kockának csak az oldalának a mérete ismert.

Ha az oldalak értékei kicsik, akkor a számítások meglehetősen egyszerűek. Ha pedig az oldalak hosszát jelentős számban fejezzük ki, akkor érdemes a "Konckák különbsége" (vagy "Különbségkocka") című képletet használni, ami nagyban leegyszerűsíti a számításokat.

A négyzetek különbsége

Levezetjük az $a^2-b^2$ négyzetek különbségének képletét.

Ehhez emlékezzen a következő szabályra:

Ha a kifejezéshez tetszőleges monomit adunk, és ugyanazt a monomit kivonjuk, akkor megkapjuk a helyes azonosságot.

Adjuk hozzá a kifejezésünket, és vonjuk ki belőle az $ab$ monomiumot:

Összességében a következőket kapjuk:

Vagyis két monom négyzetének különbsége egyenlő különbségük és összegük szorzatával.

1. példa

Expressz $(4x)^2-y^2$ szorzataként

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Kockák összege

Levezetjük az $a^3+b^3$ kockák összegének képletét.

Vegyük ki a gyakori tényezőket a zárójelekből:

Vegyük ki a $\left(a+b\right)$ zárójelből:

Összességében a következőket kapjuk:

Vagyis két monom kockáinak összege egyenlő az összegüknek a különbségük hiányos négyzetével való szorzatával.

2. példa

Expressz termékként $(8x)^3+y^3$

Ez a kifejezés a következő formában írható át:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

A négyzetek különbségi képletével a következőket kapjuk:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

A kockák különbsége

Levezetjük az $a^3-b^3$ kockák különbségének képletét.

Ehhez ugyanazt a szabályt fogjuk használni, mint fent.

Adjuk hozzá a kifejezésünket, és vonjuk ki belőle az $a^2b\ és\ (ab)^2$ monomokat:

Vegyük ki a gyakori tényezőket a zárójelekből:

Vegyük ki a $\left(a-b\right)$ zárójelből:

Összességében a következőket kapjuk:

Vagyis két monom kockáinak különbsége egyenlő különbségük összegének hiányos négyzetével való szorzatával.

3. példa

Expressz $(8x)^3-y^3$ szorzataként

Ez a kifejezés a következő formában írható át:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

A négyzetek különbségi képletével a következőket kapjuk:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Példa feladatokra a négyzetek különbségére, valamint a kockák összegére és különbségére vonatkozó képletek használatára

4. példa

Szorozni.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Megoldás:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

A négyzetek különbségének képletét alkalmazva a következőt kapjuk:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Írjuk ezt a kifejezést a következő formában:

Alkalmazzuk a kockakockák képletét:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Írjuk ezt a kifejezést a következő formában:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Alkalmazzuk a kockakockák képletét:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\jobbra)\]