Ha követi a definíciót, akkor egy függvény deriváltja egy pontban a Δ függvény növekményének a határa. y a Δ argumentumnövekményhez x:

Úgy tűnik, minden világos. De próbálja meg ezzel a képlettel kiszámítani, mondjuk, a függvény deriváltját f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x bűn x. Ha mindent definíció szerint csinálsz, akkor néhány oldalas számítás után egyszerűen elalszol. Ezért vannak egyszerűbb és hatékonyabb módszerek.

Először is megjegyezzük, hogy a függvények teljes választékából megkülönböztethetjük az úgynevezett elemi függvényeket. Viszonylag egyszerű kifejezésekről van szó, amelyek származékait régóta számítják és táblázatba foglalják. Az ilyen függvényeket nagyon könnyű megjegyezni – származékaikkal együtt.

Elemi függvények származékai

Az elemi függvények az alábbiakban felsoroltak. Ezeknek a függvényeknek a származékait fejből kell tudni. Sőt, egyáltalán nem nehéz megjegyezni őket - ezért elemiek.

Tehát az elemi függvények származékai:

Név	Funkció	Derivált
Állandó	f(x) = C, C ∈ R	0 (igen, nulla!)
Hatvány racionális kitevővel	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = bűn x	kötözősaláta x
Koszinusz	f(x) = cos x	−sin x(mínusz szinusz)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Természetes logaritmus	f(x) = log x	1/x
Önkényes logaritmus	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponenciális függvény	f(x) = e x	e x(nem változott semmi)

Ha egy elemi függvényt megszorozunk egy tetszőleges állandóval, akkor az új függvény deriváltja is könnyen kiszámítható:

(C · f)’ = C · f ’.

Általában a konstansok kivehetők a derivált előjeléből. Például:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Nyilvánvalóan az elemi függvények összeadhatók, szorozhatók, oszthatók – és még sok más. Így jelennek meg új, már nem különösebben elemi, hanem bizonyos szabályok szerint differenciált funkciók. Ezeket a szabályokat az alábbiakban tárgyaljuk.

Az összeg és a különbözet ​​származéka

Legyenek adottak a függvények f(x) És g(x), amelynek származékait ismerjük. Például vehetjük a fent tárgyalt elemi függvényeket. Ezután megtalálhatja ezen függvények összegének és különbségének deriváltját:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tehát két függvény összegének (különbségének) deriváltja egyenlő a deriváltak összegével (különbségével). Több kifejezés is lehet. Például, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Szigorúan véve az algebrában nincs a „kivonás” fogalma. Létezik a „negatív elem” fogalma. Ezért a különbség f − gösszegként átírható f+ (-1) g, és akkor már csak egy képlet marad - az összeg deriváltja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkció f(x) két elemi függvény összege, ezért:

f ’(x) = (x 2 + bűn x)’ = (x 2)’ + (bűn x)’ = 2x+ cos x;

Hasonlóan indokoljuk a funkciót g(x). Csak már három tag van (az algebra szempontjából):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Válasz:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

A termék származéka

A matematika logikai tudomány, ezért sokan úgy gondolják, hogy ha egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltok összegével, akkor a szorzat deriváltja sztrájk">egyenlő a származékok szorzatával. De bassza meg! Egy szorzat deriváltját egy teljesen más képlettel számítják ki. Nevezetesen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A képlet egyszerű, de gyakran elfelejtik. És nem csak iskolások, hanem diákok is. Az eredmény helytelenül megoldott problémák.

Feladat. Keresse meg a függvények deriváltjait: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkció f(x) két elemi függvény szorzata, tehát minden egyszerű:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- sin x) = x 2 (3 cos x − x bűn x)

Funkció g(x) az első szorzó egy kicsit bonyolultabb, de az általános séma nem változik. Nyilvánvalóan a függvény első tényezője g(x) egy polinom, deriváltja pedig az összeg deriváltja. Nekünk van:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)” · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Válasz:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x bűn x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az utolsó lépésben a derivált faktorizálásra kerül. Formálisan ezt nem kell megtenni, de a legtöbb derivált nem önmagában számít, hanem a függvény vizsgálatára. Ez azt jelenti, hogy a továbbiakban a derivált nullával lesz egyenlő, előjelei meghatározásra kerülnek, és így tovább. Ilyen esetben jobb, ha egy kifejezést faktorizált.

Ha két funkció van f(x) És g(x), és g(x) ≠ 0 azon a halmazon, amelyre kíváncsiak vagyunk, új függvényt definiálhatunk h(x) = f(x)/g(x). Egy ilyen függvényhez a derivált is megtalálható:

Nem gyenge, mi? Honnan jött a mínusz? Miért g 2? És így! Ez az egyik legösszetettebb képlet – palack nélkül nem tudod kitalálni. Ezért jobb, ha konkrét példákkal tanulmányozzuk.

Feladat. Keresse meg a függvények deriváltjait:

Minden tört számlálója és nevezője elemi függvényeket tartalmaz, így csak a hányados derivált képletére van szükségünk:

A hagyomány szerint tizedeljük a számlálót – ez nagyban leegyszerűsíti a választ:

Egy összetett függvény nem feltétlenül egy fél kilométer hosszú képlet. Például elég a függvényt venni f(x) = bűn xés cserélje ki a változót x, mondjuk, be x 2 + ln x. Meg fog menni f(x) = bűn ( x 2 + ln x) - ez egy összetett függvény. Ennek is van származéka, de a fent tárgyalt szabályok alapján nem lehet megtalálni.

Mit kellene tennem? Ilyen esetekben egy összetett függvény deriváltjának változó és képlet lecserélése segít:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ha x helyettesíti t(x).

A képlet megértésével általában még szomorúbb a helyzet, mint a hányados származékával. Ezért jobb, ha konkrét példákkal magyarázzuk el, az egyes lépések részletes leírásával.

Feladat. Keresse meg a függvények deriváltjait: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = bűn ( x 2 + ln x)

Vegye figyelembe, hogy ha a függvényben f(x) a 2. kifejezés helyett x+3 könnyű lesz x, akkor kapunk egy elemi függvényt f(x) = e x. Ezért cserét végzünk: legyen 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Egy komplex függvény deriváltját a következő képlettel keressük:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

És most - figyelem! Fordított cserét végzünk: t = 2x+ 3. Kapjuk:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Most nézzük a függvényt g(x). Nyilván cserélni kell x 2 + ln x = t. Nekünk van:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (bűn t)’ · t' = cos t · t ’

Fordított csere: t = x 2 + ln x. Akkor:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Ez minden! Amint az az utolsó kifejezésből látható, az egész probléma a derivált összeg kiszámítására redukálódott.

Válasz:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Az órákon nagyon gyakran a „származék” kifejezés helyett a „prím” szót használom. Például az összeg ütése egyenlő a vonások összegével. Így világosabb? Hát az jó.

Így a derivált kiszámítása az ugyanazon ütésektől való megszabaduláshoz vezet a fent tárgyalt szabályok szerint. Utolsó példaként térjünk vissza a derivált hatványhoz racionális kitevővel:

(x n)’ = n · x n − 1

Ezt kevesen tudják a szerepben n lehet, hogy törtszám is. Például a gyökér az x 0.5. Mi van, ha valami díszes van a gyökér alatt? Az eredmény ismét egy összetett funkció lesz - szeretnek ilyen konstrukciókat adni teszteken és vizsgákon.

Feladat. Keresse meg a függvény deriváltját:

Először is írjuk át a gyököt hatványként racionális kitevővel:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Most csinálunk egy cserét: hagyjuk x 2 + 8x − 7 = t. A származékot a következő képlettel találjuk meg:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)” · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Végezzük el a fordított cserét: t = x 2 + 8x− 7. Van:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Végül vissza a gyökerekhez:

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a derivált az inkrementum és az argumentum növekmény arányának határaként definiálva, megjelent a derivált táblázat és a pontosan meghatározott differenciálási szabályok. . A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Ezután az elemi függvények deriváltjait a deriválttáblázatban, a szorzat, az összeg és a hányados deriváltjainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A derivált táblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Egy olyan összeg deriváltjaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője van, ez kivehető a derivált előjeléből:

Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, azokat rendszerint tisztázzuk, miután megismerkedtünk a származékok táblázatával és a differenciálás legegyszerűbb szabályaival. Jelenleg rájuk megyünk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia.
4. Változó deriváltja a -1 hatványra
5. A négyzetgyök származéka
6. A szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő származéka
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinus származéka
11. Arccosine származéka
12. Arktangens származéka
13. Az ívkotangens származéka
14. A természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Exponenciális függvény deriváltja

A megkülönböztetés szabályai

1. Összeg vagy különbözet ​​származéka
2. A termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók

és

azok. függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény konstans taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz

2. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabály.Ha a funkciók

egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.

Hol lehet keresni a dolgokat más oldalakon

Egy szorzat származékának és hányadosának valós problémákban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa is található ezekre a származékokra."A szorzat származéka és a függvények hányadosa".

Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez egy tipikus hiba, amely a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de mivel az átlaghallgató több egy- és kétrészes példát old meg, ezt a hibát már nem követi el.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).

Egy másik gyakori hiba, hogy egy összetett függvény deriváltját mechanikusan egy egyszerű függvény deriváltjaként oldják meg. Ezért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki , majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” leckét.

Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:

Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A következő derivált értékeket kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:

És ellenőrizheti a derivált probléma megoldását.

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínuszjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. , akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és más trigonometrikus függvények deriváltjairól, vagyis amikor a függvény így néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzat megkülönböztetésének szabályát és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét alkalmazva kapjuk:

A derivált probléma megoldását a címen ellenőrizheti online származékos kalkulátor .

6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -val.

És a tétel egy komplex függvény deriváltjáról, amelynek megfogalmazása a következő:

Legyen 1) az $u=\varphi (x)$ függvénynek valamikor $x_0$ a $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ deriváltja, 2) a $y=f(u)$ függvény legyen a megfelelő $u_0=\varphi (x_0)$ pontban a $y_(u)"=f"(u)$ derivált. Ekkor az említett pontban található $y=f\left(\varphi (x) \right)$ komplex függvénynek is lesz deriváltja, amely megegyezik a $f(u)$ és $\varphi () függvények deriváltjainak szorzatával x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

vagy rövidebb jelöléssel: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Az ebben a szakaszban szereplő példákban minden függvény alakja $y=f(x)$ (azaz csak egy $x$ változó függvényeit vesszük figyelembe). Ennek megfelelően minden példában a $y"$ derivált a $x$ változóra vonatkozik. Annak hangsúlyozására, hogy a derivált a $x$ változóra vonatkozik, gyakran $y"_x$ íródik $y helyett. "$.

Az 1., 2. és 3. példák részletesen ismertetik az összetett függvények deriváltjának megtalálásának folyamatát. A 4. példa a származéktáblázat teljesebb megértését szolgálja, és érdemes megismerkedni vele.

Célszerű az 1-3. számú példák anyagának tanulmányozása után áttérni az 5., 6. és 7. példák önálló megoldására. Az 5., 6. és 7. példák egy rövid megoldást tartalmaznak, hogy az olvasó ellenőrizhesse az eredmény helyességét.

1. számú példa

Keresse meg a $y=e^(\cos x)$ függvény deriváltját.

Meg kell találnunk egy $y"$ komplex függvény deriváltját. Mivel $y=e^(\cos x)$, akkor $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. keressük meg a $ \left(e^(\cos x)\right)"$ deriváltot a deriválttáblázat 6-os képletét használjuk. A 6-os képlet használatához figyelembe kell vennünk, hogy esetünkben $u=\cos x$. A további megoldás abból áll, hogy a 6. képletbe egyszerűen behelyettesítjük a $\cos x$ kifejezést a $u$ helyett:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Most meg kell találnunk a $(\cos x)"$ kifejezés értékét. Ismét áttérünk a származékok táblázatára, kiválasztva a 10-es képletet. Ha az $u=x$-t behelyettesítjük a 10-es képletbe, azt kapjuk : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Most folytassuk az (1.1) egyenlőséget, kiegészítve a talált eredménnyel:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Mivel $x"=1$, folytatjuk az egyenlőséget (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Tehát az (1.3) egyenlőségből a következőt kapjuk: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Természetesen a magyarázatokat és a köztes egyenlőségeket általában kihagyjuk, a derivált megállapítását egy sorba írva, mint az ( 1.3) egyenlőségben. Tehát egy komplex függvény deriváltját megtaláltuk, már csak a választ kell felírni.

Válasz: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

2. példa

Keresse meg a $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ függvény deriváltját.

Ki kell számítanunk a $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ deriváltot. Először is megjegyezzük, hogy a konstans (azaz a 9-es szám) kivehető a származékjelből:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \jobbra)" \tag (2.1) $$

Most térjünk rá a $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ kifejezésre. Hogy könnyebb legyen kiválasztani a kívánt képletet a származékok táblázatából, bemutatom a kifejezést ebben a formában: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Most már világos, hogy szükség van a 2. számú képlet használatára, azaz. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Helyettesítsük be a $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ és $\alpha=12$ karakterláncot ebbe a képletbe:

A (2.1) egyenlőséget a kapott eredménnyel kiegészítve a következőt kapjuk:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Ebben a helyzetben gyakran elkövetik a hibát, amikor a megoldó az első lépésben a $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ képletet választja a képlet helyett $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. A lényeg az, hogy a külső függvény deriváltja legyen az első. Annak megértéséhez, hogy melyik függvény lesz a $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ kifejezésen kívül, képzelje el, hogy a $\arctg^(12)(4\cdot 5^) kifejezés értékét számítja ki. x)$ valamilyen $x$ értéknél. Először kiszámolja az $5^x$ értékét, majd az eredményt megszorozza 4-gyel, így megkapja $4\cdot 5^x$. Most ebből az eredményből vesszük az arctangenst, és megkapjuk a $\arctg(4\cdot 5^x)$ értéket. Ezután a kapott számot a tizenkettedik hatványra emeljük, így $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ lesz. Az utolsó akció, i.e. a 12-es hatványra emelés külső függvény lesz. És ebből kell elkezdenünk a derivált megtalálását, ami a (2.2) egyenlőségben megtörtént.

Most meg kell találnunk a $(\arctg(4\cdot \ln x))"$-t. A derivált táblázat 19. számú képletét használjuk, és behelyettesítjük a $u=4\cdot \ln x$ értékkel:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Egy kicsit egyszerűsítsük a kapott kifejezést, figyelembe véve a $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Az egyenlőség (2.2) a következőképpen alakul:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Marad a $(4\cdot \ln x)"$. Vegyük ki a konstanst (azaz 4) a derivált jelből: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. A $(\ln x)"$ kereséséhez a 8-as képletet használjuk, amelybe behelyettesítjük az $u=x$ karakterláncot: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Mivel $x"=1$, akkor $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ A kapott eredményt a (2.3) képletbe behelyettesítve a következőt kapjuk:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy komplex függvény deriváltja leggyakrabban egy sorban található, ahogy az utolsó egyenlőségben is szerepel. Ezért a standard számítások vagy az ellenőrzési munkák elkészítésekor egyáltalán nem szükséges ilyen részletesen ismertetni a megoldást.

Válasz: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

3. példa

Keresse meg a $y"$ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ függvényt.

Először kicsit alakítsuk át a $y$ függvényt, a gyököt (gyököt) hatványként kifejezve: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \jobbra)^(\frac(3)(7))$. Most kezdjük el megkeresni a származékot. Mivel $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, akkor:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Használjuk a származékok táblázatának 2. képletét, behelyettesítve a $u=\sin(5\cdot 9^x)$ és $\alpha=\frac(3)(7)$ karakterekkel:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Folytassuk a (3.1) egyenlőséget a kapott eredmény felhasználásával:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Most meg kell találnunk a $(\sin(5\cdot 9^x))"$-t. Ehhez a származéktáblázat 9-es képletét használjuk, és behelyettesítjük a $u=5\cdot 9^x$ értékkel:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

A kapott eredménnyel kiegészítve a (3.2) egyenlőséget, a következőt kapjuk:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Marad a következőt megkeresni: $(5\cdot 9^x)"$. Először is vegyük a konstanst (a $5$ számot) a derivált jelen kívülre, azaz $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. A $(9^x)"$ származék megtalálásához alkalmazza a származékok táblázatának 5. képletét, behelyettesítve az $a=9$ és $u=x$ karakterekkel: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Mivel $x"=1$, akkor $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Most folytathatjuk a (3.3) egyenlőséget:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

A hatványokról ismét visszatérhetünk a gyökökhöz (azaz a gyökökhöz), a $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ alakban $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Ezután a származékot a következő formában írjuk le:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Válasz: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

4. számú példa

Mutassuk meg, hogy a származékok táblázatának 3. és 4. képlete a táblázat 2. képletének speciális esete.

A derivált táblázat 2. számú képlete tartalmazza az $u^\alpha$ függvény deriváltját. Ha a 2. képletbe behelyettesítjük a $\alpha=-1$-t, a következőt kapjuk:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Mivel $u^(-1)=\frac(1)(u)$ és $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, ezért a (4.1) egyenlőség a következőképpen írható át: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ez a származékok táblázatának 3. számú képlete.

Térjünk vissza a derivált táblázat 2. képletére. Helyettesítsük be a $\alpha=\frac(1)(2)$ karakterláncot:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Mivel $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ és $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, akkor a (4.2) egyenlőség a következőképpen írható át:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

A kapott $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ egyenlőség a derivált táblázat 4. számú képlete. Mint látható, a derivált táblázat 3. és 4. képlete a 2. képletből származik a megfelelő $\alpha$ érték helyettesítésével.

Amin megvizsgáltuk a legegyszerűbb származékokat, valamint megismerkedtünk a differenciálás szabályaival és néhány technikai technikával a származékok megtalálásához. Ezért, ha nem ismeri túl jól a függvények származékait, vagy a cikk egyes pontjai nem teljesen egyértelműek, akkor először olvassa el a fenti leckét. Kérem, legyen komoly a hangulata – az anyag nem egyszerű, de azért igyekszem egyszerűen és érthetően bemutatni.

A gyakorlatban nagyon gyakran, mondhatnám, szinte mindig kell egy komplex függvény deriváltjával foglalkozni, amikor feladatokat kapunk a deriváltok keresésére.

Nézzük a táblázatot az összetett függvény megkülönböztetésére szolgáló (5. sz.) szabálynál:

Találjuk ki. Először is figyeljünk a bejegyzésre. Itt két függvényünk van - és, és a függvény képletesen szólva a függvénybe van beágyazva. Az ilyen típusú függvényt (amikor az egyik függvény egy másikba van beágyazva) összetett függvénynek nevezzük.

Meghívom a függvényt külső funkcióés a funkciót – belső (vagy beágyazott) függvény.

! Ezek a definíciók nem elméletiek, és nem szerepelhetnek a feladatok végső kialakításában. A „külső funkció”, „belső” funkció informális kifejezéseket csak azért használom, hogy megkönnyítsem az anyag megértését.

A helyzet tisztázásához vegye figyelembe:

1. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

A szinusz alatt nem csak az „X” betű van, hanem egy teljes kifejezés, így a derivált közvetlenül a táblázatból való megtalálása nem fog működni. Azt is észrevesszük, hogy az első négy szabályt itt lehetetlen alkalmazni, látszólag van különbség, de tény, hogy a szinusz nem „téphető darabokra”:

Ebben a példában már intuitívan világos a magyarázataimból, hogy a függvény egy komplex függvény, a polinom pedig egy belső függvény (beágyazás), és egy külső függvény.

Első lépés amit egy komplex függvény deriváltjának megtalálásakor kell tennie, hogy megérteni, hogy melyik funkció belső és melyik külső.

Egyszerű példák esetén egyértelműnek tűnik, hogy egy polinom van beágyazva a szinusz alá. De mi van, ha nem minden nyilvánvaló? Hogyan lehet pontosan meghatározni, hogy melyik funkció külső és melyik belső? Ehhez a következő technikát javaslom, amit lehet mentálisan vagy piszkozatban is.

Képzeljük el, hogy ki kell számítanunk az at kifejezés értékét egy számológépen (egy helyett tetszőleges szám lehet).

Mit számolunk először? Először is a következő műveletet kell végrehajtania: , ezért a polinom belső függvény lesz:

Másodszor meg kell találni, tehát a szinusz – külső függvény lesz:

Miután mi ELADVA belső és külső függvényekkel itt az ideje alkalmazni a komplex függvények megkülönböztetésének szabályát .

Kezdjük el dönteni. A leckéből Hogyan lehet megtalálni a származékot? ne felejtsük el, hogy bármely származék megoldásának tervezése mindig így kezdődik - a kifejezést zárójelbe tesszük, és egy körvonalat teszünk a jobb felső sarokban:

Először megtaláljuk a külső függvény deriváltját (szinusz), nézzük meg az elemi függvények deriváltjainak táblázatát, és vegyük észre, hogy . Minden táblázati képlet akkor is alkalmazható, ha az „x”-t összetett kifejezéssel helyettesítjük, ebben az esetben:

Felhívjuk figyelmét, hogy a belső funkció nem változott, nem nyúlunk hozzá.

Nos, ez teljesen nyilvánvaló

A képlet alkalmazásának eredménye végső formájában így néz ki:

A konstans tényező általában a kifejezés elejére kerül:

Félreértés esetén írja le a megoldást papírra, és olvassa el újra a magyarázatokat.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint mindig, most is leírjuk:

Nézzük meg, hol van külső és hol belső funkciónk. Ehhez megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) kiszámítani a kifejezés értékét a -nál. Mit kell először csinálni? Először is ki kell számolni, hogy mi az alap: ezért a polinom a belső függvény:

És csak ezután hajtják végre a hatványozást, ezért a hatványfüggvény egy külső függvény:

A képlet szerint , először meg kell találni a külső függvény deriváltját, jelen esetben a fokát. A táblázatban keressük a szükséges képletet: . Még egyszer megismételjük: bármely táblázatos képlet nem csak „X”-re, hanem összetett kifejezésre is érvényes. Így az összetett függvény megkülönböztetésére vonatkozó szabály alkalmazásának eredménye következő:

Ismét hangsúlyozom, hogy ha a külső függvény deriváltját vesszük, a belső funkciónk nem változik:

Most már csak meg kell találni a belső függvény nagyon egyszerű deriváltját, és egy kicsit módosítani az eredményt:

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (válasz a lecke végén).

Hogy megszilárdítsam egy összetett függvény deriváltjának megértését, egy megjegyzés nélkül hozok egy példát, próbálja meg egyedül kitalálni, indokolja meg, hol van a külső és hol a belső függvény, miért így oldják meg a feladatokat?

5. példa

a) Keresse meg a függvény deriváltját!

b) Keresse meg a függvény deriváltját!

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt van egy gyökér, és a gyökér megkülönböztetéséhez hatalomként kell ábrázolni. Így először hozzuk a függvényt a megkülönböztetéshez megfelelő formába:

A függvényt elemezve arra a következtetésre jutunk, hogy a három tag összege belső függvény, a hatványra emelés pedig külső függvény. Alkalmazzuk az összetett függvények differenciálásának szabályát :

A fokot ismét gyökként (gyökként) ábrázoljuk, és a belső függvény deriváltjára egy egyszerű szabályt alkalmazunk az összeg differenciálására:

Kész. A kifejezést zárójelben lévő közös nevezőre is csökkentheti, és mindent egy törtként írhat le. Természetesen szép, de ha nehézkes hosszú származékokat kap, jobb, ha ezt nem teszi (könnyű összezavarodni, felesleges hibát elkövetni, és a tanárnak kényelmetlen lesz ellenőrizni).

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (válasz a lecke végén).

Érdekes megjegyezni, hogy néha az összetett függvények megkülönböztetésének szabálya helyett használhatja a hányadosok megkülönböztetésének szabályát. , de egy ilyen megoldás szokatlan perverziónak tűnik. Íme egy tipikus példa:

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt használhatja a hányados differenciálásának szabályát , de sokkal jövedelmezőbb egy komplex függvény differenciálási szabályán keresztül megtalálni a deriváltot:

Felkészítjük a függvényt a differenciálásra - a mínuszt kimozgatjuk a derivált előjelből, és a koszinust a számlálóba emeljük:

A koszinusz belső függvény, a hatványozás külső függvény.
Használjuk a szabályunkat :

Megkeressük a belső függvény deriváltját, és visszaállítjuk a koszinuszát:

Kész. A vizsgált példában fontos, hogy ne keveredjünk össze a jelekben. Egyébként próbáld meg a szabály segítségével megoldani , a válaszoknak egyeznie kell.

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (válasz a lecke végén).

Eddig olyan eseteket vizsgáltunk, amikor egy komplex függvényben csak egy fészkelődésünk volt. A gyakorlati feladatokban gyakran találhatunk származékokat, ahol a fészkelő babákhoz hasonlóan egymásba 3 vagy akár 4-5 függvény kerül egyszerre.

10. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ismerjük meg ennek a függvénynek a mellékleteit. Próbáljuk meg kiszámítani a kifejezést a kísérleti érték segítségével. Hogyan számolnánk egy számológéppel?

Először meg kell találni, ami azt jelenti, hogy az arcszinusz a legmélyebb beágyazás:

Az egyiknek ezt az arcszinuszát négyzetre kell emelni:

És végül hetet emelünk hatványra:

Vagyis ebben a példában három különböző függvényünk és két beágyazásunk van, míg a legbelső függvény az arcszinusz, a legkülső függvény pedig az exponenciális függvény.

Kezdjük el dönteni

A szabály szerint Először ki kell venni a külső függvény deriváltját. Megnézzük a derivált táblázatot, és megkeressük az exponenciális függvény deriváltját: Az egyetlen különbség az, hogy „x” helyett egy komplex kifejezésünk van, ami nem tagadja ennek a képletnek az érvényességét. Tehát egy összetett függvény megkülönböztetésére vonatkozó szabály alkalmazásának eredménye következő.

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, ne menjünk messzire, azonnal vegyük figyelembe az inverz függvényt. Melyik függvény az exponenciális függvény inverze? Logaritmus:

Esetünkben az alap a szám:

Egy ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre egy speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mivel egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: Az exponenciális és a naturális logaritmus derivált szempontból egyedülállóan egyszerű függvények. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal rendelkeznek, amit később, a differenciálás szabályainak áttekintése után elemezünk.

A megkülönböztetés szabályai

Mi szabályai? Megint egy új kifejezés, megint?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Ez minden. Mi másnak nevezhetjük ezt a folyamatot egy szóval? Nem derivált... A matematikusok a differenciált a függvény azonos növekményének nevezik. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjelből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Legyen, vagy egyszerűbben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. egy ponton;
2. egy ponton;
3. egy ponton;
4. azon a ponton.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel lineáris függvény, emlékszel?);

A termék származéka

Itt minden hasonló: vezessünk be egy új függvényt, és keressük meg a növekményét:

Derivált:

Példák:

1. Keresse meg az és függvények deriváltjait;
2. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan kell megtalálni bármely exponenciális függvény deriváltját, és nem csak a kitevőket (elfelejtette már, mi az?).

Szóval, hol van néhány szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg a függvényünket egy új bázisra redukálni:

Ehhez egy egyszerű szabályt fogunk használni: . Akkor:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Megtörtént?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított egy kitevő deriváltjához: úgy ahogy volt, ugyanaz marad, csak egy tényező jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem lehet egyszerűbb formában leírni. Ezért ebben a formában hagyjuk a válaszban.

Vegye figyelembe, hogy itt két függvény hányadosa van, ezért alkalmazzuk a megfelelő differenciálási szabályt:

Ebben a példában két függvény szorzata:

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló a helyzet: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért egy tetszőleges logaritmus más bázisú kereséséhez, például:

Ezt a logaritmust az alapra kell redukálnunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevező egyszerűen egy állandó (állandó szám, változó nélkül). A származékot nagyon egyszerűen kapjuk meg:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg az Egységes Államvizsgában, de ezek ismerete nem lesz felesleges.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem arctangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha nehéznek találja a logaritmust, olvassa el a „Logaritmusok” témakört, és minden rendben lesz), de matematikai szempontból a „komplex” szó nem azt jelenti, hogy „nehéz”.

Képzeljen el egy kis futószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Az eredmény egy összetett tárgy: egy szalaggal becsomagolt és átkötött csokoládé. Egy csokoládé szelet elfogyasztásához fordított sorrendben kell végrehajtania a fordított lépéseket.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd négyzetre emeljük a kapott számot. Tehát kapunk egy számot (csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd négyzetre teszed, amit kaptam (szalaggal megkötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor az érték meghatározásához az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy második műveletet az elsőből eredővel.

Más szavakkal, a komplex függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Példánkra .

Könnyen megtehetjük ugyanezeket a lépéseket fordított sorrendben: először négyzetre tesszük, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát: . Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Az összetett függvények fontos jellemzője: ha megváltozik a műveletek sorrendje, akkor a funkció megváltozik.

Második példa: (ugyanaz). .

A művelet, amit utoljára hajtunk végre, elnevezésre kerül "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet - ennek megfelelően "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonló a változók megváltoztatásához: például egy függvényben

1. Milyen műveletet hajtunk végre először? Először számoljuk ki a szinust, és csak azután kockázzuk fel. Ez azt jelenti, hogy ez egy belső funkció, de külső.
   Az eredeti funkció pedig az összetételük: .
2. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
3. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
4. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
5. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .

Változókat változtatunk és függvényt kapunk.

Nos, most kibontjuk a csokoládét, és megkeressük a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példához képest így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Egyszerűnek tűnik, igaz?

Vizsgáljuk meg példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld megvágni! Semmi sem jön ki a koszinusz alól, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy ez egy háromszintű komplex függvény: elvégre ez már önmagában is komplex funkció, és a gyökeret is kivonjuk belőle, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (csomagolóba tesszük a csokoládét és szalaggal az aktatáskában). De nincs okunk félni: ezt a funkciót továbbra is a megszokott sorrendben „pakoljuk ki”: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál „külsőbb” lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje ugyanaz, mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés menetét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Szinusz. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Függvény származéka- a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelenül kicsiny növekedéséhez:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjelből:

Az összeg származéka:

A termék származéka:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a „belső” függvényt, és megkeressük a származékát.
2. Meghatározzuk a „külső” függvényt, és megkeressük a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.