Előadás

Komplex szám trigonometrikus alakja

Terv

1. Komplex számok geometriai ábrázolása.

2. Komplex számok trigonometrikus jelölése.

3. Műveletek komplex számokra trigonometrikus formában.

Komplex számok geometriai ábrázolása.

a) A komplex számokat egy síkon lévő pontok ábrázolják a következő szabály szerint: a + kettős = M ( a ; b ) (1. ábra).

1. kép

b) Egy komplex szám ábrázolható olyan vektorral, amely a pontban kezdődikRÓL RŐL a vége pedig egy adott pontban (2. ábra).

2. ábra

7. példa: Szerkesszünk komplex számokat reprezentáló pontokat:1; - én ; - 1 + én ; 2 – 3 én (3. ábra).

3. ábra

Komplex számok trigonometrikus jelölése.

Összetett számz = a + kettős a sugárvektor segítségével adható meg koordinátákkal( a ; b ) (4. ábra).

4. ábra

Meghatározás . Vektor hossza , amely egy komplex számot jelentz , ezt a szám modulusának nevezzük és jelöljük vagyr .

Bármilyen komplex számraz a moduljar = | z | a képlet egyedileg határozza meg .

Meghatározás . A valós tengely pozitív iránya és a vektor közötti szög nagysága , amely egy komplex számot jelent, ennek a komplex számnak az argumentumának nevezzük, és jelöljükA rg z vagyφ .

Komplex szám argumentumz = 0 meghatározatlan. Komplex szám argumentumz≠ 0 – többértékű mennyiség, és egy időtartamon belül van meghatározva2πk (k = 0; -1; 1; -2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Aholarg z – az intervallumban szereplő argumentum fő értéke(-π; π] , vagyis-π < arg z ≤ π (néha az intervallumhoz tartozó értéket veszik az argumentum fő értékének .

Ez a képlet amikorr =1 gyakran Moivre-képletnek nevezik:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11. példa: Számítsa ki(1 + én ) 100 .

Írjunk fel egy komplex számot1 + én trigonometrikus formában.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (kötözősaláta + vétkezem )] 100 = ( ) 100 (kötözősaláta 100+ i bűn ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Egy komplex szám négyzetgyökének kinyerése.

Komplex szám négyzetgyökének felvételekora + kettős két esetünk van:

Hab >o , Azt ;

Tekintsünk egy komplex számot a szokásos (algebrai) formában:

A 3. ábra egy komplex számot mutat z. Ennek a számnak a koordinátái a derékszögű koordinátarendszerben ( a, b). Bármely szög sin és cos függvényének meghatározásából az következik:

Ezt a rögzítési formát ún trigonometrikus komplex szám írásának formája.

A (2) egyenleteket négyzetre emeljük, és összeadjuk:

.

(4)

r−egy komplex szám sugárvektorának hossza z komplex szám modulusának nevezzük, és | z|. Nyilvánvalóan | z|≥0 és | z|=0 akkor és csak akkor z=0.

Egy komplex számnak megfelelő pont poláris szögének nagysága z, azaz szög φ , ezt a szám argumentumának nevezzük, és jelöljük arg z. vegye észre, az arg z csak akkor van értelme z≠0. A 0 komplex szám argumentumának nincs értelme.

Egy komplex szám argumentuma nincs egyértelműen definiálva. Ha φ akkor egy komplex szám argumentuma φ +2πk, k A =0,1,... egy komplex szám argumentuma is, mert kötözősaláta( φ +2πk)=cos φ ,bűn( φ +2πk)=bűn φ .

Komplex szám átalakítása algebrai formáról trigonometrikus alakra

Legyen egy komplex szám algebrai formában: z=a+bi. Ezt a számot ábrázoljuk trigonometrikus formában. Kiszámoljuk egy komplex szám modulusát: . Számítsa ki az érvet φ komplex szám kifejezésekből vagy . A kapott értékeket beillesztjük a (3) egyenletbe.

1. példa: Komplex szám ábrázolása z=1 trigonometrikus formában.

Megoldás. Összetett szám z=1 a következőképpen ábrázolható: z=1+0én φ =1/1. Honnan szerezzük be? φ =0. A modulus és az argumentum értékeit (3) behelyettesítve a következőket kapjuk: z=1(cos0+ én sin0).

Válasz. z=1(cos0+ én sin0).

2. példa: Komplex szám ábrázolása z=i trigonometrikus formában.

Megoldás. Összetett szám z=iígy ábrázolható: z=0+1én. Számítsuk ki ennek a számnak a modulusát: . Számítsuk ki ennek a számnak az argumentumát: cos φ =0/1. Honnan szerezzük be? φ =π /2. A modulus és az argumentum értékeit (3) behelyettesítve a következőket kapjuk: .

Válasz. .

3. példa: Komplex szám ábrázolása z=4+3én trigonometrikus formában.

Megoldás. Számítsuk ki ennek a számnak a modulusát: . Számítsuk ki ennek a számnak az argumentumát: cos φ =4/5. Honnan szerezzük be? φ =arccos(4/5). A modulus és az argumentum értékeit (3) behelyettesítve a következőt kapjuk: .

Válasz. , Ahol φ =arccos(4/5).

Komplex számok szorzása trigonometrikus jelöléssel

z 1 =r 1 (cos φ 1 +én bűn φ 1) és z 2 =r 2 (cos φ 2 +én bűn φ 2). Szorozzuk meg ezeket a számokat:

azok. a komplex számok szorzatának modulusa egyenlő a tényezők modulusainak szorzatával.

Válasz. .

Komplex számok osztása trigonometrikus jelöléssel

Adjunk meg komplex számokat z 1 =r 1 (cos φ 1 +én bűn φ 1) és z 2 =r 2 (cos φ 2 +én bűn φ 2) és hagyjuk z 2 ≠0, azaz r 2 ≠0. Számoljunk z 1 /z 2:

Válasz. .

A szorzás és osztás geometriai jelentése

A 4. ábra a komplex számok szorzását mutatja z 1 és z 2. A (6) és (7) bekezdésből az következik, hogy a termék megszerzéséhez z 1 z 2, szükség van a pont vektor sugarára z 1 fordulat az óramutató járásával ellentétes szögben φ 2 és nyújtsd | z 2 | alkalommal (0z 2-nél |

Tekintsük most egy komplex szám felosztását z 1 z 2 per z 1 (4. ábra). A (8) képletből következik, hogy a kívánt szám modulusa egyenlő a szám modulusa osztásának hányadosával z 1 z 2 számmodulonként z 1 és az érv: φ 2 =φ −φ 1 . Az osztás eredményeként megkapjuk a számot z 2 .

Ebben a részben részletesebben a komplex szám trigonometrikus alakjáról fogunk beszélni. A gyakorlati feladatokban sokkal ritkábban fordul elő a demonstratív forma. Javaslom a letöltést és a nyomtatást, ha lehetséges. trigonometrikus táblázatok, módszertani anyaga a Matematikai képletek és táblázatok oldalon található. Asztalok nélkül nem mehetsz messzire.

Bármely komplex szám (nulla kivételével) felírható trigonometrikus formában:

Hol van komplex szám modulusa, A - komplex szám argumentum.

Ábrázoljuk a számot a komplex síkon. A határozottság és a magyarázat egyszerűsége érdekében az első koordinátanegyedbe helyezzük, azaz. Úgy hisszük:

Komplex szám modulusa az origó és a komplex sík megfelelő pontja közötti távolság. Egyszerűen fogalmazva, modul a hossza sugárvektor, amely a rajzon pirossal van jelölve.

Egy komplex szám modulusát általában a következővel jelöljük: vagy

A Pitagorasz-tétel segítségével könnyen levezethető egy képlet a komplex szám modulusának meghatározására: . Ez a képlet helyes bármilyen jelentése "a" és "legyen".

jegyzet : A komplex szám modulusa a fogalom általánosítása valós szám modulusa, mint egy pont és az origó közötti távolság.

Komplex szám argumentuma hívott sarok között pozitív féltengely a valós tengely és az origótól a megfelelő pontig húzott sugárvektor. Az argumentum nincs definiálva az egyes számban:.

A vizsgált elv tulajdonképpen hasonló a poláris koordinátákhoz, ahol a poláris sugár és a polárszög egyedileg határoz meg egy pontot.

Egy komplex szám argumentumát szabványosan jelöljük: vagy

Geometriai megfontolások alapján a következő képletet kapjuk az argumentum megtalálásához:

. Figyelem! Ez a képlet csak a jobb oldali félsíkban működik! Ha a komplex szám nem az 1. vagy 4. koordinátanegyedben található, akkor a képlet kissé eltér. Ezeket az eseteket is elemezzük.

De először nézzük meg a legegyszerűbb példákat, amikor a komplex számok koordinátatengelyeken helyezkednek el.

7. példa

A komplex számok ábrázolása trigonometrikus formában: ,,,. Készítsük el a rajzot:

Valójában a feladat szóbeli. Az érthetőség kedvéért átírom egy komplex szám trigonometrikus alakját:

Emlékezzünk határozottan, a modul – hossz(ami mindig nem negatív), érv – sarok

1) Ábrázoljuk a számot trigonometrikus formában. Keressük meg a modulusát és az argumentumát. Ez nyilvánvaló. Formális számítás a következő képlettel:. Nyilvánvaló, hogy (a szám közvetlenül a valódi pozitív féltengelyen fekszik). Így a szám trigonometrikus formában:.

A fordított ellenőrzési művelet olyan egyértelmű, mint a nap:

2) Ábrázoljuk a számot trigonometrikus formában. Keressük meg a modulusát és az argumentumát. Ez nyilvánvaló. Formális számítás a következő képlettel:. Nyilvánvalóan (vagy 90 fokban). A rajzon a sarok piros színnel van jelölve. Tehát a szám trigonometrikus formában: .

Használata , könnyen visszaadható a szám algebrai alakja (egyidejűleg ellenőrzéssel):

3) Ábrázoljuk a számot trigonometrikus formában. Keressük meg a modulját és

érv. Nyilvánvaló, hogy. Formális számítás a képlet segítségével:

Nyilvánvalóan (vagy 180 fokban). A rajzon a sarok kék színnel van jelölve. Így a szám trigonometrikus formában:.

Vizsgálat:

4) És a negyedik érdekes eset. Ez nyilvánvaló. Formális számítás a következő képlettel:.

Az argumentum kétféleképpen írható fel: Első mód: (270 fok), és ennek megfelelően: . Vizsgálat:

A következő szabály azonban szabványosabb: Ha a szög nagyobb 180 foknál, akkor mínuszjellel és a szög ellentétes irányával („görgetéssel”) írjuk: (mínusz 90 fok), a rajzon a szöget zölddel jelöljük. Könnyű észrevenni

amely ugyanaz a szög.

Így a bejegyzés a következő formában jelenik meg:

Figyelem! Semmi esetre sem szabad a koszinusz paritását, a szinusz páratlanságát használni, és tovább „egyszerűsíteni” a jelölést:

Egyébként hasznos megjegyezni a trigonometrikus és inverz trigonometrikus függvények megjelenését és tulajdonságait, a referenciaanyagok az oldal utolsó bekezdéseiben találhatók. Az alapvető elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai. És a komplex számok sokkal könnyebben megtanulhatók!

A legegyszerűbb példák kialakításánál a következőképpen kell írni: : "nyilvánvaló, hogy a modulus... nyilvánvaló, hogy az érv...". Ez valóban nyilvánvaló és szóban is könnyen megoldható.

Térjünk át a gyakoribb esetekre. A modullal nincs probléma, mindig a képletet kell használni. De az argumentum megtalálásának képlete más lesz, attól függ, hogy melyik koordinátanegyedben található a szám. Ebben az esetben három lehetőség lehetséges (célszerű átírni):

1) Ha (1. és 4. koordinátanegyed, vagy jobb oldali félsík), akkor az argumentumot a képlet segítségével kell megtalálni.

2) Ha (2. koordinátanegyed), akkor az argumentumot a képlet segítségével kell megtalálni .

3) Ha (3. koordinátanegyed), akkor az argumentumot a képlet segítségével kell megtalálni .

8. példa

A komplex számok ábrázolása trigonometrikus formában: ,,,.

Mivel vannak kész képletek, nem szükséges a rajzot befejezni. De van egy pont: amikor megkérik, hogy egy számot trigonometrikus formában ábrázoljon, akkor Mindenesetre jobb a rajz elkészítése. Az a helyzet, hogy a rajz nélküli megoldást a tanárok gyakran elutasítják, a rajz hiánya komoly oka a mínusznak és a kudarcnak.

A számokat összetett formában mutatjuk be, az első és harmadik szám pedig önálló megoldást jelent.

A számot ábrázoljuk trigonometrikus formában. Keressük meg a modulusát és az argumentumát.

Mivel (2. eset), akkor

– itt kell kihasználni az arctangens furcsaságát. Sajnos a táblázat nem tartalmazza az értéket, így ilyen esetekben az argumentumot nehézkes formában kell hagyni: – számok trigonometrikus formában.

A számot ábrázoljuk trigonometrikus formában. Keressük meg a modulusát és az argumentumát.

Mivel (1. eset), akkor (mínusz 60 fok).

És így:

– egy szám trigonometrikus formában.

De itt vannak a hátrányok, mint már említettük ne érjen hozzá.

A szórakoztató grafikus ellenőrzési módszer mellett van egy analitikus ellenőrzés is, amelyet a 7. példában már elvégeztünk. trigonometrikus függvények értéktáblázata, miközben figyelembe kell venni, hogy a szög pontosan a táblázat szöge (vagy 300 fok): – számok az eredeti algebrai formában.

Mutassa be a számokat trigonometrikus formában! Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

A rész végén röviden a komplex számok exponenciális alakjáról.

Bármely komplex szám (nulla kivételével) felírható exponenciális formában:

Hol van egy komplex szám modulusa, és hol van a komplex szám argumentuma.

Mit kell tennie egy komplex szám exponenciális ábrázolásához? Majdnem ugyanaz: rajz végrehajtása, modul és argumentum keresése. És írja be a számot az űrlapba.

Például az előző példában szereplő számhoz megtaláltuk a modult és az argumentumot:,. Ekkor ez a szám exponenciális formában a következőképpen lesz írva:.

A szám exponenciális formában így fog kinézni:

Szám - Így:

Az egyetlen tanács az ne érintse meg a jelzőt kitevők, nem kell átrendezni a faktorokat, nyitni a zárójeleket stb. Egy komplex számot exponenciális formában írunk fel szigorúan forma szerint.

2.3. Komplex számok trigonometrikus alakja

Adjuk meg a vektort a komplex síkon a számmal.

Jelöljük φ-vel az Ox pozitív féltengely és a vektor közötti szöget (a φ szöget pozitívnak tekintjük, ha az óramutató járásával ellentétes irányban mérjük, ellenkező esetben negatívnak).

Jelöljük a vektor hosszát r-vel. Akkor . Azt is jelöljük

Nem nulla z komplex szám írása a formába

a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Az r számot a z komplex szám modulusának, a φ számot pedig ennek a komplex számnak az argumentumának nevezzük, és Arg z-vel jelöljük.

Komplex szám írásának trigonometrikus formája - (Euler-képlet) - komplex szám írásának exponenciális formája:

A z komplex számnak végtelen sok argumentuma van: ha φ0 a z szám bármely argumentuma, akkor az összes többi megtalálható a képlet segítségével.

Komplex szám esetén az argumentum és a trigonometrikus forma nincs megadva.

Így egy nem nulla komplex szám argumentuma az egyenletrendszer tetszőleges megoldása:

(3)

Egy z komplex szám argumentumának φ értékét, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket, főértéknek nevezzük, és arg z-vel jelöljük.

Az Arg z és arg z argumentumokat a következőképpen kapcsolja össze

, (4)

Az (5) képlet a (3) rendszer következménye, ezért egy komplex szám minden argumentuma kielégíti az (5) egyenlőséget, de nem minden φ megoldása az (5) egyenletnek a z szám argumentuma.

A nullától eltérő komplex szám argumentumának fő értékét a következő képletek szerint találjuk meg:

A komplex számok trigonometrikus formában történő szorzására és osztására szolgáló képletek a következők:

. (7)

Amikor egy komplex számot természetes hatványra emelünk, a Moivre-képletet használjuk:

A komplex szám gyökének kinyerésekor a következő képletet kell használni:

, (9)

ahol k=0, 1, 2, …, n-1.

54. feladat Számítsa ki, hol .

Mutassuk be ennek a kifejezésnek a megoldását egy komplex szám exponenciális felírásával: .

Ha akkor.

Akkor , . Ezért aztán És , Ahol .

Válasz: , nál nél .

55. feladat Írjon fel komplex számokat trigonometrikus formában:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; és) .

Mivel egy komplex szám trigonometrikus alakja , akkor:

a) Komplex számban: .

,

Ezért

b) , Ahol ,

G) , Ahol ,

e) .

és) , A , Azt .

Ezért

Válasz: ; 4; ; ; ; ; .

56. feladat Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!

.

hagyd, .

Akkor , , .

Mivel és , , majd , és

Ezért, ezért

Válasz: , Ahol .

57. feladat Egy komplex szám trigonometrikus alakjának felhasználásával hajtsa végre a következő műveleteket: .

Képzeljük el a számokat és trigonometrikus formában.

1), hol Akkor

Keresse meg a fő argumentum értékét:

Helyettesítsük be az értékeket és a kifejezésbe, megkapjuk

2) , ahol aztán

Akkor

3) Keressük meg a hányadost

Ha k=0, 1, 2, akkor a kívánt gyökér három különböző értékét kapjuk:

Ha akkor

ha akkor

ha akkor .

Válasz: :

:

: .

58. feladat Legyenek , , , különböző komplex számok és . Bizonyítsd

egy szám valódi pozitív szám;

b) az egyenlőség érvényesül:

a) ábrázoljuk ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában:

Mert .

Tegyünk úgy, mintha. Akkor

.

Az utolsó kifejezés egy pozitív szám, mivel a szinuszjelek az intervallumból származó számokat tartalmaznak.

szám óta valódi és pozitív. Valóban, ha a és b komplex számok, és valósak és nagyobbak nullánál, akkor .

Kívül,

tehát a megkívánt egyenlőség bebizonyosodott.

59. feladat Írja fel a számot algebrai formában! .

Ábrázoljuk a számot trigonometrikus formában, majd keressük meg algebrai alakját. Nekünk van . Mert megkapjuk a rendszert:

Ez egyenlőséget jelent: .

Moivre képletét alkalmazva: ,

kapunk

Megtaláljuk az adott szám trigonometrikus alakját.

Írjuk fel ezt a számot algebrai formában:

.

Válasz: .

60. feladat. Keresse meg a , , összeget

Nézzük az összeget

Moivre képletét alkalmazva azt találjuk

Ez az összeg a nevezővel rendelkező geometriai sorozat n tagjának összege és az első tag .

Egy ilyen progresszió tagösszegének képletét alkalmazva megkapjuk

Az utolsó kifejezésben a képzeletbeli részt elkülönítve azt találjuk

A valós részt elkülönítve a következő képletet is megkapjuk: , , .

61. feladat Keresse meg az összeget:

A) ; b) .

A Newton-féle hatványozási képlet szerint megvan

Moivre képletével a következőket kapjuk:

Az eredményül kapott kifejezések valós és képzetes részeit egyenlővé téve a következővel:

És .

Ezeket a képleteket a következőképpen írhatjuk fel kompakt formában:

,

, ahol az a szám egész része.

62. feladat Keresse meg mindazt, amelyre .

Mert a , majd a képlet segítségével

, A gyökerek kinyeréséhez kapunk ,

Ennélfogva, , ,

, .

A számoknak megfelelő pontok egy 2 sugarú körbe írt négyzet csúcsaiban helyezkednek el, amelynek középpontja a (0;0) pontban van (30. ábra).

Válasz: , ,

, .

63. feladat Oldja meg az egyenletet! , .

Feltétel szerint ; ezért ennek az egyenletnek nincs gyöke, ezért ekvivalens az egyenlettel.

Ahhoz, hogy a z szám legyen ennek az egyenletnek a gyöke, a számnak az 1 szám n-edik gyökének kell lennie.

Ebből arra következtethetünk, hogy az eredeti egyenletnek az egyenlőségekből meghatározott gyökei vannak

,

És így,

,

azaz ,

Válasz: .

64. feladat Oldja meg az egyenletet a komplex számok halmazában!

Mivel a szám nem a gyöke ennek az egyenletnek, ezért ez az egyenlet ekvivalens az egyenlettel

Vagyis az egyenlet.

Ennek az egyenletnek az összes gyöke a képletből adódik (lásd a 62. feladatot):

; ; ; ; .

65. feladat Rajzoljunk a komplex síkra egy olyan ponthalmazt, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket: . (A 45. feladat megoldásának második módja)

Hadd .

Az azonos modulú komplex számok az origó középpontú körön fekvő sík pontjainak felelnek meg, ezért az egyenlőtlenség kielégíti az origóban közös középpontú körök által határolt nyitott gyűrű minden pontját és sugarát és (31. ábra). A komplex sík valamely pontja feleljen meg a w0 számnak. Szám , egy modulja többszörösen kisebb, mint a w0 modul, és egy argumentuma nagyobb, mint a w0. Geometriai szempontból a w1-nek megfelelő pont az origó középpontjával és az együtthatóval rendelkező homotétiával, valamint az origóhoz képest az óramutató járásával ellentétes szöggel történő elforgatással érhető el. Ha ezt a két transzformációt alkalmazzuk a gyűrű pontjaira (31. ábra), az utóbbi egy azonos középpontú, 1 és 2 sugarú körök által határolt gyűrűvé alakul (32. ábra).

Átalakítás vektorba történő párhuzamos átvitellel valósítják meg. A pontban lévő középpontú gyűrűt áthelyezve a jelzett vektorba, akkora gyűrűt kapunk a pont középpontjával (22. ábra).

A javasolt módszer, amely egy sík geometriai transzformációinak ötletét használja, valószínűleg kevésbé kényelmes leírni, de nagyon elegáns és hatékony.

66. feladat Keresse meg, ha .

Hagyjuk , majd és . A kezdeti egyenlőség formát ölt . Két komplex szám egyenlőségének feltételéből kapjuk, , amelyből , . És így, .

Írjuk fel a z számot trigonometrikus alakban:

, Ahol , . Moivre képlete szerint azt találjuk, hogy .

Válasz: 64.

67. feladat. Egy komplex számhoz keresse meg az összes olyan komplex számot, amelyre , és .

A számot ábrázoljuk trigonometrikus formában:

. Innen, . A kapott számhoz egyenlő lehet vagy .

Az első esetben , a másodikban

.

Válasz: , .

68. feladat Keresse meg az olyan számok összegét, amelyek . Kérjük, adja meg az egyik számot.

Megjegyzendő, hogy már a probléma megfogalmazásából is érthető, hogy az egyenlet gyökeinek összege a gyökök kiszámítása nélkül is megtalálható. Valóban, az egyenlet gyökeinek összege az együttható -re, ellentétes előjellel (általánosított Vieta tétele), azaz.

A diákok, az iskolai dokumentáció, következtetéseket von le a fogalom elsajátításának mértékéről. Foglalja össze a matematikai gondolkodás sajátosságainak vizsgálatát és a komplex szám fogalmának kialakulásának folyamatát! A módszerek leírása. Diagnosztika: I. szakasz. A beszélgetést matematikatanárral folytattuk, aki 10. osztályban algebrát és geometriát tanít. A beszélgetés az elejétől egy kis idő elteltével zajlott...

Rezonancia" (!)), amely magában foglalja a saját viselkedés értékelését is. 4. A helyzet megértésének kritikai értékelése (kétségek). 5. Végül a jogpszichológiai ajánlások felhasználása (az ügyvéd figyelembe veszi a pszichológiai az elvégzett szakmai cselekvések szempontjai - szakmai pszichológiai felkészültség). Tekintsük most a jogi tények pszichológiai elemzését...

A trigonometrikus helyettesítés matematikája és a kidolgozott tanítási módszertan hatékonyságának tesztelése. A munka szakaszai: 1. Fakultatív tantárgy kidolgozása a következő témában: „Trigonometrikus helyettesítés alkalmazása algebrai feladatok megoldására” emelt szintű matematika osztályos tanulókkal. 2. A kidolgozott szabadon választható tantárgy lebonyolítása. 3. Diagnosztikai vizsgálat elvégzése...

A kognitív feladatok csak a meglévő oktatási segédanyagok kiegészítésére szolgálnak, és megfelelő kombinációban kell lenniük az oktatási folyamat minden hagyományos eszközével és elemével. A bölcsészettudományi oktatás oktatási és az egzakt, a matematikai feladatok között mindössze annyi a különbség, hogy a történeti feladatokban nincsenek képletek, szigorú algoritmusok stb., ami megnehezíti a megoldást. ...

Algebrai formában írt komplex számok műveletei

Egy komplex szám algebrai alakja z =(a,b).az alak algebrai kifejezésének nevezzük

z = a + kettős.

Aritmetikai műveletek komplex számokkal z 1 = a 1 +b 1 énÉs z 2 = a 2 +b 2 én, amelyeket algebrai formában írunk, a következőképpen hajtjuk végre.

1. Komplex számok összege (különbsége).

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

azok. az összeadás (kivonás) a hasonló tagok redukciójával járó polinomok összeadási szabálya szerint történik.

2. Komplex számok szorzata

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

azok. a szorzás a polinomok szorzására vonatkozó szokásos szabály szerint történik, figyelembe véve azt a tényt, hogy én 2 = 1.

3. Két komplex szám felosztása a következő szabály szerint történik:

, (z 2 ≠ 0),

azok. az osztást úgy hajtjuk végre, hogy az osztót és az osztót megszorozzuk az osztó konjugált számával.

A komplex számok hatványozását a következőképpen határozzuk meg:

Ezt könnyű megmutatni

Példák.

1. Keresse meg a komplex számok összegét! z 1 = 2 – énÉs z 2 = – 4 + 3én.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3én) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) én = –2+2én.

2. Keresse meg a komplex számok szorzatát! z 1 = 2 – 3énÉs z 2 = –4 + 5én.

= (2 – 3én) ∙ (–4 + 5én) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3én)+ 2∙5én– 3i∙ 5i = 7+22én.

3. Keresse meg a hányadost! z felosztásból z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – én.

z = .

4. Oldja meg az egyenletet: , xÉs y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3én.

A komplex számok egyenlősége miatt a következőket kapjuk:

ahol x =–1 , y= 4.

5. Számolja ki: én 2 ,én 3 ,én 4 ,én 5 ,én 6 ,én -1 , i -2 .

6. Számítsa ki, ha .

.

7. Számítsa ki egy szám reciprokát! z=3-én.

Komplex számok trigonometrikus formában

Komplex sík síknak nevezzük derékszögű koordinátákkal ( x, y), ha minden pont koordinátákkal ( a, b) komplex számhoz van társítva z = a + bi. Ebben az esetben az abszcissza tengelyt ún valódi tengely, és az ordináta tengelye az képzeletbeli. Aztán minden komplex szám a+bi geometriailag síkon pontként ábrázolva A (a, b) vagy vektor.

Ezért a pont helyzete A(és ezért egy komplex szám z) megadható a | vektor hosszával | = rés szög j, amelyet a | vektor alkot | a valós tengely pozitív irányával. A vektor hosszát ún komplex szám modulusaés |-vel jelöljük z |=r, és a szög j hívott komplex szám argumentumés ki van jelölve j = arg z.

Egyértelmű, hogy | z| ³ 0 és | z | = 0 Û z = 0.

ábrából 2 egyértelmű, hogy .

Egy komplex szám argumentumát kétértelműen, de 2-es pontossággal határozzuk meg pk, kÎ Z.

ábrából 2 az is világos, hogy ha z=a+biÉs j=arg z, Hogy

kötözősaláta j =,bűn j =, tg j = .

Ha zÎRÉs z> 0, akkor arg z = 0 +2pk;

Ha z ОRÉs z< 0, akkor arg z = p + 2pk;

Ha z = 0,arg z meghatározatlan.

Az argumentum fő értékét a 0 intervallum határozza meg £ arg z 2 GBP p,

vagy -o£ arg z £ p.

Példák:

1. Határozza meg a komplex számok modulusát! z 1 = 4 – 3énÉs z 2 = –2–2én.

2. Határozzon meg területeket a feltételek által meghatározott komplex síkon:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+én) | 3 GBP; 4) £6 | z – én| 7 GBP.

Megoldások és válaszok:

1) | z| = 5 Û Û - egy 5-ös sugarú kör egyenlete, amelynek középpontja az origóban van.

2) 6 sugarú kör, amelynek középpontja az origóban van.

3) 3. sugarú kör középpontjával z 0 = 2 + én.

4) 6 és 7 sugarú körök által határolt gyűrű, amelynek középpontja egy pontban van z 0 = én.

3. Keresse meg a következő számok modulusát és argumentumát: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2én; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Tipp: A fő argumentum meghatározásakor használja a komplex síkot.

És így: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .