Ha egy adott számot hatványra kell emelnie, használhatja a . Most közelebbről megvizsgáljuk fokok tulajdonságai.

Exponenciális számok nagy lehetőségeket nyitnak meg, lehetővé teszik, hogy a szorzást összeadássá alakítsuk, és az összeadás sokkal könnyebb, mint a szorzás.

Például meg kell szoroznunk 16-ot 64-gyel. E két szám szorzata 1024. De a 16 az 4x4, a 64 pedig a 4x4x4. Vagyis 16 x 64 = 4x4x4x4x4, ami szintén egyenlő 1024-gyel.

A 16-os szám 2x2x2x2-ként, a 64-es pedig 2x2x2x2x2x2-ként is ábrázolható, és ha szorozzuk, ismét 1024-et kapunk.

Most használjuk a szabályt. 16=4 2 vagy 2 4, 64=4 3 vagy 2 6, ugyanakkor 1024=6 4 =4 5 vagy 2 10.

Ezért a feladatunkat másképp is felírhatjuk: 4 2 x4 3 =4 5 vagy 2 4 x2 6 =2 10, és minden alkalommal 1024-et kapunk.

Számos hasonló példát meg tudunk oldani, és láthatjuk, hogy a számok hatványokkal való szorzása -ra redukálódik kitevők hozzáadásával, vagy exponenciális, természetesen feltéve, hogy a tényezők alapjai egyenlők.

Így a szorzás elvégzése nélkül azonnal azt mondhatjuk, hogy 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Ez a szabály a számok hatványokkal való osztásakor is igaz, de ebben az esetben az osztó kitevőjét levonjuk az osztalék kitevőjéből. Így 2 5:2 3 = 2 2, ami közönséges számokban egyenlő 32:8 = 4, azaz 2 2. Összefoglaljuk:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, ahol m és n egész számok.

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez az számok hatványokkal való szorzása és osztása nem túl kényelmes, mert először exponenciális formában kell ábrázolnia a számot. Nem nehéz a 8-as és 16-os számokat, azaz a 2 3-at és a 2 4-et ebben a formában ábrázolni, de hogyan lehet ezt megtenni a 7-es és 17-es számokkal? Vagy mit kell tenni olyan esetekben, amikor egy szám exponenciális formában ábrázolható, de a számok exponenciális kifejezéseinek alapjai nagyon eltérőek. Például 8x9 2 3 x 3 2, ebben az esetben nem tudjuk összeadni a kitevőket. Sem 2 5, sem 3 5 nem a válasz, és nem is a két szám közötti intervallumban rejlik a válasz.

Akkor érdemes egyáltalán ezzel a módszerrel vesződni? Mindenképpen megéri. Óriási előnyökkel jár, különösen bonyolult és időigényes számítások esetén.

Kifejezések, kifejezéskonverzió

Hatványkifejezések (hatványos kifejezések) és átalakításuk

Ebben a cikkben a kifejezések hatványokkal történő konvertálásáról fogunk beszélni. Először is azokra az átalakításokra fogunk összpontosítani, amelyeket bármilyen kifejezéssel hajtanak végre, beleértve az erőkifejezéseket is, mint például a zárójelek megnyitása és a hasonló kifejezések hozása. Ezután elemezzük a kifejezetten a fokszámú kifejezésekben rejlő transzformációkat: az alappal és a kitevővel való munka, a fokok tulajdonságainak felhasználása stb.

Oldalnavigáció.

Mik azok a hatalom kifejezései?

A „hatalmi kifejezések” kifejezés az iskolai matematika tankönyvekben gyakorlatilag nem jelenik meg, de a feladatgyűjteményekben igen gyakran előfordul, különösen azokban, amelyek például az egységes államvizsgára és az egységes államvizsgára való felkészülést szolgálják. Azokat a feladatokat elemezve, amelyekben erőkifejezésekkel kell műveleteket végrehajtani, világossá válik, hogy a hatalomkifejezések olyan kifejezések alatt értendők, amelyek bejegyzéseikben hatalmat tartalmaznak. Ezért elfogadhatja magának a következő definíciót:

Meghatározás.

Hatalom kifejezések fokokat tartalmazó kifejezések.

Adjunk példák a hatalom kifejezéseire. Sőt, aszerint is bemutatjuk őket, hogy hogyan történik a nézetek fejlődése a természetes kitevős fokról a valós kitevős fokra.

Mint ismeretes, először egy természetes kitevős szám hatványával ismerkedünk meg, ebben a szakaszban a 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) típusú első legegyszerűbb hatványkifejezések. 4, 3 a 2 jelenik meg −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 stb.

Kicsit később egy egész kitevőjű szám hatványát tanulmányozzuk, ami negatív egész hatványú hatványkifejezések megjelenéséhez vezet, például: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

A középiskolában visszatérnek a diplomához. Ott egy racionális kitevővel rendelkező fokozat kerül bevezetésre, ami a megfelelő hatványkifejezések megjelenését vonja maga után: , , stb. Végül az irracionális kitevővel rendelkező fokokat és az ezeket tartalmazó kifejezéseket tekintjük: , .

A dolog nem korlátozódik a felsorolt ​​hatványkifejezésekre: tovább hatol a változó a kitevőbe, és például a következő kifejezések keletkeznek: 2 x 2 +1 ill. . És miután megismerkedtünk a -val, megjelennek a hatványokkal és logaritmusokkal rendelkező kifejezések, például x 2·lgx −5·x lgx.

Tehát foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy mit jelentenek a hatalom kifejezései. Ezután megtanuljuk átalakítani őket.

A hatványkifejezések transzformációinak főbb típusai

A hatványkifejezésekkel elvégezheti a kifejezések bármely alapvető azonosság-transzformációját. Például megnyithat zárójeleket, lecserélheti a numerikus kifejezéseket azok értékére, hozzáadhat hasonló kifejezéseket stb. Természetesen ebben az esetben a műveletek végrehajtására vonatkozó elfogadott eljárást kell követni. Mondjunk példákat.

Példa.

Számítsa ki a 2 3 ·(4 2 −12) hatványkifejezés értékét!

Megoldás.

A műveletek végrehajtási sorrendjének megfelelően először hajtsa végre a zárójelben lévő műveleteket. Ott először a 4 2 hatványt 16-os értékére cseréljük (ha szükséges, lásd), másodszor pedig kiszámítjuk a 16−12=4 különbséget. Nekünk van 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4.

A kapott kifejezésben a 2 3 hatványt 8-as értékére cseréljük, ami után kiszámítjuk a 8·4=32 szorzatot. Ez a kívánt érték.

Így, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Válasz:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Példa.

Leegyszerűsítse a kifejezéseket erőkkel 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy ez a kifejezés hasonló 3·a 4 ·b −7 és 2·a 4 ·b −7 kifejezéseket tartalmaz, és bemutathatjuk őket: .

Válasz:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Példa.

Fejezzen ki egy kifejezést hatványokkal szorzatként.

Megoldás.

Megbirkózhat a feladattal, ha a 9-es számot 3 2 hatványaként ábrázolja, majd a rövidített szorzás - négyzetkülönbség képletét használja:

Válasz:

Számos azonos transzformáció is létezik, amelyek kifejezetten az erőkifejezésekben rejlenek. Ezeket tovább elemezzük.

Munka bázissal és kitevővel

Vannak fokok, amelyek bázisa és/vagy kitevője nem csak számok vagy változók, hanem bizonyos kifejezések. Példaként adjuk meg a (2+0.3·7) 5−3.7 és az (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) bejegyzéseket.

Amikor ilyen kifejezésekkel dolgozik, mind a fokalapban, mind a kitevőben lévő kifejezést lecserélheti egy azonos kifejezésre a változóinak ODZ-jében. Vagyis az általunk ismert szabályok szerint külön transzformálhatjuk a fokszám alapját és külön a kitevőt. Nyilvánvaló, hogy ennek az átalakításnak az eredményeként egy olyan kifejezést kapunk, amely megegyezik az eredetivel.

Az ilyen átalakítások lehetővé teszik számunkra, hogy egyszerűsítsük a kifejezéseket, vagy más célokat érjünk el, amelyekre szükségünk van. Például a fent említett hatványkifejezésben (2+0,3 7) 5-3,7 az alapban és a kitevőben lévő számokkal hajthatunk végre műveleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy a 4,1 1,3 hatványra lépjünk. És miután kinyitjuk a zárójeleket és hasonló tagokat hozunk az (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) fok alapjába, egy egyszerűbb formájú a 2·(x+) hatványkifejezést kapunk. 1) .

A fokozat tulajdonságainak használata

A kifejezések hatványokkal történő átalakításának egyik fő eszköze a tükröző egyenlőségek. Emlékezzünk a főbbekre. Bármilyen pozitív a és b számra, valamint tetszőleges r és s valós számokra a hatványok következő tulajdonságai igazak:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a · b) r =a r · b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Vegye figyelembe, hogy természetes, egész és pozitív kitevők esetén az a és b számokra vonatkozó korlátozások nem feltétlenül olyan szigorúak. Például m és n természetes számokra az a m ·a n =a m+n egyenlőség nemcsak pozitív a-ra, hanem negatív a-ra is igaz, és a=0-ra is.

Az iskolában az erőkifejezések átalakításakor a fő hangsúly a megfelelő tulajdonság kiválasztásának és helyes alkalmazásának képességén van. Ebben az esetben a fokok alapjai általában pozitívak, ami lehetővé teszi a fokok tulajdonságainak korlátozás nélküli használatát. Ugyanez vonatkozik a hatványok alapjaiban változókat tartalmazó kifejezések transzformációjára is - a változók megengedett értékeinek tartománya általában olyan, hogy az alapok csak pozitív értékeket vesznek fel rajta, ami lehetővé teszi a hatványok tulajdonságainak szabad használatát . Általában állandóan fel kell kérdezni magától, hogy ebben az esetben használható-e a fokozatok bármely tulajdonsága, mert a tulajdonságok pontatlan használata az oktatási érték beszűküléséhez és egyéb problémákhoz vezethet. Ezeket a pontokat részletesen és példákkal tárgyaljuk a kifejezések transzformációja a hatványok tulajdonságaival című cikkben. Itt néhány egyszerű példára szorítkozunk.

Példa.

Fejezzük ki az a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kifejezést a bázisú hatványként.

Megoldás.

Először a második tényezőt (a 2) −3 alakítjuk át a hatvány hatványra emelésének tulajdonságával: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Az eredeti hatványkifejezés a 2.5 ·a −6:a −5.5 formában lesz. Nyilvánvalóan hátra van, hogy a szorzás és a hatalommegosztás tulajdonságait ugyanazzal az alappal használjuk
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Válasz:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

A hatványok tulajdonságai a hatványkifejezések átalakításakor balról jobbra és jobbról balra egyaránt használatosak.

Példa.

Keresse meg a hatványkifejezés értékét!

Megoldás.

Az (a·b) r =a r ·b r egyenlőség jobbról balra alkalmazva lehetővé teszi, hogy az eredeti kifejezésről a forma szorzatára és tovább lépjünk. És ha a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal szorozzuk, a kitevők összeadódnak: .

Az eredeti kifejezést más módon is át lehetett alakítani:

Válasz:

.

Példa.

Adott az a 1,5 −a 0,5 −6 hatványkifejezés, vezessen be egy új változót, t=a 0,5.

Megoldás.

Az a 1,5 fokot 0,5 3-ként ábrázolhatjuk, majd a fok (a r) s =a r s fokra vonatkozó tulajdonsága alapján, jobbról balra alkalmazva, transzformáljuk (a 0,5) 3 alakra. És így, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Most már könnyű bevezetni egy új változót, t=a 0,5, így kapjuk a t 3 −t−6.

Válasz:

t 3 −t−6 .

Hatványokat tartalmazó törtek konvertálása

A hatványkifejezések tartalmazhatnak vagy képviselhetnek hatványokkal rendelkező törteket. A törtek bármely alapvető transzformációja, amely bármilyen típusú törtben rejlik, teljes mértékben alkalmazható az ilyen törtekre. Vagyis a hatványokat tartalmazó törtek redukálhatók, új nevezőre redukálhatók, a számlálójukkal külön-külön, a nevezővel külön dolgozhatók stb. Ezeknek a szavaknak a szemléltetésére vegye figyelembe a megoldásokat több példára.

Példa.

Egyszerűsítse a hatalom kifejezését .

Megoldás.

Ez a hatványkifejezés egy töredék. Dolgozzunk a számlálójával és a nevezőjével. A számlálóban megnyitjuk a zárójeleket, és a hatványok tulajdonságaival egyszerűsítjük a kapott kifejezést, a nevezőben pedig hasonló kifejezéseket adunk meg:

És változtassuk meg a nevező előjelét is úgy, hogy a tört elé mínuszt teszünk: .

Válasz:

.

A hatványokat tartalmazó törtek új nevezőre redukálása a racionális törtek új nevezőre való redukálásához hasonlóan történik. Ebben az esetben egy további tényezőt is találunk, és a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk vele. Ennek a műveletnek a végrehajtásakor érdemes megjegyezni, hogy az új nevezőre való redukálás a VA szűküléséhez vezethet. Ennek elkerülése érdekében szükséges, hogy a kiegészítő tényező ne menjen nullára az eredeti kifejezés ODZ-változóiból származó változók egyetlen értékénél sem.

Példa.

Csökkentse a törteket új nevezőre: a) a nevezőre, b) a nevezőhöz.

Megoldás.

a) Ebben az esetben meglehetősen könnyű kitalálni, hogy melyik további szorzó segít elérni a kívánt eredményt. Ez egy 0,3 szorzója, mivel a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Vegye figyelembe, hogy az a változó megengedett értékeinek tartományában (ez az összes pozitív valós szám halmaza) a 0,3 hatványa nem tűnik el, ezért jogunk van egy adott számlálóját és nevezőjét megszorozni. töredék ezzel a kiegészítő tényezővel:

b) Ha közelebbről megvizsgáljuk a nevezőt, akkor azt találjuk

és ezt a kifejezést megszorozva a kocka és , azaz . És ez az új nevező, amelyre csökkentenünk kell az eredeti törtet.

Így találtunk egy további tényezőt. Az x és y változók elfogadható értékeinek tartományában a kifejezés nem tűnik el, ezért a tört számlálóját és nevezőjét megszorozhatjuk vele:

Válasz:

A) , b) .

A hatványokat tartalmazó törtek redukálásában sincs semmi újdonság: a számlálót és a nevezőt több tényezőként ábrázoljuk, a számláló és a nevező azonos tényezőit pedig redukáljuk.

Példa.

Csökkentse a törtet: a) , b) .

Megoldás.

a) Először is, a számláló és a nevező csökkenthető a 30 és 45 számokkal, ami egyenlő 15-tel. Nyilvánvalóan lehetséges az x 0,5 +1-gyel és -kal való kicsinyítés is . Íme, amink van:

b) Ebben az esetben a számlálóban és a nevezőben azonos tényezők nem láthatók azonnal. Megszerzésükhöz előzetes átalakításokat kell végrehajtania. Ebben az esetben a nevező faktorálásából áll a négyzetek különbségi képletével:

Válasz:

A)

b) .

A törtek új nevezőre való konvertálása és a törtek redukálása főként törtekkel való műveletekre szolgál. A műveleteket az ismert szabályok szerint hajtják végre. A törtek összeadásánál (kivonásánál) közös nevezőre redukálódnak, majd a számlálókat összeadják (kivonják), de a nevező változatlan marad. Az eredmény egy tört, amelynek a számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig a nevezők szorzata. A törttel való osztás az inverzével való szorzás.

Példa.

Kövesd a lépéseket .

Megoldás.

Először kivonjuk a zárójelben lévő törteket. Ehhez közös nevezőre hozzuk őket, ami az , ami után kivonjuk a számlálókat:

Most megszorozzuk a törteket:

Nyilvánvalóan lehetséges x 1/2 hatványával csökkenteni, ami után megvan .

A nevezőben a hatványkifejezést is egyszerűsítheti a négyzetek különbségi képletével: .

Válasz:

Példa.

Egyszerűsítse az erőkifejezést .

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy ez a tört (x 2,7 +1) 2-vel csökkenthető, ez adja a tört . Nyilvánvaló, hogy valami mást kell tenni X hatalmával. Ehhez a kapott frakciót szorzattá alakítjuk. Ez lehetőséget ad arra, hogy kihasználjuk a hatalmak azonos alapokon történő megosztásának tulajdonságát: . A folyamat végén pedig az utolsó szorzattól a töredékhez lépünk.

Válasz:

.

És tegyük hozzá azt is, hogy lehetséges és sok esetben kívánatos a negatív kitevővel rendelkező tényezők átvitele a számlálóból a nevezőbe vagy a nevezőből a számlálóba, a kitevő előjelét megváltoztatva. Az ilyen átalakítások gyakran leegyszerűsítik a további műveleteket. Például egy hatványkifejezés helyettesíthető a következővel.

Kifejezések konvertálása gyökökkel és hatványokkal

Azokban a kifejezésekben, amelyekben bizonyos transzformációk szükségesek, gyakran a törtkitevővel rendelkező gyökök is jelen vannak a hatványokkal együtt. Ahhoz, hogy egy ilyen kifejezést a kívánt formára alakítsunk, a legtöbb esetben elegendő csak a gyökerekhez vagy csak a hatványokhoz menni. De mivel kényelmesebb az erőkkel dolgozni, általában a gyökerektől a hatalmak felé haladnak. Célszerű azonban egy ilyen átmenetet végrehajtani, ha az eredeti kifejezés változóinak ODZ-je lehetővé teszi a gyökök hatványokkal való helyettesítését anélkül, hogy a modulra kellene hivatkozni, vagy az ODZ-t több intervallumra fel kellene osztani (ezt részletesen tárgyaltuk a cikk átmenet a gyökökről a hatványokra és vissza A racionális kitevős fokozat megismerése után bevezetjük az irracionális kitevős fokozatot, amely lehetővé teszi, hogy tetszőleges reálkitevős fokozatról beszéljünk.Ebben a szakaszban az iskola elkezdi a tanulmány exponenciális függvény, amelyet analitikusan egy hatvány ad meg, amelynek alapja egy szám, kitevője pedig változó. Tehát olyan hatványkifejezésekkel állunk szemben, amelyek a hatványalapban számokat, a kitevőben pedig változókat tartalmazó kifejezéseket tartalmaznak, és természetesen felmerül az igény az ilyen kifejezések transzformációinak végrehajtására.

El kell mondani, hogy a jelzett típusú kifejezések transzformációját általában a megoldáskor kell végrehajtani exponenciális egyenletekÉs exponenciális egyenlőtlenségek, és ezek az átalakítások meglehetősen egyszerűek. Az esetek túlnyomó többségében a fokozat tulajdonságain alapulnak, és többnyire egy új változó jövőbeni bevezetésére irányulnak. Az egyenlet lehetővé teszi ezek bemutatását 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Először is, a hatványokat, amelyek kitevőjében egy bizonyos változó (vagy változókkal rendelkező kifejezés) és egy szám összege szerepel, szorzatokkal helyettesítjük. Ez a bal oldalon lévő kifejezés első és utolsó tagjára vonatkozik:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Ezután az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk a 7 2 x kifejezéssel, amely az x változó ODZ-jén az eredeti egyenlethez csak pozitív értékeket vesz fel (ez egy szabványos technika az ilyen típusú egyenletek megoldására, nem most beszélünk róla, ezért összpontosítson a kifejezések későbbi átalakításaira erővel ):

Most törölhetjük a törteket hatványokkal, ami megadja .

Végül az azonos kitevőjű hatványok arányát relációk hatványai váltják fel, így az egyenlet , ami egyenértékű . Az elvégzett transzformációk lehetővé teszik egy új változó bevezetését, amely az eredeti exponenciális egyenlet megoldását egy másodfokú egyenlet megoldására redukálja

I. V. Bojkov, L. D. Romanova Feladatgyűjtemény az egységes államvizsgára való felkészüléshez. 1. rész. Penza 2003.

Miért van szükség diplomára?

Hol lesz rájuk szüksége?

Miért érdemes időt szánni a tanulmányozásukra?

Olvassa el ezt a cikket, hogy megtudjon MINDENT A FOKOZATOKRÓL.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz az egységes államvizsga sikeres letételéhez.

És felvételire álmai egyetemére!

Gyerünk... (Menjünk!)

ELSŐ SZINT

A hatványozás olyan matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent emberi nyelven fogok elmagyarázni, nagyon egyszerű példákon keresztül. Légy óvatos. A példák elemiek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindenkinek van két üveg kólája. Mennyi kóla van? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanaz a példa a kólával másképp is írható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben azt vették észre, hogy a nyolc embernek ugyanannyi kólásüvege van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Természetesen mindent megtehetsz lassabban, nehezebben és hibákkal is! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És még egy, szebb:

Milyen okos számolási trükköket találtak még ki a lusta matematikusok? Jobb - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek arra, hogy a kettőtől az ötödik hatványhoz... És fejben oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Csak annyit kell tennie ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványainak táblázatában. Hidd el, ettől sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják másodfokúnak? négyzet számok, a harmadik pedig - kocka? Mit jelent? Nagyon jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük a szám négyzetével vagy második hatványával.

Képzeljen el egy négyzet alakú medencét, amelynek mérete 1 méter x egy méter. A medence a dachánál van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De... a medencének nincs feneke! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence alsó részét.

Egyszerűen kiszámolhatja az ujjával, hogy a medence alja méterenkénti kockákból áll. Ha 1 méteres csempe van, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen lapokat? A csempe nagy valószínűséggel cm-ről cm-re lesz, és akkor kínozni fog az „ujjal számolva”. Akkor szorozni kell. Tehát a medence aljának egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét helyezünk. Szorozzuk meg, és kapunk csempéket ().

Észrevette, hogy a medencefenék területének meghatározásához ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával? Mit jelent? Mivel ugyanazt a számot szorozzuk, használhatjuk a „hatványozás” technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb, és kevesebb a számítási hiba is. Az egységes államvizsga esetében ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második hatvány lesz (). Vagy mondhatjuk, hogy harmincnégyzetes lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. valós példa

Íme egy feladat: számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másikon is. Számuk kiszámításához meg kell szorozni a nyolcat nyolccal, vagy... ha észreveszi, hogy a sakktábla egy olyan négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolc négyzetet írhat. Kapsz sejteket. () Így?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként köbméterben mérik. Nem várt, ugye?) Rajzolj egy medencét: az alja egy méter nagyságú és egy méter mély, és próbáld meg megszámolni, hány méteres méteres kocka lesz. belefér a medencédbe.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy... huszonkettő, huszonhárom... Hányat kaptál? Nem veszett el? Nehéz az ujjával számolni? Szóval ez! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal... Könnyebb, nem?

Most képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt is leegyszerűsítenék. Mindent egyetlen műveletre redukáltunk. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanaz a szám szorozódik önmagával... Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy kihasználhatja a diplomát. Tehát amit egyszer megszámoltál az ujjaddal, azt egy művelettel megcsinálják: három kocka egyenlő. Így van írva: .

Csak az marad emlékezz a foktáblázatra. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, továbbra is számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzhessünk arról, hogy a diplomákat felmondók és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, és nem azért, hogy problémákat okozzanak neked, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden keresett millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden milliód megduplázódik minden év elején. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és "ujjal számolsz", akkor nagyon szorgalmas ember vagy és... hülye. De nagy valószínűséggel pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kettő szorozva kettővel... a második évben - ami történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám szorozva van önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és az kapja meg ezeket a milliókat, aki a leggyorsabban tud számolni... Érdemes emlékezni a számok erejére, nem gondolod?

5. példa a valós életből

Van egy milliód. Minden év elején minden keresett millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű nem? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy év alatt? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, majd az eredményt egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatványhoz egyenlő egy millióval. Csak emlékezni kell arra, hogy a három-negyedik hatvány a vagy.

Most már tudod, hogy egy szám hatványra emelésével sokkal könnyebbé válik az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne keveredjen össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi az a kitevő? Nagyon egyszerű – ez a szám van a szám hatványának „tetején”. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen végzettségi alap? Még egyszerűbb - ez a szám az alján található.

Íme egy rajz a jó mérethez.

Nos, általánosságban, az általánosítás és a jobb emlékezet érdekében... A „ ” bázissal és „ ” kitevővel rendelkező fokot „fokozatnak” kell olvasni, és a következőképpen írjuk:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi az természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok felsorolásakor használunk: egy, kettő, három... Amikor objektumokat számolunk, nem mondjuk: „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad”, vagy „nulla pont öt”. Ezek nem természetes számok. Szerinted milyen számok ezek?

Az olyan számok, mint a „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét” utalnak egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes (vagyis mínuszjellel vett) számokat és a számokat. A nullát könnyű megérteni – ez az, amikor nincs semmi. Mit jelentenek a negatív („mínusz”) számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális szám. Hogyan keletkeztek, mit gondolsz? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nem rendelkeznek természetes számokkal a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok... Érdekes, nem?

Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden, ez egy végtelen tizedes tört. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Összegzés:

Határozzuk meg egy olyan fok fogalmát, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése azt jelenti, hogy megszorozzuk önmagával:
3. Egy szám kockára bontása azt jelenti, hogy háromszorosára szorozzuk önmagával:

Meghatározás. Egy szám természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:
.

A fokozatok tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk: mi az És ?

A-prioritás:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: szorzót adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény szorzó.

De definíció szerint ez egy kitevős szám hatványa, vagyis: , amit bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen biztos ugyanazok az okok!
Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

csak az erők szorzatára!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

2. ennyi egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen:

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni?

De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

Hatáskörében természetes mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor működik.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

Egész a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a " " jellel felvetve) és a számot hívjuk.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Nézzünk most új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, tegyük fel magunknak a kérdést: miért van ez így?

Nézzünk egy bizonyos fokot egy alappal. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot vel, és ugyanazt kaptuk, mint volt - . Milyen számmal kell szorozni, hogy ne változzon semmi? Így van, tovább. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint bármely nulla hatványhoz tartozó szám, ennek is egyenlőnek kell lennie. Szóval mennyi igaz ebből? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most nem csak osztani nullával, hanem nulla hatványra emelni sem.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Ahhoz, hogy megértsük, mi a negatív hatvány, tegyük úgy, mint legutóbb: szorozzunk meg egy normál számot ugyanazzal a számmal egy negatív hatványra:

Innentől kezdve egyszerűen kifejezheti, hogy mit keres:

Most bővítsük ki az eredményül kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzunk meg egy szabályt:

Egy negatív hatványú szám ugyanannak a pozitív hatványú számnak a reciproka. De ugyanakkor Az alap nem lehet null:(mert nem lehet vele osztani).

Összefoglaljuk:

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák független megoldásokra:

Problémák elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de az egységes államvizsgán mindenre fel kell készülni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásaikat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan birkózik meg velük könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontoljuk meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: minden, ami törtként ábrázolható, ahol és egész számok, és.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok", vegye figyelembe a törtet:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzünk a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th hatvány gyöke a hatványra emelés fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilvánvalóan ez a speciális eset bővíthető: .

Most hozzáadjuk a számlálót: mi az? A válasz könnyen megkapható a teljesítmény-teljesítmény szabály segítségével:

De lehet az alap bármilyen szám? Hiszen a gyökér nem vonható ki minden számból.

Egyik sem!

Ne feledje a szabályt: minden páros hatványra emelt szám pozitív szám. Vagyis a negatív számokból még gyököket sem lehet kinyerni!

Ez azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukálható törtek formájában is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, de ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor leírhatod. De ha másképp írjuk fel a mutatót, akkor megint bajba kerülünk: (vagyis egészen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében megfontoljuk csak pozitív alapkitevő tört kitevővel.

Tehát, ha:

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A racionális kitevők nagyon hasznosak a gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most jön a legnehezebb rész. Most kitaláljuk fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonsága itt pontosan ugyanaz, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, kivéve a kivételt

Hiszen definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel.

Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám;

...számot a nulladik hatványig- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám” , nevezetesen egy szám;

...negatív egész fokozat- mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg magával, hanem osztották.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY MENNI fog! (ha megtanulod megoldani az ilyen példákat :))

Például:

Döntsd el magad:

Megoldások elemzése:

1. Kezdjük a hatvány hatványra emelésének szokásos szabályával:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — fokozatalap;
• - kitevő.

Fok természetes indikátorral (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Fok egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

Építkezés a nulla fokig:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az negatív egész szám szám:

(mert nem lehet vele osztani).

Még egyszer a nullákról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Hatvány racionális kitevővel

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A fokozatok tulajdonságai

A problémamegoldás megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

A-prioritás:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen ugyanazoknak az okoknak kell lenniük. Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak a hatványok szorzatára!

Semmi esetre sem írhat ilyet.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Csoportosítsuk át ezt a munkát a következőképpen:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen: !

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni? De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy milyennek kell lennie index fokon. De mi legyen az alap? Hatáskörében természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk (-vel), akkor - .

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. A következő egyszerű szabályokat lehet megfogalmazni:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszünk, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap nullánál kisebb. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és elosztjuk őket egymással, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt megvizsgálnánk az utolsó szabályt, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezéseket:

Megoldások :

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki és egyszerűsítsük a diploma fogalmát:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány betű van összesen? alkalommal szorzókkal – mire emlékeztet ez? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: Ott csak szorzók voltak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokszámaira vonatkozó információk mellett a fokozatot irracionális kitevővel elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (azaz , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel. Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám; a nulla hatványhoz tartozó szám úgymond önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív kitevőjével - olyan, mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Ez inkább egy tisztán matematikai objektum, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk megszabadulni tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

A SZEKCIÓ ÖSSZEFOGLALÁSA ÉS AZ ALAPKÉPLETEK

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Hatvány racionális kitevővel

fok, amelynek kitevője a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

fok, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

A fokozatok tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST MEGVAN A SZÓ...

Hogy tetszik a cikk? Írd le kommentbe, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk a diplomatulajdonságok használatával kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

Az egységes államvizsga sikeres letételéért, költségvetésből főiskolára való felvételért, és ami a LEGFONTOSABB, egy életre.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - Vásároljon tankönyvet - 899 RUR

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

Ugyanolyan fokszámúak, de a fokok kitevői nem azonosak, 2² * 2³, akkor az eredmény a fok bázisa lesz a fokok szorzatának azonos bázisával, egyenlő kitevőre emelve az összes szorzott fok kitevőjének összegére.

2² * 2³ = 2²⁺3 = 2⁵ = 32

Ha a hatványok szorzatának a hatványalapja eltérő, és a kitevők azonosak, például 2³ * 5³, akkor az eredmény ezen hatványok alapjainak szorzata lesz, amelyet ugyanazzal a kitevővel egyenlő kitevőre emelünk. .

2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

Ha a szorozandó hatványok egyenlőek egymással, például 5³ * 5³, akkor az eredmény egy olyan hatvány lesz, amelynek alapja megegyezik ezekkel az azonos hatványbázisokkal, a hatványok kitevőjével egyenlő kitevőre emelve, megszorozva ezeknek az azonos hatványoknak a száma.

5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625

Vagy egy másik példa ugyanazzal az eredménnyel:

5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625

Források:

• Mi az a fok természetes kitevővel?
• erők terméke

Hatványos matematikai műveletek csak akkor hajthatók végre, ha a kitevők alapjai megegyeznek, és ha közöttük szorzó- vagy osztásjelek vannak. A kitevő alapja az a szám, amelyet hatványra emelünk.

Utasítás

Ha a számok oszthatók egymással (cm 1), akkor y (ebben a példában ez a 3) hatványként jelenik meg, amelyet a kitevők kivonásával alakítunk ki. Ezenkívül ezt a műveletet közvetlenül hajtják végre: a másodikat levonják az első mutatóból. Példa 1. Vezessük be: (a)b, ahol zárójelben – a az alap, a külső zárójelben – a kitevőben. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Ha a válasz negatív hatványú szám, akkor ezt a számot egy számmá alakítjuk közönséges tört, melynek számlálója egy , a nevezőben pedig az alap a különbségből kapott kitevővel, csak pozitív formában (plusz előjellel). 2. példa (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. A hatalmi ágak megosztása más formában is felírható, a tört jellel, és nem úgy, ahogy ebben a lépésben a „:” jellel jelezzük. Ez nem változtat a megoldás elvén, minden pontosan ugyanúgy történik, csak kettőspont helyett vízszintes (vagy ferde) törtjellel történik a bejegyzés 3. példa (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Ha azonos bázisokat szorozunk, amelyeknek fokozatai vannak, a fokozatok összeadódnak. 4. példa (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Ha a kitevők különböző előjelűek, akkor az összeadásukat a matematikai törvények szerint végezzük 5. példa (2 )1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Ha a kitevők alapjai eltérnek, akkor nagy valószínűséggel matematikai transzformációval azonos formára hozhatók. 6. példa Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a következő kifejezés értékét: (4)2: (2)3. Tudva, hogy a négyes szám ábrázolható két négyzetként, ezt a példát a következőképpen oldjuk meg: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Következő, amikor egy számot hatványra emelünk. Már diplomával a fokozati indexek megszorozódnak egymással: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .

Hasznos tanács

Ne feledje, ha egy adott bázis különbözik a második bázistól, keressen matematikai megoldást. Különböző számokat nem csak megadnak. Hacsak a szedő nem hibázott a tankönyvben.

A számírás hatványformátuma egy bázis önmagával való szorzásának műveletének rövidített formája. Az ezen az űrlapon bemutatott számmal ugyanazokat a műveleteket hajthatja végre, mint bármely más számmal, beleértve a hatványra emelését is. Például egy szám négyzetét tetszőleges hatványra emelheti, és az eredmény elérése a technológiai fejlettség jelenlegi szintjén nem jelent nehézséget.

Szükséged lesz

• Internet hozzáférés vagy Windows számológép.

Utasítás

Ha egy négyzetet hatványra szeretne emelni, használja a négyzet olyan hatványra emelésének általános szabályát, amelynek már van hatványkitevője. Ezzel a művelettel a mutatók megszorozódnak, de az alap ugyanaz marad. Ha az alapot x-nek jelöljük, a kezdeti és a kiegészítő mutatókat pedig a és b-vel, akkor ez a szabály általános formában a következőképpen írható fel: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

Hatványok összeadása és kivonása

Nyilvánvaló, hogy a hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan összeadhatók , jeleikkel egymás után hozzáadva.

Tehát a 3 és b 2 összege a 3 + b 2.
A 3 - b n és h 5 -d 4 összege a 3 - b n + h 5 - d 4.

Esély azonos változók egyenlő hatványaiösszeadható vagy kivonható.

Tehát 2a 2 és 3a 2 összege egyenlő 5a 2-vel.

Az is nyilvánvaló, hogy ha két a négyzetet vagy három a négyzetet vagy öt a négyzetet veszünk.

De fokok különféle változókÉs különféle fokozatok azonos változók, úgy kell összeállítani, hogy hozzá kell adni őket a jeleikkel.

Tehát egy 2 és egy 3 összege egy 2 + egy 3 összege.

Nyilvánvaló, hogy a négyzete és a kockája nem egyenlő a négyzetének kétszeresével, hanem a kockájának kétszeresével.

A 3 b n és 3a 5 b 6 összege a 3 b n + 3a 5 b 6.

Kivonás A jogosítványokat ugyanúgy hajtjuk végre, mint az összeadást, azzal a különbséggel, hogy a részrészek előjeleit ennek megfelelően módosítani kell.

Vagy:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 óra 2 b 6 — 4 óra 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Hatványok megsokszorozása

A hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan szorozhatók egymás után, szorzójellel vagy anélkül.

Így a 3-at b 2-vel megszorozva a 3 b 2 vagy aaabb lesz.

Vagy:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Az utolsó példában szereplő eredmény azonos változók hozzáadásával rendezhető.
A kifejezés a következő formában lesz: a 5 b 5 y 3.

Több szám (változó) hatványokkal való összehasonlításával láthatjuk, hogy ha bármelyik kettőt megszorozzuk, akkor az eredmény egy olyan szám (változó), amelynek hatványa egyenlő összeg kifejezések fokozatai.

Tehát a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Itt 5 a szorzási eredmény hatványa, amely egyenlő 2 + 3-mal, a tagok hatványainak összegével.

Tehát a n .a m = a m+n .

Egy n esetén a-t annyiszor veszik tényezőnek, mint n hatványát;

És egy m-t annyiszor veszünk tényezőnek, ahányszor m fok egyenlő;

Ezért, Az azonos bázisú hatványok a hatványok kitevőinek összeadásával szorozhatók.

Tehát a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . És x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vagy:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Szorozza meg (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Válasz: x 4 - y 4.
Szorozd meg (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ez a szabály azokra a számokra is igaz, amelyek kitevői negatív.

1. Tehát a -2 .a -3 = a -5 . Ezt így írhatjuk fel: (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ha a + b-t megszorozzuk a - b-vel, az eredmény a 2 - b 2 lesz:

Két szám összegének vagy különbségének szorzata megegyezik a számok négyzeteinek összegével vagy különbségével.

Ha megszorozza két szám összegét és különbségét, amelyre emelt négyzet, az eredmény egyenlő lesz ezeknek a számoknak az összegével vagy különbségével negyedik fokon.

Tehát (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

A fokozatok felosztása

A hatványokkal rendelkező számok más számokhoz hasonlóan oszthatók, az osztalékból levonva, vagy tört alakba helyezve.

Így a 3 b 2 osztva b 2-vel egyenlő egy 3-mal.

Ha 5-öt osztunk 3-mal, úgy néz ki, hogy $\frac $. De ez egyenlő 2-vel. Egy számsorozatban
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bármely szám osztható egy másikkal, és a kitevő egyenlő lesz különbség osztható számok mutatói.

Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk fel, akkor kitevőjüket levonjuk..

Tehát y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Azaz $\frac = y$.

És a n+1:a = a n+1-1 = a n . Azaz $\frac = a^n$.

Vagy:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

A szabály a -val rendelkező számokra is igaz negatív fokok értékei.
A -5 -3-mal való osztásának eredménye -2.
Továbbá $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:ó -1 = h 2+1 = h 3 vagy $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Nagyon jól kell elsajátítani a szorzást és a hatványosztást, mivel az ilyen műveleteket nagyon széles körben használják az algebrában.

Példák a hatványos számokat tartalmazó törtek példáinak megoldására

1. Csökkentse a kitevőket $\frac $ értékkel. Válasz: $\frac $.

2. Csökkentse a kitevőket $\frac$ értékkel. Válasz: $\frac$ vagy 2x.

3. Csökkentse az a 2 /a 3 és a -3 /a -4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
a 2 .a -4 egy -2 az első számláló.
a 3 .a -3 egy 0 = 1, a második számláló.
a 3 .a -4 egy -1 , a közös számláló.
Egyszerűsítés után: a -2 /a -1 és 1/a -1 .

4. Csökkentse a 2a 4 /5a 3 és 2 /a 4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
Válasz: 2a 3 /5a 7 és 5a 5 /5a 7 vagy 2a 3 /5a 2 és 5/5a 2.

5. Szorozzuk meg (a 3 + b)/b 4-et (a - b)/3-mal.

6. Szorozza meg (a 5 + 1)/x 2-t (b 2 - 1)/(x + a) értékkel.

7. Szorozzuk meg b 4 /a -2-t h -3 /x-el és a n /y -3-mal.

8. Ossz el egy 4 /y 3-at egy 3 /y 2-vel. Válasz: a/y.

A fokozat tulajdonságai

Emlékeztetjük, hogy ebben a leckében megértjük fokok tulajdonságai természetes mutatókkal és nullával. A racionális kitevőkkel rendelkező hatványokról és tulajdonságaikról a 8. osztályos órákon lesz szó.

A természetes kitevővel rendelkező hatványnak számos fontos tulajdonsága van, amelyek lehetővé teszik a számítások egyszerűsítését a hatványokkal rendelkező példákban.

1. számú ingatlan
Az erők szorzata

Ha a hatványokat azonos alapokkal szorozzuk, az alap változatlan marad, és a hatványok kitevői összeadódnak.

a m · a n = a m + n, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

A hatványok ezen tulajdonsága három vagy több hatvány szorzatára is érvényes.

• Egyszerűsítse a kifejezést.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Mutassa be diplomaként.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Mutassa be diplomaként.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Felhívjuk figyelmét, hogy a megadott tulajdonságban csak a hatványok azonos alapokon történő szorzásáról beszéltünk. Ezek kiegészítésére nem vonatkozik.

Az összeget (3 3 + 3 2) nem helyettesítheti 3 5-tel. Ez érthető, ha
számold ki (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 és 3 5 = 243

2. számú ingatlan
Részleges diplomák

Ha azonos bázisú hatványokat osztunk fel, az alap változatlan marad, és az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből.

• Írja fel a hányadost hatványként!
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Kiszámítja.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Példa. Oldja meg az egyenletet. A hányados hatványok tulajdonságát használjuk.
3 8: t = 3 4

Válasz: t = 3 4 = 81

Az 1. és 2. tulajdonság használatával egyszerűen leegyszerűsítheti a kifejezéseket és számításokat végezhet.

Példa. Egyszerűsítse a kifejezést.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Példa. Keresse meg egy kifejezés értékét a kitevők tulajdonságainak segítségével.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 2. tulajdonságban csak a hatáskörök azonos alapokon történő felosztásáról beszéltünk.

A különbséget (4 3 −4 2) nem helyettesítheti 4 1-gyel. Ez érthető, ha kiszámolja (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, és 4 1 = 4

3. számú ingatlan
Fokozat hatalommá emelése

Ha egy fokot hatványra emelünk, a fok alapja változatlan marad, és a kitevőket megszorozzuk.

(a n) m = a n · m, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

Emlékeztetünk arra, hogy a hányadost törtként is lehet ábrázolni. Ezért a következő oldalon részletesebben foglalkozunk a tört hatványra emelésének témájával.

Hogyan szorozzuk meg az erőket

Hogyan szorozzuk meg az erőket? Mely erők szaporíthatók és melyek nem? Hogyan szorozhatunk meg egy számot hatványával?

Az algebrában két esetben találhatunk hatványok szorzatát:

1) ha a fokozatok alapjai azonosak;

2) ha a fokok azonos mutatókkal rendelkeznek.

Ha a hatványokat azonos bázisokkal szorozzuk, az alapot ugyanaznak kell hagyni, és a kitevőket össze kell adni:

Ha a fokokat ugyanazokkal a mutatókkal szorozzuk, akkor a teljes mutató kivehető a zárójelekből:

Nézzük meg, hogyan szorozzuk meg a hatványokat konkrét példákon keresztül.

A mértékegységet nem a kitevőben írják, de a hatványok szorzásakor figyelembe veszik:

Szorzáskor tetszőleges számú hatvány lehet. Emlékeztetni kell arra, hogy a szorzójelet nem kell a betű elé írni:

A kifejezésekben először a hatványozás történik.

Ha meg kell szoroznia egy számot hatványokkal, először hajtsa végre a hatványozást, és csak azután a szorzást:

Hatványok szorzása azonos alapokkal

Ez az oktatóvideó előfizetéssel érhető el

Már van előfizetése? Bejönni

Ebben a leckében a hatványok hasonló bázisokkal való szorzását tanulmányozzuk. Először idézzük fel a fokozat definícióját, és fogalmazzunk meg egy tételt az egyenlőség érvényességéről . Ezután példákat adunk konkrét számokon való alkalmazására, és bebizonyítjuk. A tételt különféle problémák megoldására is alkalmazzuk.

Téma: Hatalom természetes kitevővel és tulajdonságai

Tanulság: Hatványok szorzása azonos alapokkal (képlet)

1. Alapvető definíciók

Alapvető definíciók:

n- kitevő,

— n egy szám hatványa.

2. Az 1. tétel állítása

1. tétel. Bármilyen számhoz Aés bármilyen természetes nÉs k az egyenlőség igaz:

Más szóval: ha A- bármilyen szám; nÉs k természetes számok, akkor:

Ezért az 1. szabály:

3. Magyarázó feladatok

Következtetés: speciális esetek igazolták az 1. tétel helyességét. Bizonyítsuk be általános esetben, vagyis bármelyikre Aés bármilyen természetes nÉs k.

4. Az 1. tétel bizonyítása

Adott egy szám A- Bármi; számok nÉs k – természetes. Bizonyít:

A bizonyítás a fokozat definícióján alapul.

5. Példák megoldása az 1. Tétel segítségével

1. példa: Gondolj rá diplomának.

A következő példák megoldásához az 1. tételt használjuk.

és)

6. Az 1. tétel általánosítása

Az itt használt általánosítás:

7. Példák megoldása az 1. Tétel általánosításával

8. Különféle feladatok megoldása az 1. Tétel segítségével

2. példa: Számolja ki (használhatja az alaphatványok táblázatát).

A) (táblázat szerint)

b)

3. példa:Írd hatványként 2-es bázissal.

A)

4. példa: Határozza meg a szám előjelét:

, A - negatív, mivel a -13-as kitevő páratlan.

5. példa: Cserélje ki (·) egy szám hatványát egy bázissal r:

Nekünk van, vagyis.

9. Összegzés

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. és mások Algebra 7. 6. kiadás. M.: Felvilágosodás. 2010

1. Iskolai asszisztens (Forrás).

1. Jelen, mint hatalom:

a B C D E)

3. Írja be hatványként 2-es bázissal:

4. Határozza meg a szám előjelét:

A)

5. Cserélje ki (·) egy szám hatványát egy bázissal r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Hatványok szorzása és felosztása azonos kitevőkkel

Ebben a leckében a hatványok egyenlő kitevővel való szorzását tanulmányozzuk. Először is emlékezzünk vissza a hatványok azonos bázisú szorzására és osztására, valamint a hatványok hatványokká emelésére vonatkozó alapvető definíciókra és tételekre. Ezután a hatványok szorzásáról és osztásáról szóló tételeket fogalmazunk meg és bizonyítunk ugyanazokkal a kitevőkkel. És akkor a segítségükkel számos tipikus problémát megoldunk.

Emlékeztető alapvető definíciókra és tételekre

Itt a- a végzettség alapja,

— n egy szám hatványa.

1. tétel. Bármilyen számhoz Aés bármilyen természetes nÉs k az egyenlőség igaz:

Ha a hatványokat azonos bázisokkal szorozzuk, a kitevők összeadódnak, az alap változatlan marad.

2. tétel. Bármilyen számhoz Aés bármilyen természetes nÉs k, oly módon, hogy n > k az egyenlőség igaz:

Ha a fokokat azonos alapokkal osztjuk, a kitevőket levonjuk, de az alap változatlan marad.

3. tétel. Bármilyen számhoz Aés bármilyen természetes nÉs k az egyenlőség igaz:

Az összes felsorolt ​​tétel azonos hatványokról szólt okokból, ebben a leckében ugyanazokkal a fokozatokkal fogunk nézni mutatók.

Példák hatványok szorzására azonos kitevőkkel

Tekintsük a következő példákat:

Írjuk fel a fokozat meghatározására szolgáló kifejezéseket!

Következtetés: A példákból látható, hogy , de ezt még bizonyítani kell. Fogalmazzuk meg a tételt és bizonyítsuk be általános esetben, azaz bármelyikre AÉs bés bármilyen természetes n.

A 4. tétel megfogalmazása és bizonyítása

Bármilyen számhoz AÉs bés bármilyen természetes n az egyenlőség igaz:

Bizonyíték 4. tétel .

A végzettség meghatározása szerint:

Tehát ezt bebizonyítottuk .

A hatványok azonos kitevőkkel való szorzásához elegendő az alapokat megszorozni, és a kitevőt változatlanul hagyni.

Az 5. tétel megfogalmazása és bizonyítása

Fogalmazzunk meg egy tételt a hatványok azonos kitevőjű osztására.

Bármilyen számhoz AÉs b() és bármilyen természetes n az egyenlőség igaz:

Bizonyíték 5. tétel .

Írjuk le a diploma definícióját:

Tételek megfogalmazása szavakban

Tehát ezt bebizonyítottuk.

Az azonos kitevővel rendelkező hatványok egymásra osztásához elegendő az egyik bázist a másikkal osztani, és a kitevőt változatlanul hagyni.

Tipikus problémák megoldása a 4. Tétel segítségével

1. példa: A hatalom termékeként jelenjen meg.

A következő példák megoldásához a 4. tételt használjuk.

A következő példa megoldásához idézzük fel a képleteket:

A 4. tétel általánosítása

A 4. tétel általánosítása:

Példák megoldása a 4. általánosított tétel használatával

A tipikus problémák megoldásának folytatása

2. példa:Írja be a szorzat hatványaként.

3. példa:Írd hatványként 2-es kitevővel.

Számítási példák

4. példa: Számoljon a legracionálisabb módon.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. és mások Algebra 7.M.: Felvilágosodás. 2006

2. Iskolai asszisztens (Forrás).

1. Hatványok szorzataként jelenítsük meg:

A) ; b) ; V) ; G) ;

2. Írja be a szorzat hatványaként:

3. Írja hatványként 2-es kitevővel:

4. Számoljon a legracionálisabb módon.

Matematika lecke a „Hatalmak szorzása és felosztása” témában

Szakaszok: Matematika

Pedagógiai cél:

a diák megtanulja megkülönböztetni a szorzás és a hatványosztás tulajdonságait természetes kitevőkkel; alkalmazza ezeket a tulajdonságokat ugyanazon alapok esetén;

a diáknak lehetősége lesz legyen képes különböző alapú fokozattranszformációt végrehajtani és tudjon transzformációt végrehajtani kombinált feladatokban.

Feladatok:

megszervezni a tanulók munkáját a korábban tanult anyagok ismétlésével;

biztosítsa a reprodukciós szintet különféle típusú gyakorlatok végrehajtásával;

megszervezni a tanulók önértékelésének ellenőrzését teszteléssel.

A tanítás tevékenységi egységei: fok meghatározása természetes jelzővel; fokozat összetevői; a magánélet meghatározása; szorzás kombinációs törvénye.

I. A tanulók meglévő tudásának elsajátításáról bemutató bemutató szervezése. (1. lépés)

a) Ismeretek frissítése:

2) Fogalmazza meg a fok definícióját természetes kitevővel!

a n =a a a a … a (n-szer)

b k =b b b b a… b (k-szer) Indokolja a választ!

II. A hallgató jelenlegi tapasztalataiban szerzett jártassági fokának önértékelésének megszervezése. (2. lépés)

Önellenőrzés: (egyéni munka két változatban.)

A1) Mutassa be a 7 7 7 7 x x x terméket teljesítményként:

A2) Jelenítse meg a hatványt (-3) 3 x 2 szorzatként

A3) Számítsa ki: -2 3 2 + 4 5 3

A tesztben szereplő feladatok számát az osztályszint előkészítésének megfelelően választom ki.

Átadom a kulcsot az önellenőrzés tesztjéhez. Feltételek: átment - nem igazolt.

III. Oktatási és gyakorlati feladat (3. lépés) + 4. lépés (a tanulók maguk fogalmazzák meg a tulajdonságokat)

számítsuk ki: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Leegyszerűsítve: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

Az 1) és 2) feladatok megoldása során a tanulók megoldást javasolnak, én pedig tanárként úgy szervezem az órát, hogy megtaláljuk a módját, hogyan lehet egyszerűsíteni a hatványokat az azonos alapokkal történő szorzásnál.

Tanár: találjon ki egy módot a képességek egyszerűsítésére, amikor ugyanazokkal az alapokkal szoroz.

Egy bejegyzés jelenik meg a klaszteren:

Az óra témája megfogalmazásra kerül. Hatványok szorzása.

Tanár: dolgozzon ki egy szabályt a hatalom azonos alapokon történő felosztására.

Indoklás: milyen művelettel ellenőrizzük az osztást? a 5: a 3 = ? hogy a 2 a 3 = a 5

Visszatérek a diagramhoz - egy klaszter és hozzáadom a bejegyzéshez - .. felosztáskor kivonjuk és hozzáadjuk a lecke témáját. ...és a fokozatok felosztása.

IV. A tudás határainak (minimum és maximum) kommunikálása a tanulókkal.

Tanár: a mai óra minimális feladata a szorzás és a hatványosztás tulajdonságainak azonos alapokon történő alkalmazásának megtanulása, a maximális pedig a szorzás és az osztás együttes alkalmazása.

A táblára írunk : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

V. Új anyag tanulmányozásának megszervezése. (5. lépés)

a) A tankönyv szerint: 403. szám (a, c, e) különböző megfogalmazású feladatok

404 (a, d, f) sz. önálló munkavégzés, majd közös ellenőrzést szervezek, kulcsokat átadom.

b) Milyen m értékre érvényes az egyenlőség? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Feladat: találj ki hasonló példákat a felosztásra.

c) 417. a) sz., 418. sz. Csapdák diákoknak: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.

VI. A tanultak összegzése, diagnosztikai munka elvégzése (ami nem a tanárt, hanem a diákokat ösztönzi a téma tanulmányozására) (6. lépés)

Diagnosztikai munka.

Teszt(tegyük a kulcsokat a tészta hátuljára).

Feladatlehetőségek: ábrázoljuk az x 15 hányadost hatványként: x 3; képviselje hatványként a (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 szorzatot; melyik m-re érvényes az a 16 a m = a 32 egyenlőség? keresse meg a h 0: h 2 kifejezés értékét h = 0,2-nél; számítsuk ki az (5 2 5 0) kifejezés értékét: 5 2 .

Óra összefoglalója. Visszaverődés. Az osztályt két csoportra osztom.

Keressen érveket az I. csoportban: a fokozat tulajdonságainak ismerete mellett, a II. csoportban pedig olyan érveket, amelyek azt mondják, hogy a tulajdonságok nélkül is megteheti. Minden választ meghallgatunk, és következtetéseket vonunk le. A következő leckéken kínálhat statisztikai adatokat, és felhívhatja a „Hihetetlen!” rubrikát.

Egy átlagos ember 32 10 2 kg uborkát eszik meg élete során.

A darázs 3,2 10 2 km-es megállás nélküli repülésre képes.

Az üveg megrepedésekor a repedés körülbelül 5 10 3 km/h sebességgel terjed.

Egy béka élete során több mint 3 tonna szúnyogot eszik meg. A fokozat használatával írd kg-ban.

A legtermékenyebbnek az óceáni halat tartják - a holdat (Mola mola), amely egy ívás során akár 300 000 000 tojást is rak, amelyek átmérője körülbelül 1,3 mm. Írja be ezt a számot egy hatvány segítségével.

VII. Házi feladat.

Történelmi hivatkozás. Milyen számokat nevezünk Fermat-számoknak.

19. o. 403., 408., 417. sz

Használt könyvek:

Tankönyv "Algebra-7", szerzők Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al.

Didaktikai anyag a 7. osztály számára, L.V. Kuznyecova, L.I. Zvavich, S.B. Szuvorov.

Matematika enciklopédiája.

„Kvant” folyóirat.

Fokozatok tulajdonságai, megfogalmazások, bizonyítások, példák.

Egy szám hatványának meghatározása után logikus, hogy beszéljünk róla fok tulajdonságait. Ebben a cikkben megadjuk egy szám hatványának alapvető tulajdonságait, miközben érintünk minden lehetséges kitevőt. Itt bemutatjuk a fokozatok összes tulajdonságát, és bemutatjuk, hogyan használják ezeket a tulajdonságokat a példák megoldása során.

Oldalnavigáció.

A fokok tulajdonságai természetes kitevővel

A természetes kitevővel rendelkező hatvány meghatározása szerint az a n hatvány n tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ennek a definíciónak az alapján, és használva is valós számok szorzásának tulajdonságai, a következőket kaphatjuk és igazolhatjuk fok tulajdonságai természetes kitevővel:

az a m ·a n =a m+n fok fő tulajdonsága, általánosítása a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

azonos bázisú hányados hatványok tulajdonsága a m:a n =a m−n ;

egy szorzat fokának tulajdonsága (a·b) n =a n ·b n, kiterjesztése (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

a hányados természetes fokra vonatkozó tulajdonsága (a:b) n =a n:b n ;

fok emelése (a m) n =a m·n hatványra, általánosítása (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

fok összehasonlítása nullával:

• ha a>0, akkor a n>0 bármely n természetes számra;
• ha a=0, akkor a n=0;
• ha a 2·m >0 , ha a 2·m−1 n ;
• ha m és n olyan természetes számok, amelyekre m>n, akkor 0m n-re és a>0-ra az a m >a n egyenlőtlenség igaz.

Azonnal jegyezzük meg, hogy minden írott egyenlőség van azonos a megadott feltételek mellett jobb és bal oldali részük is cserélhető. Például az a m ·a n =a m+n tört fő tulajdonsága -val kifejezések egyszerűsítése gyakran használt a m+n =a m ·a n formában.

Most nézzük meg mindegyiket részletesen.

Kezdjük két azonos bázisú hatvány szorzatának tulajdonságával, amelyet ún a diploma fő tulajdonsága: bármely a valós számra, valamint bármely m és n természetes számra igaz az a m ·a n =a m+n egyenlőség.

Bizonyítsuk be a fokozat fő tulajdonságát. A természetes kitevővel rendelkező hatvány definíciója szerint az a m ·a n alakú azonos bázisú hatványok szorzata írható fel szorzatként . A szorzás tulajdonságaiból adódóan a kapott kifejezést így írhatjuk fel , és ez a szorzat az a szám m+n természetes kitevőjű hatványa, azaz a m+n. Ezzel teljes a bizonyítás.

Adjunk egy példát, amely megerősíti a diploma fő tulajdonságát. Vegyünk azonos 2-es bázisú fokokat és 2 és 3 természetes hatványokat, a fokok alaptulajdonságával felírhatjuk a 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 egyenlőséget. Ellenőrizzük érvényességét a 2 2 · 2 3 és 2 5 kifejezések értékeinek kiszámításával. Hatványozást végrehajtva 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 és 2 5 =2 2 2 2 2 = 32, mivel egyenlő értékeket kapunk, akkor a 2 2 ·2 egyenlőség 3 =2 5 helyes, és megerősíti a fokozat fő tulajdonságát.

Egy fok alaptulajdonsága a szorzás tulajdonságai alapján általánosítható három vagy több hatvány szorzatára azonos bázisokkal és természetes kitevőkkel. Tehát bármely n 1, n 2, …, n k természetes számra az a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k egyenlőség igaz.

Például (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

A hatványok következő tulajdonságára természetes kitevővel léphetünk át – azonos bázisú hányados hatványok tulajdonsága: bármely nem nulla a valós számra és tetszőleges m és n természetes számokra, amelyek kielégítik az m>n feltételt, az a m:a n =a m−n egyenlőség igaz.

Mielőtt bemutatnánk ennek a tulajdonságnak a bizonyítását, beszéljük meg a megfogalmazásban szereplő további feltételek jelentését. Az a≠0 feltétel a nullával való osztás elkerülése érdekében szükséges, hiszen 0 n =0, és amikor megismerkedtünk az osztással, megegyeztünk, hogy nullával nem oszthatunk. Az m>n feltételt úgy vezetjük be, hogy ne lépjük túl a természetes kitevőket. Valóban, m>n esetén az m-n egy természetes szám, különben vagy nulla (ami m-n esetén történik), vagy negatív szám (ami m m-n esetén történik ·a n =a (m-n)) +n =a m. A kapott a m−n ·a n =a m egyenlőségből, valamint a szorzás és osztás összefüggéséből az következik, hogy egy m−n az a m és egy n hatványok hányadosa. ugyanazok az alapok.

Mondjunk egy példát. Vegyünk két fokot azonos π bázisokkal és 5 és 2 természetes kitevővel, a π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 egyenlőség a fok figyelembe vett tulajdonságának felel meg.

Most fontoljuk meg termék teljesítmény tulajdonsága: bármely két a és b valós szám szorzatának n természetes hatványa egyenlő az a n és b n hatványok szorzatával, azaz (a·b) n =a n ·b n .

Valójában a természetes kitevővel rendelkező fok definíciója alapján rendelkezünk . A szorzás tulajdonságai alapján az utolsó szorzat átírható így , ami egyenlő a n · b n -nel.

Íme egy példa: .

Ez a tulajdonság három vagy több tényező szorzatának hatványára is kiterjed. Ez azt jelenti, hogy egy k tényezőből álló szorzat n természetes fokú tulajdonságát a következőképpen írjuk fel: (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Az érthetőség kedvéért ezt a tulajdonságot egy példán mutatjuk be. Három tényező 7 hatványához tartozó szorzatához van .

A következő tulajdonság az természetbeni hányados tulajdona: az a és b valós számok, b≠0 hányadosa az n természetes hatványhoz egyenlő az a n és b n hatványok hányadosával, azaz (a:b) n =a n:b n.

A bizonyítás elvégezhető az előző tulajdonság segítségével. Tehát (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n, és az (a:b) n ·b n =a n egyenlőségből következik, hogy (a:b) n a hányadosa osztás a n a bn.

Írjuk fel ezt a tulajdonságot konkrét számokkal példaként: .

Most hangoztassuk a hatalom hatalommá emelésének tulajdonsága: bármely a valós szám, valamint bármely m és n természetes szám esetén a m hatványa n hatványára egyenlő az a szám m·n kitevőjű hatványával, azaz (a m) n =a m·n.

Például (5 2) 3 =5 2 · 3 =5 6.

A hatvány-fok tulajdonság bizonyítéka a következő egyenlőséglánc: .

A figyelembe vett tulajdonság fokonként bővíthető stb. Például bármely p, q, r és s természetes szám esetén az egyenlőség . A jobb érthetőség kedvéért mondjunk egy példát konkrét számokkal: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Továbbra is a fokok természetes kitevővel való összehasonlításának tulajdonságain kell elidőzni.

Kezdjük a nulla és a hatvány természetes kitevővel való összehasonlításának tulajdonságának bizonyításával.

Először is bizonyítsuk be, hogy a n >0 bármely a>0 esetén.

Két pozitív szám szorzata pozitív szám, amint az a szorzás definíciójából következik. Ez a tény és a szorzás tulajdonságai arra utalnak, hogy tetszőleges számú pozitív szám szorzásának eredménye is pozitív szám lesz. Egy n természetes kitevővel rendelkező a szám hatványa pedig értelemszerűen n tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ezek az érvek lehetővé teszik, hogy kijelentsük, hogy bármely pozitív a bázis esetén az a n fok pozitív szám. A bizonyított tulajdonság miatt 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ill. .

Nyilvánvaló, hogy bármely n természetes számra, ahol a=0, a n foka nulla. Valóban, 0 n =0·0·…·0=0 . Például 0 3 =0 és 0 762 =0.

Térjünk át a negatív fokozati alapokra.

Kezdjük azzal az esettel, amikor a kitevő páros szám, jelöljük 2·m-nek, ahol m természetes szám. Akkor . A negatív számok szorzására vonatkozó szabály szerint az a·a alakú szorzatok mindegyike egyenlő az a és a számok abszolút értékeinek szorzatával, ami azt jelenti, hogy pozitív szám. Ezért a termék is pozitív lesz és foka a 2·m. Mondjunk példákat: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 és .

Végül, ha az a bázis negatív szám, a kitevő pedig páratlan szám 2 m−1, akkor . Minden a·a szorzat pozitív szám, ezeknek a pozitív számoknak a szorzata is pozitív, és a maradék negatív a számmal való megszorzása negatív számot eredményez. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően (−5) 3 17 n n n valódi egyenlőtlenség bal és jobb oldalának szorzata a egyenlőtlenségek tulajdonságaira, igaz egy a n n alakú bizonyítható egyenlőtlenség is. Például ebből a tulajdonságból adódóan az egyenlőtlenségek 3 7 7 ill .

A hatványok felsorolt ​​tulajdonságai közül az utolsót kell bizonyítani természetes kitevővel. Fogalmazzuk meg. Két hatvány közül, amelyek természetes kitevője és azonos pozitív bázisa kisebb, mint egy, az a nagyobb, amelynek a kitevője kisebb; és két hatvány közül, amelyek természetes kitevője és azonos bázisa nagyobb, mint egy, az a nagyobb, amelynek a kitevője nagyobb. Folytassuk ennek a tulajdonságnak a bizonyítását.

Bizonyítsuk be, hogy m>n és 0m n esetén. Ehhez felírjuk az a m − a n különbséget, és összehasonlítjuk nullával. A felvett különbség, miután egy n-t zárójelekből kiveszünk, a n ·(a m−n−1) alakot ölti. A kapott szorzat negatív, mint egy pozitív a n szám és egy negatív a m−n −1 szám szorzata (a n pozitív, mint egy pozitív szám természetes hatványa, és az a m−n −1 különbség negatív, mivel m−n >0 az m>n kezdeti feltétel miatt, amiből az következik, hogy amikor 0m−n kisebb, mint egység). Ezért a m −a n m n, amit bizonyítani kellett. Példaként megadjuk a helyes egyenlőtlenséget.

Az ingatlan második részének bizonyítása van hátra. Bizonyítsuk be, hogy m>n és a>1 esetén a m >a n igaz. Az a m −a n különbség egy n zárójelből való kihúzása után a n ·(a m−n −1) alakot ölti. Ez a szorzat pozitív, mivel a>1 esetén az a n fok pozitív szám, az a m-n -1 különbség pedig pozitív szám, mivel m-n>0 a kezdeti feltétel miatt, a>1 esetén pedig a fok a m−n nagyobb egynél. Következésképpen a m −a n >0 és a m >a n, amit bizonyítani kellett. Ezt a tulajdonságot a 3 7 >3 2 egyenlőtlenség szemlélteti.

Egész kitevős hatványok tulajdonságai

Mivel a pozitív egészek természetes számok, ezért a pozitív egész kitevővel rendelkező hatványok minden tulajdonsága pontosan egybeesik az előző bekezdésben felsorolt ​​és bizonyított természetes kitevőjű hatványok tulajdonságaival.

Egy egész szám negatív kitevőjű fokot, valamint nulla kitevővel definiáltunk úgy, hogy a természetes kitevős fokok egyenlőségekkel kifejezett összes tulajdonsága érvényben maradjon. Ezért ezek a tulajdonságok mind nulla kitevőre, mind negatív kitevőre érvényesek, miközben természetesen a hatványok alapjai eltérnek a nullától.

Tehát minden a és b valós és nem nulla számra, valamint bármely m és n egész számra a következők igazak: egész kitevőjű hatványok tulajdonságai:

• a m ·a n =a m+n ;
• a m:a n =a m−n ;
• (a · b) n =a n · b n ;
• (a:b) n =a n:bn;
• (a m) n =a m·n;
• ha n pozitív egész szám, akkor a és b pozitív számok, és a n n és a −n >b −n ;
• ha m és n egész számok, és m>n, akkor 0m n-re és a>1-re érvényes az a m >a n egyenlőtlenség.

Ha a=0, az a m és a n hatványoknak csak akkor van értelme, ha m és n is pozitív egész szám, azaz természetes szám. Így az imént felírt tulajdonságok azokra az esetekre is érvényesek, amikor a=0 és az m és n számok pozitív egészek.

Ezen tulajdonságok mindegyikének bizonyítása nem nehéz, ehhez elegendő a természetes és egész kitevős fokok definícióit, valamint a valós számokkal végzett műveletek tulajdonságait használni. Példaként bizonyítsuk be, hogy a hatvány-hatvány tulajdonság pozitív egészekre és nem pozitív egészekre is érvényes. Ehhez meg kell mutatni, hogy ha p nulla vagy természetes szám és q nulla vagy természetes szám, akkor az (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) egyenlőségek ·q, (a p ) −q =a p·(−q) és (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Csináljuk.

Pozitív p és q esetén az (a p) q =a p·q egyenlőséget az előző bekezdésben igazoltuk. Ha p=0, akkor van (a 0) q =1 q =1 és a 0·q =a 0 =1, ahonnan (a 0) q =a 0·q. Hasonlóképpen, ha q=0, akkor (a p) 0 =1 és a p·0 =a 0 =1, innen (a p) 0 =a p·0. Ha p=0 és q=0 is, akkor (a 0) 0 =1 0 =1 és a 0·0 =a 0 =1, ahonnan (a 0) 0 =a 0,0.

Most bebizonyítjuk, hogy (a −p) q =a (−p)·q . A negatív egész kitevőjű hatvány definíciója szerint tehát . Hatványaink hányadosainak tulajdonsága alapján . Mivel 1 p =1·1·…·1=1 és , akkor . Az utolsó kifejezés definíció szerint egy a −(p·q) alakú hatvány, amely a szorzás szabályai miatt (−p)·q-ként írható fel.

Hasonlóképpen .

ÉS .

Ugyanezt az elvet alkalmazva a fok összes többi tulajdonságát egész kitevővel, egyenlőségek formájában írva igazolhatja.

A felvett tulajdonságok közül az utolsó előttiben érdemes elidőzni az a −n >b −n egyenlőtlenség bizonyításán, amely minden negatív −n egész számra, valamint minden olyan pozitív a és bre érvényes, amelyre az a feltétel teljesül. . Írjuk fel és alakítsuk át ennek az egyenlőtlenségnek a bal és jobb oldala közötti különbséget: . Mivel feltétellel a n n tehát b n −a n >0 . Az a n · b n szorzat is pozitív a n és b n pozitív számok szorzataként. Ekkor a kapott tört a b n −a n és a n ·b n pozitív számok hányadosaként pozitív. Ezért honnan a −n >b −n , amit bizonyítani kellett.

Az egész kitevővel rendelkező hatványok utolsó tulajdonsága ugyanúgy igazolt, mint a természetes kitevős hatványok hasonló tulajdonsága.

Racionális kitevős hatványok tulajdonságai

Egy fokot tört kitevővel határoztunk meg úgy, hogy a fok tulajdonságait egész kitevővel kiterjesztettük rá. Más szóval, a tört kitevővel rendelkező hatványok ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az egész kitevőkkel rendelkező hatványok. Ugyanis:

1. azonos bázisú hatványok szorzatának tulajdonsága a>0 esetén, és ha és, akkor a≥0 esetén;
2. azonos bázisú hányados hatványok tulajdonsága a>0 esetén;
3. egy szorzat tulajdonsága törthatványra a>0 és b>0 esetén, és ha és, akkor a≥0 és (vagy) b≥0 esetén;
4. hányados tulajdonsága egy törthatványhoz a>0 és b>0 esetén, és ha , akkor a≥0 és b>0 esetén;
5. fokról fokozatra vonatkozó tulajdonság a>0 esetén, és ha és, akkor a≥0 esetén;
6. Hatványok egyenlő racionális kitevőkkel való összehasonlításának tulajdonsága: bármely a és b pozitív számra a 0 az a p p egyenlőtlenség igaz, és p p >b p esetén;
7. a hatványok racionális kitevőkkel és egyenlő bázisokkal való összehasonlításának tulajdonsága: p és q racionális számok esetén p>q 0p q esetén, a>0 esetén pedig a p >a q egyenlőtlenség.

A tört kitevős hatványok tulajdonságainak bizonyítása a tört kitevős hatvány meghatározásán, az n-edik fokú számtani gyök tulajdonságain és az egész kitevős hatvány tulajdonságain alapul. Adjunk bizonyítékot.

Hatvány definíciója szerint tört kitevővel és , akkor . Az aritmetikai gyök tulajdonságai lehetővé teszik, hogy a következő egyenlőségeket írjuk fel. Továbbá az egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságát felhasználva megkapjuk, amelyből a tört kitevővel rendelkező fok definíciója alapján azt kapjuk, hogy , és a kapott fok mutatója a következőképpen alakítható át: . Ezzel teljes a bizonyítás.

A tört kitevővel rendelkező hatványok második tulajdonsága teljesen hasonló módon bizonyított:


A fennmaradó egyenlőségeket hasonló elvekkel bizonyítjuk:


Térjünk át a következő tulajdonság bizonyítására. Bizonyítsuk be, hogy bármely pozitív a és b esetén a 0 az a p p egyenlőtlenség igaz, és p p >b p esetén. Írjuk fel a p racionális számot m/n-nek, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. A p 0 feltételek ebben az esetben egyenértékűek lesznek az m 0 feltételekkel. m>0 és am m esetén. Ebből az egyenlőtlenségből a gyökök tulajdonsága alapján megvan, és mivel a és b pozitív számok, akkor a törtkitevős fok definíciója alapján a kapott egyenlőtlenség átírható így, azaz a p p -re.

Hasonlóképpen m m >b m-re, ahonnan, azaz a p >b p.

A felsorolt ​​tulajdonságok közül az utolsó bizonyítása van hátra. Bizonyítsuk be, hogy p és q racionális számokra 0p q esetén p>q, a>0 esetén pedig a p >a q egyenlőtlenség. A p és q racionális számokat mindig közös nevezőre redukálhatjuk, még akkor is, ha és közönséges törteket kapunk, ahol m 1 és m 2 egész számok, n pedig természetes szám. Ebben az esetben a p>q feltétel megfelel az m 1 >m 2 feltételnek, ami az azonos nevezővel rendelkező közönséges törtek összehasonlítására vonatkozó szabályból következik. Ekkor a fokok azonos bázisokkal és természetes kitevőkkel való összehasonlításának tulajdonsága alapján 0m 1 m 2 és a>1 esetén az a m 1 >a m 2 egyenlőtlenség. A gyökök tulajdonságainak ezen egyenlőtlenségei ennek megfelelően átírhatók És . A fokozat racionális kitevővel való meghatározása pedig lehetővé teszi, hogy továbblépjünk az egyenlőtlenségekre és ennek megfelelően. Innen vonjuk le a végső következtetést: p>q és 0p q esetén, a>0 esetén pedig az a p >a q egyenlőtlenséget.

Irracionális kitevőkkel rendelkező hatványok tulajdonságai

Abból, ahogyan egy irracionális kitevővel rendelkező fokot meghatározunk, arra a következtetésre juthatunk, hogy rendelkezik a racionális kitevővel rendelkező fokok összes tulajdonságával. Tehát bármely a>0, b>0 és irracionális p és q számra a következők igazak irracionális kitevőjű hatványok tulajdonságai:

1. a p ·a q =a p+q;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a · b) p =a p · b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q;
6. bármely pozitív a és b szám esetén a 0 az a p p egyenlőtlenség igaz, és p p >b p esetén;
7. p és q irracionális számok esetén 0p q esetén p>q, a>0 esetén pedig a p >a q egyenlőtlenség.

Ebből arra következtethetünk, hogy a tetszőleges p és q valós kitevővel rendelkező hatványok a>0 esetén azonos tulajdonságokkal rendelkeznek.

• Algebra - 10. évfolyam. Trigonometrikus egyenletek Tanóra és előadás a témában: "A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása" Kiegészítő anyagok Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, javaslataikat! Minden anyag […]
• Pályázatot hirdettek az „ELADÓ - TANÁCSADÓ” munkakör betöltésére: Feladatok: mobiltelefonok és mobilkommunikációs tartozékok értékesítése, ügyfélszolgálat Beeline, Tele2, MTS előfizetőknek, Beeline és Tele2 díjcsomagok és szolgáltatások összekapcsolása, MTS tanácsadás [… ]
• Parallelepiped formula A paralelepipedon egy poliéder 6 lappal, amelyek mindegyike paralelogramma. A téglatest olyan paralelepipedon, amelynek minden lapja téglalap. Bármely paralelepipedont 3 […]
• A családi birtokokról szóló törvény elfogadása Szövetségi törvény elfogadása egy telek térítésmentes kiosztásáról az Orosz Föderáció minden állampolgára vagy polgárok családja számára, hogy azon családi birtokot létesítsen, a következő feltételekkel: 1. A telek elkülönített […]
• Fogyasztói Jogvédő Társaság Astana Ahhoz, hogy PIN-kódot kapjon a dokumentum weboldalunkon való eléréséhez, küldjön SMS-t zan szöveggel a GSM szolgáltatók (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) előfizetői számra. SMS küldése a számra, […]
• A BRYANSK RÉGIÓ GOSTEKHNADZORÁNAK ELLENŐRZÉSE Állami illetékfizetési elismervény (Letöltés-12,2 kb) Nyilvántartási kérelmek magánszemélyek számára (Letöltés-12 kb) Jogi személyek nyilvántartásba vételi kérelmei (Letöltés-11,4 kb) 1. Új autó regisztrálásakor: 1.kérelem 2.útlevél […]
• N ÉS NN HELYESÍRÁS A KÜLÖNBÖZŐ BESZÉDRÉSZBEN S.G. ZELINSKAYA DIDAKTIKAI ANYAG Elméleti gyakorlat 1. Mikor írják az nn-t a melléknevekben? 2. Nevezze meg a szabályok alóli kivételeket! 3. Hogyan lehet megkülönböztetni az -n- utótagú verbális melléknevet a […]
• Pivoev V.M. Tudományfilozófia és -módszertan: tankönyv mester- és végzős hallgatóknak Petrozsény: PetrSU Kiadó, 2013. - 320 pp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb társadalmi és […]