զուգահեռագիծ է, որի բոլոր անկյունները 90° են, իսկ հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են և հավասար:

Ուղղանկյունն ունի մի քանի անհերքելի հատկություններ, որոնք օգտագործվում են բազմաթիվ խնդիրների լուծման համար՝ ուղղանկյունի տարածքի և դրա պարագծի բանաձևերում: Այստեղ են:

Ուղղանկյան անհայտ կողմի կամ անկյունագծի երկարությունը հաշվարկվում է Պյութագորասի թեորեմով կամ ըստ դրա: Ուղղանկյունի մակերեսը կարելի է գտնել երկու եղանակով՝ նրա կողմերի արտադրյալով կամ անկյունագծով ուղղանկյունի տարածքի բանաձևով: Առաջինն ու ամենաշատը պարզ բանաձեւկարծես այսպես.

Այս բանաձևով ուղղանկյունի մակերեսը հաշվարկելու օրինակը շատ պարզ է: Իմանալով երկու կողմերը, օրինակ՝ a = 3 սմ, b = 5 սմ, մենք հեշտությամբ կարող ենք հաշվարկել ուղղանկյունի մակերեսը.
Ստանում ենք, որ նման ուղղանկյունում մակերեսը հավասար կլինի 15 քառակուսի մետրի։ սմ.

Ուղղանկյան մակերեսը անկյունագծերի առումով

Երբեմն անհրաժեշտ է կիրառել ուղղանկյունի տարածքի բանաձևը անկյունագծերի առումով: Դրա համար ձեզ հարկավոր կլինի ոչ միայն իմանալ անկյունագծերի երկարությունը, այլև նրանց միջև եղած անկյունը.

Դիտարկենք ուղղանկյունի մակերեսը անկյունագծերի միջոցով հաշվարկելու օրինակ: Թող տրվի d = 6 սմ անկյունագծով և 30° անկյունով ուղղանկյուն: Տվյալները փոխարինում ենք արդեն հայտնի բանաձևով.

Այսպիսով, ուղղանկյունի մակերեսը անկյունագծով հաշվարկելու օրինակը մեզ ցույց տվեց, որ այս կերպ տարածքը գտնելը, հաշվի առնելով անկյունը, բավականին պարզ է:
Դիտարկենք մեկ այլ հետաքրքիր գլուխկոտրուկ, որը կօգնի մեզ մի փոքր ձգել մեր ուղեղը։

Առաջադրանք.Տրվում է քառակուսի: Նրա մակերեսը կազմում է 36 քառ. սմ Գտե՛ք ուղղանկյան պարագիծը, որի կողմերից մեկի երկարությունը 9 սմ է, իսկ մակերեսը նույնն է, ինչ վերը նշված քառակուսին:
Այսպիսով, մենք ունենք մի քանի պայմաններ. Պարզության համար մենք գրում ենք դրանք՝ տեսնելու բոլոր հայտնի և անհայտ պարամետրերը.
Նկարի կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են և հավասար: Հետևաբար, նկարի պարագիծը հավասար է կողմերի երկարությունների գումարի կրկնապատիկին.
Ուղղանկյան մակերեսի բանաձևից, որը հավասար է նկարի երկու կողմերի արտադրյալին, մենք գտնում ենք b կողմի երկարությունը.
Այստեղից.
Մենք փոխարինում ենք հայտնի տվյալները և գտնում ենք b կողմի երկարությունը.
Հաշվիր նկարի պարագիծը.
Այսպիսով, իմանալով մի քանի հեշտ բանաձևեր, կարող եք հաշվարկել ուղղանկյան պարագիծը, իմանալով դրա տարածքը:

Բովանդակություն:

Անկյունագիծը ուղիղ հատված է, որը միացնում է ուղղանկյան երկու հակադիր գագաթները: Ուղղանկյունն ունի երկու հավասար անկյունագծեր: Եթե ​​ուղղանկյան կողմերը հայտնի են, ապա անկյունագիծը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, քանի որ շեղանկյունը բաժանում է ուղղանկյունը երկու ուղղանկյուն եռանկյունների։ Եթե ​​կողմերը տրված չեն, բայց հայտնի են այլ մեծություններ, օրինակ՝ մակերեսը և պարագիծը կամ կողմերի հարաբերակցությունը, կարող եք գտնել ուղղանկյան կողմերը, այնուհետև հաշվարկել անկյունագիծը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը։

Քայլեր

1 Կողք կողքի

1. 1 Գրի՛ր Պյութագորասի թեորեմը։Բանաձև՝ a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Միացրեք կողմերը բանաձևի մեջ:Դրանք տրված են խնդրի մեջ կամ պետք է չափել։ Կողքի արժեքները փոխարինվում են 3-ով
   • Մեր օրինակում.
     4 2 + 3 2 = գ 2 4

     2 Ըստ տարածքի և պարագծի

     1. 1 Բանաձև՝ S \u003d l w (Նկարում S-ի փոխարեն օգտագործվում է A նշանը)
     2. 2 Այս արժեքը փոխարինվում է S 3-ով Նորից գրեք բանաձևը, որպեսզի մեկուսացնեք w 4 Գրի՛ր ուղղանկյան պարագծի հաշվարկման բանաձևը.Բանաձև՝ P = 2 (w + l)
     3. 5 Փոխարինեք ուղղանկյան պարագծի արժեքը բանաձևով.Այս արժեքը փոխարինվում է P 6-ով Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք 2-ի։Դուք կստանաք ուղղանկյան կողմերի գումարը, այն է՝ w + l 7 Բանաձևում փոխարինեք արտահայտությունը՝ w 8 հաշվարկելու համար Ազատվել կոտորակներից.Դա անելու համար հավասարման երկու մասերը բազմապատկեք l 9-ով Հավասարումը դրեք 0-ի:Դա անելու համար հավասարման երկու կողմերից հանեք առաջին կարգի փոփոխականով տերմինը:
        • Մեր օրինակում.
          12 լ \u003d 35 + լ 2 10 Պատվիրեք հավասարման պայմանները.Առաջին անդամը կլինի երկրորդ փոփոխական անդամը, այնուհետև առաջին փոփոխական անդամը, իսկ հետո՝ ազատ անդամը։ Միևնույն ժամանակ, մի մոռացեք այն նշանների մասին («գումարած» և «մինուս»), որոնք գտնվում են անդամների առջև։ Նշենք, որ հավասարումը գրվելու է որպես քառակուսային հավասարում:
          • Մեր օրինակում 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • Մեր օրինակում հավասարումը 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Գտեք 13 Գրի՛ր Պյութագորասի թեորեմը։Բանաձև՝ a 2 + b 2 = c 2
              • Օգտագործեք Պյութագորասի թեորեմը, քանի որ ուղղանկյան յուրաքանչյուր անկյունագիծ այն բաժանում է երկու հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների։ Ընդ որում, ուղղանկյան կողմերը եռանկյան ոտքերն են, իսկ ուղղանկյան անկյունագիծը եռանկյան հիպոթենուսն է։
            • 14 Այս արժեքները փոխարինվում են 15-ով Քառակուսիացրեք երկարությունը և լայնությունը, այնուհետև ավելացրեք արդյունքները:Հիշեք, որ թիվը քառակուսելու ժամանակ այն բազմապատկվում է ինքն իրենով:
              • Մեր օրինակում.
                5 2 + 7 2 = գ 2 16 Քաղվածք Քառակուսի արմատհավասարման երկու կողմերից:Քառակուսի արմատը արագ գտնելու համար օգտագործեք հաշվիչ: Կարող եք նաև օգտագործել առցանց հաշվիչը: դուք կգտնեք ք

                3 Ըստ տարածքի և կողմի հարաբերակցության

                1. 1 Գրի՛ր կողմերի հարաբերակցությունը բնութագրող հավասարում:Մեկուսացնել l 2 Գրեք ուղղանկյունի մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը:Բանաձև՝ S = l w (Նկարում S-ի փոխարեն օգտագործվում է A նշումը):
                   • Այս մեթոդը կիրառելի է նաև այն դեպքում, երբ հայտնի է ուղղանկյունի պարագծի արժեքը, բայց այդ դեպքում անհրաժեշտ է օգտագործել բանաձևը պարագիծը հաշվարկելու համար, այլ ոչ թե մակերեսը: Ուղղանկյան պարագծի հաշվարկման բանաձև՝ P = 2 (w + l)
                2. 3 Միացրեք ուղղանկյունի տարածքը բանաձևի մեջ:Այս արժեքը փոխարինվում է S 4-ով Կողմերի հարաբերակցությունը բնութագրող արտահայտությունը փոխարինի՛ր բանաձևով.Ուղղանկյունի դեպքում կարող եք փոխարինել արտահայտությունը l 5 հաշվարկելու համար գրի առնել քառակուսային հավասարում. Դա անելու համար բացեք փակագծերը և հավասարեցրեք հավասարումը զրոյի:
                   • Մեր օրինակում.
                     35 = w (w + 2) 6 Գործոնացնել քառակուսի հավասարումը:Ստանալ մանրամասն հրահանգներ, կարդալ.
                     • Մեր օրինակում 0 = w 2 − 12 w + 35 7 հավասարումը Գտեք w 8 Փոխարինեք լայնության (կամ երկարության) արժեքը, որը հայտնաբերված է կողմերի հարաբերակցությունը բնութագրող հավասարման մեջ:Այսպիսով, դուք կարող եք գտնել ուղղանկյան մյուս կողմը:
                       • Օրինակ, եթե դուք հաշվարկել եք, որ ուղղանկյան լայնությունը 5 սմ է, իսկ կողմերի հարաբերակցությունը տրված է l = w + 2 9 հավասարմամբ: Գրի՛ր Պյութագորասի թեորեմը։Բանաձև՝ a 2 + b 2 = c 2
                         • Օգտագործեք Պյութագորասի թեորեմը, քանի որ ուղղանկյան յուրաքանչյուր անկյունագիծ այն բաժանում է երկու հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների։ Ընդ որում, ուղղանկյան կողմերը եռանկյան ոտքերն են, իսկ ուղղանկյան անկյունագիծը եռանկյան հիպոթենուսն է։
                       • 10 Միացրեք երկարության և լայնության արժեքները բանաձևի մեջ:Այս արժեքները փոխարինվում են 11-ով Քառակուսիացրեք երկարությունը և լայնությունը, այնուհետև ավելացրեք արդյունքները:Հիշեք, որ թիվը քառակուսելու ժամանակ այն բազմապատկվում է ինքն իրենով:
                         • Մեր օրինակում.
                           5 2 + 7 2 = գ 2 12 Վերցրեք հավասարման երկու կողմերի քառակուսի արմատը:Քառակուսի արմատը արագ գտնելու համար օգտագործեք հաշվիչ: Կարող եք նաև օգտագործել առցանց հաշվիչը: Դուք կգտնեք c (ցուցադրման ոճ c), որը եռանկյան հիպոթենուսն է, հետևաբար՝ ուղղանկյան անկյունագիծը:
                           • Մեր օրինակում.
                             74 = c 2 (ցուցադրման ոճ 74=c^(2))
                             74 = c 2 (ցուցադրման ոճ (sqrt (74)) = (sqrt (c^ (2))))
                             8, 6024 = c (ցուցադրման ոճ 8,6024=c)
                             Այսպիսով, ուղղանկյան անկյունագիծը, որի երկարությունը 2 սմ-ով ավելի է լայնությունից և որի մակերեսը 35 սմ 2 է, մոտավորապես 8,6 սմ է:

Ուղղանկյան անկյունագիծը գտնելու խնդիրը կարելի է ձևակերպել երեք ձևով. տարբեր ճանապարհներ. Եկեք մանրամասն նայենք դրանցից յուրաքանչյուրին: Մեթոդները կախված են հայտնի տվյալներից, հետևաբար ինչպե՞ս կարող եք գտնել ուղղանկյան անկյունագիծը:

Եթե ​​երկու կողմերը հայտնի են

Այն դեպքում, երբ հայտնի են a և b ուղղանկյան երկու կողմերը, անկյունագիծը գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել Պյութագորասի թեորեմը՝ a 2 + b 2 \u003d c 2, այստեղ a և b ոտքերն են: ուղղանկյուն եռանկյուն, c-ն ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսն է։ Երբ անկյունագիծը գծվում է ուղղանկյունի մեջ, այն բաժանվում է երկու ուղղանկյուն եռանկյունու: Մենք գիտենք այս ուղղանկյուն եռանկյան երկու կողմերը (a և b): Այսինքն՝ ուղղանկյան անկյունագիծը գտնելու համար անհրաժեշտ է հետևյալ բանաձևը՝ c \u003d √ (a 2 + b 2), այստեղ c-ն ուղղանկյան անկյունագծի երկարությունն է։

Հայտնի կողմի և անկյան համաձայն, կողմի և անկյունագծի միջև

Թող հայտնի լինեն a ուղղանկյան կողմը և այն անկյունը, որը կազմում է α ուղղանկյան անկյունագծով: Նախ, եկեք հիշենք կոսինուսի բանաձևը. cos α \u003d a / c, այստեղ c-ն ուղղանկյան անկյունագիծն է: Ինչպես հաշվարկել ուղղանկյան անկյունագիծը այս բանաձևից՝ c = a/cos α:

Ըստ հայտնի կողմի՝ ուղղանկյան կից կողմի և շեղանկյունի անկյունը։

Քանի որ ուղղանկյան անկյունագիծը ինքնին ուղղանկյունը բաժանում է երկու ուղղանկյուն եռանկյունների, տրամաբանական է դիմել սինուսի սահմանմանը: Սինուս - այս անկյան դիմաց գտնվող ոտքի հարաբերակցությունը հիպոթենուզային: sin α \u003d b / c. Այստեղից մենք բխում ենք ուղղանկյան անկյունագիծը գտնելու բանաձևը, որը նաև ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսն է՝ с = b/sin α:

Այժմ դուք խելամիտ եք այս հարցում: Դուք կարող եք վաղը գոհացնել երկրաչափության ուսուցչին:

Սահմանում.

ՈւղղանկյունԱյն քառանկյուն է, որի երկու հակադիր կողմերը հավասար են և բոլոր չորս անկյունները հավասար են:

Ուղղանկյունները միմյանցից տարբերվում են միայն երկար կողմի և կարճ կողմի հարաբերակցությամբ, բայց չորսն էլ ճիշտ են, այսինքն՝ յուրաքանչյուրը 90 աստիճան։

Ուղղանկյան երկար կողմը կոչվում է ուղղանկյունի երկարությունը, իսկ կարճը ուղղանկյուն լայնությունը.

Ուղղանկյան կողմերը նույնպես նրա բարձրություններն են:

Ուղղանկյունի հիմնական հատկությունները

Ուղղանկյունը կարող է լինել զուգահեռագիծ, քառակուսի կամ ռոմբուս:

1. Ուղղանկյան հակառակ կողմերն ունեն նույն երկարությունը, այսինքն՝ հավասար են.

AB=CD, BC=AD

2. Ուղղանկյան հակառակ կողմերը զուգահեռ են.

3. Ուղղանկյան կից կողմերը միշտ ուղղահայաց են.

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Ուղղանկյան բոլոր չորս անկյուններն ուղիղ են.

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Ուղղանկյան անկյունների գումարը 360 աստիճան է.

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Ուղղանկյան անկյունագծերն ունեն նույն երկարությունը.

7. Ուղղանկյան անկյունագծի քառակուսիների գումարը հավասար է կողմերի քառակուսիների գումարին.

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Ուղղանկյան յուրաքանչյուր անկյունագիծ ուղղանկյունը բաժանում է երկու միանման պատկերների՝ ուղղանկյուն եռանկյունների:

9. Ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են և հատման կետում կիսով չափ բաժանվում.

		AO=BO=CO=DO=	դ
			2

10. Անկյունագծերի հատման կետը կոչվում է ուղղանկյան կենտրոն և նաև շրջագծված շրջանագծի կենտրոնն է.

11. Ուղղանկյան անկյունագիծը շրջագծված շրջանագծի տրամագիծն է

12. Շրջանակը միշտ կարելի է նկարագրել ուղղանկյան շուրջը, քանի որ հակառակ անկյունների գումարը 180 աստիճան է.

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Շրջանագիծը չի կարելի մակագրել այն ուղղանկյան մեջ, որի երկարությունը հավասար չէ լայնությանը, քանի որ հակառակ կողմերի գումարները միմյանց հավասար չեն (շրջանագիծը կարելի է մակագրել միայն ուղղանկյան հատուկ դեպքում՝ քառակուսի):

Ուղղանկյունի կողմերը

Սահմանում.

Ուղղանկյունի երկարությունըանվանել նրա կողմերի ավելի երկար զույգի երկարությունը: Ուղղանկյունի լայնությունըանվանեք նրա կողմերի ավելի կարճ զույգի երկարությունը:

Ուղղանկյան կողմերի երկարությունները որոշելու բանաձևեր

1. Ուղղանկյան կողմի բանաձևը (ուղղանկյան երկարությունը և լայնությունը) անկյունագծով և մյուս կողմով.

a = √ դ 2 - բ 2

b = √ դ 2 - ա 2

2. Ուղղանկյան կողմի բանաձևը (ուղղանկյան երկարությունը և լայնությունը) ըստ մակերեսի և մյուս կողմի.

b = dcos	β
	2

Ուղղանկյուն անկյունագծով

Սահմանում.

Շեղանկյուն ուղղանկյունՈւղղանկյան հակառակ անկյունների երկու գագաթները միացնող ցանկացած հատված կոչվում է:

Ուղղանկյան անկյունագծի երկարությունը որոշելու բանաձևեր

1. Ուղղանկյան անկյունագծի բանաձևը ուղղանկյան երկու կողմերի համար (Պյութագորասի թեորեմի միջոցով).

d = √ a 2 + b 2

2. Ուղղանկյան անկյունագծի բանաձևը ըստ մակերեսի և ցանկացած կողմի.

4. Ուղղանկյան անկյունագծի բանաձևը շրջագծով շրջանագծի շառավղով.

d=2R

5. Ուղղանկյան անկյունագծի բանաձևը շրջագծով շրջանագծի տրամագծով.

d = D o

6. Ուղղանկյան շեղանկյունի բանաձևը՝ ըստ շեղանկյունին հարող անկյան սինուսի և այս անկյան հակառակ կողմի երկարության.

8. Ուղղանկյան անկյունագծի բանաձևը սինուսով սուր անկյունանկյունագծերի և ուղղանկյունի տարածքի միջև

d = √2S: sinβ

Ուղղանկյունի պարագիծ

Սահմանում.

Ուղղանկյունի պարագիծըուղղանկյան բոլոր կողմերի երկարությունների գումարն է:

Ուղղանկյունի պարագծի երկարությունը որոշելու բանաձևեր

1. Ուղղանկյան պարագծի բանաձևը ուղղանկյան երկու կողմերի առումով.

P = 2a + 2b

P = 2 (a+b)

2. Ուղղանկյան պարագծի բանաձևը՝ ըստ մակերեսի և ցանկացած կողմի.

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	ա		բ

3. Ուղղանկյան պարագծի բանաձևը անկյունագծով և ցանկացած կողմով.

P = 2 (a + √ դ 2 - ա 2) = 2 (b + √ դ 2 - բ 2)

4. Ուղղանկյան պարագծի բանաձևը շրջագծով շրջանագծի և ցանկացած կողմի շառավղով.

P = 2 (a + √4R 2 - ա 2) = 2 (b + √4R 2 - բ 2)

5. Ուղղանկյունի պարագծի բանաձևը շրջագծով շրջանագծի տրամագծի և ցանկացած կողմի չափով.

P = 2 (a + √D o 2 - ա 2) = 2 (b + √D o 2 - բ 2)

Ուղղանկյունի տարածք

Սահմանում.

Ուղղանկյունի տարածքկոչվում է ուղղանկյան կողերով սահմանափակված տարածություն, այսինքն՝ ուղղանկյան պարագծի ներսում։

Ուղղանկյունի մակերեսը որոշելու բանաձևեր

1. Ուղղանկյունի մակերեսի բանաձևը երկու կողմերի առումով.

S = a բ

2. Ուղղանկյունի պարագծի և ցանկացած կողմի տարածքի բանաձևը.

5. Ուղղանկյունի մակերեսի բանաձևը շրջագծով շրջանագծի և ցանկացած կողմի շառավղով.

S = a √4R 2 - ա 2= b √4R 2 - բ 2

6. Ուղղանկյունի մակերեսի բանաձևը շրջագծված շրջանագծի և ցանկացած կողմի տրամագծի առումով.

S \u003d a √ D o 2 - ա 2= b √ D o 2 - բ 2

Շրջանակ՝ շրջագծված ուղղանկյունի շուրջ

Սահմանում.

Ուղղանկյունի շուրջը շրջագծված շրջանՇրջանակ կոչվում է ուղղանկյան չորս գագաթներով անցնող շրջան, որի կենտրոնը գտնվում է ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետում։

Ուղղանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղը որոշելու բանաձևեր

1. Ուղղանկյունի շուրջ երկու կողմերով շրջագծված շրջանագծի շառավիղի բանաձևը.

4. Շրջանի շառավիղի բանաձևը, որը նկարագրված է քառակուսու անկյունագծով ուղղանկյունի մասին.

5. Շրջանի շառավիղի բանաձևը, որը նկարագրված է շրջանագծի տրամագծով ուղղանկյունի մոտ (շրջագծով).

6. Շրջանի շառավիղի բանաձևը, որը նկարագրված է ուղղանկյունի մոտ անկյան սինուսի միջով, որը կից է անկյունագծին, և այս անկյան դիմաց գտնվող կողմի երկարությունը.

7. Շրջանակի շառավիղի բանաձևը, որը նկարագրված է ուղղանկյունի մասին՝ ըստ անկյունագծին հարող անկյան կոսինուսի և այս անկյան տակ գտնվող կողմի երկարության.

8. Շրջանակի շառավիղի բանաձևը, որը նկարագրված է ուղղանկյունի մոտ անկյունագծերի և ուղղանկյան տարածքի միջև սուր անկյան սինուսի միջով.

Անկյուն ուղղանկյան կողմի և անկյունագծի միջև:

Ուղղանկյան կողմի և անկյունագծի միջև անկյունը որոշելու բանաձևեր.

1. Ուղղանկյունի կողմի և շեղանկյունի միջև անկյունագծով և կողմով անկյունը որոշելու բանաձևը.

2. Շեղանկյունների միջև անկյան միջոցով ուղղանկյան կողմի և անկյունագծի միջև անկյունը որոշելու բանաձևը.

Ուղղանկյան անկյունագծերի միջև ընկած անկյունը:

Ուղղանկյան անկյունագծերի միջև անկյունը որոշելու բանաձևեր.

1. Ուղղանկյան անկյունագծերի միջև անկյան որոշման բանաձևը կողմի և շեղանկյունի միջև ընկած անկյան միջոցով.

β = 2α

2. Տարածքով անցնող ուղղանկյան անկյունագծերի և անկյունագծերի միջև անկյունը որոշելու բանաձևը: