Եռանկյունաչափական հարթություն. Բարդ թվերի եռանկյունաչափական ձև. Կոմպլեքս թվեր եռանկյունաչափական ձևով

Դասախոսություն

Բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև

Պլանավորել

1. Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական պատկերը.

2. Կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական նշում.

3. Գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա եռանկյունաչափական տեսքով:

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ներկայացում:

ա) Կոմպլեքս թվերը ներկայացված են հարթության վրա գտնվող կետերով՝ համաձայն հետևյալ կանոնի. ա + երկ = Մ ( ա ; բ ) (նկ. 1):

Նկար 1

բ) Կոմպլեքս թիվը կարող է ներկայացվել վեկտորով, որը սկսվում է կետիցՄԱՍԻՆ և վերջը տվյալ կետում (նկ. 2):

Նկար 2

Օրինակ 7. Կառուցեք բարդ թվեր ներկայացնող կետեր.1; - ես ; - 1 + ես ; 2 – 3 ես (նկ. 3):

Նկար 3

Բարդ թվերի եռանկյունաչափական նշում.

Համալիր համարըզ = ա + երկ կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով շառավիղի վեկտորը կոորդինատներով( ա ; բ ) (նկ. 4):

Նկար 4

Սահմանում . Վեկտորի երկարությունը , որը ներկայացնում է բարդ թիվզ , կոչվում է այս թվի մոդուլ և նշվում կամr .

Ցանկացած բարդ թվի համարզ դրա մոդուլըr = | զ | որոշվում է եզակի բանաձևով .

Սահմանում . Իրական առանցքի դրական ուղղության և վեկտորի միջև անկյան մեծությունը , որը ներկայացնում է բարդ թիվ, կոչվում է այս բարդ թվի արգումենտ և նշվումԱ rg զ կամφ .

Համալիր թվի փաստարկզ = 0 անորոշ. Համալիր թվի փաստարկզ≠ 0 - բազմարժեք մեծություն և որոշվում է ժամկետում2 πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Արգ զ = արգ զ + 2 πk , Որտեղարգ զ – միջակայքում պարունակվող փաստարկի հիմնական արժեքը(-π; π] , այն է-π < արգ զ ≤ π (երբեմն ինտերվալին պատկանող արժեքը վերցվում է որպես փաստարկի հիմնական արժեք .

Այս բանաձեւը, երբr =1 հաճախ կոչվում է Moivre-ի բանաձևը.

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Օրինակ 11. Հաշվել(1 + ես ) 100 .

Գրենք բարդ թիվ1 + ես եռանկյունաչափական ձևով.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + ես մեղք եմ գործում )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + ես մեղք եմ գործում ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Կոմպլեքս թվի քառակուսի արմատ հանելը.

Բարդ թվի քառակուսի արմատ վերցնելիսա + երկ ունենք երկու դեպք.

Եթեբ >օ , Դա ;

Դիտարկենք սովորական (հանրահաշվական) ձևով տրված բարդ թիվը.

Նկար 3-ը ցույց է տալիս բարդ թիվ զ. Այս թվի կոորդինատները դեկարտյան կոորդինատային համակարգում ( ա, բ) Ցանկացած անկյունի sin և cos ֆունկցիաների սահմանումից հետևում է.

Ձայնագրման այս ձևը կոչվում է եռանկյունաչափականբարդ թվեր գրելու ձև.

Հավասարումները (2) քառակուսի են և ավելացվում են.

(4)

r- կոմպլեքս թվի շառավիղի վեկտորի երկարությունը զկոչվում է կոմպլեքս թվի մոդուլ և նշանակվում | զ|. Ակնհայտորեն | զ|≥0, և | զ|=0 եթե և միայն, եթե զ=0.

Կոմպլեքս թվին համապատասխան կետի բևեռային անկյան մեծությունը զ, այսինքն. անկյուն φ , կոչվում է այս թվի արգումենտ և նշվում arg z. նկատել, որ arg zիմաստ ունի միայն այն ժամանակ, երբ զ≠0. Կոմպլեքս թվի 0 փաստարկն անիմաստ է:

Կոմպլեքս թվի փաստարկը եզակիորեն սահմանված չէ: Եթե φ կոմպլեքս թվի արգումենտ, ապա φ +2πk, կ=0,1,... նույնպես կոմպլեքս թվի արգումենտ է, քանի որ cos( φ +2πk)=կոս φ , մեղք ( φ +2πk)=մեղք φ .

Կոմպլեքս թիվը հանրահաշվական ձևից եռանկյունաչափական ձևի վերածելը

Թող կոմպլեքս թիվը ներկայացվի հանրահաշվական ձևով. զ=ա+բի. Ներկայացնենք այս թիվը եռանկյունաչափական տեսքով։ Մենք հաշվարկում ենք բարդ թվի մոդուլը. . Հաշվիր փաստարկը φ կոմպլեքս թիվը արտահայտություններից կամ . Ստացված արժեքները տեղադրում ենք (3) հավասարման մեջ։

Օրինակ 1. Ներկայացրե՛ք բարդ թիվ զ=1 եռանկյունաչափական ձևով:

Լուծում. Համալիր համարը զ=1 կարող է ներկայացվել այսպես. զ=1+0ես φ =1/1. Որտեղի՞ց ենք այն ստանում: φ =0. Փոխարինելով մոդուլի և արգումենտի արժեքները (3), մենք ստանում ենք. զ=1 (cos0+ եսմեղք 0).

Պատասխանել. զ=1 (cos0+ եսմեղք 0).

Օրինակ 2. Ներկայացրե՛ք բարդ թիվ z=iեռանկյունաչափական ձևով.

Լուծում. Համալիր համարը z=iկարելի է ներկայացնել այսպես. զ=0+1ես. Հաշվենք այս թվի մոդուլը. . Հաշվենք այս թվի արգումենտը՝ cos φ =0/1. Որտեղի՞ց ենք այն ստանում: φ =π /2. Փոխարինելով մոդուլի և արգումենտի արժեքները (3), մենք ստանում ենք. .

Պատասխանել. .

Օրինակ 3. Ներկայացրե՛ք բարդ թիվ զ=4+3եսեռանկյունաչափական ձևով.

Լուծում. Հաշվենք այս թվի մոդուլը. . Հաշվենք այս թվի արգումենտը՝ cos φ =4/5. Որտեղի՞ց ենք այն ստանում: φ =arccos (4/5): Փոխարինելով մոդուլի և արգումենտի արժեքները (3)՝ մենք ստանում ենք.

Պատասխանել. , Որտեղ φ =arccos (4/5):

Բարդ թվերի բազմապատկում եռանկյունաչափական նշումով

զ 1 =r 1 (cos φ 1 +եսմեղք φ 1) և զ 2 =r 2 (cos φ 2 +եսմեղք φ 2). Բազմապատկենք այս թվերը.

դրանք. կոմպլեքս թվերի արտադրյալի մոդուլը հավասար է գործակիցների մոդուլների արտադրյալին.

Պատասխանել. .

Կոմպլեքս թվերի բաժանումը եռանկյունաչափական նշումով

Թող տրվեն բարդ թվեր զ 1 =r 1 (cos φ 1 +եսմեղք φ 1) և զ 2 =r 2 (cos φ 2 +եսմեղք φ 2) և թող զ 2 ≠0, այսինքն. r 2 ≠0. Եկեք հաշվարկենք զ 1 /զ 2:

Պատասխանել. .

Բազմապատկման և բաժանման երկրաչափական նշանակությունը

Նկար 4-ում ներկայացված է բարդ թվերի բազմապատկումը զ 1 և զ 2. (6) և (7)-ից հետևում է, որ արտադրանքը ստանալու համար զ 1 զ 2, ձեզ անհրաժեշտ է կետի վեկտոր-շառավիղը զ 1 պտույտ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ անկյան տակ φ 2 եւ ձգվել դեպի | զ 2 | անգամ (0z 2 |

Այժմ դիտարկենք կոմպլեքս թվի բաժանումը զ 1 զ 2 մեկ զ 1 (նկ.4): Բանաձևից (8) հետևում է, որ ցանկալի թվի մոդուլը հավասար է թվի մոդուլի բաժանման գործակցին. զ 1 զ 2 համարի մոդուլի համար զ 1 և փաստարկը հետևյալն է. φ 2 =φ −φ 1 . Բաժանման արդյունքում ստանում ենք թիվը զ 2 .

Այս բաժնում մենք ավելի շատ կխոսենք բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևի մասին: Ցուցադրական ձևը շատ ավելի քիչ է տարածված գործնական առաջադրանքներում: Խորհուրդ եմ տալիս հնարավորության դեպքում ներբեռնել և տպել: եռանկյունաչափական աղյուսակներ, մեթոդական նյութը կարելի է գտնել էջում Մաթեմատիկական բանաձեւեր եւ աղյուսակներ։ Դուք չեք կարող հեռու գնալ առանց սեղանների:

Ցանկացած բարդ թիվ (բացի զրոյից) կարելի է գրել եռանկյունաչափական ձևով.

Որտեղ է այն կոմպլեքս թվի մոդուլ, Ա - բարդ թվի արգումենտ.

Ներկայացնենք թիվը բարդ հարթության վրա: Բացատրության որոշակիության և պարզության համար մենք այն կտեղադրենք առաջին կոորդինատային քառորդում, այսինքն. մենք հավատում ենք, որ.

Կոմպլեքս թվի մոդուլբարդ հարթության սկզբնակետից մինչև համապատասխան կետ հեռավորությունն է: Պարզապես դիր, մոդուլը երկարությունն էշառավիղի վեկտորը, որը գծագրում նշված է կարմիրով:

Կոմպլեքս թվի մոդուլը սովորաբար նշվում է՝ կամ

Օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, հեշտ է դուրս բերել բարդ թվի մոդուլը գտնելու բանաձևը. Այս բանաձեւը ճիշտ է ցանկացածի համար«ա» և «լինել» իմաստները:

Նշում Կոմպլեքս թվի մոդուլը հայեցակարգի ընդհանրացումն է իրական թվի մոդուլ, որպես հեռավորություն կետից մինչև սկզբնաղբյուր:

Բարդ թվի փաստարկկանչեց անկյունմիջեւ դրական կիսաառանցքիրական առանցքը և սկզբնակետից համապատասխան կետ գծված շառավիղի վեկտորը: Փաստարկը եզակի համար սահմանված չէ.

Քննարկվող սկզբունքը իրականում նման է բևեռային կոորդինատներին, որտեղ բևեռային շառավիղը և բևեռային անկյունը եզակիորեն սահմանում են կետը:

Կոմպլեքս թվի արգումենտը սովորաբար նշվում է՝ կամ

Երկրաչափական նկատառումներից մենք ստանում ենք փաստարկը գտնելու հետևյալ բանաձևը.

. Ուշադրություն.Այս բանաձևն աշխատում է միայն աջ կես հարթությունում: Եթե կոմպլեքս թիվը տեղակայված չէ 1-ին կամ 4-րդ կոորդինատային քառորդում, ապա բանաձևը մի փոքր այլ կլինի: Այս դեպքերը նույնպես կվերլուծենք։

Բայց նախ, եկեք նայենք ամենապարզ օրինակներին, երբ կոմպլեքս թվերը տեղակայված են կոորդինատային առանցքների վրա:

Օրինակ 7

Ներկայացրե՛ք բարդ թվերը եռանկյունաչափական տեսքով՝ ,,,. Եկեք նկարենք.

Իրականում առաջադրանքը բանավոր է։ Պարզության համար ես կվերագրեմ բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը.

Եկեք հաստատապես հիշենք, մոդուլը. երկարությունը(որը միշտ ոչ բացասական), փաստարկ – անկյուն

1) Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական տեսքով: Գտնենք դրա մոդուլն ու փաստարկը։ Ակնհայտ է, որ. Պաշտոնական հաշվարկ՝ օգտագործելով բանաձևը. Ակնհայտ է, որ (թիվն ուղղակիորեն իրական դրական կիսաառանցքի վրա է): Այսպիսով, թիվը եռանկյունաչափական ձևով.

Հակադարձ ստուգման գործողությունը օրվա պես պարզ է.

2) Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական տեսքով: Գտնենք դրա մոդուլն ու փաստարկը։ Ակնհայտ է, որ. Պաշտոնական հաշվարկ՝ օգտագործելով բանաձևը. Ակնհայտ է (կամ 90 աստիճան): Գծագրում անկյունը նշված է կարմիր գույնով։ Այսպիսով, թիվը եռանկյունաչափական ձևով հետևյալն է. .

Օգտագործելով , հեշտ է վերադարձնել թվի հանրահաշվական ձևը (միևնույն ժամանակ ստուգում կատարելով).

3) Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական տեսքով: Եկեք գտնենք դրա մոդուլը և

փաստարկ. Ակնհայտ է, որ. Պաշտոնական հաշվարկ՝ օգտագործելով բանաձևը.

Ակնհայտ է (կամ 180 աստիճան): Գծագրում անկյունը նշված է կապույտով։ Այսպիսով, թիվը եռանկյունաչափական ձևով.

Փորձաքննություն:

4) Եվ չորրորդ հետաքրքիր դեպքը. Ակնհայտ է, որ. Պաշտոնական հաշվարկ՝ օգտագործելով բանաձևը.

Փաստարկը կարող է գրվել երկու ձևով՝ Առաջին ձև՝ (270 աստիճան), և համապատասխանաբար. . Փորձաքննություն:

Այնուամենայնիվ, հետևյալ կանոնը ավելի ստանդարտ է. Եթե անկյունը 180 աստիճանից մեծ է, ապա գրվում է մինուս նշանով և անկյան հակառակ կողմնորոշմամբ («ոլորում»)՝ (մինուս 90 աստիճան), գծագրում անկյունը նշված է կանաչ գույնով։ Հեշտ է նկատել

որը նույն անկյունն է։

Այսպիսով, մուտքը ստանում է ձև.

Ուշադրություն.Ոչ մի դեպքում չպետք է օգտագործեք կոսինուսի հավասարությունը, սինուսի տարօրինակությունը և ավելի «պարզեցրեք» նշումը.

Ի դեպ, օգտակար է հիշել եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների տեսքն ու հատկությունները, տեղեկատու նյութերը գտնվում են էջի վերջին պարբերություններում Հիմնական տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները: Իսկ բարդ թվերը շատ ավելի հեշտ կսովորեն:

Ամենապարզ օրինակների նախագծման մեջ այն պետք է գրեք այսպես. «Ակնհայտ է, որ մոդուլը ... ակնհայտ է, որ փաստարկը ...»:. Սա իսկապես ակնհայտ է և հեշտ է բանավոր լուծել:

Եկեք անցնենք ավելի տարածված դեպքերի քննարկմանը: Մոդուլի հետ կապված խնդիրներ չկան, դուք միշտ պետք է օգտագործեք բանաձևը: Բայց փաստարկը գտնելու բանաձևերը տարբեր կլինեն, կախված է նրանից, թե որ կոորդինատային քառորդում է գտնվում թիվը։ Այս դեպքում հնարավոր է երեք տարբերակ (օգտակար է դրանք վերաշարադրել).

1) Եթե (1-ին և 4-րդ կոորդինատային քառորդները, կամ աջ կիսահավասարությունը), ապա փաստարկը պետք է գտնել բանաձևի միջոցով:

2) Եթե (2-րդ կոորդինատային քառորդ), ապա արգումենտը պետք է գտնել բանաձևի միջոցով .

3) Եթե (3-րդ կոորդինատային եռամսյակ), ապա արգումենտը պետք է գտնել բանաձևով .

Օրինակ 8

Ներկայացրե՛ք բարդ թվերը եռանկյունաչափական տեսքով՝ ,,,.

Քանի որ կան պատրաստի բանաձևեր, անհրաժեշտ չէ լրացնել գծագիրը։ Բայց կա մի կետ. երբ ձեզ խնդրում են ներկայացնել թիվը եռանկյունաչափական ձևով, ապա Ամեն դեպքում ավելի լավ է նկարել. Փաստն այն է, որ առանց գծագրի լուծումը հաճախ մերժվում է ուսուցիչների կողմից, նկարի բացակայությունը մինուսի և ձախողման լուրջ պատճառ է:

Թվերը ներկայացնում ենք բարդ ձևով, իսկ առաջին և երրորդ թվերը կլինեն ինքնուրույն լուծման համար։

Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական տեսքով։ Գտնենք դրա մոդուլն ու փաստարկը։

Քանի որ (գործ 2), ապա

- այստեղ է, որ դուք պետք է օգտվեք արկտանգենսի տարօրինակությունից: Ցավոք, աղյուսակը չի պարունակում արժեքը, ուստի նման դեպքերում արգումենտը պետք է թողնել ծանր ձևով. – թվեր եռանկյունաչափական տեսքով:

Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական տեսքով։ Գտնենք դրա մոդուլն ու փաստարկը։

Քանի որ (գործ 1), ապա (մինուս 60 աստիճան):

Այսպիսով.

- թվեր եռանկյունաչափական տեսքով:

Բայց ահա, ինչպես արդեն նշվեց, կան թերություններ մի դիպչիր.

Բացի զվարճալի գրաֆիկական ստուգման մեթոդից, կա նաև վերլուծական ստուգում, որն արդեն իրականացվել է օրինակ 7-ում: Մենք օգտագործում ենք. եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակ, մինչդեռ հաշվի առնելով, որ անկյունը հենց աղյուսակի անկյունն է (կամ 300 աստիճան). – թվերը սկզբնական հանրահաշվական ձևով։

Ինքներդ ներկայացրեք թվերը եռանկյունաչափական տեսքով: Կարճ լուծում և պատասխան դասի վերջում.

Բաժնի վերջում հակիրճ՝ բարդ թվի էքսպոնենցիալ ձևի մասին:

Ցանկացած բարդ թիվ (բացի զրոյից) կարող է գրվել էքսպոնենցիալ ձևով.

Որտեղ է կոմպլեքս թվի մոդուլը և կոմպլեքս թվի արգումենտն է:

Ի՞նչ է անհրաժեշտ անել բարդ թիվը էքսպոնենցիալ ձևով ներկայացնելու համար: Գրեթե նույնը` կատարեք գծագիր, գտեք մոդուլ և փաստարկ: Եվ համարը գրեք ձևի մեջ:

Օրինակ՝ նախորդ օրինակի համարի համար մենք գտել ենք մոդուլը և արգումենտը՝,. Այնուհետև այս թիվը կգրվի էքսպոնենցիալ ձևով հետևյալ կերպ.

Էքսպոնենցիալ ձևով թիվը կունենա հետևյալ տեսքը.

Թիվ - Այսպիսով.

Միակ խորհուրդն է մի դիպչեք ցուցիչինցուցիչներ, կարիք չկա գործոնները վերադասավորելու, փակագծեր բացելու և այլն։ Կոմպլեքս թիվը գրվում է էքսպոնենցիալ ձևով խստորենըստ ձևի.

2.3. Բարդ թվերի եռանկյունաչափական ձև

Թող վեկտորը որոշվի բարդ հարթության վրա թվով:

Ֆ-ով նշենք դրական կիսաառանցքի Ox-ի և վեկտորի անկյունը (ֆ անկյունը համարվում է դրական, եթե այն չափվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, իսկ հակառակ դեպքում՝ բացասական):

Վեկտորի երկարությունը նշանակենք r-ով։ Հետո . Նշում ենք նաև

Ոչ զրոյական կոմպլեքս z թիվը ձևով գրելը

կոչվում է z բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև։ r թիվը կոչվում է z կոմպլեքս թվի մոդուլ, իսկ φ թիվը՝ այս կոմպլեքս թվի արգումենտ և նշանակվում է Arg z-ով։

Բարդ թվեր գրելու եռանկյունաչափական ձև - (Էյլերի բանաձև) - բարդ թիվ գրելու էքսպոնենցիոնալ ձև.

Կոմպլեքս z թիվը ունի անսահման շատ արգումենտներ. եթե φ0-ը z թվի որևէ արգումենտ է, ապա մնացած բոլորը կարելի է գտնել բանաձևի միջոցով:

Կոմպլեքս թվի համար արգումենտը և եռանկյունաչափական ձևը սահմանված չեն:

Այսպիսով, ոչ զրոյական բարդ թվի փաստարկը հավասարումների համակարգի ցանկացած լուծում է.

(3)

Z կոմպլեքս թվի փաստարկի φ արժեքը, որը բավարարում է անհավասարությունները, կոչվում է հիմնական արժեք և նշանակվում է arg z-ով։

Arg z և arg z արգումենտները կապված են ըստ

, (4)

Բանաձևը (5) (3) համակարգի հետևանքն է, հետևաբար բարդ թվի բոլոր փաստարկները բավարարում են հավասարությունը (5), բայց (5) հավասարման ոչ բոլոր φ լուծումներն են z թվի արգումենտներ։

Ոչ զրոյական կոմպլեքս թվի փաստարկի հիմնական արժեքը հայտնաբերվում է ըստ բանաձևերի.

Եռանկյունաչափական ձևով բարդ թվերը բազմապատկելու և բաժանելու բանաձևերը հետևյալն են.

. (7)

Կոմպլեքս թիվը բնական հզորության բարձրացնելիս օգտագործվում է Moivre բանաձևը.

Բարդ թվի արմատը հանելիս օգտագործվում է բանաձևը.

, (9)

որտեղ k=0, 1, 2, …, n-1:

Խնդիր 54. Հաշվիր որտեղ .

Ներկայացնենք այս արտահայտության լուծումը կոմպլեքս թիվ գրելու էքսպոնենցիալ ձևով՝ .

Եթե, ապա.

Հետո, . Հետեւաբար, ուրեմն Եվ , Որտեղ.

Պատասխան. , ժամը .

Խնդիր 55. Կոմպլեքս թվերը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով.

Ա) ; բ) ; V) ; G) ; դ) ; ե) ; և) .

Քանի որ բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը հետևյալն է.

ա) Կոմպլեքս թվով.

Ահա թե ինչու

բ) , Որտեղ ,

G) , Որտեղ ,

ե) .

և) , Ա , Դա .

Ահա թե ինչու

Պատասխան. ; 4; ; ; ; ; .

Խնդիր 56. Գտե՛ք բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը

Թող, .

Հետո, , .

Քանի որ և , , ապա , եւ

Հետևաբար, հետևաբար

Պատասխան. , Որտեղ.

Խնդիր 57. Օգտագործելով կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական ձևը՝ կատարե՛ք հետևյալ գործողությունները.

Պատկերացնենք թվերը և եռանկյունաչափական ձևով.

1), որտեղ Հետո

Գտեք հիմնական փաստարկի արժեքը.

Փոխարինենք արժեքները և արտահայտության մեջ մենք ստանում ենք

2) , որտեղ ապա

Հետո

3) Գտնենք գործակիցը

Ենթադրելով k=0, 1, 2, մենք ստանում ենք ցանկալի արմատի երեք տարբեր արժեքներ.

Եթե, ապա

Եթե, ապա .

Պատասխան՝ :

: .

Խնդիր 58. Թողեք , , , տարբեր կոմպլեքս թվեր և . Ապացուցեք դա

թիվ իրական դրական թիվ է;

բ) հավասարությունը գործում է.

ա) Ներկայացնենք այս բարդ թվերը եռանկյունաչափական տեսքով.

Որովհետեւ .

Եկեք ձևացնենք, որ. Հետո

Վերջին արտահայտությունը դրական թիվ է, քանի որ սինուսային նշանները պարունակում են թվեր միջակայքից:

համարից սկսած իրական և դրական: Իսկապես, եթե a-ն և b-ը բարդ թվեր են և իրական են և մեծ են զրոյից, ապա .

Բացի այդ,

հետեւաբար ապացուցված է պահանջվող հավասարությունը։

Խնդիր 59. Թիվը գրի՛ր հանրահաշվական տեսքով .

Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական ձևով և հետո գտնենք նրա հանրահաշվական ձևը: Մենք ունենք . Համար մենք ստանում ենք համակարգը.

Սա ենթադրում է հավասարություն. .

Կիրառելով Moivre-ի բանաձևը.

մենք ստանում ենք

Գտնված է տրված թվի եռանկյունաչափական ձևը։

Այժմ այս թիվը գրենք հանրահաշվական ձևով.

Պատասխան. .

Խնդիր 60. Գտե՛ք գումարը , ,

Դիտարկենք գումարը

Կիրառելով Moivre-ի բանաձեւը՝ մենք գտնում ենք

Այս գումարը հայտարարի հետ երկրաչափական պրոգրեսիայի n անդամների գումարն է և առաջին անդամը .

Կիրառելով նման պրոգրեսիայի պայմանների գումարի բանաձևը, մենք ունենք

Վերջին արտահայտության մեջ առանձնացնելով երևակայական մասը՝ գտնում ենք

Մեկուսացնելով իրական մասը՝ ստանում ենք նաև հետևյալ բանաձևը՝ , , .

Խնդիր 61. Գտե՛ք գումարը.

Ա) ; բ) .

Ըստ Նյուտոնի հզորացման բանաձևի՝ ունենք

Օգտագործելով Moivre-ի բանաձևը, մենք գտնում ենք.

Հավասարեցնելով ստացված արտահայտությունների իրական և երևակայական մասերը , մենք ունենք.

Եվ .

Այս բանաձևերը կարելի է կոմպակտ ձևով գրել հետևյալ կերպ.

, որտեղ է a թվի ամբողջ մասը։

Խնդիր 62. Գտի՛ր բոլորը, որոնց համար .

Քանի որ , ապա՝ օգտագործելով բանաձևը

, Արմատները հանելու համար մենք ստանում ենք ,

Հետևաբար, , ,

, .

Թվերին համապատասխան կետերը գտնվում են 2 շառավղով շրջանագծի մեջ գծված քառակուսու գագաթներում, որի կենտրոնը գտնվում է (0;0) կետում (նկ. 30):

Պատասխան. , ,

, .

Խնդիր 63. Լուծե՛ք հավասարումը , .

Ըստ պայմանի; հետևաբար, այս հավասարումը արմատ չունի, և հետևաբար այն համարժեք է հավասարմանը:

Որպեսզի z թիվը լինի այս հավասարման արմատը, թիվը պետք է լինի 1 թվի n-րդ արմատը։

Այստեղից մենք եզրակացնում ենք, որ սկզբնական հավասարումը ունի հավասարություններից որոշված արմատներ

Այսպիսով,

այսինքն. ,

Պատասխան. .

Խնդիր 64. Լուծե՛ք բարդ թվերի բազմության հավասարումը:

Քանի որ թիվը այս հավասարման արմատը չէ, ուրեմն այս հավասարման համար համարժեք է հավասարմանը.

Այսինքն՝ հավասարումը։

Այս հավասարման բոլոր արմատները ստացվում են բանաձևից (տես խնդիրը 62).

; ; ; ; .

Խնդիր 65. Կոմպլեքս հարթության վրա գծե՛ք անհավասարությունները բավարարող կետերի մի շարք. . (45-րդ խնդրի լուծման 2-րդ եղանակ)

Թող .

Նույնական մոդուլներ ունեցող բարդ թվերը համապատասխանում են հարթության կետերին, որոնք ընկած են սկզբնակետում կենտրոնացած շրջանագծի վրա, հետևաբար անհավասարությունը բավարարել բաց օղակի բոլոր կետերը, որոնք սահմանափակված են սկզբնամասում ընդհանուր կենտրոնով և շառավղով շրջաններով և (նկ. 31): Թող բարդ հարթության ինչ-որ կետ համապատասխանի w0 թվին: Թիվ , ունի w0 մոդուլից մի քանի անգամ փոքր մոդուլ, իսկ w0 արգումենտից մեծ արգումենտ։ Երկրաչափական տեսակետից w1-ին համապատասխան կետը կարելի է ստանալ սկզբնամասում կենտրոնով և գործակից ունեցող հոմոթետի միջոցով, ինչպես նաև սկզբնակետի նկատմամբ պտույտ՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ հակառակ անկյան միջոցով։ Այս երկու փոխակերպումները օղակի կետերում կիրառելու արդյունքում (նկ. 31) վերջինս կվերածվի օղակի, որը սահմանափակված է նույն կենտրոնով և 1 և 2 շառավղով շրջաններով (նկ. 32):

Փոխակերպում իրականացվում է վեկտորին զուգահեռ փոխանցման միջոցով: Կենտրոնով օղակը տեղափոխելով նշված վեկտորին՝ ստանում ենք նույն չափի օղակ, որի կենտրոնը գտնվում է կետում (նկ. 22):

Առաջարկվող մեթոդը, որն օգտագործում է ինքնաթիռի երկրաչափական փոխակերպումների գաղափարը, հավանաբար ավելի քիչ հարմար է նկարագրելու համար, բայց շատ էլեգանտ է և արդյունավետ:

Խնդիր 66. Գտե՛ք, եթե .

Թող , ապա եւ . Սկզբնական հավասարությունը կընդունի ձևը . Երկու կոմպլեքս թվերի հավասարության պայմանից ստանում ենք , , որից , . Այսպիսով, .

Z թիվը գրենք եռանկյունաչափական ձևով.

, Որտեղ , . Ըստ Moivre-ի բանաձևի, մենք գտնում ենք.

Պատասխան՝ 64.

Խնդիր 67. Կոմպլեքս թվի համար գտե՛ք բոլոր բարդ թվերն այնպես, որ , և .

Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական ձևով.

. Այստեղից, . Մեր ստացած թվի համար կարող է հավասար լինել կամ .

Առաջին դեպքում , երկրորդում

Պատասխան., .

Խնդիր 68. Գտե՛ք այնպիսի թվերի գումարը, որ . Խնդրում ենք նշել այս թվերից մեկը։

Նկատի ունեցեք, որ խնդրի հենց ձևակերպումից կարելի է հասկանալ, որ հավասարման արմատների գումարը կարելի է գտնել առանց իրենց արմատները հաշվարկելու: Իրոք, հավասարման արմատների գումարը -ի գործակիցն է, վերցված հակառակ նշանով (ընդհանրացված Վիետայի թեորեմ), այսինքն.

Ուսանողները, դպրոցական փաստաթղթերը, եզրակացություններ են անում այս հայեցակարգի յուրացման աստիճանի վերաբերյալ: Ամփոփեք մաթեմատիկական մտածողության առանձնահատկությունների ուսումնասիրությունը և բարդ թվի հասկացության ձևավորման գործընթացը: Մեթոդների նկարագրություն. Ախտորոշում. I փուլ. Զրույցն անցկացվեց մաթեմատիկայի ուսուցչի հետ, ով դասավանդում է 10-րդ դասարանում հանրահաշիվ և երկրաչափություն։ Զրույցը կայացել է սկզբից որոշ ժամանակ անց...

ռեզոնանս» (!)), որը ներառում է նաև սեփական վարքի գնահատում 4. Իրավիճակի ըմբռնման քննադատական գնահատում (կասկածներ) 5. Վերջապես իրավական հոգեբանության առաջարկությունների օգտագործումը (փաստաբանը հաշվի է առնում հոգեբանական. Կատարված մասնագիտական գործողությունների ասպեկտները՝ մասնագիտական հոգեբանական պատրաստվածություն) Այժմ դիտարկենք իրավական փաստերի հոգեբանական վերլուծությունը...

Եռանկյունաչափական փոխարինման մաթեմատիկա և մշակված դասավանդման մեթոդիկայի արդյունավետության ստուգում. Աշխատանքի փուլերը՝ 1. «Եռանկյունաչափական փոխարինման կիրառում հանրահաշվական խնդիրների լուծման համար» թեմայով ընտրովի դասընթացի մշակում խորացված մաթեմատիկայի դասարանների սովորողների հետ: 2. Մշակված ընտրովի դասընթացի անցկացում. 3. Ախտորոշիչ հետազոտություն իրականացնելու...

Ճանաչողական առաջադրանքները նախատեսված են միայն լրացնելու առկա ուսումնական միջոցները և պետք է համապատասխան համակցված լինեն ուսումնական գործընթացի բոլոր ավանդական միջոցների և տարրերի հետ: Հումանիտար գիտությունների դասավանդման կրթական խնդիրների տարբերությունը ճշգրիտներից՝ մաթեմատիկական խնդիրներից միայն այն է, որ պատմական խնդիրներում չկան բանաձևեր, խիստ ալգորիթմներ և այլն, ինչը բարդացնում է դրանց լուծումը։ ...

Գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա, որոնք գրված են հանրահաշվական ձևով

Կոմպլեքս թվի հանրահաշվական ձև z =(ա,բ).կոչվում է ձևի հանրահաշվական արտահայտություն

զ = ա + երկ.

Թվաբանական գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա զ 1 = ա 1 + բ 1 եսԵվ զ 2 = ա 2 + բ 2 ես, գրված հանրահաշվական ձևով, կատարվում են հետևյալ կերպ.

1. Կոմպլեքս թվերի գումարը (տարբերությունը):

զ 1 ± z 2 = (ա 1 ± ա 2) + (բ 1 ±բ 2)∙ ես,

դրանք. գումարումը (հանումը) կատարվում է համանման անդամների կրճատմամբ բազմանդամների գումարման կանոնի համաձայն։

2. Կոմպլեքս թվերի արտադրյալ

զ 1 ∙զ 2 = (ա 1 ∙ա 2 -բ 1 ∙բ 2) + (ա 1 ∙բ 2 + ա 2 ∙բ 1)∙ ես,

դրանք. Բազմապատկումն իրականացվում է բազմանդամների բազմապատկման սովորական կանոնով՝ հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ ես 2 = 1.

3. Երկու կոմպլեքս թվերի բաժանումն իրականացվում է հետեւյալ կանոնով.

, (զ 2 ≠ 0),

դրանք. բաժանումն իրականացվում է շահաբաժինն ու բաժանարարը բաժանարարի խոնարհ թվով բազմապատկելով։

Կոմպլեքս թվերի աստիճանականացումը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Հեշտ է դա ցույց տալ

Օրինակներ.

1. Գտի՛ր կոմպլեքս թվերի գումարը զ 1 = 2 – եսԵվ զ 2 = – 4 + 3ես.

զ 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ ես)+ (–4 + 3ես) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) ես = –2+2ես.

2. Գտի՛ր բարդ թվերի արտադրյալը զ 1 = 2 – 3եսԵվ զ 2 = –4 + 5ես.

= (2 – 3ես) ∙ (–4 + 5ես) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3ես)+ 2∙5ես– 3ես∙ 5ես = 7+22ես.

3. Գտի՛ր գործակիցը զբաժանումից զ 1 = 3 – 2na զ 2 = 3 – ես.

z = .

4. Լուծե՛ք հավասարումը. xԵվ y Î Ռ.

(2x+y) + (x+y)ես = 2 + 3ես.

Կոմպլեքս թվերի հավասարության շնորհիվ ունենք.

որտեղ x =–1 , y= 4.

5. Հաշվել. ես 2 ,ես 3 ,ես 4 ,ես 5 ,ես 6 ,ես -1 , ես -2 .

6. Հաշվե՛ք, եթե .

7. Հաշվի՛ր թվի փոխադարձությունը զ=3-ի.

Կոմպլեքս թվեր եռանկյունաչափական ձևով

Կոմպլեքս ինքնաթիռկոչվում է դեկարտյան կոորդինատներով ինքնաթիռ ( x, y), եթե յուրաքանչյուր կետ ունի կոորդինատներ ( ա, բ) կապված է բարդ թվի հետ z = a + bi. Այս դեպքում աբսցիսային առանցքը կոչվում է իրական առանցք, իսկ օրդինատների առանցքը երևակայական. Հետո ամեն կոմպլեքս թիվ ա+բիերկրաչափորեն պատկերված է հարթության վրա որպես կետ Ա (ա, բ) կամ վեկտոր:

Հետեւաբար, կետի դիրքորոշումը Ա(և, հետևաբար, բարդ թիվ զ) կարելի է ճշտել վեկտորի երկարությամբ | | = rև անկյուն ժ, առաջացած վեկտորի | | իրական առանցքի դրական ուղղությամբ։ Վեկտորի երկարությունը կոչվում է կոմպլեքս թվի մոդուլև նշվում է | զ |=ր, և անկյունը ժկանչեց բարդ թվի արգումենտև նշանակված է ժ = արգ զ.

Հասկանալի է, որ | զ| ³ 0 և | z | = 0 Û z = 0.

Սկսած Նկ. 2 պարզ է, որ.

Կոմպլեքս թվի արգումենտը որոշվում է երկիմաստ, բայց 2 ճշտությամբ pk, kÎ Զ.

Սկսած Նկ. 2 պարզ է նաև, որ եթե z=a+biԵվ j=արգ զ,Դա

cos j =, մեղք j =, տգ ժ =.

Եթե zÎՌԵվ z> 0, ապա arg z = 0 +2pk;

Եթե z ՕՌԵվ զ< 0, ապա arg z = p + 2pk;

Եթե z = 0,արգ զանորոշ.

Փաստարկի հիմնական արժեքը որոշվում է 0-ի միջակայքում £ արգ զ£2 p,

կամ -էջ£ արգ զ £ պ.

Օրինակներ.

1. Գտի՛ր կոմպլեքս թվերի մոդուլը զ 1 = 4 – 3եսԵվ զ 2 = –2–2ես.