СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 79. Извлечение корней из произведения и частного

Теорема 1. Корень п -й степени из произведения положительных чисел равен произведению корней п -й степени из сомножителей, то есть при а > 0, b > 0 и натуральном п

n √ab = n √a n √b . (1)

Доказательство. Напомним, что корень п -й степени из положительного числа ab есть такое положительное число, п -я степень которого равна ab . Поэтому доказать равенство (1) - это все равно, что доказать равенство

(n √a n √b ) n = ab .

По свойству степени произведения

(n √a n √b ) n = (n √a ) n (n √b ) n =.

Но по определению корня п -й степени (n √a ) n = а , (n √b ) n = b .

Поэтому (n √a n √b ) n = ab . Теорема доказана.

Требование а > 0, b > 0 существенно лишь для четного п , поскольку при отрицательных а и b и четном п корни n √a и n √b не определены. Если же п нечетно, то формула (1) справедлива для любых а и b (как положительных, так и отрицательных).

Примеры: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Формулу (1) полезно использовать при вычислении корней, когда подкоренное выражение представляется в виде произведения точных квадратом. Например,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Теорему 1 мы доказали для случая, когда под знаком радикала в левой части формулы (1) стоит произведение двух положительных чисел. На самом же деле эта теорема верна для любого числа положительных сомножителей, то есть при любом натуральном k > 2:

Следствие. Читая это тождество справа налево, мы получаем следующее правило умножения корней с одинаковыми.показателями;

Чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, достаточно перемножить подкоренные выражения, оставив показатель корня прежним.

Например, √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

Теорема 2. Корень п -й степени из дроби, числитель и знаменатель которой - положительные числа, равен частному от деления корня той же степени из числителя на корень той же степени из знаменателя , то есть при а > 0 и b > 0

(2)

Доказать равенство (2)-это значит показать, что

По правилу возведения дроби в степень и определению корня n -й степени имеем:

Тем самым теорема доказана.

Требование а > 0 и b > 0 существенно лишь при четном п . Если же п нечетно, то формула (2) верна и для отрицательных значений а и b .

Следствие. Читая тождество справа налево, мы получаем следующее правило деления корней с одинаковыми показателями:

Чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, достаточно разделить подкоренные выражения, оставив показатель корня прежним .

Например,

Упражнения

554. В каком месте доказательства теоремы 1 мы использовали то, что а и b положительны?

Почему при нечетном п формула (1) верна и для отрицательных чисел а и b ?

При каких значениях х верны данные равенства (№ 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √х + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 √х - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (х + 1) (х - 5) = 3 √х +1 3 √х - 5 .

558. √ х (х + 1) (х + 2) = √ х √ (х + 1) √ (х + 2)

559. √ (х - а ) 3 = (√ х - а ) 3 .

560. 3 √ (х - 5) 2 = (3 √ х - 5 ) 2 .

561. Вычислить:

a) √ 173 2 - 52 2 ; в) √ 200 2 - 56 2 ;

б) √ 373 2 - 252 2 ; г) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 205 см, а один из катетов 84 см. Найти другой катет.

563. Во сколько раз:

555. х > 3. 556. 2 < х < 8. 557. х - любое число. 558. х > 0. 559. х > а . 560. х - любое число. 563. а) В три раза.

Предметно-информационная: Ввести теорему о квадратном корне из дроби. Закрепление полученных знаний у учащихся по темам: “Арифметический квадратный корень”, “Квадратный корень из степени”, “Квадратный корень из произведения”. Закрепление навыков быстрого счета.

Деятельностно-коммуникационная: развитие и формирование у учащихся навыков логического мышления, правильной и грамотной речи, быстрой реакции.

Ценностно-ориентационная: вызвать у учащихся интерес к изучению данной темы и данного предмета. Умение применять полученные знания в практической деятельности и на других предметах.

1. Повторить определение арифметического квадратного корня.

2. Повторить теорему квадратного корня из степени.

3. Повторить теорему квадратный корень из произведения.

4. Развить навыки устного счета.

5. Подготовить учащихся к изучению темы “квадратный корень из дроби” и к усвоению материала геометрии.

6. Рассказать об истории возникновения арифметического корня.

Дидактические материалы и оборудование: дидактическая карта урока (Приложение 1 ), доска, мел, карточки для индивидуальных заданий (с учетом индивидуальных способностей учащихся), карточки для устного счета, карточки для самостоятельной работы.

Ход урока:

1. Организационный момент: записать тему урока, постановка цели и задачи урока (для учащихся).

Тема урок: Квадратный корень из дроби.

Цель урока: сегодня на уроке мы повторим определение арифметического квадратного корня, теоремы о квадратном корне из степени и квадратном корне из произведения. И познакомимся теоремой о квадратном корне из дроби.

Задачи урока:

1) повторим с помощью устного счета определения квадратного корня и теорем о квадратном корне из степени и произведения;

2) во время устного счета некоторые ребята выполнят задания по карточкам;

3) объяснение нового материала;

4) историческая справка;

5) выполнение заданий самостоятельной работы (в виде теста).

2. Фронтальный опрос:

1) устный счет: извлечь квадратный корень из следующих выражений:

а) используя определение квадратного корня вычислить:;;; ;

б) табличные значения: ; ;;;;; ;

в) квадратный корень из произведения ;;;;

г) квадратный корень из степени;;;;; ;

д) вынести общий множитель за скобки:;; ;.

2) индивидуальная работа по карточкам: Приложение 2 .

3. Проверка Д/З:

4. Объяснение нового материала:

Написать задание для учащихся на доске по вариантам “вычислить квадратный корень из дроби”:

Вариант 1: =

Вариант 2: =

Если ребята выполнили первое задание: спросить, как они его сделали?

1 вариант: представили в виде квадрата и получили . Сделать вывод.

2 вариант: представили числитель и знаменатель используя определение степени в виде и получили .

Дать еще рад примеров, например, вычислить квадратный корень из дроби ; ; .

Провести аналогию записать в буквенном виде:

Ввести теорему.

Теорема. Если а больше или равно 0, в больше 0, то корень из дроби а/в равен дроби в числителе которой стоит корень из а в знаменателе корень из в, т.е. корень из дроби равен корню из числителя и, деленному на корень из знаменателя.

Докажем, что 1) корень из а деленный на корень из в больше или равен 0

Доказательство. 1) Т.к. корень из а больше или равен 0 и корень из в больше 0 то корень из а деленный на корень из в больше или равен 0.

2)

5. Закрепление нового материала: из учебника Ш. А. Алимова: № 362 (1,3); № 363 (2,3); № 364 (2,4); №365 (2,3)

6. Историческая справка.

Арифметический корень произошел от латинского слова radix – корень, radicalis - коренной

Начиная с 13 века итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом radix (сокращенно r). В 1525 г. в книге Х.Рудольфа “Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс” появилось обозначение V для квадратного корня; кубический корень обозначался VVV. В 1626 г. голландский математик А. Жирар ввел обозначения V, VV, VVV и т. д., которые вскоре вытеснил знак r, при этом над подкоренным выражением ставилась горизонтальная черта. Современное обозначение корня впервые появилось в книге Рене Декарта “Геометрия”, изданной в 1637 году.

8. Домашнее задание: № 362 (2,4); № 363 (1,4); № 364 (1,3); №365 (1,4)

В этой статье мы разберем основные свойства корней . Начнем со свойств арифметического квадратного корня, дадим их формулировки и приведем доказательства. После этого займемся свойствами арифметического корня n -ой степени.

Навигация по странице.

Свойства квадратного корня

В этом пункте мы разберемся со следующими основными свойствами арифметического квадратного корня :

В каждом из записанных равенств можно левую и правую части поменять местами, например, равенство можно переписать как . В таком «обратном» виде свойства арифметического квадратного корня применяются при упрощении выражений столь же часто, как и в «прямом» виде.

Доказательство первых двух свойств базируется на определении арифметического квадратного корня и на . А для обоснования последнего свойства арифметического квадратного корня придется вспомнить .

Итак, начнем с доказательства свойства арифметического квадратного корня из произведения двух неотрицательных чисел : . Для этого, согласно определению арифметического квадратного корня, достаточно показать, что - неотрицательное число, квадрат которого равен a·b . Сделаем это. Значение выражения неотрицательно как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени произведения двух чисел позволяет записать равенство , а так как по определению арифметического квадратного корня и , то .

Аналогично доказывается, что арифметический квадратный корень из произведения k неотрицательных множителей a 1 , a 2 , …, a k равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. Действительно, . Из этого равенства следует, что .

Приведем примеры: и .

Теперь докажем свойство арифметического квадратного корня из частного : . Свойство частного в натуральной степени позволяет нам записать равенство , а , при этом есть неотрицательное число. Это и является доказательством.

Например, и .

Пришло время разобрать свойство арифметического квадратного корня из квадрата числа , в виде равенства оно записывается как . Для его доказательства рассмотрим два случая: при a≥0 и при a<0 .

Очевидно, что при a≥0 справедливо равенство . Также легко заметить, что при a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 и (−a) 2 =a 2 . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Приведем примеры: и .

Только что доказанное свойство квадратного корня позволяет обосновать следующий результат , где a – любое действительное число, а m – любое . В самом деле, свойство возведения степени в степень позволяет заменить степень a 2·m выражением (a m) 2 , тогда .

К примеру, и .

Свойства корня n-ой степени

Сначала перечислим основные свойства корней n-ой степени :

Все записанные равенства остаются справедливыми, если в них поменять местами левую и правую части. В таком виде они употребляются также часто, в основном при упрощении и преобразовании выражений.

Доказательство всех озвученных свойств корня основывается на определении арифметического корня n-ой степени , на свойствах степени и на определении модуля числа. Докажем их в порядке очередности.

Начнем с доказательства свойства корня n-ой степени из произведения . Для неотрицательных a и b значение выражения тоже неотрицательно, как произведение неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство . По определению арифметического корня n -ой степени и , следовательно, . Этим доказано рассматриваемое свойство корня.

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a 1 , a 2 , …, a n выполняется и .

Приведем примеры использования свойства корня n -ой степени из произведения: и .

Докажем свойство корня из частного . При a≥0 и b>0 выполняется условие , а .

Покажем примеры: и .

Двигаемся дальше. Докажем свойство корня n-ой степени из числа в степени n . То есть, докажем, что и для любого действительного a и натурального m . При a≥0 имеем и , что доказывает равенство , а равенство очевидно. При a<0 имеем и (последний переход справедлив в силу свойства степени с четным показателем), что доказывает равенство , а справедливо в силу того, что при разговоре о корне нечетной степени мы приняли для любого неотрицательного числа c .

Приведем примеры использования разобранного свойства корня: и .

Переходим к доказательству свойства корня из корня . Поменяем местами правую и левую части, то есть, докажем справедливость равенства , которое будет означать справедливость исходного равенства. Для неотрицательного числа a корень из корня вида является неотрицательным числом. Вспомнив свойство возведения степени в степень, и воспользовавшись определением корня, можно записать цепочку равенств вида . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказывается и свойство корня из корня из корня и т.д. Действительно, .

Например, и .

Докажем следующее свойство сокращения показателя корня . Для этого в силу определения корня достаточно показать, что есть неотрицательное число, которое при возведении в степень n·m равно a m . Сделаем это. Понятно, что если число a неотрицательное, то корень n -ой степени из числа a является неотрицательным числом. При этом , что и завершает доказательство.

Приведем пример применения разобранного свойства корня: .

Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида . Очевидно, что при a≥0 степень является неотрицательным числом. Более того, ее n -ая степень равна a m , действительно, . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, .

Переходим дальше. Докажем, что для любых положительных чисел a и b , для которых выполняется условие a, то есть, a≥b . А это противоречит условию a

Для примера приведем верное неравенство .

Наконец, осталось доказать последнее свойство корня n -ой степени. Докажем сначала первую часть этого свойства, то есть, докажем, что при m>n и 0. Тогда в силу свойств степени с натуральным показателем должно выполняться неравенство , то есть, a n ≤a m . А полученное неравенство при m>n и 0

Аналогично методом от противного доказывается, что при m>n и a>1 выполняется условие .

Приведем примеры применения доказанного свойства корня в конкретных числах. К примеру, верны неравенства и .

Список литературы.

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого равен a. Например, числа -5 и 5 являются квадратными корнями из числа 25. То есть, корни уравнения x^2=25, являются квадратными корнями из числа 25. Теперь необходимо научиться работать с операцией извлечения квадратного корня: изучить его основные свойства.

Квадратный корень из произведения

√(a*b) =√a*√b

Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел, равен произведению квадратных корней из этих чисел. Например, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Важно понимать, что это свойство распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение представляет собой произведение трех, четырех и т.д. неотрицательных множителей.

Иногда встречается и другая формулировка этого свойства. Если a и b есть неотрицательные числа, то справедливо следующее равенство √(a*b) =√a*√b. Разницы между ними нет абсолютно никакой, можно использовать как одну, так и другую формулировку(кому какую удобнее запомнить).

Квадратный корень из дроби

Если a>=0 и b>0, то справедливо следующее равенство:

√(a/b) =√a/√b.

Например, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

У этого свойства тоже существует другая формулировка, на мой взгляд, более удобная для запоминания.
Квадратный корень частного равен частному от корней.

Стоит отметить, что эти формулы работают как слева направо, так и справа налево. То есть при необходимости, мы можем произведение корней представить как корень из произведения. Тоже самое касается и второго свойства.

Как вы могли заметить, эти свойства очень удобны, и хотелось бы иметь такие же свойства для сложения и вычитания:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Но к сожалению таких свойств квадратные корни не имеют , и поэтому так делать при вычислениях нельзя .