Matemātiskās nevienlīdzības jēdziens radās senos laikos. Tas notika, kad primitīvam cilvēkam radās nepieciešamība salīdzināt savu skaitu un lielumu skaitot un darbības ar dažādiem objektiem. Kopš seniem laikiem nevienlīdzības savos argumentos izmantojuši Arhimēds, Eiklīds un citi slaveni zinātnieki: matemātiķi, astronomi, dizaineri un filozofi.

Bet viņi, kā likums, savos darbos izmantoja verbālo terminoloģiju. Pirmo reizi Anglijā tika izgudrotas un praktiski ieviestas modernās zīmes, kas apzīmē jēdzienus "vairāk" un "mazāk" tādā formā, kādu šodien zina katrs skolēns. Matemātiķis Tomass Hariots sniedza šādu pakalpojumu pēcnācējiem. Un tas notika apmēram pirms četriem gadsimtiem.

Ir daudz veidu nevienlīdzības. Starp tiem ir vienkārši, kas satur vienu, divus vai vairākus mainīgos, kvadrātveida, daļskaitļus, sarežģītas attiecības un pat attēlotas ar izteiksmju sistēmu. Un, lai saprastu, kā atrisināt nevienlīdzības, vislabāk ir izmantot dažādus piemērus.

Nenokavē vilcienu

Pirmkārt, iedomājieties, ka iedzīvotājs lauki steidzas uz dzelzceļa staciju, kas atrodas 20 km attālumā no viņa ciema. Lai nenokavētu vilcienu, kas atiet pulksten 11, viņam laicīgi jāiziet no mājas. Kurā laikā tas jādara, ja viņa kustības ātrums ir 5 km/h? Šī praktiskā uzdevuma risinājums tiek reducēts līdz izteiksmes nosacījumu izpildei: 5 (11 - X) ≥ 20, kur X ir izbraukšanas laiks.

Tas ir saprotams, jo attālums, kas ciema iedzīvotājam jāpārvar līdz stacijai, ir vienāds ar kustības ātrumu, kas reizināts ar stundu skaitu ceļā. nāc agrākais cilvēks varbūt, bet viņš nevar kavēties. Zinot, kā atrisināt nevienlīdzības, un pielietojot savas prasmes praksē, mēs galu galā iegūsim X ≤ 7, kas ir atbilde. Tas nozīmē, ka lauciniekam uz dzelzceļa staciju jādodas septiņos no rīta vai nedaudz agrāk.

Skaitļu atstarpes uz koordinātu līnijas

Tagad noskaidrosim, kā aprakstītās attiecības kartēt uz iepriekš iegūtā nevienlīdzība nav stingra. Tas nozīmē, ka mainīgajam var būt vērtības, kas mazākas par 7, un tas var būt vienāds ar šo skaitli. Sniegsim citus piemērus. Lai to izdarītu, rūpīgi apsveriet četrus zemāk esošos skaitļus.

Pirmajā no tiem var redzēt intervāla [-7; 7]. Tas sastāv no skaitļu kopas, kas atrodas uz koordinātu līnijas un atrodas starp -7 un 7, ieskaitot robežas. Šajā gadījumā punkti diagrammā tiek parādīti kā aizpildīti apļi, un intervāls tiek reģistrēts, izmantojot

Otrais attēls ir stingrās nevienlīdzības grafisks attēlojums. Šajā gadījumā robežskaitļi -7 un 7, kas parādīti ar caurdurtiem (neaizpildītiem) punktiem, nav iekļauti norādītajā komplektā. Un pats intervāls tiek ierakstīts iekavās šādi: (-7; 7).

Tas ir, izdomājot, kā atrisināt šāda veida nevienādības, un saņemot līdzīgu atbildi, varam secināt, ka tā sastāv no skaitļiem, kas atrodas starp aplūkotajām robežām, izņemot -7 un 7. Jāizvērtē nākamie divi gadījumi. līdzīgā veidā. Trešajā attēlā parādīti atstarpju attēli (-∞; -7] U - kvadrātiekavas.

*Tas attiecas ne tikai uz kvadrātu nevienādībām. Kvadrātiekavas nozīmē, ka risinājumā ir iekļauta pati intervāla robeža.

To redzēsit piemēros. Apskatīsim dažus, lai noņemtu visus jautājumus par to. Teorētiski algoritms var šķist nedaudz sarežģīts, patiesībā viss ir vienkāršs.

1. PIEMĒRS: izlemiet x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Mēs izlemjam kvadrātvienādojums x 2 –60 x+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Sakņu atrašana:

Mēs aizstājam koeficientu a

x 2 –60 x+500 = (x-50) (x-10)

Mēs rakstām nevienlīdzību formā (х–50) (х–10) ≤ 0

Vienādojuma saknes sadala skaitļu līniju intervālos. Parādīsim tos skaitļu rindā:

Mēs ieguvām trīs intervālus (–∞;10), (10;50) un (50;+∞).

Nosakām “zīmes” uz intervāliem, to darām, izteiksmē (x–50) (x–10) aizstājot katra saņemtā intervāla patvaļīgas vērtības un apskatām iegūtās “zīmes” atbilstību pierakstīties nevienlīdzībā (х–50) (х–10) ≤ 0:

pie x=2 (x–50) (x–10) = 384 > 0 ir nepareizs

pie x=20 (x–50) (x–10) = –300 < 0 верно

pie x=60 (x–50) (x–10) = 500 > 0 ir nepatiess

Risinājums būs intervāls.

Visām x vērtībām no šī intervāla nevienlīdzība būs patiesa.

*Lūdzu, ņemiet vērā, ka esam iekļāvuši kvadrātiekavas.

Ja x = 10 un x = 50, arī nevienādība būs patiesa, tas ir, robežas ir iekļautas risinājumā.

Atbilde: x∊

Atkal:

- Intervāla robežas IR IEKĻAUTAS nevienādības risinājumā, ja nosacījums satur zīmi ≤ vai ≥ (nestingrā nevienādība). Tajā pašā laikā iegūtās saknes ir ierasts attēlot skicē ar HASHED apli.

- Intervāla robežas NAV IEKĻAUTAS nevienādības risinājumā, ja nosacījums satur zīmi< или >(stingra nevienlīdzība). Tajā pašā laikā skicē ir ierasts parādīt sakni ar UNSHATCHED apli.

2. PIEMĒRS. Atrisiniet x 2 + 4 x–21 > 0

Atrisinām kvadrātvienādojumu x 2 + 4 x–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Sakņu atrašana:

Mēs aizstājam koeficientu a un saknes formulā (2), mēs iegūstam:

x 2 + 4 x–21 = (x–3) (x+7)

Mēs rakstām nevienlīdzību formā (х–3) (х+7) > 0.

Vienādojuma saknes sadala skaitļu līniju intervālos. Atzīmēsim tos uz skaitļu līnijas:

*Nevienlīdzība nav stingra, tāpēc sakņu apzīmējums NAV ieēnots. Mēs ieguvām trīs intervālus (–∞;–7), (–7;3) un (3;+∞).

Mēs nosakām intervālu “zīmes”, darām to, aizstājot šo intervālu patvaļīgas vērtības izteiksmē (x–3) (x + 7) un apskatām atbilstību nevienādībai. (х–3) (х+7)> 0:

pie x= -10 (-10-3) (-10 +7) = 39 > 0 patiess

pie x \u003d 0 (0–3) (0 + 7) \u003d -21< 0 неверно

pie x=10 (10–3) (10 +7) = 119 > 0 patiess

Atrisinājums būs divi intervāli (–∞;–7) un (3;+∞). Visām x vērtībām no šiem intervāliem nevienlīdzība būs patiesa.

*Lūdzu, ņemiet vērā, ka esam iekļāvuši iekavas. Ja x = 3 un x = -7, nevienlīdzība būs nepareiza - robežas nav iekļautas risinājumā.

Atbilde: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

3. PIEMĒRS. Atrisiniet – x 2 –9 x–20 > 0

Atrisinām kvadrātvienādojumu – x 2 –9 x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Sakņu atrašana:

Mēs aizstājam koeficientu a un saknes formulā (2), mēs iegūstam:

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= – (x+5) (x+4)

Mēs rakstām nevienlīdzību formā –(x+5)(x+4) > 0.

Vienādojuma saknes sadala skaitļu līniju intervālos. Piezīme skaitļu rindā:

*Nevienlīdzība ir stingra, tāpēc simboli saknēm nav ieēnoti. Mēs ieguvām trīs intervālus (–∞;–5), (–5; –4) un (–4;+∞).

Mēs nosakām "zīmes" uz intervāliem, mēs to darām, aizstājot izteiksmē –(x+5)(x+4) patvaļīgas šo intervālu vērtības un aplūkojiet atbilstību nevienlīdzībai –(x+5)(x+4)>0:

pie x= -10 - (-10+5) (-10 +4) = -30< 0 неверно

pie x= -4,5 - (-4,5+5) (-4,5+4) = 0,25 > 0 patiess

pie x \u003d 0 - (0 + 5) (0 + 4) \u003d -20< 0 неверно

Risinājums būs intervāls (-5; -4). Visām "x" vērtībām, kas tai pieder, nevienlīdzība būs patiesa.

*Lūdzu, ņemiet vērā, ka risinājumā robežas nav iekļautas. Ja x = -5 un x = -4, nevienlīdzība nebūs patiesa.

KOMENTĒT!

Atrisinot kvadrātvienādojumu, mēs varam iegūt vienu sakni vai sakņu nebūs vispār, tad, izmantojot šo metodi akli, var būt grūti noteikt risinājumu.

Neliels kopsavilkums! Metode ir laba un ērta lietošanā, it īpaši, ja esat iepazinies ar kvadrātfunkciju un zināt tās grafika īpašības. Ja nē, lūdzu, izlasiet to, pārejiet uz nākamo sadaļu.

Grafika lietojums kvadrātiskā funkcija. ES iesaku!

Kvadrātiskais ir formas funkcija:

Tās grafiks ir parabola, parabolas zari ir vērsti uz augšu vai uz leju:

Grafiku var novietot šādi: tas var šķērsot x asi divos punktos, var pieskarties tai vienā punktā (augšā), tas nevar šķērsot. Vairāk par to vēlāk.

Tagad aplūkosim šo pieeju ar piemēru. Viss lēmuma pieņemšanas process sastāv no trīs posmi. Atrisināsim nevienlīdzību x 2 +2 x –8 >0.

Pirmais posms

Atrisiniet vienādojumu x 2 +2 x–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Sakņu atrašana:

Mēs saņēmām x 1 \u003d 2 un x 2 \u003d - 4.

Otrā fāze

Parabolas veidošana y=x 2 +2 x–8 pēc punktiem:

Punkti - 4 un 2 ir parabolas un x ass krustošanās punkti. Viss ir vienkārši! Ko viņi izdarīja? Mēs esam atrisinājuši kvadrātvienādojumu x 2 +2 x–8=0. Apskatiet viņa ziņu šādi:

0 = x2+2x-8

Nulle mums ir "y" vērtība. Ja y = 0, mēs iegūstam parabolas krustošanās punktu ar x asi abscises. Mēs varam teikt, ka "y" nulles vērtība ir x ass.

Tagad apskatiet, kādas x vērtības ir izteiksme x 2 +2 x – 8 lielāks (vai mazāks) par nulli? Saskaņā ar parabola grafiku to nav grūti noteikt, kā saka, viss ir skaidri redzams:

1. Pie x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 būs pozitīva.

2. Pie -4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 būs negatīvs.

3. Ja x > 2, parabolas atzars atrodas virs x ass. Dotajam x, trinomāls x 2 +2 x –8 būs pozitīva.

Trešais posms

No parabolas mēs uzreiz varam redzēt, kura x izteiksme x 2 +2 x–8 lielāks par nulli, vienāds ar nulli, mazāks par nulli. Tāda ir risinājuma trešā posma būtība, proti, saskatīt un noteikt attēlā pozitīvās un negatīvās zonas. Rezultātu salīdzinām ar sākotnējo nevienādību un pierakstām atbildi. Mūsu piemērā ir jānosaka visas x vērtības, kurām ir izteiksme x 2 +2 x–8 Virs nulles. Mēs to izdarījām otrajā solī.

Atliek pierakstīt atbildi.

Atbilde: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Rezumējot: pirmajā solī aprēķinot vienādojuma saknes, iegūtos punktus varam atzīmēt uz x ass (tie ir parabolas krustošanās punkti ar x asi). Tālāk shematiski uzbūvējam parabolu un jau varam redzēt risinājumu. Kāpēc skices? Mums nav vajadzīgs matemātiski precīzs grafiks. Jā, un iedomājieties, piemēram, ja saknes izrādās 10 un 1500, mēģiniet izveidot precīzu grafiku uz lapas šūnā ar šādu vērtību diapazonu. Rodas jautājums! Nu, saknes dabūjām, nu, atzīmējām uz x ass, un uzskicējam pašas parabolas atrašanās vietu - ar zariem uz augšu vai uz leju? Šeit viss ir vienkārši! Koeficients pie x 2 jums pateiks:

- ja tas ir lielāks par nulli, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu.

- ja mazāks par nulli, tad parabolas zari ir vērsti uz leju.

Mūsu piemērā tas ir vienāds ar vienu, tas ir, tas ir pozitīvs.

*Piezīme! Ja nevienādībā ir stingra zīme, tas ir, ≤ vai ≥, tad skaitļu līnijas saknes ir jāieēno, tas nosacīti norāda, ka nevienādības risinājumā ir iekļauta pati intervāla robeža. Šajā gadījumā saknes nav noēnotas (izdurtas), jo mūsu nevienlīdzība ir stingra (ir zīme “>”). Ko nozīmē atbilde, šajā gadījumā likt apaļās iekavas, nevis kvadrātiekavas (robežas risinājumā nav iekļautas).

Daudz rakstīts, kāds apmulsis, iespējams. Bet, ja jūs atrisināsiet vismaz 5 nevienādības, izmantojot parabolas, tad jūsu apbrīnai nebūs robežu. Viss ir vienkārši!

Tātad īsumā:

1. Nevienādību pierakstām, pievedam pie standarta.

2. Pierakstām kvadrātvienādojumu un atrisinām to.

3. Uzzīmējam x asi, atzīmējam iegūtās saknes, shematiski uzzīmējam parabolu, sazarojamies uz augšu, ja koeficients pie x 2 ir pozitīvs, vai sazarojas uz leju, ja tas ir negatīvs.

4. Nosakām vizuāli pozitīvās vai negatīvās zonas un pierakstām atbildi atbilstoši sākotnējai nevienādībai.

Apsveriet piemērus.

1. PIEMĒRS: izlemiet x 2 –15 x+50 > 0

Pirmais posms.

Atrisinām kvadrātvienādojumu x 2 –15 x+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Sakņu atrašana:

Otrā fāze.

Mēs veidojam asi oh. Atzīmēsim iegūtās saknes. Tā kā mūsu nevienlīdzība ir stingra, mēs tās neēnosim. Mēs shematiski veidojam parabolu, tā atrodas ar zariem uz augšu, jo koeficients pie x 2 ir pozitīvs:

Trešais posms.

Mēs definējam vizuāli pozitīvās un negatīvās zonas, šeit mēs tās atzīmējām ar dažādām krāsām skaidrības labad, jūs to nevarat izdarīt.

Mēs pierakstām atbildi.

Atbilde: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Zīme U apzīmē savienības risinājumu. Tēlaini izsakoties, risinājums ir “šis” UN “šis” intervāls.

2. PIEMĒRS. Atrisiniet – x 2 + x+20 ≤ 0

Pirmais posms.

Atrisinām kvadrātvienādojumu – x 2 + x+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Sakņu atrašana:

Otrā fāze.

Mēs veidojam asi oh. Atzīmēsim iegūtās saknes. Tā kā mūsu nevienlīdzība nav stingra, mēs ēnosim sakņu apzīmējumus. Mēs shematiski veidojam parabolu, tā atrodas ar zariem uz leju, jo koeficients pie x 2 ir negatīvs (tas ir vienāds ar -1):

Trešais posms.

Mēs definējam vizuāli pozitīvās un negatīvās zonas. Salīdziniet ar sākotnējo nevienādību (mūsu zīme ≤ 0). Nevienādība būs patiesa x ≤ - 4 un x ≥ 5.

Mēs pierakstām atbildi.

Atbilde: x∊(–∞;–4] U ∪[ \frac(2) (3);∞)\)

Kvadrātiskās nevienādības ar negatīvu un nulles diskriminantu

Iepriekš minētais algoritms darbojas, ja diskriminants ir lielāks par nulli, tas ir, tam ir \(2\) sakne. Ko darīt citos gadījumos? Piemēram, šie:

Ja \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

Tas ir, izteiciens:
\(x^2+2x+9\) ir pozitīvs jebkuram \(x\), jo \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) — negatīvs jebkuram \(x\), jo \(a=-1<0\)

Ja \(D=0\), tad kvadrātveida trinomāls vienai \(x\) vērtībai ir vienāds ar nulli, un visiem pārējiem tam ir nemainīga zīme, kas sakrīt ar koeficienta \(a\) zīmi. .

Tas ir, izteiciens:
\(x^2+6x+9\) ir nulle \(x=-3\) un pozitīvs visiem pārējiem x, jo \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) ir vienāds ar nulli \(x=-2\) un negatīvs visiem pārējiem, jo \(a=-1<0\).

Kā atrast x, kurā kvadrātveida trinomāls ir vienāds ar nulli? Jums jāatrisina atbilstošais kvadrātvienādojums.

Izmantojot šo informāciju, atrisināsim kvadrātiskās nevienādības: