Šodien klasē mēs apskatīsim stingra secība Un stingra funkcijas robežas definīcija, kā arī iemācīties risināt aktuālas teorētiska rakstura problēmas. Raksts galvenokārt paredzēts dabaszinātņu un inženierzinātņu specialitāšu pirmā kursa studentiem, kuri sāka studēt matemātiskās analīzes teoriju un saskārās ar grūtībām izprast šo augstākās matemātikas sadaļu. Turklāt materiāls ir diezgan pieejams vidusskolēniem.

Vietnes pastāvēšanas gadu laikā esmu saņēmis duci vēstuļu ar aptuveni šādu saturu: “Es slikti saprotu matemātisko analīzi, ko man darīt?”, “Es vispār nesaprotu matemātiku, esmu domāju pamest studijas” utt. Un tiešām, tieši matāns bieži vien pēc pirmās sesijas izretina studentu grupu. Kāpēc tas tā ir? Tāpēc, ka tēma ir neiedomājami sarežģīta? Nepavisam! Matemātiskās analīzes teorija nav tik sarežģīta, cik savdabīga. Un jums ir jāpieņem un jāmīl viņa tāda, kāda viņa ir =)

Sāksim ar vissarežģītāko gadījumu. Pirmais un vissvarīgākais ir tas, ka jums nav jāatsakās no studijām. Saproti pareizi, vienmēr var atmest;-) Protams, ja pēc gada vai diviem paliek slikti no izvēlētās specialitātes, tad jā, par to vajadzētu padomāt (un nedusmojies!) par darbības maiņu. Bet pagaidām ir vērts turpināt. Un, lūdzu, aizmirstiet frāzi “Es neko nesaprotu” - tā nenotiek, ka jūs VISPĀR neko nesaprotat.

Ko darīt, ja teorija ir slikta? Tas, starp citu, attiecas ne tikai uz matemātisko analīzi. Ja teorija ir slikta, tad vispirms NOPIENI jākoncentrējas uz praksi. Šajā gadījumā vienlaikus tiek atrisināti divi stratēģiski uzdevumi:

– Pirmkārt, ievērojama daļa teorētisko zināšanu radās praksē. Un tāpēc daudzi cilvēki saprot teoriju caur... – tieši tā! Nē, nē, tu par to nedomā =)

– Un, otrkārt, praktiskās iemaņas visdrīzāk “izvilks” eksāmenā, pat ja... bet nu neaizrausimies tik ļoti! Viss ir īsts un visu var “pacelt” diezgan īsā laikā. Matemātiskā analīze ir mana iecienītākā augstākās matemātikas sadaļa, un tāpēc es vienkārši nevarēju jums sniegt palīdzīgu roku:

1. semestra sākumā parasti tiek aptverti secības ierobežojumi un funkciju ierobežojumi. Vai nesaprotat, kas tie ir, un nezināt, kā tos atrisināt? Sāciet ar rakstu Funkciju ierobežojumi, kurā “uz pirkstiem” apskatīts pats jēdziens un analizēti vienkāršākie piemēri. Pēc tam veiciet citas nodarbības par šo tēmu, tostarp nodarbību par tēmu secību ietvaros, par kuru es faktiski jau esmu formulējis stingru definīciju.

Kādus simbolus, izņemot nevienlīdzības zīmes un moduli, jūs zināt?

- gara vertikāla nūja skan šādi: “tāds”, “tāds”, “tāds” vai “tāds”, mūsu gadījumā, protams, mēs runājam par skaitli - tātad "tāds";

– visiem “en” lielāks par ;

– moduļa zīme nozīmē attālumu, t.i. šis ieraksts norāda, ka attālums starp vērtībām ir mazāks par epsilonu.

Nu, vai tas ir nāvējoši grūti? =)

Pēc prakses apguves es ar nepacietību gaidu jūs nākamajā rindkopā:

Un patiesībā, nedaudz padomāsim – kā formulēt stingru secības definīciju? ...Pirmā lieta, kas nāk prātā pasaulē praktiskā nodarbība: "secības robeža ir skaitlis, kuram secības dalībnieki tuvojas bezgalīgi tuvu."

Labi, pierakstīsim secība :

To saprast nav grūti secība tuvojas bezgalīgi tuvu skaitlim –1 un pāra skaitļiem - uz "vienu".

Vai varbūt ir divas robežas? Bet kāpēc tad nevienā secībā nevar būt desmit vai divdesmit no tiem? Jūs varat iet tālu šādā veidā. Šajā sakarā ir loģiski pieņemt, ka ja secībai ir ierobežojums, tad tā ir unikāla.

Piezīme : secībai nav ierobežojumu, taču no tās var atšķirt divas apakšsecības (skat. iepriekš), katrai no tām ir sava robeža.

Tādējādi iepriekš minētā definīcija izrādās nepieņemama. Jā, tas darbojas tādos gadījumos kā (ko es ne visai pareizi izmantoju vienkāršotos praktisko piemēru skaidrojumos), bet tagad mums ir jāatrod stingra definīcija.

Otrais mēģinājums: “secības robeža ir skaitlis, kuram tuvojas VISI secības dalībnieki, izņemot, iespējams, viņus galīgais daudzumus." Tas ir tuvāk patiesībai, bet joprojām nav pilnīgi precīzs. Tā, piemēram, secība puse no terminiem vispār netuvojas nullei - tie vienkārši ir vienādi ar to =) Starp citu, “mirgojošajai gaismai” parasti ir divas fiksētas vērtības.

Formulējumu nav grūti precizēt, bet tad rodas cits jautājums: kā uzrakstīt definīciju matemātiskajos simbolos? Zinātniskā pasaule ar šo problēmu cīnījās ilgu laiku, līdz situācija tika atrisināta slavenais maestro, kas būtībā formalizēja klasisko matemātisko analīzi visā tās stingrībā. Košī ieteica operāciju vide , kas būtiski paaugstināja teoriju.

Apsveriet kādu punktu un to patvaļīgi-vide:

"Epsilon" vērtība vienmēr ir pozitīva, un turklāt mums ir tiesības pašiem to izvēlēties. Pieņemsim, ka šajā apkaimē ir daudz dalībnieku (ne vienmēr visi) kāda secība. Kā pierakstīt to, ka, piemēram, desmitais termins ir kaimiņos? Ļaujiet tai atrasties tās labajā pusē. Tad attālumam starp punktiem un jābūt mazākam par “epsilon”: . Tomēr, ja “x desmitā” atrodas pa kreisi no punkta “a”, tad starpība būs negatīva, un tāpēc tai jāpievieno zīme modulis: .

Definīcija: skaitli sauc par secības robežu, ja jebkuram tās apkārtni (iepriekš atlasīts) ir naturāls skaitlis TĀDS VISI sērijas dalībnieki ar lielākiem skaitļiem atradīsies apkārtnē:

Vai īsumā: ja

Citiem vārdiem sakot, neatkarīgi no tā, cik maza ir “epsilon” vērtība, agri vai vēlu secības “bezgalīgā aste” PILNĪGI būs šajā apkārtnē.

Piemēram, secības “bezgalīgā aste”. PILNĪBĀ ieies jebkurā patvaļīgi mazā punkta apkārtnē . Tātad šī vērtība ir secības robeža pēc definīcijas. Atgādināšu, ka tiek izsaukta secība, kuras robeža ir nulle bezgala mazs.

Jāpiebilst, ka par secību vairs nevar teikt “bezgalīga aste” ienāks“- dalībnieki ar nepāra skaitļiem patiesībā ir vienādi ar nulli un “nekur neiet” =) Tāpēc definīcijā tiek lietots darbības vārds “parādās”. Un, protams, šādas secības dalībnieki arī “nekur neiet”. Starp citu, pārbaudiet, vai skaitlis ir tā ierobežojums.

Tagad mēs parādīsim, ka secībai nav ierobežojumu. Apsveriet, piemēram, punkta apkārtni . Ir pilnīgi skaidrs, ka nav tāda skaitļa, pēc kura VISI termini nonāks noteiktā apkaimē - nepāra vārdi vienmēr “izlēks” uz “mīnus viens”. Līdzīga iemesla dēļ šajā punktā nav ierobežojumu.

Konsolidēsim materiālu ar praksi:

1. piemērs

Pierādīt, ka secības robeža ir nulle. Norādiet skaitli, pēc kura visi secības dalībnieki garantēti atrodas jebkurā patvaļīgi mazā punkta apkārtnē.

Piezīme : Daudzām sekvencēm nepieciešamais naturālais skaitlis ir atkarīgs no vērtības — tātad apzīmējums .

Risinājums: apsveriet patvaļīgi vai ir kāds numurs — lai VISI dalībnieki ar lielāku skaitu atrastos šajā apkaimē:

Lai parādītu vajadzīgā skaitļa esamību, mēs to izsakām caur .

Tā kā jebkurai “en” vērtībai moduļa zīmi var noņemt:

Mēs izmantojam “skolas” darbības ar nevienlīdzību, ko es atkārtoju stundā Lineārās nevienādības Un Funkciju domēns. Šajā gadījumā svarīgs apstāklis ​​ir tas, ka “epsilon” un “en” ir pozitīvi:

Tā kā mēs runājam par naturāliem skaitļiem kreisajā pusē, un labā puse parasti ir daļēja, tā ir jānoapaļo:

Piezīme : dažreiz vienība tiek pievienota tiesībām, lai būtu drošā pusē, bet patiesībā tas ir pārspīlēti. Relatīvi runājot, ja mēs vājinām rezultātu, noapaļojot uz leju, tad tuvākais piemērotais skaitlis (“trīs”) joprojām apmierinās sākotnējo nevienlīdzību.

Tagad mēs aplūkojam nevienlīdzību un atceramies to, ko mēs sākotnēji apsvērām patvaļīgi-apkaime, t.i. "epsilon" var būt vienāds ar jebkurš pozitīvs skaitlis.

Secinājums: jebkurai patvaļīgi mazai punkta apkārtnei vērtība tika atrasta . Tādējādi skaitlis pēc definīcijas ir secības robeža. Q.E.D.

Starp citu, no iegūtā rezultāta ir skaidri redzams dabisks modelis: jo mazāka ir apkārtne, jo lielāks skaitlis, pēc kura VISI secības dalībnieki būs šajā apkārtnē. Bet neatkarīgi no tā, cik mazs ir “epsilons”, iekšpusē un ārpusē vienmēr būs “bezgalīga aste”, pat ja tā ir liela, tomēr galīgais biedru skaits.

Kādi iespaidi? =) Piekrītu, ka tas ir mazliet dīvaini. Bet stingri! Lūdzu, izlasiet vēlreiz un pārdomājiet visu vēlreiz.

Apskatīsim līdzīgu piemēru un iepazīsimies ar citiem tehniskajiem paņēmieniem:

2. piemērs

Risinājums: pēc secības definīcijas tas ir jāpierāda (saki to skaļi!!!).

Apsvērsim patvaļīgi- punkta un čekas apkārtne, vai tas pastāv naturāls skaitlis – tā, ka visiem lielākajiem skaitļiem pastāv šāda nevienādība:

Lai parādītu šādu esamību, jums ir jāizsaka “en” caur “epsilon”. Mēs vienkāršojam izteiksmi zem moduļa zīmes:

Modulis iznīcina mīnusa zīmi:

Saucējs ir pozitīvs jebkuram “en”, tāpēc nūjas var noņemt:

Jauktā secībā:

Tagad mums ir jāizņem kvadrātsakne, taču galvenais ir tas, ka kādam “epsilonam” labā puse būs negatīva. Lai izvairītos no šīs nepatikšanas stiprināsim nevienlīdzība pēc moduļa:

Kāpēc to var izdarīt? Ja, nosacīti runājot, izrādīsies, ka , tad arī nosacījums būs izpildīts. Modulis var tikai palielināt gribēju numuru, un tas arī mums derēs! Rupji sakot, ja der simtā, tad der arī divsimtā! Saskaņā ar definīciju jums ir jāparāda pats skaitļa pastāvēšanas fakts(vismaz daži), pēc tam visi secības dalībnieki atradīsies -apkaimē. Starp citu, tāpēc mēs nebaidāmies no pēdējās labās puses noapaļošanas uz augšu.

Saknes izvilkšana:

Un noapaļo rezultātu:

Secinājums: jo vērtība “epsilon” tika izvēlēta patvaļīgi, tad jebkurai patvaļīgi mazai punkta apkārtnei tika atrasta vērtība , lai visiem lielākajiem skaitļiem pastāvētu nevienlīdzība . Tādējādi a-priory. Q.E.D.

Es iesaku īpaši izpratne par nevienlīdzību stiprināšanu un vājināšanu ir tipisks un ļoti izplatīts matemātiskās analīzes paņēmiens. Vienīgais, kas jums jāuzrauga, ir šīs vai citas darbības pareizība. Tā, piemēram, nevienlīdzība nekādos apstākļos tas nav iespējams atraisīt, atņemot, teiksim, vienu:

Atkal nosacīti: ja cipars atbilst precīzi, tad iepriekšējais var vairs nederēt.

Šis neatkarīga risinājuma piemērs:

3. piemērs

Izmantojot secības definīciju, pierādiet to

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ja secība bezgala liels, tad robežas definīcija tiek formulēta līdzīgi: punktu sauc par secības robežu, ja kādai, tik liels, cik vēlaties skaitlis, ir tāds skaitlis, ka visiem lielākajiem skaitļiem nevienlīdzība tiks izpildīta. Numurs tiek izsaukts punkta "plus bezgalība" tuvumā:

Citiem vārdiem sakot, neatkarīgi no tā, cik lielu vērtību mēs pieņemam, secības “bezgalīgā aste” noteikti nonāks punkta apkārtnē, atstājot tikai ierobežotu skaitu vienumu kreisajā pusē.

Standarta piemērs:

Un saīsināts apzīmējums: , ja

Šajā gadījumā definīciju pierakstiet pats. Pareizā versija ir stundas beigās.

Kad esat izdomājis praktiskus piemērus un izdomājis secības robežas definīciju, varat pievērsties literatūrai par aprēķiniem un/vai lekciju piezīmju grāmatiņai. Iesaku lejupielādēt Bohan 1. sējumu (vienkāršāk - neklātienes studentiem) un Fihtenholcs (sīkāk un sīkāk). Citu autoru vidū iesaku Piskunovu, kura kurss ir vērsts uz tehniskajām augstskolām.

Centieties apzinīgi izpētīt teorēmas, kas attiecas uz secības robežu, to pierādījumiem, sekām. Sākumā teorija var šķist “duļķaina”, taču tas ir normāli - jums vienkārši jāpierod. Un daudzi to pat nobaudīs!

Stingra funkcijas robežas definīcija

Sāksim ar to pašu – kā formulēt šo jēdzienu? Funkcijas robežas verbālā definīcija ir formulēta daudz vienkāršāk: “skaitlis ir funkcijas robeža, ja ar “x” ir tendence uz (gan pa kreisi, gan pa labi), atbilstošās funkcijas vērtības mēdz » (skatīt zīmējumu). Šķiet, ka viss ir normāli, bet vārdi ir vārdi, nozīme ir nozīme, ikona ir ikona, un nav pietiekami stingru matemātisko apzīmējumu. Un otrajā rindkopā mēs iepazīsimies ar divām pieejām šī jautājuma risināšanai.

Ļaujiet funkcijai tikt definētai noteiktā intervālā, iespējams, izņemot punktu. Mācību literatūrā ir vispāratzīts, ka funkcija tur Nav definēts:

Šī izvēle uzsver funkcijas robežas būtība: "x" bezgala tuvu pieejas , un atbilstošās funkcijas vērtības ir bezgala tuvu Uz . Citiem vārdiem sakot, ierobežojuma jēdziens nenozīmē “precīzu pieeju” punktiem, bet gan bezgalīgi tuvs tuvinājums, nav nozīmes tam, vai funkcija ir definēta punktā vai nē.

Pirmā funkcijas robežas definīcija, kas nav pārsteidzoši, ir formulēta, izmantojot divas secības. Pirmkārt, jēdzieni ir saistīti, un, otrkārt, funkciju robežas parasti tiek pētītas pēc secību robežām.

Apsveriet secību punktus (nav uz zīmējuma), kas pieder pie intervāla un atšķirīgs no, kas saplūst Uz . Tad atbilstošās funkciju vērtības veido arī skaitlisku secību, kuras elementi atrodas uz ordinātu ass.

Funkcijas robeža saskaņā ar Heine jebkuram punktu secības (pieder un atšķiras no), kas saplūst līdz punktam , atbilstošā funkciju vērtību secība saplūst ar .

Eduards Heine ir vācu matemātiķis. ...Un nevajag neko tādu domāt, Eiropā ir tikai viens gejs - gejs-Lussaks =)

Tika izveidota otrā limita definīcija... jā, jā, tev taisnība. Bet vispirms sapratīsim tā dizainu. Apsveriet patvaļīgu punkta apkārtni (“melnā” apkārtne). Pamatojoties uz iepriekšējo rindkopu, ieraksts nozīmē to kāda vērtība funkcija atrodas “epsilon” apkārtnē.

Tagad atrodam -apkaimni, kas atbilst dotajai -apkaimei (garīgi zīmējiet melnas punktētas līnijas no kreisās uz labo un pēc tam no augšas uz leju). Ņemiet vērā, ka vērtība ir atlasīta gar mazākā segmenta garumu, šajā gadījumā - gar īsākā kreisā segmenta garumu. Turklāt punkta “aveņu” apkārtni var pat samazināt, jo nākamajā definīcijā svarīgs ir pats eksistences faktsšī apkārtne. Un līdzīgi apzīmējums nozīmē, ka kāda vērtība atrodas “deltas” apkārtnē.

Cauchy funkcijas ierobežojums: skaitli sauc par funkcijas robežu punktā if jebkuram iepriekš atlasīts apkārtne (tik mazs, cik vēlaties), pastāv- punkta apkārtne, TĀDS, ka: TIKAI vērtības (kas pieder) iekļauts šajā jomā: (sarkanās bultiņas)- TĀPĒC TŪLĪT tiek garantēta atbilstošo funkciju vērtību ievadīšana -apkaimē: (zilās bultiņas).

Jābrīdina, ka skaidrības labad es nedaudz improvizēju, tāpēc nepārlietojiet =)

Īss ieraksts: , ja

Kāda ir definīcijas būtība? Tēlaini izsakoties, bezgalīgi samazinot -apkaimi, mēs “pavadām” funkciju vērtības līdz to robežai, neatstājot tām alternatīvu tuvoties kaut kur citur. Diezgan neparasti, bet atkal stingri! Lai pilnībā izprastu domu, vēlreiz izlasiet formulējumu.

! Uzmanību: ja vajag tikai formulēt Heines definīcija vai vienkārši Košī definīcija lūdzu, neaizmirstiet par nozīmīgs sākotnējie komentāri: "Apsveriet funkciju, kas ir definēta noteiktā intervālā, iespējams, izņemot punktu". Es to vienreiz paziņoju pašā sākumā un neatkārtoju katru reizi.

Saskaņā ar atbilstošo matemātiskās analīzes teorēmu Heine un Košī definīcijas ir līdzvērtīgas, bet otrā iespēja ir visslavenākā (joprojām būtu!), ko sauc arī par "valodas ierobežojumu":

4. piemērs

Izmantojot limita definīciju, pierādiet to

Risinājums: funkcija ir definēta visā skaitļu rindā, izņemot punktu. Izmantojot definīciju, mēs pierādām robežas esamību noteiktā punktā.

Piezīme : “delta” apkaimes vērtība ir atkarīga no “epsilon”, tāpēc apzīmējums

Apsvērsim patvaļīgi-vide. Uzdevums ir izmantot šo vērtību, lai pārbaudītu, vai vai tas pastāv-vide, TĀDS, kas no nevienlīdzības seko nevienlīdzība .

Pieņemot, ka mēs pārveidojam pēdējo nevienlīdzību:
(paplašināja kvadrātisko trinomu)

Funkciju ierobežojums- numurs a būs kāda mainīga lieluma robeža, ja tā maiņas procesā šis mainīgais lielums bezgalīgi tuvosies a.

Vai citiem vārdiem sakot, skaitlis A ir funkcijas ierobežojums y = f(x) punktā x 0, ja jebkurai punktu secībai no funkcijas definīcijas domēna , nav vienāda x 0, un kas saplūst ar punktu x 0 (lim x n = x0), atbilstošo funkciju vērtību secība saplūst ar skaitli A.

Funkcijas grafiks, kuras robeža, ņemot vērā argumentu, kas tiecas uz bezgalību, ir vienāda ar L:

Nozīme A ir funkcijas robeža (robežvērtība). f(x) punktā x 0 jebkuras punktu secības gadījumā , kas saplūst ar x 0, bet kas nesatur x 0 kā viens no tā elementiem (t.i., caurdurtajā tuvumā x 0), funkciju vērtību secība saplūst ar A.

Košī funkcijas ierobežojums.

Nozīme A būs funkcijas robeža f(x) punktā x 0 ja par kādu iepriekš ņemtu nenegatīvu skaitli ε tiks atrasts attiecīgais nenegatīvais skaitlis δ = δ(ε) tāds, ka katram argumentam x, apmierinot nosacījumu 0 < | x - x0 | < δ , nevienlīdzība tiks apmierināta | f(x)A |< ε .

Tas būs ļoti vienkārši, ja sapratīsiet limita būtību un pamatnoteikumus tā atrašanai. Kāda ir funkcijas robeža f (x) plkst x tiecoties pēc a vienāds A, ir rakstīts šādi:

Turklāt vērtība, uz kuru mainīgais tiecas x, var būt ne tikai skaitlis, bet arī bezgalība (∞), dažreiz +∞ vai -∞, vai arī ierobežojumu var nebūt vispār.

Lai saprastu, kā atrast funkcijas robežas, vislabāk ir apskatīt risinājumu piemērus.

Ir jāatrod funkcijas robežas f (x) = 1/x pie:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Atradīsim risinājumu pirmajai robežai. Lai to izdarītu, varat vienkārši aizstāt x skaitlis, uz kādu tā mēdz, t.i. 2, mēs iegūstam:

Atradīsim funkcijas otro robežu. Šeit aizstājiet tīru 0 x tas nav iespējams, jo Jūs nevarat dalīt ar 0. Bet mēs varam ņemt vērtības tuvu nullei, piemēram, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 un tā tālāk, kā arī funkcijas vērtība f (x) palielināsies: 100; 1000; 10 000; 100 000 un tā tālāk. Tādējādi var saprast, ka kad x→ 0 funkcijas vērtība, kas atrodas zem ierobežojuma zīmes, pieaugs bez ierobežojuma, t.i. tiekties uz bezgalību. Kas nozīmē:

Attiecībā uz trešo robežu. Tāda pati situācija kā iepriekšējā gadījumā, to nav iespējams aizstāt ∞ tīrākajā veidā. Mums jāapsver neierobežota palielinājuma gadījums x. Mēs aizstājam 1000 pa vienam; 10 000; 100000 un tā tālāk, mums ir šī funkcijas vērtība f (x) = 1/x samazināsies: 0,001; 0,0001; 0,00001; un tā tālāk, tiecoties uz nulli. Tāpēc:

Ir nepieciešams aprēķināt funkcijas robežu

Sākot risināt otro piemēru, mēs redzam nenoteiktību. No šejienes mēs atrodam skaitītāja un saucēja augstāko pakāpi - tas ir x 3, mēs to izņemam no iekavām skaitītājā un saucējā un pēc tam samazinām par:

Atbilde

Pirmais solis iekšā atrast šo robežu, aizstājiet vērtību 1 x, kā rezultātā rodas nenoteiktība. Lai to atrisinātu, skaitītāju faktorizēsim un darīsim to, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu atrašanas metodi x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 — 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Tātad skaitītājs būs:

Atbilde

Šī ir tās īpašās vērtības vai noteiktas zonas, kurā funkcija ietilpst, definīcija, kuru ierobežo ierobežojums.

Lai atrisinātu ierobežojumus, ievērojiet noteikumus:

Sapratusi būtību un galveno limita risināšanas noteikumi, jūs iegūsit pamata izpratni par to risināšanu.

Šeit mēs aplūkosim secības galīgās robežas definīciju. Gadījums, kad secība konverģē uz bezgalību, ir aplūkota lapā “Bezgalīgi lielas secības definīcija”.

Definīcija .
(xn), ja jebkuram pozitīvam skaitlim ε > 0 pastāv naturāls skaitlis N ε atkarībā no ε tā, ka visiem naturālajiem skaitļiem n > N ε nevienādība
| x n - a|< ε .
Secības ierobežojums ir apzīmēts šādi:
.
Vai plkst.

Pārveidosim nevienlīdzību:
;
;
.

Tiek izsaukts atvērts intervāls (a - ε, a + ε). ε - punkta a apkārtne.

Tiek izsaukta secība, kurai ir ierobežojums konverģenta secība. Ir arī teikts, ka secība saplūst uz a. Tiek izsaukta secība, kurai nav ierobežojumu atšķiras.

No definīcijas izriet, ka, ja secībai ir robeža a, neatkarīgi no tā, kādu punktu a ε apkārtni mēs izvēlamies, ārpus tās var būt tikai ierobežots skaits sekvences elementu vai arī neviena (tukšā kopa) . Un jebkurā ε apkaimē ir bezgalīgs skaits elementu. Faktiski, dodot noteiktu skaitli ε, mēs iegūstam skaitli . Tātad visi secības elementi ar skaitļiem pēc definīcijas atrodas punkta a ε apkārtnē. Pirmie elementi var atrasties jebkur. Tas ir, ārpus ε apkaimes nevar būt vairāk par elementiem - tas ir, ierobežots skaitlis.

Mēs arī atzīmējam, ka starpībai nav monotoni jātiecas uz nulli, tas ir, visu laiku jāsamazinās. Tam var būt tendence uz nulli nemonotoniski: tas var palielināties vai samazināties ar lokāliem maksimumiem. Tomēr šiem maksimumiem, n palielinoties, vajadzētu būt līdz nullei (iespējams, arī ne monotoni).

Izmantojot eksistences un universāluma loģiskos simbolus, robežas definīciju var uzrakstīt šādi:
(1) .

Noteikt, ka a nav ierobežojums

Tagad apsveriet apgriezto apgalvojumu, ka skaitlis a nav secības ierobežojums.

Skaitlis a nav secības ierobežojums, ja ir tāds, ka jebkuram naturālam skaitlim n ir tāds naturāls m > n, Kas
.

Rakstīsim šo apgalvojumu, izmantojot loģiskos simbolus.
(2) .

Paziņojums, ka skaitlis a nav secības ierobežojums, nozīmē to
var izvēlēties tādu ε - punkta a apkārtni, ārpus kura atradīsies bezgalīgi daudz secības elementu.

Apskatīsim piemēru. Dota secība ar kopīgu elementu
(3)
Jebkurā punkta apkārtnē ir bezgalīgs skaits elementu. Tomēr šis punkts nav secības robeža, jo jebkurā punkta apkārtnē ir arī bezgalīgs skaits elementu. Ņemsim ε - punkta ar ε = apkārtni 1 . Šis būs intervāls (-1, +1) . Visi elementi, izņemot pirmo ar pāra n, pieder šim intervālam. Bet visi elementi ar nepāra n atrodas ārpus šī intervāla, jo tie apmierina nevienādību x n > 2 . Tā kā nepāra elementu skaits ir bezgalīgs, ārpus izvēlētās apkārtnes būs bezgalīgi daudz elementu. Tāpēc punkts nav secības robeža.

Tagad mēs to parādīsim, stingri ievērojot apgalvojumu (2). Punkts nav secības (3) ierobežojums, jo pastāv tāda, ka jebkuram dabiskajam n ir nepāra, kurai nevienlīdzība ir spēkā.
.

Var arī parādīt, ka neviens punkts a nevar būt šīs secības ierobežojums. Mēs vienmēr varam izvēlēties ε - punkta a apkārtni, kurā nav ne punkta 0, ne 2. Un tad ārpus izvēlētās apkārtnes atradīsies bezgalīgi daudz virknes elementu.

Līdzvērtīga definīcija

Varam dot līdzvērtīgu secības robežas definīciju, ja paplašinām jēdzienu ε - apkārtne. Mēs iegūsim līdzvērtīgu definīciju, ja ε-apkaimes vietā tā satur jebkuru punkta a apkārtni.

Punkta apkārtnes noteikšana
Punkta a apkārtne tiek izsaukts jebkurš atvērts intervāls, kas satur šo punktu. Matemātiski apkaime tiek definēta šādi: , kur ε 1 un ε 2 - patvaļīgi pozitīvi skaitļi.

Tad limita definīcija būs šāda.

Secības ierobežojuma līdzvērtīga definīcija
Skaitli a sauc par secības robežu, ja jebkurai tās apkārtnei ir tāds naturāls skaitlis N, ka visi virknes elementi ar skaitļiem pieder šai apkārtnei.

Šo definīciju var sniegt arī paplašinātā veidā.

Skaitli a sauc par secības robežu, ja kādiem pozitīviem skaitļiem un pastāv naturāls skaitlis N atkarībā no un tāds, ka nevienādības attiecas uz visiem naturālajiem skaitļiem
.

Definīciju līdzvērtības pierādījums

Pierādīsim, ka divas iepriekš sniegtās secības robežas definīcijas ir līdzvērtīgas.

Lai skaitlis a ir secības robeža saskaņā ar pirmo definīciju. Tas nozīmē, ka ir funkcija, tā ka jebkuram pozitīvam skaitlim ε ir izpildītas šādas nevienādības:
(4) plkst.

Parādīsim, ka skaitlis a ir secības robeža ar otro definīciju. Tas ir, mums jāparāda, ka ir tāda funkcija, ka jebkuram pozitīvam skaitļam ε 1 un ε 2 tiek izpildītas šādas nevienlīdzības:
(5) plkst.

Pieņemsim divus pozitīvus skaitļus: ε 1 un ε 2 . Un lai ε ir mazākais no tiem: . Tad ; ; . Izmantosim to (5):
.
Bet nevienlīdzības ir apmierinātas ar . Tad nevienādības (5) ir apmierinātas arī attiecībā uz .

Tas ir, mēs esam atraduši funkciju, kurai ir izpildītas nevienādības (5) jebkuriem pozitīviem skaitļiem ε 1 un ε 2 .
Pirmā daļa ir pierādīta.

Tagad ļaujiet skaitlim a būt secības robežai saskaņā ar otro definīciju. Tas nozīmē, ka ir tāda funkcija, ka jebkuriem pozitīviem skaitļiem ε 1 un ε 2 tiek izpildītas šādas nevienlīdzības:
(5) plkst.

Parādīsim, ka skaitlis a ir secības robeža pēc pirmās definīcijas. Lai to izdarītu, jums jāievieto . Tad, kad pastāv šādas nevienādības:
.
Tas atbilst pirmajai definīcijai ar .
Definīciju līdzvērtība ir pierādīta.

Piemēri

Šeit apskatīsim vairākus piemērus, kuros jāpierāda, ka dots skaitlis a ir virknes robeža. Šajā gadījumā jums ir jānorāda patvaļīgs pozitīvs skaitlis ε un jādefinē ε funkcija N tā, lai nevienlīdzība .

1. piemērs

Pierādiet to.

(1) .
Mūsu gadījumā;
.

.
Izmantosim nevienādību īpašības. Tad ja un , tad
.

.
Tad
plkst.
Tas nozīmē, ka skaitlis ir dotās secības ierobežojums:
.

2. piemērs

Izmantojot secības robežas definīciju, pierādiet to
.

Pierakstīsim secības robežas definīciju:
(1) .
Mūsu gadījumā ;
.

Ievadiet pozitīvus skaitļus un:
.
Izmantosim nevienādību īpašības. Tad ja un , tad
.

Tas nozīmē, ka jebkuram pozitīvam mēs varam pieņemt jebkuru naturālu skaitli, kas ir lielāks vai vienāds ar:
.
Tad
plkst.
.

3. piemērs

.

Mēs ieviešam apzīmējumu , .
Pārveidosim atšķirību:
.
Dabiskajai n = 1, 2, 3, ... mums ir:
.

Pierakstīsim secības robežas definīciju:
(1) .
Ievadiet pozitīvus skaitļus un:
.
Tad ja un , tad
.

Tas nozīmē, ka jebkuram pozitīvam mēs varam pieņemt jebkuru naturālu skaitli, kas ir lielāks vai vienāds ar:
.
Kurā
plkst.
Tas nozīmē, ka skaitlis ir secības ierobežojums:
.

4. piemērs

Izmantojot secības robežas definīciju, pierādiet to
.

Pierakstīsim secības robežas definīciju:
(1) .
Mūsu gadījumā ;
.

Ievadiet pozitīvus skaitļus un:
.
Tad ja un , tad
.

Tas nozīmē, ka jebkuram pozitīvam mēs varam pieņemt jebkuru naturālu skaitli, kas ir lielāks vai vienāds ar:
.
Tad
plkst.
Tas nozīmē, ka skaitlis ir secības ierobežojums:
.

Atsauces:
L.D. Kudrjavcevs. Matemātiskās analīzes kurss. 1. sējums. Maskava, 2003. g.
CM. Nikoļskis. Matemātiskās analīzes kurss. 1. sējums. Maskava, 1983. gads.

Apsveriet funkciju %%f(x)%%, kas definēta vismaz kādā caurdurtajā apkārtnē %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% no punkta %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% paplašināta skaitļu līnija.

Košī robežas jēdziens

Tiek izsaukts skaitlis %%A \in \mathbb(R)%%. funkcijas robeža%%f(x)%% punktā %%a \in \mathbb(R)%% (vai pie %%x%% tendence uz %%a \in \mathbb(R)%%), ja, kas Neatkarīgi no pozitīvā skaitļa %%\varepsilon%%, ir tāds pozitīvs skaitlis %%\delta%%, ka visiem punktiem, kas atrodas punkta %%\delta%% apkārtnē, ir funkcijas vērtības pieder %%\varepsilon %%-punkta %%A%% apkārtnei vai

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \bultiņa pa kreisi \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Labā bultiņa f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Šo definīciju sauc par %%\varepsilon%% un %%\delta%% definīciju, ko ierosinājis franču matemātiķis Augustins Košī un kas lietots no 19. gadsimta sākuma līdz mūsdienām, jo ​​tai piemīt nepieciešamā matemātiskā stingrība un precizitāte.

Apvienojot dažādas punkta %%a%% apkārtnes no formas %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ teksts(U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^ - (a) %% ar apkārtni %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, mēs iegūstam 24 Košī robežas definīcijas.

Ģeometriskā nozīme

Funkcijas robežas ģeometriskā nozīme

Noskaidrosim, kāda ir funkcijas robežas ģeometriskā nozīme punktā. Izveidosim funkcijas %%y = f(x)%% grafiku un atzīmēsim uz tā punktus %%x = a%% un %%y = A%%.

Funkcijas %%y = f(x)%% robeža punktā %%x \līdz a%% pastāv un ir vienāda ar A, ja jebkurai %%\varepsilon%% apkārtnei no punkta %%A%% var norādīt šādu %%\ delta%%-punkta apkaimi %%a%%, lai jebkurai %%x%% no šī %%\delta%%-apkaimes vērtība %%f(x)% % atradīsies %%\varepsilon%%-apkaimes punktos %%A%%.

Ņemiet vērā, ka, izmantojot funkcijas robežas definīciju saskaņā ar Košī, ierobežojuma pastāvēšanai pie %%x \līdz a%%, nav nozīmes tam, kādu vērtību funkcija iegūst punktā %%a%%. Var sniegt piemērus, kur funkcija nav definēta, ja %%x = a%% vai tās vērtība atšķiras no %%A%%. Tomēr ierobežojums var būt %%A%%.

Heines robežas noteikšana

Elements %%A \in \overline(\mathbb(R))%% tiek saukts par funkcijas %%f(x)%% ierobežojumu pie %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , ja jebkurai secībai %%\(x_n\) \līdz a%% no definīcijas domēna, atbilstošo vērtību secība %%\big\(f(x_n)\big\)% % tendence ir %%A%%.

Robežas definīcija saskaņā ar Heine ir ērti lietojama, ja rodas šaubas par funkcijas robežas esamību noteiktā punktā. Ja ir iespējams izveidot vismaz vienu secību %%\(x_n\)%% ar ierobežojumu punktā %%a%%, lai secība %%\big\(f(x_n)\big\)%% nav ierobežojumu, tad varam secināt, ka funkcijai %%f(x)%% šajā brīdī nav ierobežojumu. Ja uz diviem dažādi sekvencēm %%\(x"_n\)%% un %%\(x""_n\)%% ir tas pats ierobežojums %%a%%, secībām %%\big\(f(x"_n)\big\)%% un %%\big\(f(x""_n)\big\)%% ir dažādi robežas, tad šajā gadījumā nav arī funkcijas %%f(x)%% ierobežojuma.

Piemērs

Lai %%f(x) = \sin(1/x)%%. Pārbaudīsim, vai punktā %%a = 0%% pastāv šīs funkcijas ierobežojums.

Vispirms izvēlēsimies secību $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\), kas konverģē uz šo punktu. $$

Ir skaidrs, ka %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% un %%\lim (x_n) = 0%%. Tad %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% un %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Pēc tam paņemiet secību, kas saplūst ar to pašu punktu $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

kuriem %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% un %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. Līdzīgi secībai $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \right\), $$

arī saplūst līdz punktam %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

Visas trīs secības deva atšķirīgus rezultātus, kas ir pretrunā ar Heine definīcijas nosacījumu, t.i. šai funkcijai nav ierobežojumu punktā %%x = 0%%.

Teorēma

Košī un Heine robežas definīcijas ir līdzvērtīgas.

Pastāvīgs skaitlis A sauca ierobežojums sekvences(x n ), ja jebkuram patvaļīgi mazam pozitīvam skaitlimε > 0 ir skaitlis N, kuram ir visas vērtības x n, kuriem n>N, apmierina nevienādību

|x n - a|< ε. (6.1)

Pierakstiet to šādi: vai x n → a.

Nevienādība (6.1) ir ekvivalenta dubultajai nevienādībai

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

kas nozīmē, ka punkti x n, sākot no kāda skaitļa n>N, atrodas intervāla (a-ε, a+ ε ), t.i. iekrist jebkurā mazāε -punkta apkārtne A.

Tiek izsaukta secība ar ierobežojumu saplūst, citādi - atšķiras.

Funkcijas ierobežojuma jēdziens ir secības ierobežojuma jēdziena vispārinājums, jo secības robežu var uzskatīt par vesela skaitļa argumenta funkcijas x n = f(n) robežu. n.

Dota funkcija f(x) un pieņem a - robežpunktsšīs funkcijas definīcijas domēns D(f), t.i. tāds punkts, kura jebkurā apkārtnē ir kopas D(f) punkti, kas nav a. Punkts a var piederēt vai nepiederēt kopai D(f).

1. definīcija.Tiek izsaukts konstants skaitlis A ierobežojums funkcijas f(x) plkst x →a, ja jebkurai argumentu vērtību secībai (x n ), kas tiecas uz A, attiecīgajām sekvencēm (f(x n)) ir tāda pati robeža A.

Šo definīciju sauc definējot funkcijas robežu saskaņā ar Heine, vai " secības valodā”.

2. definīcija. Tiek izsaukts konstants skaitlis A ierobežojums funkcijas f(x) plkst x →a, ja, norādot patvaļīgi patvaļīgi mazu pozitīvu skaitli ε, var atrast šādu δ>0 (atkarībā no ε), kas ir paredzēts ikvienam x, guļskaitļa ε-apkaimes A, t.i. Priekš x, apmierinot nevienlīdzību
0 < x-a< ε , funkcijas f(x) vērtības atradīsiesSkaitļa A ε-apkaime, t.i.|f(x)-A|< ε.

Šo definīciju sauc definējot funkcijas robežu saskaņā ar Košī, vai “valodā ε - δ “.

1. un 2. definīcijas ir līdzvērtīgas. Ja funkcija f(x) kā x →ir ierobežojums, vienāds ar A, tas ir uzrakstīts formā

. (6.3)

Gadījumā, ja secība (f(x n)) palielinās (vai samazinās) bez ierobežojumiem jebkurai tuvināšanas metodei x līdz jūsu robežai A, tad teiksim, ka funkcijai f(x) ir bezgalīga robeža, un ierakstiet to šādā formā:

Tiek izsaukts mainīgais (t.i., secība vai funkcija), kura robeža ir nulle bezgala mazs.

Tiek izsaukts mainīgais, kura robeža ir vienāda ar bezgalību bezgala liels.

Lai praksē atrastu robežu, tiek izmantotas šādas teorēmas.

1. teorēma . Ja pastāv visas robežas

(6.4)

(6.5)

(6.6)

komentēt. Izteicieni, piemēram, 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - ir nenoteikti, piemēram, divu bezgalīgi mazu vai bezgalīgi lielu daudzumu attiecība, un šāda veida robežas atrašanu sauc par "nenoteiktības atklāšanu".

2. teorēma. (6.7)

tie. var sasniegt robežu, pamatojoties uz jaudu ar nemainīgu eksponentu, jo īpaši, ;

(6.8)

(6.9)

3. teorēma.

(6.10)

(6.11)

Kur e » 2.7 - naturālā logaritma bāze. Formulas (6.10) un (6.11) sauc par pirmo brīnišķīga robeža un otrā ievērojamā robeža.

Praksē tiek izmantotas arī formulas (6.11.) sekas:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

jo īpaši ierobežojums,

Ja x → a un vienlaikus x > a, pēc tam ierakstiet x→a + 0. Ja konkrēti a = 0, tad simbola 0+0 vietā rakstiet +0. Līdzīgi, ja x→a un tajā pašā laikā x a-0. Skaitļi un tiek attiecīgi saukti labā robeža Un kreisais ierobežojums funkcijas f(x) punktā A. Lai funkcijai f(x) būtu ierobežojums kā x→a ir nepieciešams un pietiekams, lai . Tiek izsaukta funkcija f(x). nepārtraukts punktā x 0 ja ierobežojums

. (6.15)

Nosacījumu (6.15.) var pārrakstīt šādi:

,

tas ir, pāreja uz robežu zem funkcijas zīmes ir iespējama, ja tā ir nepārtraukta noteiktā punktā.

Ja tiek pārkāpta vienlīdzība (6.15), tad mēs tā sakām plkst x = x o funkciju f(x) Tā ir plaisa Apsveriet funkciju y = 1/x. Šīs funkcijas definīcijas domēns ir kopa R, izņemot x = 0. Punkts x = 0 ir kopas D(f) robežpunkts, jo jebkurā tās apkārtnē, t.i. jebkurā atvērtajā intervālā, kurā ir punkts 0, ir punkti no D(f), bet tas pats nepieder šai kopai. Vērtība f(x o)= f(0) nav definēta, tāpēc punktā x o = 0 funkcijai ir pārtraukums.

Tiek izsaukta funkcija f(x). nepārtraukta labajā pusē punktā x o ja ierobežojums

,

Un nepārtraukts pa kreisi punktā x o, ja ierobežojums

.

Funkcijas nepārtrauktība punktā xo ir līdzvērtīgs tās nepārtrauktībai šajā punktā gan pa labi, gan pa kreisi.

Lai funkcija kādā punktā būtu nepārtraukta xo, piemēram, labajā pusē, pirmkārt, ir jābūt galīgai robežai, un, otrkārt, šī robeža ir vienāda ar f(x o). Tāpēc, ja nav izpildīts vismaz viens no šiem diviem nosacījumiem, funkcijai būs pārtraukums.

1. Ja robeža pastāv un nav vienāda ar f(x o), tad viņi tā saka funkciju f(x) punktā x o ir pirmā veida plīsums, vai lēciens.

2. Ja limits ir+∞ vai -∞ vai neeksistē, tad viņi saka, ka iekšā punktu xo funkcijai ir pārtraukums otrais veids.

Piemēram, funkcija y = cot x pie x→ +0 ierobežojums ir vienāds ar +∞, kas nozīmē, ka punktā x=0 tam ir otrā veida pārtraukums. Funkcija y = E(x) (vesela daļa no x) punktos ar veselām abscisēm ir pirmā veida pārtraukumi vai lēcieni.

Tiek izsaukta funkcija, kas ir nepārtraukta katrā intervāla punktā nepārtraukts V . Nepārtrauktu funkciju attēlo cieta līkne.

Daudzas problēmas, kas saistītas ar kāda daudzuma nepārtrauktu pieaugumu, noved pie otrās ievērojamās robežas. Pie šādiem uzdevumiem, piemēram, pieder: noguldījumu pieaugums pēc salikto procentu likuma, valsts iedzīvotāju skaita pieaugums, radioaktīvo vielu sabrukšana, baktēriju vairošanās utt.

Apsvērsim Ya. I. Perelman piemērs, sniedzot skaitļa interpretāciju e salikto procentu problēmā. Numurs e ir limits . Krājbankās ik gadu pamatkapitālam pievieno procentu naudu. Ja pievienošanās notiek biežāk, tad kapitāls aug straujāk, jo procentu veidošanā tiek iesaistīta lielāka summa. Ņemsim tīri teorētisku, ļoti vienkāršotu piemēru. Lai bankā nogulda 100 deniņus. vienības pamatojoties uz 100% gadā. Ja procentu naudu pamatkapitālam pievieno tikai pēc gada, tad līdz šim periodam 100 den. vienības pārvērtīsies 200 naudas vienībās. Tagad paskatīsimies, par ko pārvērtīsies 100 denize. vienības, ja ik pēc sešiem mēnešiem pamatkapitālam pievieno procentu naudu. Pēc sešiem mēnešiem 100 den. vienības pieaugs līdz 100× 1,5 = 150, un vēl pēc sešiem mēnešiem - 150× 1,5 = 225 (den. vienības). Ja pievienošanās notiek ik pēc 1/3 gada, tad pēc gada 100 den. vienības pārvērtīsies par 100× (1 +1/3) 3 collas 237 (den. vienības). Palielināsim procentu naudas pieskaitīšanas termiņus līdz 0,1 gadam, līdz 0,01 gadam, līdz 0,001 gadam utt. Tad no 100 den. vienības pēc gada būs:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. vienības),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. vienības),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. vienības).

Neierobežoti samazinot procentu pieskaitīšanas termiņus, uzkrātais kapitāls nepalielinās bezgalīgi, bet tuvojas noteiktai robežai, kas ir aptuveni 271. 100% gadā noguldītais kapitāls nevar palielināties vairāk kā 2,71 reizi, pat ja uzkrātie procenti tika pievienoti galvaspilsētai katru sekundi, jo limits

Piemērs 3.1.Izmantojot skaitļu virknes robežas definīciju, pierādiet, ka secībai x n =(n-1)/n ir robeža, kas vienāda ar 1.

Risinājums.Mums tas jāpierāda neatkarīgi no tāε > 0, neatkarīgi no tā, ko mēs ņemtu, tam ir naturāls skaitlis N, un uz visiem n N pastāv nevienādība|x n -1|< ε.

Ņemsim jebkuru e > 0. Kopš ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tad lai atrastu N pietiek atrisināt nevienādību 1/n< e. Tādējādi n>1/e un tāpēc N var uzskatīt par veselu skaitļa daļu no 1/ e , N = E(1/e ). Tādējādi mēs esam pierādījuši, ka robeža .

3. piemērs.2 . Atrodiet secības robežu, ko nosaka kopīgs termins .

Risinājums.Pielietosim summas teorēmas robežu un atradīsim katra termina robežu. Kad n→ ∞ katra vārda skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību, un mēs nevaram tieši pielietot koeficienta ierobežojumu teorēmu. Tāpēc vispirms mēs pārveidojam x n, dalot pirmā vārda skaitītāju un saucēju ar n 2, un otrais ieslēgts n. Tad, piemērojot koeficienta robežu un summas teorēmas robežu, mēs atrodam:

.

Piemērs 3.3. . Atrast.

Risinājums. .

Šeit mēs izmantojām pakāpes teorēmu: pakāpes robeža ir vienāda ar bāzes robežas pakāpi.

3. piemērs.4 . Atrast ( ).

Risinājums.Nav iespējams piemērot atšķirības teorēmas robežu, jo mums ir formas nenoteiktība ∞-∞ . Pārveidosim vispārīgā termina formulu:

.

3. piemērs.5 . Ir dota funkcija f(x)=2 1/x. Pierādiet, ka nav ierobežojumu.

Risinājums.Izmantosim funkcijas robežas 1 definīciju caur secību. Ņemsim secību ( x n ), kas saplūst ar 0, t.i. Parādīsim, ka vērtība f(x n)= dažādām sekvencēm darbojas atšķirīgi. Pieņemsim, ka x n = 1/n. Acīmredzot, tad robeža Ļaujiet mums tagad izvēlēties kā x n secība ar kopīgu terminu x n = -1/n, arī tiecas uz nulli. Tāpēc ierobežojumu nav.

3. piemērs.6 . Pierādiet, ka nav ierobežojumu.

Risinājums.Lai x 1 , x 2 ,..., x n ,... ir secība, kurai
. Kā secība (f(x n)) = (sin x n) darbojas dažādiem x n → ∞

Ja x n = p n, tad sin x n = sin p n = 0 visiem n un limits Ja
x n =2 p n+ p /2, tad sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 visiem n un tāpēc robeža. Tātad tas neeksistē.

Logrīks limitu aprēķināšanai tiešsaistē

Augšējā logā sin(x)/x vietā ievadiet funkciju, kuras limitu vēlaties atrast. Apakšējā logā ievadiet skaitli, uz kuru x tiecas, un noklikšķiniet uz pogas Aprēķināt, iegūstiet vēlamo limitu. Un, ja rezultātu logā augšējā labajā stūrī noklikšķināsit uz Rādīt darbības, jūs iegūsit detalizētu risinājumu.

Funkciju ievadīšanas noteikumi: sqrt(x) - kvadrātsakne, cbrt(x) - kubsakne, exp(x) - eksponents, ln(x) - naturālais logaritms, sin(x) - sinuss, cos(x) - kosinuss, tan (x) - tangenss, cot(x) - kotangenss, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangenss. Pazīmes: * reizināšana, / dalīšana, ^ kāpināšana, vietā bezgalība Bezgalība. Piemērs: funkcija tiek ievadīta kā sqrt(tan(x/2)).