Atklātā algebras stunda 11. klasē 19.10. 2011. gads

Skolotājs: Gorbunova S.V.

Nodarbības tēma: Funkcijas grafika pieskares vienādojums.

Nodarbības mērķi

1. 
   Precizēt jēdzienu "tangence".
2. 
   Atvasiniet pieskares vienādojumu.
3. 
   Uzrakstiet algoritmu funkcijas grafika pieskares vienādojuma sastādīšanai

y = f(x)".

1. 
   Sāciet praktizēt pieskares vienādojuma sastādīšanas prasmes un iemaņas dažādās matemātiskās situācijās.
2. 
   Veidot spēju analizēt, vispārināt, parādīt, izmantot pētījuma elementus, attīstīt matemātisko runu.

Aprīkojums: dators, prezentācija, projektors, interaktīvā tāfele, atgādinājumu kartītes, pārdomu kartītes.

Nodarbības struktūra:

1. 
   VIŅŠ. U.
2. 
   Nodarbības tēmas ziņojums
3. 
   Izpētītā materiāla atkārtošana
4. 
   Problēmas formulēšana.
5. 
   Jaunā materiāla skaidrojums.
6. 
   Algoritma izveide "pieskares vienādojuma sastādīšanai".
7. 
   Vēsturiska atsauce.
8. 
   Konsolidācija. Pieskares vienādojuma sastādīšanas prasmju un iemaņu attīstība.
9. 
   Mājasdarbs.
10. 
    Patstāvīgs darbs ar pašpārbaudi
11. 
    Apkopojot stundu.
12. 
    Atspulgs

Nodarbību laikā

1. O.N.U.

2. Nodarbības tēmas ievietošana

Šodienas nodarbības tēma ir "Funkcijas grafika pieskares vienādojums". Atveriet piezīmju grāmatiņas, pierakstiet stundas datumu un tēmu. (1. slaids)

Ļaujiet vārdiem, ko redzat uz ekrāna, kļūst par šodienas nodarbības moto. (2. slaids)

• 
  Nav sliktu ideju
• 
  Domājiet radoši
• 
  uzņemties risku
• 
  Nekritizējiet

Lai sagatavotos nodarbībai, atkārtosim iepriekš apgūto materiālu. Uzmanība ekrānam. Pierakstiet risinājumu piezīmju grāmatiņā.

2. Pētītā materiāla atkārtošana (3. slaids).

Mērķis: pārbaudīt zināšanas par diferenciācijas pamatlikumiem.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Kuram ir vairāk nekā viena kļūda? Kam tāds ir?

3. Atjaunināšana

Mērķis: Aktivizēt uzmanību, parādīt zināšanu trūkumu par tangensu, formulēt stundas mērķus un uzdevumus. (4. slaids)

Apspriedīsim, kas ir funkcijas grafika tangenss?

Vai piekrītat apgalvojumam, ka "Tangenss ir taisne, kurai ir viens kopīgs punkts ar noteiktu līkni"?
Notiek diskusija. Bērnu paziņojumi (jā un kāpēc, nē un kāpēc). Diskusijas laikā nonākam pie secinājuma, ka šis apgalvojums neatbilst patiesībai.

Apskatīsim konkrētus piemērus:

Piemēri.(5. slaids)
1) Taisnei x = 1 ir viens kopīgs punkts M(1; 1) ar parabolu y = x 2, bet tā nav pieskares parabolai.

Taisne y = 2x – 1, kas iet caur to pašu punktu, ir dotās parabolas pieskare.

Līnija x = π nav grafika pieskares y = cos x, lai gan tam ir vienīgais kopīgais punkts K(π; 1). No otras puses, taisne y = - 1, kas iet caur vienu un to pašu punktu, ir pieskares grafam, lai gan tai ir bezgalīgi daudz kopīgu punktu formā (π+2 πk; 1), kur k ir vesels skaitlis, katrā no kas attiecas uz diagrammu.

^ 4. Mērķu un uzdevumu noteikšana bērniem nodarbībā: (6. slaids)

Mēģiniet pats formulēt nodarbības mērķi.

Uzziniet, kāda ir funkcijas grafika pieskare punktā, atvasiniet pieskares vienādojumu. Izmantojiet formulu problēmu risināšanai
^ 5. Jauna materiāla apgūšana

Redziet, kā līnijas x=1 pozīcija atšķiras no pozīcijas y=2x-1? (7. slaids)

Secināt, kas ir tangenss?

Tangenss ir sekanta ierobežojošais stāvoklis.

Tā kā pieskare ir taisna līnija un mums ir jāuzraksta pieskares vienādojums, kas, jūsuprāt, ir jāatceras?

Atgādiniet taisnās līnijas vienādojuma vispārējo formu. (y \u003d kx + b)

Kāds ir skaitļa k cits nosaukums? (leņķa slīpums vai tangenss starp šo līniju un Ox ass pozitīvo virzienu) k \u003d tg α

Kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme?

Slīpuma leņķa tangensa starp tangensu un x ass pozitīvo virzienu

Tas ir, es varu uzrakstīt tg α = yˈ(x). (8. slaids)

Ilustrēsim to ar zīmējumu. (9. slaids)

Dota funkcija y = f (x) un punkts M, kas pieder šīs funkcijas grafikam. Definēsim tā koordinātas šādi: x=a, y=f(a), t.i. M (a, f (a)) un lai ir atvasinājums f "(a), t.i., dotajā punktā atvasinājums ir definēts. Novelkam tangensu caur punktu M. Pieskares vienādojums ir taisnes vienādojums rinda, tāpēc tas izskatās šādi: y \u003d kx + b. Tāpēc uzdevums ir atrast k un b. Pievērsiet uzmanību uz tāfeles, vai no tā, kas tur rakstīts, ir iespējams atrast k? (jā, k = f "(a).)

Kā tagad atrast b? Vēlamā līnija iet caur punktu M (a; f (a)), šīs koordinātas aizstājam līnijas vienādojumā: f (a) \u003d ka + b, tātad b \u003d f (a) - ka, jo k \u003d tg α \u003d yˈ(x), tad b = f(a) – f "(a)a

Aizvietojiet b un k vērtību vienādojumā y = kx + b.

y \u003d f "(a) x + f (a) - f "(a) a, izņemot kopējo koeficientu no iekavas, mēs iegūstam:

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).

Esam ieguvuši funkcijas y = f(x) grafika pieskares vienādojumu punktā x = a.

Lai pārliecinoši atrisinātu problēmas uz pieskares, jums skaidri jāsaprot katra šī vienādojuma elementa nozīme. Pakavēsimies vēlreiz pie šī: (10. slaids)

1. 
   (a, f (a)) - kontaktpunkts
2. 
   f "(a) \u003d tg α \u003d k slīpuma leņķis vai slīpums
3. 
   (x, y) - jebkurš pieskares punkts

Un tā mēs atvasinājām pieskares vienādojumu, analizējām katra šī vienādojuma elementa nozīmi, tagad mēģināsim iegūt algoritmu funkcijas y = f (x) grafika pieskares vienādojuma sastādīšanai.

6. Algoritma sastādīšana (11. slaids).

Es ierosinu izveidot algoritmu pašiem studentiem:

1. 
   Saskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a.
2. 
   Aprēķināsim f(a).
3. 
   Atrodiet f "(x) un aprēķiniet f "(a).
4. 
   Aizstāsim atrastās skaitļa a, f (a), f "(a) vērtības pieskares vienādojumā.
5. 
   y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).

(Iepriekš izdrukāto algoritmu izplatu studentiem kā atgādinājumu turpmākam darbam.)

1. 
   Vēsturiskais fons (12. slaids).

Uzmanība ekrānam. Atšifrējiet vārdu

1	4/3	9	-4	-1	-3	5

Atbilde: FLUX (13. slaids).

Kāds ir šī vārda izcelsmes stāsts? (14.15. slaids)

Atvasinājuma jēdziens radās saistībā ar nepieciešamību atrisināt vairākas problēmas fizikā, mehānikā un matemātikā. Gods atklāt matemātiskās analīzes pamatlikumus pieder angļu zinātniekam Ņūtonam un vācu matemātiķim Leibnicam. Leibnics apsvēra patvaļīgas līknes pieskares zīmēšanas problēmu.

Slavenais fiziķis Īzaks Ņūtons, kurš dzimis Anglijas ciematā Vulstropā, sniedza ievērojamu ieguldījumu matemātikā. Risinot uzdevumus par līkņu pieskares zīmēšanu, aprēķinot līknes figūru laukumus, viņš izveidoja vispārīgu metodi šādu uzdevumu risināšanai - plūsmas metode (atvasinājumi) un sauc par pašu atvasinājumu plūstoši .

Viņš aprēķināja jaudas funkcijas atvasinājumu un integrāli. Par diferenciālrēķinu un integrālrēķinu viņš raksta savā darbā "Fluxions Method of Fluxions" (1665-1666), kas kalpoja par vienu no matemātiskās analīzes, diferenciālrēķinu un integrālrēķinu aizsākumiem, kurus zinātnieks izstrādāja neatkarīgi no Leibnica.

Daudzus zinātniekus dažādos gados interesēja tangenss. Reizēm pieskares jēdziens tika sastapts itāļu matemātiķa N. Tartaglijas (ap 1500 - 1557) darbos - šeit pieskares parādījās pistoles slīpuma leņķa jautājuma izpētes gaitā, kas nodrošina šāviņa lidojuma vislielākā atbilstība. I. Keplers aplūkoja tangensu dotā rādiusa lodē ierakstītā paralēlskaldņa lielākā tilpuma problēmas risināšanas gaitā.

17. gadsimtā, pamatojoties uz G. Galileo kustības teoriju, aktīvi tika izstrādāta atvasinājuma kinemātiskā koncepcija. Dažādas prezentācijas versijas atrodamas R. Dekarta, franču matemātiķa Robervāla, angļu zinātnieka D. Gregorija, I. Barova darbos.

8. Konsolidācija (16.-18. slaids).

1) Sastādiet funkcijas f (x) grafika pieskares vienādojumu \u003d x² - 3x + 5 punktā ar abscisu.

Risinājums:

Izveidosim pieskares vienādojumu (pēc algoritma). Zvaniet spēcīgam studentam.

1. 
   a = -1;
2. 
   f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
3. 
   f "(x) \u003d 2x - 3,
   f "(a) \u003d f "(-1) \u003d -2 - 3 \u003d -5;
4. 
   y \u003d 9 - 5 (x + 1),

y = 4 - 5x.

Atbilde: y = 4 - 5x.

LIETOŠANAS uzdevumi 2011 B-8

1. Funkcija y \u003d f (x) ir definēta intervālā (-3; 4). Attēlā parādīts tā grafiks un šī grafika pieskare punktā ar abscisu a \u003d 1. Aprēķiniet atvasinājuma f "(x) vērtību punktā a \u003d 1.

Risinājums: lai to atrisinātu, ir jāatceras, ka, ja ir zināmas jebkuru divu punktu A un B, kas atrodas uz noteiktas taisnes, koordinātas, tad tā slīpumu var aprēķināt pēc formulas: k \u003d, kur (x 1; y 1), (x 2; y 2) ir attiecīgi punktu A, B koordinātas. Grafikā redzams, ka šī pieskare iet caur punktiem ar koordinātām (1; -2) un (3; -1), kas nozīmē k=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Funkcija y \u003d f (x) ir definēta intervālā (-3; 4). Attēlā parādīts tā grafiks un šī grafika pieskare punktā ar abscisu a = -2. Aprēķiniet atvasinājuma f "(x) vērtību punktā a \u003d -2.

Risinājums: grafiks iet caur punktiem (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8. Mājas darbs (19. slaids).

Sagatavošanās eksāmenam B-8 Nr.3 - 10

^ 9. Patstāvīgais darbs

Uzrakstiet funkcijas y \u003d f (x) grafika pieskares vienādojumu punktā ar abscisu a.
1. variants 2. variants

f(x) = x²+ x+1, a=1 f(x)= x-3x², a=2

atbildes: 1. variants: y=3x; 2. iespēja: y \u003d -11x + 12

10. Rezumējot.

• 
  Ko sauc par pieskari funkcijas grafikam punktā?
• 
  Kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme?
• 
  Formulēt algoritmu pieskares vienādojuma atrašanai punktā?

11. Pārdomas:

Izvēlieties emocijzīmi, kas atbilst jūsu noskaņojumam un stāvoklim pēc nodarbības. Paldies par nodarbību.

Nodarbības veids: apgūt jaunu materiālu.

Mācību metodes: vizuāls, daļēji pētniecisks.

Nodarbības mērķis:

1. Ieviest pieskares jēdzienu funkcijas grafikam punktā, noskaidrot, kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme, atvasināt pieskares vienādojumu un iemācīt to atrast konkrētām funkcijām.
2. Loģiskās domāšanas, pētniecisko prasmju, funkcionālās domāšanas, matemātiskās runas attīstība.
3. Komunikācijas prasmju attīstīšana darbā, veicināt studentu patstāvīgās darbības attīstību.

Aprīkojums: dators, multimediju projektors, izdales materiāli.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Nodarbība par tēmu "Tangenss. Pieskares vienādojums"

Nodarbības veids: apgūt jaunu materiālu.

Mācību metodes:vizuāls, daļēji pētniecisks.

Nodarbības mērķis:

1. Ieviest pieskares jēdzienu funkcijas grafikam punktā, noskaidrot, kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme, atvasināt pieskares vienādojumu un iemācīt to atrast konkrētām funkcijām.
2. Loģiskās domāšanas, pētniecisko prasmju, funkcionālās domāšanas, matemātiskās runas attīstība.
3. Komunikācijas prasmju attīstīšana darbā, veicināt studentu patstāvīgās darbības attīstību.

Aprīkojums: dators, multimediju projektors, izdales materiāli.

Nodarbības plāns

I organizatoriskais moments.
Skolēnu gatavības pārbaude stundai. Nodarbības tēmas vēstījums un devīze.

II Materiāla aktualizācija.
(Aktivizējiet uzmanību, parādiet zināšanu trūkumu par tangensu, formulējiet stundas mērķus un uzdevumus.)

Apspriedīsim, kas ir funkcijas grafika tangenss? Vai piekrītat apgalvojumam, ka "Tangenss ir taisne, kurai ir viens kopīgs punkts ar noteiktu līkni"?
Notiek diskusija. Bērnu paziņojumi (jā un kāpēc, nē un kāpēc). Diskusijas laikā nonākam pie secinājuma, ka šis apgalvojums neatbilst patiesībai.

Piemēri.
1) Taisnei x = 1 ir viens kopīgs punkts M(1; 1) ar parabolu y = x2, bet tā nav pieskares parabolai. Taisne y = 2x – 1, kas iet caur to pašu punktu, ir dotās parabolas pieskare.
2) Tāpat taisne x = π nav grafa pieskares y = cos x , lai gan tam ir vienīgais kopīgais punkts K(π; 1). No otras puses, taisne y = - 1, kas iet caur vienu un to pašu punktu, ir pieskares grafam, lai gan tai ir bezgalīgi daudz kopīgu formas punktu ar to;(π+2 πk; 1), kur k ir vesels skaitlis, un katrā no tiem tas skar grafiku.

1. attēls

2. attēls

Mērķu un uzdevumu noteikšana bērniem nodarbībā:noskaidrot, kāda ir funkcijas grafika pieskare punktā, kā uzrakstīt vienādojumu pieskarei?
Kas mums tam vajadzīgs?
Atgādiniet taisnes vienādojuma vispārīgo formu, paralēlo līniju nosacījumus, atvasinājuma definīciju, diferenciācijas noteikumus.

III Sagatavošanās darbs jauna materiāla apguvei.
Aptaujas materiāls uz kartēm: (uzdevumi tiek izpildīti uz tāfeles)
1 students: aizpildiet elementāro funkciju atvasinājumu tabulu

2 skolēns: atcerieties diferenciācijas noteikumus

3 skolēns: uzrakstiet taisnes vienādojumu y = kx + 4 kas iet caur punktu A(3; -2).
(y=-2x+4)

4 skolēns: izveido taisnu līniju vienādojumu y=3x+b kas iet caur punktu С(4; 2).
(y = 3x - 2).

Ar pārējo frontālo darbu.

1. Formulējiet atvasinājuma definīciju.
2. Kuras no tālāk norādītajām taisnēm ir paralēlas? y = 0,5x; y \u003d - 0,5x; y \u003d - 0,5x + 2. Kāpēc?

Uzminiet zinātnieka vārdu:

Atbilžu atslēga

Kas bija šis zinātnieks, ar ko saistīts viņa darbs, uzzināsim nākamajā nodarbībā.
Pārbaudiet skolēnu atbildes uz kartītēm.
IV Jauna materiāla izpēte.
Lai plaknē uzstādītu taisnes vienādojumu, mums pietiek zināt tās leņķi
viena punkta koeficients un koordinātas.

• Sāksim ar slīpumu

3. attēls

Apsveriet funkcijas grafiku y = f(x) diferencējams punktā A(x 0 , f(x 0 )) .
Izvēlieties punktu uz tā M (x 0 + Δх, f (x 0 + Δх)) un uzzīmējiet sekantu AM .
Jautājums: kāds ir sekanta slīpums? (∆f/∆x=tgβ)

Mēs tuvināsim punktu gar loku M līdz punktam A . Šajā gadījumā taisni AM griezīsies ap punktu A , tuvojas (gludām līnijām) uz kādu ierobežojošu stāvokli - taisnu līniju AT . Citiem vārdiem sakot, AT , kam ir šis īpašums, sauc pieskares uz funkcijas grafiku y \u003d f (x) punktā A (x 0, f (x 0)).

Sekanta slīpums AM plkst → 0 tiecas uz pieskares slīpumu AT Δf/Δx → f "(x 0 ) . Atvasinājuma vērtība punktā x 0 ņemt par pieskares slīpumu. Viņi tā sakatangenss ir sekanta robežpozīcija pie ∆x → 0.

Funkcijas atvasinājuma esamība punktā x 0 ir ekvivalents (nevertikālas) pieskares esamībai punktā (x 0 , f(x 0 )) grafu, savukārt pieskares slīpums ir vienāds ar f "(x 0) . Tas ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme.

Pieskares definīcija: pieskares grafikam, kas ir diferencējams punktā x 0 funkcija f ir taisne, kas iet caur punktu(x 0 , f(x 0 )) un kam ir slīpums f "(x 0) .
Uzzīmēsim grafam pieskares funkcijas y \u003d f (x) punktos x 1, x 2, x 3 , un atzīmējiet leņķus, ko tie veido ar x asi. (Tas ir leņķis, ko mēra pozitīvā virzienā no ass pozitīvā virziena līdz taisnei.)

4. attēls

Mēs redzam, ka leņķis α 1 ir akūts, leņķis α 3 ir neass un leņķis α 2 ir nulle, jo līnija l ir paralēla Vērša asij. Akūtā leņķa tangensa ir pozitīva, strupā leņķa ir negatīva. Tāpēc f "(x 1)> 0, f" (x 2) \u003d 0, f "(x 3)

• Tagad mēs iegūstam tangentes vienādojumuuz funkcijas grafiku f punktā A(x 0 , f(x 0 ) ).

Taisnās līnijas vienādojuma vispārīgs skats y = kx + b .

1. Atradīsim leņķa koeficientu k \u003d f "(x 0), mēs iegūstam y \u003d f "(x0) ∙ x + b, f (x) \u003d f "(x 0 )∙x + b
2. Atradīsim b. b \u003d f (x 0) - f "(x 0) ∙ x 0.
3. Aizstāt iegūtās vērtības k un b taisnas līnijas vienādojumā: y \u003d f "(x 0) ∙ x + f (x 0) - f "(x 0) ∙ x 0 vai y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)

• Lekciju materiāla vispārināšana.

- formulēt algoritmu pieskares vienādojuma atrašanai punktā?

1. Funkcijas vērtība saskares punktā
2. Funkcijas kopīgs atvasinājums
3. Atvasinājuma vērtība saskares punktā
4. Aizvietojiet atrastās vērtības vispārējā pieskares vienādojumā.

V Izpētītā materiāla konsolidācija.

1. Mutiskais darbs:
1) B kuri grafa punkti pieskaras tai
a) horizontāli;
b) veido asu leņķi ar x asi;
c) veido strupu leņķi ar x asi?
2) Kurām argumenta vērtībām ir grafa dotās funkcijas atvasinājums
a) vienāds ar 0;
b) vairāk nekā 0;
c) mazāks par 0?

5. attēls

6. attēls

3) Attēlā parādīts funkcijas grafiks f(x) un tai pieskares punktā ar abscisu x0 . Atrodiet funkcijas atvasinājuma vērtību f "(x) punktā x 0 .

7. attēls

2. Rakstisks darbs.
Nr.253 (a, b), Nr.254 (a, b). (lauka darbi, ar komentāriem)

3. Atsauces uzdevumu risinājums.
Apskatīsim četrus uzdevumu veidus. Bērni izlasa uzdevuma stāvokli, piedāvā risinājuma algoritmu, viens no skolēniem to uzzīmē uz tāfeles, pārējie pieraksta kladē.
1. Ja ir dots pieskāriena punkts
Uzrakstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu f(x) = x 3 - 3x - 1 punktā M ar abscisu -2.
Risinājums:

1. Aprēķināsim funkcijas vērtību: f(-2) = (-2) 3 - 3 (-2) - 1 = -3;
2. atrodiet funkcijas atvasinājumu: f "(x) \u003d 3x 2 - 3;
3. aprēķina atvasinājuma vērtību: f "(-2) \u003d - 9 .;
4. aizstāsim šīs vērtības pieskares vienādojumā: y = 9(x + 2) - 3 = 9x + 15.

Atbilde: y = 9x + 15.

2. Pēc saskares punkta ordinātām.
Uzrakstiet vienādojumu pieskarei grafa punktā ar ordinātu y 0 = 1.
Risinājums:

Atbilde: y \u003d -x + 2.

3. Iepriekš iestatīts virziens.
Uzrakstiet grafikā pieskares vienādojumus y \u003d x 3 - 2x + 7 , paralēli līnijai y = x .
Risinājums.
Vēlamā tangensa ir paralēla taisnei y=x . Tātad tiem ir vienāds slīpums k \u003d 1, y "(x) \u003d 3x2 - 2. Abscisa x 0 saskares punkti apmierina vienādojumu 3x 2 - 2 \u003d 1, no kurienes x 0 = ±1.
Tagad mēs varam uzrakstīt tangenšu vienādojumus: y = x + 5 un y = x + 9 .
Atbilde: y = x + 5, y = x + 9.

4. Grafika un taisnes pieskaršanās nosacījumi.
Uzdevums. Pie kā b taisni y = 0,5x + b ir pieskares funkcijas grafikam f(x) = ?
Risinājums.
Atgādinām, ka pieskares slīpums ir atvasinājuma vērtība pieskares punktā. Šīs taisnes slīpums ir k = 0,5. No šejienes mēs iegūstam vienādojumu pieskāriena punkta abscisu x noteikšanai: f "(x) \u003d = 0,5. Acīmredzot, tās vienīgā sakne ir x = 1. Šīs funkcijas vērtība šajā punktā ir y(1) = 1. Tātad pieskāriena punkta koordinātas ir (1; 1). Tagad atliek izvēlēties tādu parametra b vērtību, pie kuras līnija iet caur šo punktu, tas ir, punkta koordinātas apmierina taisnes vienādojumu: 1 = 0,5 1 + b, no kurienes b = 0,5.

5. Mācību rakstura patstāvīgais darbs.

Strādāt pāros.


Pārbaude: risinājuma rezultātus ieraksta tabulā uz tāfeles (no katra pāra viena atbilde), atbilžu apspriešana.

6. Funkcijas grafika un taisnes krustošanās leņķa atrašana.
Funkcijas grafika krustošanās leņķis y = f(x) un tiešā līnija l sauc par leņķi, kurā funkcijas grafika pieskare krusto līniju tajā pašā punktā.
Nr.259 (a, b), Nr.260 (a) - izjaukt pie dēļa.

7. Kontrolējoša rakstura patstāvīgs darbs.(diferencēts darbs, skolotājs pārbauda nākamo stundu)
1 variants.

2. iespēja.

1. Kuros punktos atrodas funkcijas grafika pieskare f(x) = 3x2 - 12x + 7 paralēli x asij?
2. Pielīdziniet pieskari funkcijas grafikam f(x)= x 2–4 punktā ar abscisu x 0 = - 2. Uzzīmējiet modeli.
3. Uzziniet, vai līnija ir y \u003d 12x - 10 pieskares funkcijas grafikam y = 4x3.

3 variants.

VI Nodarbības rezumēšana.
1. Atbildes uz jautājumiem
- ko sauc par pieskari funkcijas grafikam punktā?
Kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme?
- formulēt algoritmu pieskares vienādojuma atrašanai punktā?
2. Atcerieties stundas mērķus un uzdevumus, vai mēs esam sasnieguši šo mērķi?
3. Kādas bija grūtības stundā, kādi stundas brīži patika visvairāk?
4. Atzīmes uz nodarbību.
VII Mājasdarba komentārs: 19. (1., 2.), 253. (c), 255. (d), 256. d), 257. (d), 259. d. Sagatavojiet ziņojumu par Leibnicu.

Literatūra

1. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata izglītības iestāžu 10. klasei. Sastādītāji:. M. Nikoļskis, M. K. Potapovs, N. N. Rešetņikovs, A. V. Ševkins. - M.: Izglītība, 2008.

2. Didaktiskie materiāli par algebru un analīzes principiem 10. klasei / B.M. Ivlev, S.M. Saakyan, S.I. Švarcburds. - M.: Izglītība, 2008.
3. Uzņēmuma "1C" multivides disks. 1C: Skolotājs. Matemātika (1. daļa) + USE iespējas. 2006. gads.
4. Atvērt uzdevumu banku matemātikā/ http://mathege.ru/

Klase: 10

Prezentācija nodarbībai

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu prezentācijas apjomu. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Nodarbības veids: apgūt jaunu materiālu.

Mācību metodes: vizuāla, daļēji meklēšana.

Nodarbības mērķis.

1. Ieviest pieskares jēdzienu funkcijas grafikam punktā, noskaidrot, kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme, atvasināt pieskares vienādojumu un iemācīt to atrast konkrētām funkcijām.
2. Attīstīt loģisko domāšanu, matemātisko runu.
3. Izkopt gribu un neatlaidību, lai sasniegtu gala rezultātus.

Aprīkojums: interaktīvā tāfele, dators.

Nodarbības plāns

I. Organizatoriskais moments

Skolēnu gatavības pārbaude stundai. Ziņojums par nodarbības tēmu un mērķiem.

II. Zināšanu atjaunināšana.

(Kopā ar studentiem atcerieties funkcijas grafika pieskares ģeometrisko definīciju. Sniedziet piemērus, kas parāda, ka šis apgalvojums nav pilnīgs.)

Atcerieties, kas ir tangenss?

"Tangenss ir taisna līnija, kurai ir viens kopīgs punkts ar noteiktu līkni." (2. slaids)

Diskusija par šīs definīcijas pareizību. (Pēc diskusijas studenti nonāk pie secinājuma, ka šī definīcija ir nepareiza.) Lai ilustrētu viņu secinājumus, mēs sniedzam šādu piemēru.

Apsveriet piemēru. (3. slaids)

Dota parabola un divas taisnes , kuram ir viens kopīgs punkts M (1; 1) ar šo parabolu. Rodas diskusija, kāpēc pirmā rinda nav pieskares šai parabolai (1. att.), bet otrā ir (2. att.).

Šajā nodarbībā mums ir jānoskaidro, kāda ir funkcijas grafika pieskare punktā, kā uzrakstīt vienādojumu pieskarei?

Apsveriet galvenos tangentes vienādojuma sastādīšanas uzdevumus.

Lai to izdarītu, atcerieties taisnes vienādojuma vispārējo formu, paralēlo līniju nosacījumus, atvasinājuma definīciju un diferenciācijas noteikumus. (4. slaids)

III. Sagatavošanās darbs jauna materiāla apguvei.

1. Formulējiet atvasinājuma definīciju. (5. slaids)
2. Aizpildiet patvaļīgu elementāro funkciju tabulu. (6. slaids)
3. Atcerieties diferenciācijas noteikumus. (7. slaids)
4. Kuras no tālāk norādītajām taisnēm ir paralēlas un kāpēc? (Pārliecinieties vizuāli) (8. slaids)

IV Jauna materiāla izpēte.

Lai plaknē uzstādītu taisnes vienādojumu, mums pietiek zināt viena punkta slīpumu un koordinātas.

Dots funkcijas grafiks. Uz tā tiek izvēlēts punkts, šajā punktā funkcijas grafikam tiek uzzīmēta pieskare (pieņemam, ka tā pastāv). Atrodiet pieskares slīpumu.

Palielināsim argumentu un aplūkosim grafikā (3. att.) punktu P ar abscisu . Sekanta MP slīpums, t.i. leņķa tangensu starp sekantu un x asi aprēķina pēc formulas .

Ja mums tagad ir tendence uz nulli, tad punkts P sāks tuvoties punktam M pa līkni. Šajā tuvinājumā mēs esam raksturojuši tangensu kā sekanta ierobežojošo pozīciju. Tātad ir dabiski pieņemt, ka pieskares slīpums tiks aprēķināts pēc formulas .

Līdz ar to,.

Ja funkcijas y = f (x) grafikam punktā x = a jūs varat uzzīmēt pieskari, kas nav paralēla asij plkst, tad izsaka pieskares slīpumu. (10. slaids)

Vai citā veidā. Atvasinājums punktā x = a vienāds ar funkcijas grafika pieskares slīpumu y = f(x)šajā brīdī.

Šī ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme. (11. slaids)

Turklāt, ja:

Noskaidrosim pieskares vienādojuma vispārējo formu.

Ļaujiet taisnei dot vienādojumu . Mēs to zinām. Lai aprēķinātu m, mēs izmantojam faktu, ka līnija iet caur punktu . Ieliksim to vienādojumā. Mēs saņemam , t.i. . Aizstājiet atrastās vērtības k Un m taisnas līnijas vienādojumā:

ir funkcijas grafika pieskares vienādojums. (12. slaids)

Apsveriet piemērus:

Izveidosim pieskares vienādojumu:

(14. slaids)

Risinot šos piemērus, mēs izmantojām ļoti vienkāršu algoritmu, kas ir šāds: (Slaids Nr. 15)

Apsveriet tipiskus uzdevumus un to risinājumus.

№1 Uzrakstiet punkta pieskares vienādojumu funkcijas grafikam.

(16. slaids)

Risinājums. Izmantosim algoritmu, ņemot vērā to šajā piemērā .

2)

3) ;

4) Formulā aizstājiet atrastos skaitļus ,.

№2 Uzzīmējiet funkcijas diagrammas tangensu tā, lai tā būtu paralēla taisnei. (17. slaids)

Risinājums. Precizēsim problēmas formulējumu. Prasība “uzzīmēt tangensu” parasti nozīmē “izveidot pieskares vienādojumu”. Izmantosim pieskares zīmēšanas algoritmu, ņemot vērā to, ka šajā piemērā .

Vēlamajai pieskarei jābūt paralēlai taisnei. Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja to slīpumi ir vienādi. Tātad pieskares slīpumam jābūt vienādam ar dotās taisnes slīpumu: .Nr. Tātad: ; ., t.i.

V. Problēmu risināšana.

1. Gatavu zīmējumu uzdevumu risināšana (Slaids Nr. 18 un Slaids Nr. 19)

2. Uzdevumu risināšana no mācību grāmatas: Nr. 29.3 (a, c), Nr. 29.12 (b, d), Nr. 29.18, Nr. 29.23 (a) (Slaids Nr. 20)

VI. Apkopojot.

1. Atbildiet uz jautājumiem:

• Ko sauc par pieskari funkcijas grafikam punktā?
• Kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme?
• Formulēt pieskares vienādojuma atrašanas algoritmu?

2. Kādas bija grūtības stundā, kādi stundas brīži patika visvairāk?

3. Marķēšana.

VII. Mājasdarbi Komentāri

Nr. 29.3 (b, d), Nr. 29.12 (a, c), Nr. 29.19, Nr. 29.23 (b) (Slaids Nr. 22)

Literatūra. (23. slaids)

1. Algebra un matemātiskās analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. izglītības iestāžu audzēkņiem (pamatlīmenis) / Rediģēja A.G. Mordkovičs. – M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra un matemātiskās analīzes sākums: uzdevumu grāmata, 10-11 šūnām. izglītības iestāžu audzēkņiem (pamatlīmenis) / Rediģēja A.G. Mordkovičs. – M.: Mnemosyne, 2009.
3. Algebra un analīzes sākums. Patstāvīgais un kontroldarbs 10.-11.klasei. / Ershova A.P., Goloborodko V.V. – M.: ILEKSA, 2010.
4. USE 2010. Matemātika. Uzdevums B8. Darba grāmata / Rediģēja A.L. Semenovs un I.V. Jaščenko - M .: Izdevniecība MTsNMO, 2010.

Video pamācība "Funkcijas grafika pieskares vienādojums" demonstrē izglītojošu materiālu tēmas apgūšanai. Video nodarbības laikā tiek prezentēts funkcijas grafa pieskares vienādojuma jēdziena veidošanai nepieciešamais teorētiskais materiāls dotajā punktā, algoritms šādas pieskares atrašanai, uzdevumu risināšanas piemēri, izmantojot pētīto teorētisko. materiāls ir aprakstīts.

Video pamācībā tiek izmantotas metodes, kas uzlabo materiāla redzamību. Skatā tiek ievietoti zīmējumi, diagrammas, sniegti svarīgi balss komentāri, tiek izmantota animācija, krāsu izcelšana un citi rīki.

Video nodarbība sākas ar stundas tēmas izklāstu un kādas funkcijas y=f(x) grafika pieskares attēlu punktā M(a;f(a)). Ir zināms, ka grafikam pievilktās pieskares slīpums dotajā punktā ir vienāds ar funkcijas f΄(a) atvasinājumu noteiktā punktā. Arī no algebras gaitas ir zināms taisnes vienādojums y=kx+m. Shematiski parādīts pieskares vienādojuma atrašanas uzdevuma risinājums punktā, kas reducējas uz koeficientu k, m atrašanu. Zinot funkcijas grafikam piederošā punkta koordinātas, m var atrast, aizvietojot koordinātu vērtību vienādojumā pieskares f(a)=ka+m. No tā atrodam m=f(a)-ka. Tādējādi, zinot atvasinājuma vērtību dotajā punktā un punkta koordinātas, mēs varam attēlot pieskares vienādojumu šādā veidā y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Tālāk ir sniegts pieskares vienādojuma sastādīšanas piemērs, ievērojot shēmu. Dota funkcija y=x 2 , x=-2. Pieņemot a=-2, mēs atrodam funkcijas vērtību šajā punktā f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Nosakām funkcijas atvasinājumu f΄(х)=2х. Šajā brīdī atvasinājums ir vienāds ar f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4. Lai sastādītu vienādojumu, tiek atrasti visi koeficienti a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, tātad pieskares vienādojums y=4+(-4)(x+2). Vienkāršojot vienādojumu, mēs iegūstam y \u003d -4-4x.

Nākamajā piemērā ir ierosināts formulēt pieskares vienādojumu funkcijas y=tgx grafika sākumā. Šajā punktā a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Tātad pieskares vienādojums izskatās šādi: y=x.

Kā vispārinājums, funkcijas grafika pieskares vienādojuma sastādīšanas process kādā brīdī tiek formalizēts kā algoritms, kas sastāv no 4 soļiem:

• Saskares punkta abscisai ievada apzīmējumu;
• f(a) tiek aprēķināts;
• Tiek noteikts F΄(х) un aprēķināts f΄(a). Atrastās vērtības a, f(a), f΄(a) tiek aizvietotas tangensvienādojuma y=f(a)+f΄(a)(x-a) formulā.

1. piemērā aplūkota funkcijas y \u003d 1 / x grafika pieskares vienādojuma apkopošana punktā x \u003d 1. Problēmas risināšanai mēs izmantojam algoritmu. Šai funkcijai punktā a=1, funkcijas f(a)=-1 vērtība. Funkcijas f΄(х)=1/х 2 atvasinājums. Punktā a=1 atvasinājums f΄(a)= f΄(1)=1. Izmantojot iegūtos datus, tiek sastādīts pieskares y \u003d -1 + (x-1) vai y \u003d x-2 vienādojums.

2. piemērā jāatrod funkcijas y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2 grafika pieskares vienādojums. Galvenais nosacījums ir pieskares un taisnes y \u003d -2x + 1 paralēlisms. Pirmkārt, mēs atrodam pieskares slīpumu, kas ir vienāds ar taisnes y \u003d -2x + 1 slīpumu. Tā kā f΄(a)=-2 šai taisnei, tad k=-2 vēlamajai tangensei. Mēs atrodam funkcijas (x 3 + 3x 2 -2x-2) atvasinājumu ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2. Zinot, ka f΄(a)=-2, atrodam punkta koordinātas 3а 2 +6а-2=-2. Atrisinot vienādojumu, mēs iegūstam 1 \u003d 0 un 2 \u003d -2. Izmantojot atrastās koordinātas, jūs varat atrast pieskares vienādojumu, izmantojot labi zināmu algoritmu. Funkcijas vērtību atrodam punktos f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Atvasinājuma vērtība punktā f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Aizvietojot atrastās vērtības pieskares vienādojumā, pirmajam punktam iegūstam a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2, bet otrajam punktam a 2 \u003d -2 pieskares vienādojumu y \u003d -2x- 22.

3. piemērā ir aprakstīta pieskares vienādojuma formulēšana tā zīmēšanai funkcijas y=√x grafika punktā (0;3). Lēmums tiek pieņemts pēc zināmā algoritma. Pieskāriena punktam ir koordinātes x=a, kur a>0. Funkcijas vērtība punktā f(a)=√x. Funkcijas atvasinājums f΄(х)=1/2√х, tātad dotajā punktā f΄(а)=1/2√а. Aizvietojot visas iegūtās vērtības tangenses vienādojumā, mēs iegūstam y \u003d √a + (x-a) / 2√a. Pārveidojot vienādojumu, iegūstam y=x/2√a+√a/2. Zinot, ka pieskare iet caur punktu (0; 3), mēs atrodam a vērtību. Atrodiet a no 3=√a/2. Tādējādi √a=6, a=36. Mēs atrodam pieskares vienādojumu y \u003d x / 12 + 3. Attēlā parādīts aplūkojamās funkcijas grafiks un konstruētā vēlamā tangensa.

Studentiem tiek atgādināts aptuvenās vienādības Δy=≈f΄(x)Δxun f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Ņemot x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, mēs iegūstam f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), tātad f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

4. piemērā ir jāatrod izteiksmes 2.003 aptuvenā vērtība 6 . Tā kā ir jāatrod funkcijas f (x) \u003d x 6 vērtība punktā x \u003d 2,003, mēs varam izmantot labi zināmo formulu, ņemot f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6х 5 . Atvasinājums punktā f΄(2)=192. Tāpēc 2,003 6 ≈65-192 0,003. Pēc izteiksmes aprēķināšanas iegūstam 2,003 6 ≈64,576.

Video nodarbību "Funkcijas grafika pieskares vienādojums" ieteicams izmantot tradicionālajā matemātikas stundā skolā. Tālmācības skolotājam video materiāls palīdzēs skaidrāk izskaidrot tēmu. Videoklipu skolēni var ieteikt pašpārdomāšanai, ja nepieciešams, lai padziļinātu izpratni par mācību priekšmetu.

TEKSTA INTERPRETĀCIJA:

Mēs zinām, ka, ja punkts M (a; f (a)) (em ar koordinātām a un eff no a) pieder funkcijas y \u003d f (x) grafikam un ja šajā punktā var uzvilkt pieskari. funkcijas grafiks, kas nav perpendikulārs abscisei, tad pieskares slīpums ir f "(a) (ef gājiens no a).

Ir dota funkcija y = f(x) un punkts M (a; f(a)), un ir arī zināms, ka eksistē f´(a). Sastādām dotās funkcijas grafika pieskares vienādojumu noteiktā punktā. Šim vienādojumam, tāpat kā jebkuras taisnes vienādojumam, kas nav paralēla y asij, ir forma y = kx + m (y ir vienāds ar ka x plus em), tāpēc uzdevums ir atrast koeficienti k un m. (ka un em)

Slīpums k \u003d f "(a). Lai aprēķinātu m vērtību, mēs izmantojam faktu, ka vēlamā taisne iet caur punktu M (a; f (a)). Tas nozīmē, ka, ja mēs aizstājam koordinātas punktu M taisnes vienādojumā, iegūstam pareizo vienādību : f(a) = ka+m, no kurienes konstatējam, ka m = f(a) - ka.

Atliek atrastās koeficientu ki un m vērtības aizstāt taisnās līnijas vienādojumā:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( Y ir vienāds ar eff no plus ef gājiena no reizinājuma ar x mīnus a).

Esam ieguvuši funkcijas y = f(x) grafika pieskares vienādojumu punktā x=a.

Ja, teiksim, y \u003d x 2 un x \u003d -2 (t.i., a \u003d -2), tad f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x, tātad f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (tad eff no a ir vienāds ar četri, eff pirmskaitlis no x ir vienāds ar divi x, kas nozīmē ef gājienu no vienāds ar mīnus četri)

Aizvietojot vienādojumā atrastās vērtības​a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4, mēs iegūstam: y \u003d 4 + (-4) (x + 2), t.i., y \u003d -4x -4.

(y ir vienāds ar mīnus četri x mīnus četri)

Sastādīsim funkcijas y \u003d tgx grafika pieskares vienādojumu (y ir vienāds ar tangensu x) sākuma punktā. Mums ir: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , tātad f"(0) = l. Aizvietojot vienādojumā atrastās vērtības a=0, f(a)=0, f´(a) = 1, iegūstam: y=x.

Mēs vispārinām mūsu darbības, lai atrastu pieskares vienādojumu funkcijas grafikam punktā x, izmantojot algoritmu.

ALGORITMS FUNKCIJAS VIENĀDOJUMA SASTĀDĪŠANAI, kas pieskaras GRAFIKAI y \u003d f (x):

1) Apzīmējiet saskares punkta abscisu ar burtu a.

2) Aprēķināt f(a).

3) Atrodiet f´(x) un aprēķiniet f´(a).

4) Aizvietojiet atrastos skaitļus a, f(a), f´(a) formulā y= f(a)+ f"(a) (x- a).

1. piemērs. Uzrakstiet funkcijas y \u003d - grafika pieskares vienādojumu

punkts x = 1.

Risinājums. Izmantosim algoritmu, ņemot vērā to šajā piemērā

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Formulā aizstājiet trīs atrastos skaitļus: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1. Mēs iegūstam: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2.

Atbilde: y = x-2.

Piemērs 2. Dota funkcija y = x 3 +3x 2 -2x-2. Uzrakstiet pieskares vienādojumu funkcijas y \u003d f (x) grafikam paralēli taisnei y \u003d -2x +1.

Izmantojot pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemam vērā, ka šajā piemērā f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, bet pieskāriena punkta abscisa šeit nav norādīta.

Sāksim runāt šādi. Vēlamajai tangensei jābūt paralēlai taisnei y \u003d -2x + 1. Un paralēlām līnijām ir vienādi slīpumi. Tādējādi pieskares slīpums ir vienāds ar dotās taisnes slīpumu: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Tādējādi mēs varam atrast a vērtību no vienādojuma f ´ (a) \u003d -2.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu y=f(x):

f"(x) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.

No vienādojuma f "(a) \u003d -2, t.i. 3а 2 +6а-2\u003d -2 mēs atrodam 1 \u003d 0, 2 \u003d -2. Tas nozīmē, ka ir divas pieskares, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: viena punktā ar abscisu 0, otra punktā ar abscisu -2.

Tagad jūs varat rīkoties saskaņā ar algoritmu.

1) a 1 \u003d 0 un 2 = -2.

2) f(a 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Formulā aizstājot vērtības a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2, mēs iegūstam:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Formulā aizstājot vērtības a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2, mēs iegūstam:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Atbilde: y=-2x-2, y=-2x+2.

Piemērs 3. No punkta (0; 3) uzzīmējiet pieskari funkcijas y \u003d grafikam. Risinājums. Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā f(x) = . Ņemiet vērā, ka šeit, tāpat kā 2. piemērā, pieskāriena punkta abscisa nav skaidri norādīta. Tomēr mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu.

1) x = a ir saskares punkta abscise; skaidrs, ka a > 0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) vērtību a, f(a) = , f "(a) = aizstāšana formulā

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), mēs iegūstam:

Pēc nosacījuma pieskare iet caur punktu (0; 3). Aizvietojot vienādojumā vērtības x = 0, y = 3, mēs iegūstam: 3 = , un tad =6, a =36.

Kā redzat, šajā piemērā tikai algoritma ceturtajā solī mums izdevās atrast pieskāriena punkta abscisu. Aizvietojot vienādojumā vērtību a =36, iegūstam: y=+3

Uz att. 1. attēlā parādīta aplūkotā piemēra ģeometriskā ilustrācija: tiek uzzīmēts funkcijas y \u003d grafiks, tiek novilkta taisna līnija y \u003d +3.

Atbilde: y = +3.

Mēs zinām, ka funkcijai y = f(x), kurai ir atvasinājums punktā x, ir spēkā aptuvenā vienādība: Δyf´(x)Δx

vai, sīkāk, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef no x plus delta x mīnus ef no x ir aptuveni vienāds ar ef gājienu no x līdz delta x).

Turpmākās argumentācijas ērtībai mēs mainām apzīmējumu:

x vietā mēs rakstīsim A,

x + Δx vietā rakstīsim x

Δx vietā rakstīsim x-a.

Tad iepriekš uzrakstītā aptuvenā vienādība būs šāda:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ef no x ir aptuveni vienāds ar eff no plus ef gājiena no a, reizināts ar starpību starp x un a).

Piemērs 4. Atrodiet skaitliskās izteiksmes 2.003 aptuveno vērtību 6 .

Risinājums. Mēs runājam par funkcijas y \u003d x 6 vērtības atrašanu punktā x \u003d 2,003. Izmantosim formulu f(x)f(a)+f´(a)(x-a), ņemot vērā, ka šajā piemērā f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 = 64; x \u003d 2,003, f "(x) \u003d 6x 5 un līdz ar to f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192.

Rezultātā mēs iegūstam:

2,003 6 64+192 0,003, t.i. 2,003 6 = 64,576.

Ja mēs izmantojam kalkulatoru, mēs iegūstam:

2,003 6 = 64,5781643...

Kā redzat, tuvinājuma precizitāte ir diezgan pieņemama.

Nodarbība 70-71. Funkcijas grafika pieskares vienādojums

09.07.2015 5132 0

Mērķis: iegūstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu.

I. Nodarbību tēmas un mērķu komunikācija

II. Aptvertā materiāla atkārtošana un konsolidācija

1. Atbildes uz jautājumiem par mājas darbiem (neatrisināto problēmu analīze).

2. Materiāla asimilācijas kontrole (tests).

1. iespēja

1. Atrodiet funkcijas y atvasinājumu \u003d 3x4 - 2 cos x.

Atbilde:

punktā x = π.

Atbilde:

3. Atrisiniet vienādojumu y '(x) = 0, ja

Atbilde:

2. iespēja

1. Atrodiet funkcijas y \u003d 5xb + 3 atvasinājumu grēks x.

Atbilde:

2. Aprēķināt funkcijas atvasinājuma vērtību punktā x = π.

Atbilde:

3. Atrisiniet vienādojumu y '(x) = 0, ja

Atbilde:

III. Jauna materiāla apgūšana

Visbeidzot, pāriesim uz pēdējo atvasinājuma izpētes posmu un apsvērsim atvasinājuma izmantošanu atlikušajās nodarbībās. Šajā nodarbībā mēs apspriedīsim pieskares funkcijas grafikam.

Pieskares jēdziens jau tika apskatīts iepriekš. Tika parādīts, ka punktā a diferencējamas funkcijas grafiks f (x) tuvu a praktiski neatšķiras no pieskares grafika, kas nozīmē, ka tas ir tuvu sekantam, kas iet caur punktiem (a; f (a)) un (a + Δx; f (a + Δx)). Jebkurš no šiem sekantiem iet caur punktu M(a; f (A)). Lai uzrakstītu pieskares vienādojumu, jānorāda tā slīpums. Sekanta slīpums Δ f /Δx pie Δх → 0 tiecas uz skaitli f "(a), kas ir pieskares slīpums. Tāpēc viņi saka, ka pieskare ir sekanta ierobežojošais stāvoklis pie Δx→ 0.

Tagad mēs iegūstam funkcijas grafika pieskares vienādojumu f (X). Tā kā pieskare ir taisna līnija un tās slīpums f "(a), tad mēs varam uzrakstīt tā vienādojumu y \u003d f "(a) x + b . Atradīsim koeficientu b no nosacījuma, ka pieskare iet caur punktu M(a; f (A)). Aizvietojiet šī punkta koordinātas tangenses vienādojumā un iegūstiet: f (a) \u003d f "(a) a + b, no kurienes b \u003d f (a) - f "(a) a. Tagad mēs aizstājam atrasto vērtību b pieskares vienādojumā un iegūstiet: vai Šis ir pieskares vienādojums. Apspriedīsim pieskares vienādojuma piemērošanu.

1. piemērs

Kādā leņķī atrodas sinusoīdskrustojas ar x asi sākuma punktā?

Leņķis, kurā šīs funkcijas grafiks krustojas ar abscisu asi, ir vienāds ar slīpuma leņķi a no pieskares, kas novilkta funkcijas grafikam f(x ) šajā brīdī. Atradīsim atvasinājumu:Ņemot vērā atvasinājuma ģeometrisko nozīmi, mums ir: un a = 60°.

2. piemērs

Uzrakstīsim funkcijas pieskares grafika vienādojumu f (x) = -x2 + 4x punktā a = 1.

f "(x) un pati funkcija f (x) punktā a = 1 un iegūstiet: f "(a) = f "(1) = -2 1 + 4 = 2 un f (a) = f (1) = -12 + 4 1 = 3. Aizstājiet šīs vērtības tangenses vienādojumā. Mums ir: y \u003d 2 (x - 1) + 3 vai y \u003d 2x + 1.

Skaidrības labad attēlā parādīts funkcijas grafiks f(x ) un pieskares šai funkcijai. Pieskaršanās notiek noteiktā punktā M(1; 3).

Pamatojoties uz 1. un 2. piemēru, varam formulēt algoritmu funkcijas y = grafika pieskares vienādojuma iegūšanai. f(x):

1) apzīmē saskares punkta abscisu ar burtu a;

2) aprēķina f(a);

3) atrast f "(x) un aprēķināt f "(a);

4) aizstāt atrastos skaitļus a, f (a), f "(a) formulā y \u003d f '(a) (x - a) + f (a).

Ņemiet vērā, ka sākotnēji punkts a var būt nezināms un tas ir jāatrod no problēmas apstākļiem. Tad algoritmā 2. un 3. punktā vārds "aprēķināt" jāaizstāj ar vārdu "rakstīt" (ko ilustrē 3. piemērs).

2. piemērā pieskares punkta abscisa a tika norādīta tieši. Daudzos gadījumos saskares punktu nosaka dažādi papildu nosacījumi.

3. piemērs

Uzrakstīsim no punkta novilktos pieskares vienādojumus A (0; 4) uz funkcijas grafiku f(x) \u003d - x 2 + 2x.

Ir viegli pārbaudīt, vai punkts A neatrodas uz parabolas. Tajā pašā laikā parabolas un pieskares saskares punkti nav zināmi, tāpēc, lai atrastu šos punktus, tiks izmantots papildu nosacījums - pieskares pāreja caur punktu A.

Pieņemsim, ka kontakts notiek punktā a. Atradīsim funkcijas atvasinājumu:Aprēķiniet atvasinājuma vērtības f"(x ) un pati funkcija f (x) kontaktpunktā a un mēs iegūstam: f '(a) \u003d -2a + 2 un f (a ) = -a2 + 2a. Aizstājiet šīs vērtības tangenses vienādojumā. Mums ir: vai Šis ir pieskares vienādojums.

Mēs pierakstām nosacījumu pieskares iziešanai caur punktu A, aizstājot šī punkta koordinātas. Mēs iegūstam: 4vai 4 = a2, no kurienes a = ±2. Tādējādi pieskāriens notiek divos punktos B(-2; -8) un C(2; 0). Tāpēc būs divas šādas pieskares. Atradīsim viņu vienādojumus. Aizstāsim vērtības a = ±2 tangenses vienādojumā. Mēs saņemam: plkst a = 2 vai yx \u003d -2x + 4; plkst a = -2 vai y2 = 6x + 4. Tātad pieskares vienādojumi ir y1 = -2x + 4 un y2 = 6x + 4.

4. piemērs

Atradīsim leņķi starp pieskarēm, izmantojot iepriekšējā uzdevuma nosacījumus.

Pieskares, kas novilktas y1 = -2x + 4 un y2 = 6x + 4, veido leņķus a1 un a2 ar pozitīvo abscisu ass virzienu (un tg a 1 = -2 un tg a 2 = 6) un savā starpā leņķis φ = a 1 - a2. Mēs atrodam, izmantojot labi zināmo formulu,kur φ = arctāns 8/11.

5. piemērs

Uzrakstīsim pieskares vienādojumu funkcijas grafikamparalēla līnija y \u003d -x + 2.

Divas līnijas ir paralēlas viena otrai, ja tām ir vienāds slīpums. Taisnās līnijas y \u003d -x + 2 slīpums ir -1, vēlamās pieskares slīpums ir f '(a ), kur a - saskares punkta abscisa. Tāpēc, lai noteiktu a, mums ir papildu nosacījums f '(a) \u003d -1.

Izmantojot privāto funkciju atvasinājuma formulu, mēs atrodam atvasinājumu:Atrodiet atvasinājuma vērtību punktā a un saņemiet:

Mēs iegūstam vienādojumuvai (a - 2)2 = 4, vai a - 2 = ±2, no kurienes a = 4 un a = 0. Tādējādi ir divas pieskares, kas apmierina uzdevuma nosacījumu. Aizstāsim vērtības a = 4 un a = 0 pieskares y = vienādojumā f '(a)(x - a) + f (A). Ja a = 4 mums ir:un tangenss y1 \u003d - (x - 4) + 3 vai y1 \u003d -x + 7. Ar \u003d 0 mēs iegūstam:un pieskares y2 \u003d - (x - 0) - 1 vai y2 \u003d -x - 1. Tātad, pieskares vienādojumi y1 \u003d -x + 7 un y2 \u003d -x - 1.

Ņemiet vērā, ka, ja f "(a ) neeksistē, tad tangenss vai neeksistē (kā funkcijā f (x) = |x| punktā (0; 0) - att. a vai vertikāli (piemēram, funkcijapunktā (0; 0) - att. b.

Tātad funkcijas atvasinājuma esamība f (x) punktā a ir līdzvērtīgs nevertikālas pieskares esamībai punktā (a; f (a)) grafika. Šajā gadījumā pieskares slīpums ir vienāds ar f "(a). Šī ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme.

Atvasinājuma jēdziens ļauj veikt aptuvenus aprēķinus. Vairākkārt tika atzīmēts, ka pie Δх→ 0 funkciju vērtības f(x ) un tās pieskares y(x) praktiski sakrīt. Tāpēc pie Δx→ 0 funkciju uzvedība f (x) punkta x0 tuvumā var aptuveni aprakstīt ar formulu(faktiski pieskares vienādojums). Šo formulu veiksmīgi izmanto aptuveniem aprēķiniem.

6. piemērs

Aprēķiniet funkcijas vērtību punktā x = 2,03.

Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumu: f "(x) \u003d 12x2 - 4x + 3. Pieņemsim, ka x \u003d a + Δx, kur a \u003d 2 un Δx \u003d 0,03. Mēs aprēķinām funkcijas un tās atvasinājuma vērtības punktā a un saņemiet: Un Tagad noteiksim funkcijas vērtību dotajā punktā x = 2,03. Mums ir:

Protams, iepriekš minēto formulu ir ērti izmantot, ja vērtības f (a) un f "(a ) ir viegli aprēķināt.

7. piemērs

Aprēķināt

Apsveriet funkcijuAtradīsim atvasinājumu:Pieņemsim, ka x = a + Δx, kur a = 8 un Δx = 0,03. Aprēķināsim funkcijas un tās atvasinājuma vērtības punktā a un iegūsim:Tagad noteiksim funkcijas vērtību dotajā punktā x = 8.03. Mums ir:

8. piemērs

Vispārināsim iegūto rezultātu. Apsveriet jaudas funkciju f (x) = x n un pieņemsim, ka x = a + Δx un Δx→ 0. Atrast f "(x) = n x n -1 un aprēķinām funkcijas un tās atvasinājuma vērtības punktā a, mēs iegūstam: f (a) \u003d an un f '(a) \u003d nan -1 . Tagad mums ir formula f (x) = a n + nan -1 Δx. Izmantosim, lai aprēķinātu skaitli 0,98-20. Mēs to pieņemsim a = 1, Δх = -0,02 un n = -20. Tad mēs iegūstam:

Protams, iepriekš minēto formulu var izmantot jebkurām citām funkcijām, jo ​​īpaši trigonometriskām.

9. piemērs

Aprēķināsim tg 48°.

Apsveriet funkciju f(x) = tg x un atrodiet atvasinājumu:Mēs pieņemsim, ka x = a + Δ x, kur a = 45° = π/4 un (Vēlreiz ņemiet vērā, ka trigonometrijā leņķus parasti mēra radiānos). Atradīsim funkcijas un tās atvasinājuma vērtības punktā a un iegūsim:Tagad aprēķināsim(ņemot vērā, ka π = 3,14).

IV. Kontroles jautājumi

1. Funkcijas grafika pieskares vienādojums.

2. Pieskares vienādojuma atvasināšanas algoritms.

3. Atvasinājuma ģeometriskā nozīme.

4. Pieskares vienādojuma pielietošana aptuveniem aprēķiniem.

V. Uzdevums nodarbībās

§ 29, Nr.1 ​​(a); 2 (b); 5 (a, b); 6 (c, d); 9(a); 10 (b); 12 (d); 14(a); 17; 21(a); 22 (a, c); 24 (a, b); 25(a); 26.

VI. Mājasdarbs

§ 29, Nr.1 ​​(b); 2 (c); 5 (c, d); 6 (a, b); 9 (b); 10(a); 12(b); 14 (b); 18; 21(c); 22 (b, d); 24 (c, d); 25 (b); 27.

VII. Radošie uzdevumi

1. Kuros punktos x ir pieskares funkciju grafikiem paralēli?

Atbilde: x \u003d -1, x \u003d 3.

2. Kādam x ir funkciju y \u003d 3 grafiku pieskares cos 5 x - 7 un y = 5 cos 3 x + 4 ir paralēli?

Atbilde:

3. Kādos leņķos līknes y = x2 krustojas un

Atbilde: π/2 un arctg 3/5.

4. Kādos leņķos līknes krustojas y = cos x un y = sin x?

Atbilde:

5. Parabolai y \u003d 4 - x2 punktā ar abscisu x \u003d 1 tiek novilkta pieskare. Atrodiet šīs pieskares krustpunktu ar y asi.

Atbilde: (0; 5).

6. Parabolai y \u003d 4x - x2 punktā ar abscisu x \u003d 3 tiek novilkta pieskare. Atrodiet šīs pieskares krustpunktu ar x asi.

Atbilde: (9/2; 0).

7. Atrodiet leņķi starp divām pieskarēm, kas novilktas no punkta (0; -2) uz parabolu y \u003d x2.

Atbilde:

8. Funkcijas y \u003d 3x2 + 3x + 2 grafikam pieskares tiek novilktas ar slīpumiem k 1 = 0 un k 2 = 15. Uzrakstiet taisnes vienādojumu, kas iet caur saskares punktiem.

Atbilde: y \u003d 12x - 4.

9. Atrodiet vienādojumus taisnēm, kas vienlaikus skar parabolas y = x2 + x - 2 un y = -x2 + 7x - 11.

Atbilde: y \u003d 7x - 11 un y \u003d x - 2.

10. Uzrakstiet parabolu y \u003d -3x2 + 4x + 4 un y \u003d -3x2 + 16x - 20 kopējās pieskares vienādojumu.

Atbilde: y = -2x + 7.

11. Funkcijas y \u003d x2 - 4x - 3 grafika pieskare tiek uzzīmēta punktā x \u003d 0. Atrodiet trijstūra laukumu, ko veido pieskares un koordinātu asis.

Atbilde: 9/8.

12. Atrodiet trijstūra laukumu, ko ierobežo koordinātu asis un pieskares funkcijas grafikampunktā x = 2.

Atbilde: 1.

VIII. Nodarbību apkopošana