Ранее понятие многочлена было определено как алгебраическая сумма одночленов. Если все подобные одночлены многочлена приведены и расположены в порядке убывания степени переменной, то полученная запись называется канонической формой записи многочлена.

Определение. Выражение вида

где x – некоторая переменная, действительные числа, причем , называется многочленом степени n от переменной x . Степенью многочлена является наибольшая степень переменной в его канонической записи. Если переменная не встречается в записи многочлена, т.е. многочлен равен константе, его степень считается равной 0. Случай, когда многочлен необходимо рассматривать отдельно. В этом случае принято считать, что его степень не определена.

Примеры. многочлен второй степени,

многочлен пятой степени.

Определение. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда у них в канонических формах при одинаковых степенях стоят одинаковые коэффициенты.

Определение . Число называется корнем многочлена , если при постановке этого числа вместо x многочлен принимает значение 0, т.е. Другими словами, будет являться корнем уравнения

Таким образом, задача отыскания всех корней многочлена и корней рационального уравнения – одна и та же задача.

Рациональные уравнения первой и второй степени решаются по известным алгоритмам. Существуют также формулы отыскания корней многочленов третьей и четвертой степени (формулы Кардано и Феррари), однако в силу их громоздкости они не входят в курс элементарной математики.

Общей идеей отыскания корней многочленов высших степеней является разложение многочлена на множители и замена уравнения равносильной ему совокупностью уравнений более низкой степени.

В предыдущих темах отмечались основные способы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя; группировка; формулы сокращенного умножения.

Однако способ группировки не носит алгоритмического характера, поэтому его трудно применять для многочленов больших степеней. Рассмотрим некоторые дополнительные теоремы и методы, позволяющие раскладывать на множители многочлены высших степеней.

Теорема о делении с остатком. Пусть даны многочлены , причем степень отлична от 0, и степень больше степени . Тогда существуют многочлены , такие, что выполняется равенство

Причем, степень меньше степени Многочлен называется делимым , многочлен делителем, многочлен неполным частным , а многочлен остатком .

Если остаток от деления равен 0, то говорят, что делится на нацело , при этом равенство принимает вид:

Алгоритм деления многочлена на многочлен аналогичен алгоритму деления числа на число столбиком или уголком. Опишем шаги алгоритма.

Записать делимое в строчку, включая все степени переменной (те, которые отсутствуют, записать с коэффициентом 0).

Записать в «уголке» делимое, включая все степени переменной.

Чтобы найти первое слагаемое (одночлен) в неполном частном, нужно старший одночлен делимого разделить на старший одночлен делителя.

Полученное первое слагаемое частного умножить на весь делитель и результат записать под делимым, причем одинаковые степени переменной записать друг под другом.

Из делимого вычесть полученное произведение.

К полученному остатку применить алгоритм, начиная с пункта 1).

Алгоритм завершен, когда полученная разность будет иметь степень меньше степени делителя. Это – остаток.

Пример . Разделить многочлен на .

Записываем делимое и делитель

Повторяем процедуру

Степень меньше степени делителя. Значит, это – остаток. Результат деления запишется так:

Схема Горнера. Если делителем является многочлен первой степени, то процедуру деления можно упростить. Рассмотрим алгоритм деления многочлена на двучлен .

Пример . Разделить по схеме Горнера многочлен на . В этом случае а =2. Выпишем по шагам результаты выполнения алгоритма.

Шаг первый. Шаг второй Шаг третий Шаг четвертый

Таким образом, результат деления запишем так

Замечание. Если необходимо выполнить деление на двучлен

То его преобразовывают к виду тогда . Отсюда видно, что, разделив по схеме Горнера на мы найдем Тогда искомое частное получится делением найденного на а . Остаток остается таким же.

Теорема Безу . Остаток от деления многочлена на равен значению многочлена в точке x = а , т.е. . Многочлен делится на без остатка тогда и только тогда, когда x = а является корнем многочлена .

Таким образом, найдя один корень многочлена а , можно его разложить на множители , выделив множитель , имеющий степень на единицу меньше степени . Найти этот множитель можно либо по схеме Горнера, либо делением «уголком».

Вопрос о нахождении корня решается либо подбором, либо с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.

Теорема. Пусть многочлен имеет целые коэффициенты. Если несократимая дробь является корнем многочлена, то ее числитель p является делителем свободного члена , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента .

Эта теорема лежит в основании алгоритма поиска рациональных корней многочлена (если они есть).

Разложение алгебраической дроби в сумму простейших дробей

Определение Дробь, в числителе и в знаменателе которой стоят многочлены, называется алгебраической дробью .

Рассмотрим алгебраические дроби от одной переменной. Их в общем виде можно записать так: , где в числителе стоит многочлен степени n , в знаменателе – многочлен степени k . Если , то дробь называется правильной .

К простейшим алгебраическим дробям относятся правильные дроби двух видов:

Теорема. Любую алгебраическую дробь можно представить в виде суммы простейших алгебраических дробей.

Алгоритм разложения алгебраической дроби в сумму простейших дробей.

Разложить знаменатель на множители.

Определить количество правильных дробей и вид их знаменателей.

Записать равенство, в левой части которого – исходная дробь, в правой – сумма простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

Привести дроби в правой части к общему знаменателю.

Приравнять многочлены, стоящие в числителях дробей. Пользуясь определением равенства многочленов, составить систему линейных уравнений и решить ее, найдя неопределенные коэффициенты.

Пусть имеется простой двухчлен вида ax + b = 0. Решить его не представляет никакого труда. Нужно просто неизвестное перенести в одну сторону, а коэффициенты в другую. В итоге x = - b/a. Рассматриваемое уравнение можно усложнить, добавив квадрат ax2 + bx + c = 0. Решается оно с помощью нахождения дискриминанта. Если он больше нуля, то решения будет два, при его равенстве нулю - корень только один, а когда он меньше, то решений и вовсе нет.

Следующий тип уравнения пусть содержит третью степень ax3 + bx2 + c + d = 0. Это равенство у многих вызывает затруднения. Хотя и существуют различные способы, позволяющие решить такое уравнение, например, формула Кордана, но их уже нельзя применять для степеней пятого и высших порядков. Поэтому математики задумывались об универсальном способе, с помощью которого можно было бы вычислять уравнения любой сложности.



В школе обычно предлагают использовать метод группировки и анализа, при котором многочлен можно разложить на хотя бы два множителя. Для кубического уравнения можно записать: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Затем используют то, что произведение будет равно нулю лишь в том случае, если линейный двучлен или квадратное уравнение равняется ему. Затем выполняют стандартное решение. Проблема при вычислении такого типа приведённых равенств возникает во время поиска x0. Вот в этом случае и поможет схема Горнера.

Алгоритм, предложенный Горнером, на самом деле был открыт раньше итальянским математиком и доктором медицины Паоло Руффини. Он первый доказал невозможность нахождения радикала в выражениях пятой степени. Но его работа содержала много противоречий, которые не позволили её принять математическим миром учёных. Основываясь на его трудах, в 1819 году британец Уильям Джордж Горнер опубликовал способ приближённого нахождения корней многочлена. Эта работа была напечатана Королевским научным обществом и получила название метод Руффини-Горнера.

После шотландец Огастес де Морган расширил возможности использования метода. Способ нашёл применение в теоретико-множественных соотношениях и теории вероятности. По сути, схема является алгоритмом для вычисления частного и остатка отношения записи Р (х) на х-с.

Принцип метода

Впервые учащихся знакомят со способом нахождения корней с использованием схемы Горнера в высших классах средней школы на уроках алгебры. Объясняют её на примере решения уравнения третьей степени: x3 + 6x - x - 30 = 0. При этом в условии задачи дано, что корнем этого уравнения является цифра два. Задача заключается в том, чтобы определить другие корни.

Обычно это делается следующим образом. Если многочлен p (x) имеет корень x0, то p (x) можно представить как произведение разности икс минус икс нулевое на некий другой многочлен q (x), степень которого будет на единицу меньше. Выделяют нужный многочлен обычно способом деления. Для рассматриваемого примера уравнение будет иметь вид: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). Деление лучше выполнять «уголком». В итоге получится выражение: x 2 + 8x + 15 .

Таким образом, искомое выражение можно переписать в виде (x - 2)* (x 2 + 8x + 15) = 0. Далее, для того чтобы найти решение, нужно выполнить следующее:

• Найти корни в первом члене равенства, приравняв его к нулю: x - 2 = 0. Отсюда x = 2, что также следует из условия.
• Решить квадратное уравнение, приравняв второй член многочлена к нулю: x 2 + 8x + 15 = 0. Найти корни можно через дискриминант или по формулам Виета. Так можно записать, что (x+3) * (x+5) = 0, то есть икс один равняется трём, а икс два - минус пяти.



Все три корня найдены. Но тут возникает резонный вопрос, где же используется в примере схема Горнера? Так вот, всё это громоздкое вычисление можно заменить на скоростной алгоритм решения. Состоит он из простых действий. Вначале нужно начертить таблицу, содержащую несколько столбцов и строчек. Начиная со второго столбца начальной строчки, записывают коэффициенты, стоящие в уравнении исходного многочлена. В первом столбике ставят то число, на которое будет выполняться деление, то есть потенциальные члены решения (х0).

После того как в таблицу записали выбранное х0, заполнение происходит по следующему принципу:

• в первый столбец сносится просто то, что стоит в верхнем элементе второго столбика;
• для нахождения следующего числа нужно снесённое число умножить на выбранное x0 и добавить стоящее число в заполняемом столбике сверху;
• аналогичные операции проделывают до окончательного заполнения всех ячеек;
• строки в последнем столбике равные нулю и будут искомым решением.

Для рассматриваемого примера при подстановке двойки строчка будет состоять из ряда: 2, 1, 8, 15, 0. Таким образом, находятся все члены. При этом схема работает для любого порядка степенного уравнения.

Пример использования



Для того чтобы понять, как пользоваться схемой Горнера, нужно подробно рассмотреть типовой пример . Пусть требуется определить кратность корня х0 многочлена p (x) = x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8. Часто в задачах приходится подбирать корни методом перебора, но для того чтобы сэкономить время, будем считать, что они уже известны и их нужно просто проверить. Тут следует понимать, что применяя схему, расчёт всё равно будет быстрее, чем использование других теорем или метода понижения.

Согласно алгоритму решения, в первую очередь нужно начертить таблицу. В первой строчке указывают основные коэффициенты. Для уравнения необходимо будет начертить восемь столбцов. Затем узнать, сколько раз в исследуемом многочлене поместится х0 = 2. Во второй строчке второго столбца просто сносят коэффициент. Для рассматриваемого случая он будет равняться единице. В находящейся рядом ячейке значение вычисляют как 2 *1 -5 = -3. В следующей: 2 *(-3) + 7 = 1. Таким же образом заполняют оставшиеся ячейки.

Как видно, минимум один раз двойка помещается в многочлен. Теперь нужно проверить, является ли двойка корнем низшего полученного выражения. После выполнения аналогичных действий в таблице должен получиться следующий ряд: 1, -1, -1. -2, 0. Фактически это квадратное уравнение, которое также необходимо проверить. В результате вычисленный ряд будет состоять из 1, 1, 1, 0.

В последнем выражении двойка не может быть рациональным решением. То есть в исходном многочлене цифра два используется три раза, а значит можно записать: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). То, что двойка не является корнем квадратного выражения, можно понять по следующим фактам:

• свободный коэффициент не делится на два;
• все три коэффициента положительны, значит, что график неравенства будет увеличиваться начиная с двух.



Таким образом, применение системы позволяет избавиться от использования сложных числителей и делителей. Все действия сводятся к простому перемножению целых чисел и выделения нулей.

Пояснение способа

Подтверждение справедливости существования схемы Горнера объясняется рядом факторов. Представим, что есть многочлен третьей степени: x3 + 5x – 3x + 8. Из этого выражения икс можно вынести за скобку: x * (x2 + 5x – 3) + 8. Из полученной формулы можно снова вынести икс: x * (x * (x + 5) – 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) – 3) + 8.



По сути, чтобы посчитать полученное выражение, можно подставить предполагаемое значение икс в первую внутреннюю скобку и выполнить алгебраические операции, согласно старшинству. Фактически это все те действия, которые выполняются в методе Горнера. При этом числа 8, -3, 5, 1 - это коэффициенты исходного многочлена.

Пусть имеется многочлен P (x) = an * x n + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0. Если у этого выражения есть некий корень x = x0, то это означает, что рассматриваемое выражение можно переписать в виде: P (x) = (x-x0) * Q(x). Это следствие из теоремы Безу. Здесь важно то, что степень многочлена Q(x) будет на единицу меньше, чем имеет P(x). Следовательно, его можно расписать в меньшем виде: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. Две конструкции тождественно равны между собой.

А это значит, что все коэффициенты рассматриваемых многочленов равны, в частности, (x0)b) = a0. Используя это, можно утверждать, что какими бы ни были числа a0 и b0, икс всегда является делителем, то есть a0 всегда можно разделить на корни многочлена. Иными словами, найти рациональные варианты решения.

Общий случай, объясняющий метод, будет выглядеть следующим образом: an * x n + an-1 * x n-1 + … + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + … + a1) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m)+ a0). То есть схема работает вне зависимости от степени многочлена. Она универсальная. При этом подходит как для неполных уравнений, так и полных. Это инструмент, позволяющий проверить х0 на корень. Если же он не является решением, то число, оставшееся в конце, будет остатком от деления рассматриваемого многочлена.

В математике правильной записью метода будет выражение: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn − 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. В нём значение i изменяется от нуля до эн, а сам многочлен делится на бином x – a. После выполнения этого действия получается выражение, степень которого на единицу меньше от исходного. Другими словами, определяется как n – 1.

Расчёт на онлайн-калькуляторе

Использовать ресурсы, предоставляющие доступ к вычислениям корней высших степеней многочленов, довольно удобно. Чтобы воспользоваться такими сайтами, особые знания в математике или программировании иметь не нужно. Всё, что необходимо пользователю - это доступ к интернету и браузер, поддерживающий работу Java скриптов.



Существует несколько десятков таких сайтов. При этом некоторые из них могут просить за предоставленное решение денежное вознаграждение. Хотя большинство ресурсов бесплатны и не только рассчитывают корни в степенных уравнениях, но и предоставляют подробное решение с комментариями. Кроме этого, на страницах расчётчиков любой желающий сможет ознакомиться с кратким теоретическим материалом и рассмотреть решение примеров различной сложности. Так что вопросов с понятием, откуда взялся ответ, возникнуть не должно.

Из всего множества считающих онлайн–калькуляторов по схеме Горнера можно выделить следующие три:

• Kontrolnaya-rabota. Сервис ориентирован на старшеклассников, но по своим возможностям довольно функционален. С его помощью можно очень быстро проверить корни на соответствие.
• Nauchniestati. Приложение позволяет определить корни методом Горнера буквально за две-три секунды. На сайте можно найти всю необходимую теорию. Для выполнения расчёта нужно ознакомиться с правилами ввода математической формулы, указанными тут же на сайте.
• Сalc. Используя этот сайт, пользователь сможет получить подробное описание решения с изображением таблицы. Для этого в специальную форму необходимо ввести уравнение и нажать кнопку «решение».



Программы, используемые для расчётов, отличаются интуитивно понятным интерфейсом и не содержат рекламного и вредоносного кода. Выполнив несколько вычислений на этих ресурсах, пользователь вполне сможет самостоятельно научится определять корни, используя метод Горнера.

При этом онлайн-калькуляторы полезны не только учащимся, но и инженерам, проводящим сложные вычисления. Ведь самостоятельный расчёт требует внимания и сосредоточенности. Любая незначительная ошибка в итоге приведёт к неверному ответу. В то же время появление ошибки при вычислениях с помощью онлайн-расчётчиков невозможно.

Цели урока:

• научить учащихся решать уравнения высших степеней используя схему Горнера;
• воспитывать умение работать в парах;
• создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
• помочь ученику оценить свой потенциал, развивать интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: карточки для работы в группах, плакат со схемой Горнера.

Метод обучения: лекция, рассказ, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач самостоятельного решения, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

Какая теорема позволяет определить, является ли число корнем данного уравнения (сформулировать теорему)?

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен Р(с), число с называют корнем многочлена Р(х), если Р(с)=0. Теорема позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

Какие утверждения облегчают поиск корней?

а) Если старший коэффициент многочлена равен единице, то корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена.

б) Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то один из корней равен 1.

в)Если сумма коэффициентов стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней равен -1.

г) Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.

д) Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Изучение нового материала

При решении целых алгебраических уравнений приходиться находить значения корней многочленов. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера. Эта схема названа в честь английского ученого Уильяма Джорджа Горнера. Схема Горнера это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена Р(х) на х-с. Кратко, как он устроен.

Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=а 0 х n + а 1 х n-1 + …+ а n-1 х+ а n . Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х). Частное g(х)=в 0 х n-1 + в n х n-2 +…+в n-2 х + в n-1 , где в 0 =а 0 , в n =св n-1 +а n , n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= св n-1 +а n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

	в 0 =а 0	в 1 =св 1 +а 1	в 2 =св 1 + а 2		в n-1 =св n-2 +а n-1	r(х)=f(с)=св n-1 +а n

Число, которое после выполнения алгоритма оказывается записанным в правой нижней клетке, и есть остаток от деления многочлена Р(х) на х-с. Другие числа в 0 , в 1 , в 2 ,… нижней строки являются коэффициентами частного.

Например: Разделить многочлен Р(х)= х 3 -2х+3 на х-2.

Получаем, что х 3 -2х+3=(х-2) (х 2 +2х+2) + 7.

4. Закрепление изученного материала

Пример 1: Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен Р(х)=2х4-7х 3 -3х 2 +5х-1.

Ищем целые корни среди делителей свободного члена -1: 1; -1. Составим таблицу:

X = -1 – корень

Р(х)= (х+1) (2х 3 -9х 2 +6х -1)

Проверим 1/2.

					Х=1/2 - корень

Следовательно, многочлен Р(х) можно представить в виде

Р(х)= (х+1) (х-1/2) (х 2 -8х +2) = (х+1) (2х -1) (х 2 - 4х +1)

Пример 2: Решить уравнение 2х 4 - 5х 3 + 5х 2 - 2 = 0

Так как сумма коэффициентов многочлена, записанного в левой части уравнения, равна нулю, то один из корней 1. Воспользуемся схемой Горнера:

						Х=1 - корень

Получаем Р(х)=(х-1) (2х 3 -3х 2 =2х +2). Будем искать корни среди делителей свободного члена 2.

Выяснили, что целых корней больше нет. Проверим 1/2; -1/2.

					Х= -1/2 - корень

Ответ: 1; -1/2.

Пример 3: Решить уравнение 5х 4 – 3х 3 – 4х 2 -3х+ 5 = 0.

Корни данного уравнения будем искать среди делителей свободного члена 5: 1;-1;5;-5. х=1 - корень уравнения, так как сумма коэффициентов равна нулю. Воспользуемся схемой Горнера:

уравнение представим в виде произведения трех множителей: (х-1) (х-1) (5х 2 -7х + 5)=0. Решая квадратное уравнение 5х 2 -7х+5=0, получили Д=49-100=-51, корней нет.

Карточка 1

1. Разложите на множители многочлен: х 4 +3х 3 -5х 2 -6х-8
2. Решите уравнение: 27х 3 -15х 2 +5х-1=0

Карточка 2

1. Разложите на множители многочлен: х 4 -х 3 -7х 2 +13х-6
2. Решите уравнение: х 4 +2х 3 -13х 2 -38х-24=0

Карточка 3

1. Разложите на множители: 2х 3 -21х 2 +37х+24
2. Решите уравнение: х 3 -2х 2 +4х-8=0

Карточка 4

1. Разложите на множители: 5х 3 -46х 2 +79х-14
2. Решите уравнение: х 4 +5х 3 +5х 2 -5х-6=0

5. Подведение итогов

Проверка знаний при решении в парах осуществляется на уроке путем узнавания способа действия и названия ответа.

Домашнее задание:

Решите уравнения:

а) х 4 -3х 3 +4х 2 -3х+1=0

б) 5х 4 -36х 3 +62х 2 -36х+5=0

в) х 4 +х 3 +х+1=4х 2

г) х 4 +2х 3 -х-2=0

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и начала анализа 10 класс (углубленное изучение математики): Просвещение, 2005.
2. У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007.
3. С.Б. Гашков, Системы счисления и их применение.

Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

БОУ ДП(ПК)С «Чувашский институт образования» Минобразования Чувашии

Курсовая работа

Элективный курс « Приёмы и методы решения уравнений высших степеней»

Выполнила учитель математики

МБОУ «СОШ №49 с углубленным

изучением отдельных предметов»

г. Чебоксары

Румянцева Юлия Изосимовна

Г. Чебоксары

Тема урока: Корни многочлена. Схема Горнера

Цель урока:

научить находить значение многочлена, его корни, используя теорему Безу, схему Горнера;

формировать умения и навыки в нахождении корней многочленов;

научить обобщать и систематизировать материал;

развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля;

воспитывать требовательность к себе, усердие.

План урока:

I. Организационный момент

VI. Самостоятельная работа

VIII. Задание на дом

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверка домашнего задания.

а) Найти НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) по алгоритму Евклида (ученик готовит на доске) .

Решение :

НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1.

Ответ : x 2 – 1 .

б) Узнайте, делится ли многочлен f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2) (проверяется фронтально).

Решение . По теореме Безу, если f(1) = 0 , то f(x) делится на (x – 1) . Проверим это.

f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) не делится на (x – 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) делится на (x – 2).

Ответ : делится на (x – 2).

в) Многочлен P(x) при делении на (x – 1) дает остаток 3, а при делении на (x – 2) дает остаток 5. Найти остаток от деления многочлена P(x) на (x 2 – 3 x + 2).

(Решение проектируется на экран или заранее написать на доску).

Решение .

P(x) = (x – 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2 (x) + 5 (2)
Из (1) и (2) следует, что P(1) = 3 , P(2) = 5 .
ПустьP(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b или
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)

Подставив в (3) последовательно x = 1 и x = 2, получим систему уравнений, из которой a = 2, b = 1.

Ответ : 2 x + 1.

г) При каких m и n многочлен x 3 + m x + n при любых x делится на x 2 + 3 x + 10 без остатка.

Решение . При делении “уголком” получим x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)).

Т.к. деление выполняется без остатка, то (m – 1) x + (n + 30) = 0, а это возможно (при любом x) только в случае, когда m = 1, n = –30.

Ответ : m = 1, n = –30.

2. Теоретический опрос

а) Как читается теорема

б) Привести пример, где используется теорема Безу?

в) Из правила перемножения двух многочленов как найти старший коэффициент произведения?

г) Имеет ли степень нулевой многочлен?

III. Подготовка к изучению нового материала

В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, то есть, в конечном счете, в число. Сделаем два важных для решения задач замечания:

Значение f(0) равно свободному члену многочлена.

Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.

Нахождение значений многочлена не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера – по имени английского математика XVI века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.

Например, чтобы вычислить значение многочлена f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 при x = 7 (то есть узнать делится ли он на (x – 7) по теореме Безу), надо подставить вместо x число 7 . Если f(7) = 0, то f(x) делится без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится на (x – 7) с остатком. Чтобы облегчить нахождение значения f(7) применим схему Горнера. Заполним таблицу из двух строк по следующему алгоритму:

1. Строка коэффициентов записывается первой.
2. Старший коэффициент дублируется во второй строке, а перед ним ставится значение переменной (в нашем случае число 7), при котором вычисляем значение многочлена.

Получается таблица, пустые клетки которой надо заполнить.

Таблица 1

3. Это делается по единому правилу: для пустой клетки, стоящей справа, число 2 умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. Ответ записывается в первую пустую клетку. Так делают для заполнения остальных пустых клеток. Поэтому, в первой пустой клетке ставится число 2 7 – 9 = 5, во второй пустой клетке ставится число 5 7 – 32 = 3, в третьей ставится число 3 7 + 0 = 21, а в последней 21 7 – 57 = 90. Полностью эта таблица выглядит так:

Таблица 2

Последнее число второй строки является ответом.

Замечание: программа для вычисления значений многочлена в ЭВМ составляется по схеме Горнера.

IV. Закрепление изученного материала

Рассмотрим решение домашнего задания № 1 (б) по схеме Горнера. Итак, применяя схему Горнера, узнайте, делится многочлен (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят одну объединенную схему.

Таблица 3

В последнем столбце в третьей, четвертой и пятой строках – остатки от деления. Тогда f(x) делится без остатка на (x – 2), т.к. r = 0.

V. Нахождение корней многочлена

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на единицу меньше. Иногда этим приемом – он называется “понижением степени” – можно найти все корни многочлена.

В частности, подобрав один корень кубического уравнения, тем самым понизив степень, можно его полностью решить, решив полученное квадратное уравнение.

При решении таких задач большую пользу приносит та же схема Горнера. Однако, на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) – это коэффициенты частного отделения на (x – a).

В таблице 3:

Пример 1. Найти корни многочлена f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3).

Решение . Делители свободного члена: – 1, 1, – 3, 3 могут быть корнями многочлена. При x = 1 очевидно сумма коэффициентов равна нулю. Значит, x 1 = 1 – корень. Проверим по схеме Горнера на корень число – 1 и другие делители свободного члена.

Таблица 4

x = –1 - корень
второй раз x = –1 - не корень
проверим x = 3
x = 3 – корень.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,



Замечание . При нахождении корней многочлена не следует проводить лишних точных вычислений в тех случаях, когда очевидные грубые оценки приводят к нужному результату.
Например, схема Горнера для проверки значений 31 и – 31 как “кандидатов в корни” многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 может выглядеть следующим образом:

Таблица 5

31 и – 31 не являются корнями многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31.

Пример 2. Найти корни многочлена f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55.

Решение . Делители 55: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Заметим, что – 1 и 1 не являются корнями многочлена. Следует проверить остальные делители.

Замечание . Очень важно учащимся овладеть “длинной” схемой Горнера. В данном примере как раз удобна “длинная” схема.

Таблица 6

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, корней нет.

Ответ: корней нет.

VI. Самостоятельная работа

На доске три человека решают для последующей проверки.

Найти корни многочлена по схеме Горнера:

а) f (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;

Ответ: – 1; 2; – 3.

б) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;

Ответ: 1; 2; 3.

в) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4.

Ответ:

(Проверка осуществляется в парах, выставляются оценки).

VII. Исследовательская работа учащихся

– Ребята, вы не заметили, какие многочлены в основном мы разбирали на уроках?

(Ответы учащихся).

– Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1.

– В каких числах получались ответы?

(Ответы учащихся).

– Правильно, корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое, либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в своих тетрадях.

VIII. Задание на дом

1. № 129 (1, 3, 5, 6) – Н. Я. Виленкин – 10, стр. 78.
2. Выучить теорию данного урока.

IX. Подведение итогов урока и выставление отметок

Литература

М.Л. Галицкий. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. // Просвещение, 1997 г.

Г.В. Дорофеев. Многочлены с одной переменной. // Санкт-Петербург. Специальная литература, 1997 г.

Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 10 класс // Просвещени е

Пояснительная записка.

Курс разработан для учащихся 10 класса физико-математического профиля, имеющих хороший уровень математической подготовки, и призван помочь им подготовиться к разным конкурсам и олимпиадам по математике, способствовать продолжению серьёзного математического образования. Он расширяет базовый курс по математике, является предметно-ориентированным и даёт учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами математики, и методами решения уравнений высших степеней. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения.

Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений решения уравнений высших степеней, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. Курс является продолжением учебника, где предусматривается обучение школьников способам самостоятельной работы, приёмам решения уравнений высших степеней. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению уравнений высших степеней, следует учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы. Необходимо через уравнения высших степеней прививать учащимся не только навыки логического рассуждения, но и прочные навыки эвристического мышления.

Цели и задачи курса.

Развитие интереса к математике, эвристического мышления.

Способствовать продолжению серьёзного математического образования.

Научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор.

Способствовать формированию научного стиля мышления.

Подготовиться к ЕГЭ.

Данный элективный курс рассчитан 34 тематических занятий.

Учащимся сообщается цель и назначение элективного курса. Занятия включают в себя теоретическую и практическую части – лекции, консультации практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.

Изучение основных положений теории многочленов позволяет обобщить терему Виета для урвнений любой степени. Умение выполнять действия делений многочленов облегчит в дальнейшем решение задач из математического анализа.

Изучение схемы Горнера и теоремы о рациональных корнях многочлена даёт общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволит знаительно расширить круг показательных, логарифмических, тригонометрических и иррациональных уравнений и неравенств.

Литература

1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов.

2 Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., ПасиченкоП.И Задачи по математике. Алгебра.

3 Олехник С.Н., ПасиченкоП.И. Нестандартные методы решения уравнений и неревенств.

4 ..Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., ПасиченкоП.И. Уравнения и неравенства.

5. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике.

Цели и задачи курса 1

Литература 4

Приложение 6

Многочлен вида
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
можно разложить на множители по схеме Горнера, если известен хотя бы 1 его корень.

Разберем деление по схеме Горнера на примере:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа -10 являются ±1, ±2, ±5, ±10. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ число 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ число -1 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является -1, а значит исходный многочлен должен делиться на x + 1 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

	2	9	-10	-27	-10
-1

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень -1. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Как мы уже выяснили, делителями числа -10 являются ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

Многочлен 2x 2 + 11x + 5 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа 5. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители.