je rovnobežník, v ktorom sú všetky uhly 90° a protiľahlé strany sú párovo rovnobežné a rovnaké.

Obdĺžnik má niekoľko nevyvrátiteľných vlastností, ktoré sa používajú pri riešení mnohých problémov, vo vzorcoch pre oblasť obdĺžnika a jeho obvodu. Tu sú:

Dĺžka neznámej strany alebo uhlopriečky obdĺžnika sa vypočíta podľa Pytagorovej vety alebo podľa Pytagorovej vety. Oblasť obdĺžnika možno nájsť dvoma spôsobmi - súčinom jeho strán alebo vzorcom pre oblasť obdĺžnika cez uhlopriečku. Prvý a väčšina jednoduchý vzorec vyzerá takto:

Príklad výpočtu plochy obdĺžnika pomocou tohto vzorca je veľmi jednoduchý. Keď poznáme dve strany, napríklad a = 3 cm, b = 5 cm, môžeme ľahko vypočítať plochu obdĺžnika:
Dostaneme, že v takom obdĺžniku bude plocha rovná 15 metrov štvorcových. cm.

Plocha obdĺžnika z hľadiska uhlopriečok

Niekedy musíte použiť vzorec pre oblasť obdĺžnika z hľadiska uhlopriečok. Na to budete potrebovať nielen dĺžku uhlopriečok, ale aj uhol medzi nimi:

Zvážte príklad výpočtu plochy obdĺžnika pomocou uhlopriečok. Nech je daný obdĺžnik s uhlopriečkou d = 6 cm a uhlom = 30°. Údaje dosadíme do už známeho vzorca:

Takže príklad výpočtu plochy obdĺžnika cez uhlopriečku nám ukázal, že nájsť plochu týmto spôsobom, vzhľadom na uhol, je celkom jednoduché.
Zamyslite sa nad ďalšou zaujímavou hádankou, ktorá nám pomôže trochu natiahnuť mozog.

Úloha: Daný štvorec. Jeho rozloha je 36 metrov štvorcových. cm Nájdite obvod obdĺžnika, ktorého dĺžka jednej z jeho strán je 9 cm a obsah je rovnaký ako štvorec uvedený vyššie.
Máme teda pár podmienok. Pre prehľadnosť si ich zapíšeme, aby sme videli všetky známe aj neznáme parametre:
Strany obrázku sú párovo rovnobežné a rovnaké. Preto sa obvod obrázku rovná dvojnásobku súčtu dĺžok strán:
Zo vzorca pre oblasť obdĺžnika, ktorá sa rovná súčinu dvoch strán obrázku, nájdeme dĺžku strany b
Odtiaľ:
Dosadíme známe údaje a zistíme dĺžku strany b:
Vypočítajte obvod obrázku:
Ak teda poznáte niekoľko jednoduchých vzorcov, môžete vypočítať obvod obdĺžnika a poznať jeho plochu.

Obsah:

Uhlopriečka je úsečka, ktorá spája dva protiľahlé vrcholy obdĺžnika. Obdĺžnik má dve rovnaké uhlopriečky. Ak sú známe strany obdĺžnika, uhlopriečku možno nájsť pomocou Pytagorovej vety, pretože uhlopriečka rozdeľuje obdĺžnik na dva pravouhlé trojuholníky. Ak strany nie sú dané, ale sú známe iné veličiny, napríklad plocha a obvod alebo pomer strán, môžete nájsť strany obdĺžnika a potom vypočítať uhlopriečku pomocou Pytagorovej vety.

Kroky

1 Vedľa seba

1. 1 Napíšte Pytagorovu vetu. Vzorec: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Zapojte strany do vzorca. Sú uvedené v úlohe alebo ich treba zmerať. Bočné hodnoty sú nahradené 3
   • V našom príklade:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Podľa plochy a obvodu

     1. 1 Vzorec: S \u003d l w (Na obrázku sa namiesto S používa symbol A.)
     2. 2 Táto hodnota je nahradená S 3 Prepíšte vzorec tak, aby ste izolovali w 4 Napíšte vzorec na výpočet obvodu obdĺžnika. Vzorec: P = 2 (š + l)
     3. 5 Dosaďte do vzorca hodnotu obvodu obdĺžnika. Táto hodnota je nahradená P6 Vydeľte obe strany rovnice 2. Dostanete súčet strán obdĺžnika, konkrétne š + d 7 Vo vzorci nahraďte výraz a vypočítajte w 8 Zbavte sa zlomkov. Za týmto účelom vynásobte obe časti rovnice číslom l 9 Nastavte rovnicu na 0. Ak to chcete urobiť, odčítajte člen s premennou prvého rádu z oboch strán rovnice.
        • V našom príklade:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Usporiadajte členy rovnice. Prvý člen bude druhý premenný člen, potom prvý premenný člen a potom voľný člen. Zároveň nezabudnite na znaky („plus“ a „mínus“), ktoré sú pred členmi. Všimnite si, že rovnica bude napísaná ako kvadratická rovnica.
          • V našom príklade 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • V našom príklade platí rovnica 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Nájsť l 13 Napíšte Pytagorovu vetu. Vzorec: a 2 + b 2 = c 2
              • Použite Pytagorovu vetu, pretože každá uhlopriečka obdĺžnika ho rozdeľuje na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky. Okrem toho sú strany obdĺžnika nohami trojuholníka a uhlopriečka obdĺžnika je prepona trojuholníka.
            • 14 Tieto hodnoty sú nahradené 15 Utvorte štvorec dĺžky a šírky a potom pridajte výsledky. Pamätajte, že pri umocňovaní čísla sa číslo samo násobí.
              • V našom príklade:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Extrakt Odmocnina z oboch strán rovnice. Pomocou kalkulačky rýchlo nájdite druhú odmocninu. Môžete tiež použiť online kalkulačku. nájdete c

                3 Podľa plochy a pomeru strán

                1. 1 Napíšte rovnicu charakterizujúcu pomer strán. Izolovať l 2 Napíšte vzorec na výpočet plochy obdĺžnika. Vzorec: S = l w (na obrázku sa používa označenie A namiesto S.)
                   • Táto metóda je použiteľná aj vtedy, keď je známa hodnota obvodu obdĺžnika, ale potom musíte použiť vzorec na výpočet obvodu, nie plochy. Vzorec na výpočet obvodu obdĺžnika: P = 2 (š + l)
                2. 3 Zapojte oblasť obdĺžnika do vzorca. Táto hodnota je nahradená S4 Dosaďte do vzorca výraz charakterizujúci pomer strán. V prípade obdĺžnika môžete na výpočet l 5 nahradiť výraz zapísať kvadratická rovnica. Ak to chcete urobiť, otvorte zátvorky a prirovnajte rovnicu k nule.
                   • V našom príklade:
                     35 = w (w + 2) 6 Faktorizujte kvadratickú rovnicu. Získať podrobné pokyny, čítať.
                     • V našom príklade platí rovnica 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Nájdite w 8 Dosaďte hodnotu šírky (alebo dĺžky) zistenú v rovnici charakterizujúcej pomer strán. Takže môžete nájsť druhú stranu obdĺžnika.
                       • Ak ste napríklad vypočítali, že šírka obdĺžnika je 5 cm a pomer strán je daný rovnicou l = w + 2 9 Napíšte Pytagorovu vetu. Vzorec: a 2 + b 2 = c 2
                         • Použite Pytagorovu vetu, pretože každá uhlopriečka obdĺžnika ho rozdeľuje na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky. Okrem toho sú strany obdĺžnika nohami trojuholníka a uhlopriečka obdĺžnika je prepona trojuholníka.
                       • 10 Do vzorca vložte hodnoty dĺžky a šírky. Tieto hodnoty sú nahradené 11 Utvorte štvorec dĺžky a šírky a potom pridajte výsledky. Pamätajte, že pri umocňovaní čísla sa číslo samo násobí.
                         • V našom príklade:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice. Pomocou kalkulačky rýchlo nájdite druhú odmocninu. Môžete tiež použiť online kalkulačku. Nájdete c (displaystyle c) , čo je prepona trojuholníka, a teda uhlopriečka obdĺžnika.
                           • V našom príklade:
                             74 = c 2 (štýl zobrazenia 74 = c^(2))
                             74 = c 2 (štýl zobrazenia (sqrt (74)) = (sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (štýl zobrazenia 8,6024 = c)
                             Uhlopriečka obdĺžnika, ktorého dĺžka je o 2 cm väčšia ako jeho šírka a ktorého plocha je 35 cm2, je teda približne 8,6 cm.

Problém nájdenia uhlopriečky obdĺžnika možno formulovať tromi spôsobmi. rôzne cesty. Pozrime sa bližšie na každý z nich. Metódy závisia od známych údajov, ako teda zistíte uhlopriečku obdĺžnika?

Ak sú známe dve strany

V prípade, že sú známe dve strany obdĺžnika a a b, na nájdenie uhlopriečky je potrebné použiť Pytagorovu vetu: a 2 + b 2 \u003d c 2, tu a a b sú nohy správny trojuholník, c je prepona pravouhlého trojuholníka. Keď je uhlopriečka nakreslená v obdĺžniku, je rozdelená na dva pravouhlé trojuholníky. Poznáme dve strany tohto pravouhlého trojuholníka (a a b). To znamená, že na nájdenie uhlopriečky obdĺžnika je potrebný nasledujúci vzorec: c \u003d √ (a 2 + b 2), tu c je dĺžka uhlopriečky obdĺžnika.

Podľa známej strany a uhla, medzi stranou a uhlopriečkou

Nech je známa strana obdĺžnika a a uhol, ktorý zviera s uhlopriečkou obdĺžnika α. Najprv si pripomeňme kosínusový vzorec: cos α \u003d a / c, tu c je uhlopriečka obdĺžnika. Ako vypočítať uhlopriečku obdĺžnika z tohto vzorca: c = a/cos α.

Podľa známej strany uhol medzi susednou stranou obdĺžnika a uhlopriečkou.

Keďže uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje samotný obdĺžnik na dva pravouhlé trojuholníky, je logické obrátiť sa na definíciu sínusu. Sínus - pomer nohy oproti tomuto uhlu k prepone. sin α \u003d b / c. Odtiaľto odvodíme vzorec na nájdenie uhlopriečky obdĺžnika, ktorý je zároveň preponou pravouhlého trojuholníka: с = b/sin α.

Teraz ste v tejto veci dôvtipný. Už zajtra môžete potešiť učiteľa geometrie!

Definícia.

Obdĺžnik Je to štvoruholník s dvoma rovnakými protiľahlými stranami a rovnakými všetkými štyrmi uhlami.

Obdĺžniky sa od seba líšia iba pomerom dlhej strany ku krátkej strane, ale všetky štyri sú správne, to znamená každý 90 stupňov.

Dlhá strana obdĺžnika je tzv dĺžka obdĺžnika a krátke šírka obdĺžnika.

Strany obdĺžnika sú zároveň jeho výškami.

Základné vlastnosti obdĺžnika

Obdĺžnik môže byť rovnobežník, štvorec alebo kosoštvorec.

1. Opačné strany obdĺžnika majú rovnakú dĺžku, to znamená, že sú rovnaké:

AB = CD, BC = AD

2. Opačné strany obdĺžnika sú rovnobežné:

3. Susedné strany obdĺžnika sú vždy kolmé:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Všetky štyri rohy obdĺžnika sú rovné:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Súčet uhlov obdĺžnika je 360 ​​stupňov:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Uhlopriečky obdĺžnika majú rovnakú dĺžku:

7. Súčet štvorcov uhlopriečky obdĺžnika sa rovná súčtu štvorcov strán:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Každá uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké obrazce, konkrétne pravouhlé trojuholníky.

9. Uhlopriečky obdĺžnika sa pretínajú a sú rozdelené na polovicu v priesečníku:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Priesečník uhlopriečok sa nazýva stred obdĺžnika a je tiež stredom kružnice opísanej.

11. Uhlopriečka obdĺžnika je priemer opísanej kružnice

12. Kruh možno vždy opísať okolo obdĺžnika, pretože súčet opačných uhlov je 180 stupňov:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Kruh nemožno vpísať do obdĺžnika, ktorého dĺžka sa nerovná jeho šírke, keďže súčty protiľahlých strán sa navzájom nerovnajú (kruh možno vpísať len v špeciálnom prípade obdĺžnika - štvorca).

Strany obdĺžnika

Definícia.

Dĺžka obdĺžnika volajte dĺžku dlhšieho páru jeho strán. Šírka obdĺžnika pomenujte dĺžku kratšieho páru jeho strán.

Vzorce na určenie dĺžok strán obdĺžnika

1. Vzorec pre stranu obdĺžnika (dĺžka a šírka obdĺžnika) z hľadiska uhlopriečky a druhej strany:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Vzorec pre stranu obdĺžnika (dĺžka a šírka obdĺžnika) z hľadiska plochy a druhej strany:

b = dcos	β
	2

Uhlopriečka obdĺžnika

Definícia.

Diagonálny obdĺžnik Akýkoľvek segment spájajúci dva vrcholy protiľahlých rohov obdĺžnika sa nazýva.

Vzorce na určenie dĺžky uhlopriečky obdĺžnika

1. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska dvoch strán obdĺžnika (prostredníctvom Pytagorovej vety):

d = √ a 2 + b 2

2. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska plochy a ľubovoľnej strany:

4. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska polomeru kružnice opísanej:

d = 2R

5. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice:

d = D o

6. Vzorec uhlopriečky obdĺžnika z hľadiska sínusu uhla susediaceho s uhlopriečkou a dĺžky strany protiľahlej k tomuto uhlu:

8. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska sínusu ostrý uhol medzi uhlopriečkami a plochou obdĺžnika

d = √2S: sinβ

Obvod obdĺžnika

Definícia.

Obvod obdĺžnika je súčet dĺžok všetkých strán obdĺžnika.

Vzorce na určenie dĺžky obvodu obdĺžnika

1. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska dvoch strán obdĺžnika:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska plochy a ľubovoľnej strany:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska uhlopriečky a ľubovoľnej strany:

P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska polomeru opísanej kružnice a ktorejkoľvek strany:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice a ktorejkoľvek strany:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Oblasť obdĺžnika

Definícia.

Oblasť obdĺžnika nazývaný priestor ohraničený stranami obdĺžnika, teda v rámci obvodu obdĺžnika.

Vzorce na určenie plochy obdĺžnika

1. Vzorec pre oblasť obdĺžnika z hľadiska dvoch strán:

S = a b

2. Vzorec pre oblasť obdĺžnika cez obvod a ktorúkoľvek stranu:

5. Vzorec pre oblasť obdĺžnika z hľadiska polomeru opísanej kružnice a ktorejkoľvek strany:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Vzorec pre oblasť obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice a ktorejkoľvek strany:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Kruh opísaný okolo obdĺžnika

Definícia.

Kruh opísaný okolo obdĺžnika Kružnica sa nazýva kružnica prechádzajúca štyrmi vrcholmi obdĺžnika, ktorého stred leží v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika.

Vzorce na určenie polomeru kružnice opísanej okolo obdĺžnika

1. Vzorec pre polomer kružnice opísanej obdĺžniku cez dve strany:

4. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika cez uhlopriečku štvorca:

5. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný v blízkosti obdĺžnika cez priemer kružnice (opísanej):

6. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný v blízkosti obdĺžnika cez sínus uhla, ktorý susedí s uhlopriečkou, a dĺžku strany oproti tomuto uhlu:

7. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika v zmysle kosínusu uhla, ktorý susedí s uhlopriečkou, a dĺžky strany pod týmto uhlom:

8. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný v blízkosti obdĺžnika cez sínus ostrého uhla medzi uhlopriečkami a oblasťou obdĺžnika:

Uhol medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika.

Vzorce na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika:

1. Vzorec na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika cez uhlopriečku a stranu:

2. Vzorec na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika cez uhol medzi uhlopriečkami:

Uhol medzi uhlopriečkami obdĺžnika.

Vzorce na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika:

1. Vzorec na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika cez uhol medzi stranou a uhlopriečkou:

p = 2a

2. Vzorec na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika cez plochu a uhlopriečkou.