Buning yordamida onlayn kalkulyator chiziqlar orasidagi burchakni toping. Tushuntirishlar bilan batafsil yechim berilgan. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash uchun o'lchamni o'rnating (2-agar tekis chiziq tekislikda ko'rib chiqilsa, 3- to'g'ri chiziq bo'shliqda ko'rib chiqilsa), tenglama elementlarini katakchalarga kiriting va "" tugmasini bosing. Yechish” tugmasi. Quyidagi nazariy qismga qarang.

×

Ogohlantirish

Barcha hujayralar tozalansinmi?

Yopish Tozalash

Ma'lumotlarni kiritish bo'yicha ko'rsatma. Raqamlar butun sonlar (masalan: 487, 5, -7623 va boshqalar), oʻnlik sonlar (masalan, 67., 102.54 va boshqalar) yoki kasrlar sifatida kiritiladi. Kasr a/b shaklida yozilishi kerak, bunda a va b (b>0) butun sonlar yoki o'nlik sonlar. Misollar 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 va boshqalar.

1. Tekislikdagi chiziqlar orasidagi burchak

Chiziqlar kanonik tenglamalar bilan berilgan

1.1. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash

Ikki o'lchovli bo'shliqda chiziqlar bo'lsin L 1 va L

Shunday qilib, (1.4) formuladan chiziqlar orasidagi burchakni topish mumkin L 1 va L 2. 1-rasmdan ko'rinib turibdiki, kesishgan chiziqlar qo'shni burchaklarni hosil qiladi φ Va φ 1 . Agar topilgan burchak 90 ° dan katta bo'lsa, unda siz chiziqlar orasidagi minimal burchakni topishingiz mumkin L 1 va L 2: φ 1 =180-φ .

(1.4) formuladan ikkita to'g'ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlarini chiqarish mumkin.

Misol 1. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang

Keling, soddalashtiramiz va hal qilamiz:

1.2. Parallel chiziqlarning holati

Mayli φ =0. Keyin cosph=1. Bu holda (1.4) ifoda quyidagi shaklni oladi:

,

,

Misol 2. Chiziqlar parallel yoki yo'qligini aniqlang

Tenglik (1.9) bajariladi, shuning uchun (1.10) va (1.11) chiziqlar parallel.

Javob. (1.10) va (1.11) chiziqlar parallel.

1.3. Chiziqlarning perpendikulyarlik sharti

Mayli φ =90°. Keyin cosph=0. Bu holda (1.4) ifoda quyidagi shaklni oladi:

Misol 3. Chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang

(1.13) shart bajariladi, demak (1.14) va (1.15) chiziqlar perpendikulyar.

Javob. (1.14) va (1.15) chiziqlar perpendikulyar.

To'g'ri chiziqlar umumiy tenglamalar bilan berilgan

1.4. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash

Ikki qator bo'lsin L 1 va L 2 umumiy tenglamalar bilan berilgan

Ikki vektorning skalyar ko'paytmasining ta'rifidan biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

4-misol. Chiziqlar orasidagi burchakni toping

Qiymatlarni almashtirish A 1 , B 1 , A 2 , B 2 dyuym (1.23), biz quyidagilarni olamiz:

Bu burchak 90° dan katta. Chiziqlar orasidagi minimal burchakni toping. Buning uchun bu burchakni 180 dan ayirish kerak:

Boshqa tomondan, parallel chiziqlar holati L 1 va L 2 - kollinear vektorlar shartiga ekvivalent n 1 va n 2 va quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Tenglik (1.24) bajariladi, shuning uchun (1.26) va (1.27) chiziqlar parallel.

Javob. (1.26) va (1.27) chiziqlar parallel.

1.6. Chiziqlarning perpendikulyarlik sharti

Chiziqlarning perpendikulyarlik sharti L 1 va L 2 ni (1.20) formuladan almashtirish orqali chiqarish mumkin cos(φ )=0. Keyin skalyar mahsulot ( n 1 ,n 2)=0. Qayerda

Tenglik (1.28) bajariladi, shuning uchun (1.29) va (1.30) chiziqlar perpendikulyar.

Javob. (1.29) va (1.30) chiziqlar perpendikulyar.

2. Fazodagi chiziqlar orasidagi burchak

2.1. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash

Chiziqlarni bo'sh joyga qo'ying L 1 va L 2 kanonik tenglamalar bilan berilgan

qayerda | q 1 | va | q 2 | yo'nalish vektor modullari q 1 va q 2 mos ravishda, φ -vektorlar orasidagi burchak q 1 va q 2 .

(2.3) ifodadan biz quyidagilarni olamiz:

.

Keling, soddalashtiramiz va hal qilamiz:

.

Keling, burchakni topamiz φ

Bo'shliqda chiziqlar berilsin l Va m. Fazoning qaysidir A nuqtasi orqali biz to'g'ri chiziqlar chizamiz l 1 || l Va m 1 || m(138-rasm).

E'tibor bering, A nuqta o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin, xususan, u berilgan chiziqlardan birida yotishi mumkin. To'g'ri bo'lsa l Va m kesishsa, bu chiziqlarning kesishish nuqtasi sifatida A ni olish mumkin ( l 1 = l Va m 1 = m).

Parallel bo'lmagan chiziqlar orasidagi burchak l Va m kesishuvchi toʻgʻri chiziqlardan hosil boʻlgan qoʻshni burchaklarning eng kichigining qiymati l 1 Va m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Parallel chiziqlar orasidagi burchak nolga teng deb qabul qilinadi.

Chiziqlar orasidagi burchak l Va m\(\widehat((l;m)) \) bilan belgilanadi. Ta'rifdan kelib chiqadiki, agar u darajalarda o'lchangan bo'lsa, u holda 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90 °, agar radian bo'lsa, u holda 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubi berilgan (139-rasm).

AB va DC 1 to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.

To'g'ri AB va DC 1 kesishuvi. DC chizig'i AB chizig'iga parallel bo'lgani uchun, AB va DC 1 chiziqlar orasidagi burchak, ta'rifga ko'ra, \(\widehat(C_(1)DC)\) ga teng.

Demak, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

To'g'ridan-to'g'ri l Va m chaqirdi perpendikulyar, agar \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Masalan, kub shaklida

Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni hisoblash masalasi xuddi tekislikda bo'lgani kabi hal qilinadi. Chiziqlar orasidagi burchakni ph bilan belgilang l 1 Va l 2 , va ps orqali - yo'nalish vektorlari orasidagi burchak A Va b bu to'g'ri chiziqlar.

Keyin agar

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (206.6-rasm), keyin ph = 180 ° - ps. Ko'rinib turibdiki, ikkala holatda ham cos ph = |cos ps| tengligi to'g'ri. Formulaga ko'ra (a va b nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchakning kosinuslari bu vektorlarning skalyar ko'paytmasini ularning uzunliklari mahsulotiga bo'linganiga teng)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

shuning uchun,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Chiziqlar ularning kanonik tenglamalari bilan berilsin

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Va \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Keyin chiziqlar orasidagi burchak ph formula yordamida aniqlanadi

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Agar chiziqlardan biri (yoki ikkalasi) kanonik bo'lmagan tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, burchakni hisoblash uchun siz ushbu chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topishingiz kerak va keyin (1) formuladan foydalaning.

Vazifa 1. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;va\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga ega:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Formula (1) bo'yicha topamiz

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Shuning uchun bu chiziqlar orasidagi burchak 60 ° ga teng.

Vazifa 2. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

$$ \begin(holatlar)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(holatlar) va \begin(holatlar)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(holatlar) $$

Qo'llanma vektorining orqasida A birinchi qatorni oling vektor mahsuloti normal vektorlar n 1 = (3; 0; -12) va n 2 = (1; 1; -3) bu chiziqni aniqlovchi tekisliklar. Formula bo'yicha \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) ni olamiz

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Xuddi shunday, biz ikkinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topamiz:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ammo formula (1) kerakli burchakning kosinusini hisoblab chiqadi:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Shuning uchun bu chiziqlar orasidagi burchak 90 ° ga teng.

Vazifa 3. MAVS uchburchak piramidasida MA, MB va MC qirralari o'zaro perpendikulyar, (207-rasm);

ularning uzunligi mos ravishda 4, 3, 6 ga teng. D nuqtasi o'rta [MA]. CA va DB chiziqlar orasidagi ph burchagini toping.

SA va DB SA va DB chiziqlarning yo‘nalish vektorlari bo‘lsin.

Koordinatalarning boshi sifatida M nuqtani olaylik. Vazifa sharti bo'yicha bizda A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0) mavjud. Shuning uchun \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Biz (1) formuladan foydalanamiz:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

Kosinuslar jadvaliga ko'ra, CA va DB to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak taxminan 72 ° ekanligini aniqlaymiz.

Matematikadan imtihonga tayyorlanayotgan har bir talaba uchun “Chiziqlar orasidagi burchakni topish” mavzusini takrorlash foydali bo'ladi. Statistik ma'lumotlar shuni ko'rsatadiki, attestatsiya sinovidan o'tishda stereometriyaning ushbu bo'limidagi topshiriqlar ko'p sonli talabalar uchun qiyinchilik tug'diradi. Shu bilan birga, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni topishni talab qiladigan vazifalar USEda ham asosiy, ham mavjud profil darajasi. Bu har kim ularni hal qila olishi kerakligini anglatadi.

Asosiy daqiqalar

Kosmosda chiziqlarning o'zaro joylashishining 4 turi mavjud. Ular mos kelishi, kesishishi, parallel yoki kesishishi mumkin. Ularning orasidagi burchak o'tkir yoki tekis bo'lishi mumkin.

Yagona davlat imtihonida yoki, masalan, yechimda chiziqlar orasidagi burchakni topish uchun Moskva va boshqa shaharlardagi maktab o'quvchilari stereometriyaning ushbu bo'limidagi muammolarni hal qilishning bir nechta usullaridan foydalanishlari mumkin. Vazifani klassik konstruktsiyalar bilan bajarishingiz mumkin. Buning uchun stereometriyaning asosiy aksiomalari va teoremalarini o'rganishga arziydi. O‘quvchi topshiriqni planimetrik masalaga keltirish uchun mantiqiy fikr yurita olishi va chizmalar tuza olishi kerak.

Qo'llash orqali vektor-koordinata usulidan ham foydalanishingiz mumkin oddiy formulalar, qoidalar va algoritmlar. Bu holatda asosiy narsa barcha hisob-kitoblarni to'g'ri bajarishdir. Stereometriya va boshqa mavzularda muammoni hal qilish qobiliyatingizni oshiring maktab kursi sizga yordam beradi ta'lim loyihasi"Shkolkovo".

A. Ikkita chiziq berilsin, 1-bobda ta'kidlanganidek, bu chiziqlar o'tkir yoki o'tkir bo'lishi mumkin bo'lgan turli xil musbat va manfiy burchaklarni hosil qiladi. Ushbu burchaklardan birini bilib, boshqasini osongina topishimiz mumkin.

Aytgancha, bu barcha burchaklar uchun tangensning raqamli qiymati bir xil, farq faqat belgida bo'lishi mumkin.

Chiziqlar tenglamalari. Raqamlar birinchi va ikkinchi chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining proyeksiyalaridir.Bu vektorlar orasidagi burchak to'g'ri chiziqlar hosil qilgan burchaklardan biriga teng. Shuning uchun, muammo vektorlar orasidagi burchakni aniqlash uchun kamayadi, Biz olamiz

Oddiylik uchun o'tkir musbat burchakni tushunish uchun ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakka rozi bo'lishimiz mumkin (masalan, 53-rasmda).

Keyin bu burchakning tangensi doimo ijobiy bo'ladi. Shunday qilib, agar (1) formulaning o'ng tomonida minus belgisi olingan bo'lsa, unda biz uni tashlab qo'yishimiz kerak, ya'ni faqat mutlaq qiymatni saqlashimiz kerak.

Misol. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang

Formula (1) bo'yicha bizda mavjud

Bilan. Agar burchakning qaysi tomonlari uning boshlanishi va qaysi biri oxiri ekanligi ko'rsatilgan bo'lsa, har doim burchak yo'nalishini soat miliga teskari hisoblab, formulalardan (1) ko'proq narsani olishimiz mumkin. Rasmdan ko'rish oson. 53 (1) formulaning o'ng tomonida olingan belgi qaysi biri - o'tkir yoki o'tmas - burchak birinchisi bilan ikkinchi chiziqni tashkil etishini ko'rsatadi.

(Haqiqatan ham, 53-rasmdan biz birinchi va ikkinchi yo'nalish vektorlari orasidagi burchak chiziqlar orasidagi kerakli burchakka teng ekanligini yoki undan ±180 ° ga farq qilishini ko'ramiz.)

d. Agar chiziqlar parallel bo'lsa, ularning yo'nalish vektorlari ham parallel bo'ladi.Ikki vektorning parallellik shartini qo'llagan holda, hosil bo'ladi!

Bu ikkita chiziq parallel bo'lishi uchun zarur va etarli shartdir.

Misol. To'g'ridan-to'g'ri

parallel, chunki

e. Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ularning yo'nalish vektorlari ham perpendikulyar bo'ladi. Ikki vektorning perpendikulyarlik shartini qo'llagan holda, biz ikkita chiziqning perpendikulyarlik shartini olamiz, ya'ni

Misol. To'g'ridan-to'g'ri

perpendikulyar, chunki

Parallellik va perpendikulyarlik shartlari bilan bog`liq holda quyidagi ikkita masalani yechamiz.

f. Nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel chiziq chizamiz

Qaror shunday qabul qilinadi. Kerakli chiziq berilgan chiziqqa parallel bo'lganligi sababli, uning yo'naltiruvchi vektori uchun biz berilgan chiziq bilan bir xilni, ya'ni A va B proyeksiyali vektorni olishimiz mumkin. Va keyin kerakli chiziqning tenglamasi yoziladi. shaklda (§ 1)

Misol. To'g'ri chiziqqa parallel nuqtadan (1; 3) o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

keyingi bo'ladi!

g. Berilgan chiziqqa perpendikulyar nuqta orqali chiziq o'tkazing

Bu erda endi A proyeksiyalari bo'lgan vektorni yo'naltiruvchi vektor sifatida qabul qilish mos emas, lekin unga perpendikulyar vektorni yutib olish kerak. Shuning uchun bu vektorning proyeksiyalari ikkala vektorning perpendikulyar bo'lishi shartiga ko'ra, ya'ni shartga muvofiq tanlanishi kerak.

Bu shartni cheksiz ko'p yo'llar bilan bajarish mumkin, chunki bu erda ikkita noma'lumli bitta tenglama mavjud.Lekin eng oson yo'li uni olishdir.Shunda kerakli chiziqning tenglamasi ko'rinishda yoziladi.

Misol. Perpendikulyar chiziqdagi (-7; 2) nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

quyidagicha bo'ladi (ikkinchi formula bo'yicha)!

h. Chiziqlar shakldagi tenglamalar bilan berilgan taqdirda

Ta'rif. Agar ikkita chiziq y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 berilgan bo'lsa, u holda bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak quyidagicha aniqlanadi.

Ikki chiziq parallel, agar k 1 = k 2 bo'lsa. Ikki chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar k 1 = -1/ k 2 bo'lsa.

Teorema. A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB koeffitsientlari proportsional bo'lganda Ax + Vy + C \u003d 0 va A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi. Agar S 1 = L bo'lsa, unda chiziqlar mos keladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari bu chiziqlar tenglamalari tizimining yechimi sifatida topiladi.

O'tgan to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan nuqta

Ushbu chiziqqa perpendikulyar

Ta'rif. M 1 (x 1, y 1) nuqtasidan o'tadigan va y \u003d kx + b chizig'iga perpendikulyar bo'lgan chiziq tenglama bilan ifodalanadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Teorema. Agar M(x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + Vy + C \u003d 0 chizig'igacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi.

.

Isbot. M nuqtadan berilgan chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo'lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:

(1)

x 1 va y 1 koordinatalarini tenglamalar tizimining yechimi sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar M 0 nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasidir. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Misol. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgph = ; ph= p /4.

Misol. 3x - 5y + 7 = 0 va 10x + 6y - 3 = 0 chiziqlar perpendikulyar ekanligini ko'rsating.

Yechim. Biz topamiz: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, shuning uchun chiziqlar perpendikulyar.

Misol. Uchburchakning A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) uchlari berilgan. C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.

Yechim. AB tomonining tenglamasini topamiz: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Kerakli balandlik tenglamasi: Ax + By + C = 0 yoki y = kx + b. k =. Keyin y =. Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, keyin uning koordinatalari ushbu tenglikni qanoatlantiradi: bundan b = 17. Jami: .

Javob: 3x + 2y - 34 = 0.

Berilgan nuqtadan ma'lum yo'nalishda o'tadigan chiziq tenglamasi. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi. Ikki chiziq orasidagi burchak. Ikki chiziqning parallellik va perpendikulyarlik sharti. Ikki chiziqning kesishish nuqtasini aniqlash

1. Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi A(x 1 , y 1) qiyalik bilan belgilanadigan ma'lum bir yo'nalishda k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ushbu tenglama nuqtadan o'tadigan chiziqlar qalamini belgilaydi A(x 1 , y 1), bu nurning markazi deb ataladi.

2. Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi: A(x 1 , y 1) va B(x 2 , y 2) quyidagicha yoziladi:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning qiyaligi formula bilan aniqlanadi

3. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak A Va B birinchi to'g'ri chiziqni burish kerak bo'lgan burchak A bu chiziqlarning kesishish nuqtasi atrofida soat sohasi farqli o'laroq ikkinchi chiziqqa to'g'ri kelguncha B. Ikki chiziq qiyalik tenglamalari bilan berilgan bo'lsa

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

keyin ular orasidagi burchak formula bilan aniqlanadi

Shuni ta'kidlash kerakki, kasrning numeratorida birinchi to'g'ri chiziqning qiyaligi ikkinchi to'g'ri chiziqning qiyaligidan chiqariladi.

Agar to'g'ri chiziq tenglamalari berilgan bo'lsa umumiy ko'rinish

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

ular orasidagi burchak formula bilan aniqlanadi

4. Ikki chiziq parallelligi uchun shartlar:

a) Agar chiziqlar qiyalik bilan (4) tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, u holda zarur va etarli shart ularning parallelligi burchak koeffitsientlarining tengligidan iborat:

k 1 = k 2 . (8)

b) Agar chiziqlar umumiy shakldagi (6) tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, ularning parallelligi uchun zarur va etarli shart ularning tenglamalarida mos keladigan oqim koordinatalaridagi koeffitsientlar proportsionaldir, ya'ni.

5. Ikki chiziqning perpendikulyarligi uchun shartlar:

a) Agar chiziqlar qiyalik bilan (4) tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, ularning perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shart - ularning qiyaliklari kattaligi bo'yicha o'zaro va ishorasi bilan qarama-qarshi bo'lishi, ya'ni.

Bu shart shaklda ham yozilishi mumkin

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Agar to'g'ri chiziqlar tenglamalari umumiy ko'rinishda berilgan bo'lsa (6), u holda ularning perpendikulyarligi (zarur va etarli) sharti tenglikni bajarishdir.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari (6) tenglamalar tizimini yechish orqali topiladi. Chiziqlar (6) kesishadi, agar va faqat

1. Berilgan l chiziqqa biri parallel, ikkinchisi perpendikulyar bo‘lgan M nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘rilar tenglamalarini yozing.