Angličtina: Wikipedia dělá stránky bezpečnější. Používáte starý webový prohlížeč, který se v budoucnu nebude moci připojit k Wikipedii. Aktualizujte své zařízení nebo se obraťte na správce IT.
中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。
Španělština: Wikipedia je haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web je que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Aktuální informace o kontaktu a správci informático. Más abajo hay una updatedización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Français: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Pokud používáte aktuální webový navigátor, můžete použít připojení k Wikipédii, protože je to pravda. Merci de mettre à jour votre appareil nebo de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Informace o doplňkových informacích a technikách a angličtině, které jsou k dispozici ci-dessous.
日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。
Němec: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Tento webový prohlížeč používá nový webový prohlížeč, který není k dispozici na Wikipedii. Bitte aktualisiere dein Gerät nebo sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.
italština: Wikipedia se nachází na svém místě. Zůstaňte v používání webového prohlížeče, který není sarà v grado di connetters a Wikipedia v budoucnosti. Za laskavost, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.
maďarština: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).
Svenska: Wikipedia je sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare inte commer att Kunna läsa Wikipedia and framtiden. Aktualizace nebo kontakt na správce IT. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
Odstraňujeme podporu pro nezabezpečené verze protokolu TLS, konkrétně TLSv1.0 a TLSv1.1, na které se software vašeho prohlížeče při připojování k našim stránkám spoléhá. To je obvykle způsobeno zastaralými prohlížeči nebo staršími smartphony Android. Nebo to může být interference ze strany podnikového nebo osobního softwaru „Web Security“, který ve skutečnosti snižuje zabezpečení připojení.
Chcete-li získat přístup k našim stránkám, musíte upgradovat svůj webový prohlížeč nebo tento problém vyřešit jiným způsobem. Tato zpráva zůstane do 1. ledna 2020. Po tomto datu nebude váš prohlížeč schopen navázat spojení s našimi servery.
Úhel mezi vektory
Abychom mohli zavést pojem vektorového součinu dvou vektorů, musíme nejprve pochopit takový pojem, jako je úhel mezi těmito vektory.
Dostaneme dva vektory $\overline(α)$ a $\overline(β)$. Vezmeme nějaký bod $O$ v prostoru a vyneseme z něj vektory $\overline(α)=\overline(OA)$ a $\overline(β)=\overline(OB)$, pak úhel $AOB$ budeme nazývat úhel mezi těmito vektory (obr. 1).
Zápis: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Pojem vektorového součinu vektorů a vzorec pro hledání
Definice 1
Vektorový součin dvou vektorů je vektor kolmý na oba dané vektory a jeho délka bude rovna součinu délek těchto vektorů se sinem úhlu mezi těmito vektory a také tento vektor se dvěma počátečními má stejnou orientaci jako kartézský souřadnicový systém.
Zápis: $\overline(α)х\overline(β)$.
Matematicky to vypadá takto:
- $|\overline(α)х\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ a $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ jsou stejně orientované (obr. 2)
Je zřejmé, že vnější součin vektorů se bude rovnat nulovému vektoru ve dvou případech:
- Pokud je délka jednoho nebo obou vektorů nulová.
- Pokud je úhel mezi těmito vektory roven $180^\circ$ nebo $0^\circ$ (protože v tomto případě je sinus nula).
Chcete-li jasně vidět, jak se vektorový součin vektorů nachází, zvažte následující příklady řešení.
Příklad 1
Najděte délku vektoru $\overline(δ)$, který bude výsledkem vektorového součinu vektorů, se souřadnicemi $\overline(α)=(0,4,0)$ a $\overline(β) =(3,0,0) $.
Řešení.
Znázorněme tyto vektory v kartézském souřadnicovém prostoru (obr. 3):
Obrázek 3. Vektory v kartézském souřadnicovém prostoru. Avtor24 - online výměna studentských prací
Vidíme, že tyto vektory leží na osách $Ox$ a $Oy$. Proto úhel mezi nimi bude $90^\circ$. Pojďme najít délky těchto vektorů:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Pak podle definice 1 získáme modul $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Odpověď: 12 $.
Výpočet křížového součinu z vektorových souřadnic
Definice 1 přímo implikuje metodu pro nalezení vektorového součinu pro dva vektory. Protože vektor má kromě své hodnoty také směr, nelze jej najít pouze pomocí skalární veličiny. Ale kromě toho existuje také způsob, jak najít vektory, které nám byly přiděleny, pomocí souřadnic.
Dostaneme vektory $\overline(α)$ a $\overline(β)$, které budou mít souřadnice $(α_1,α_2,α_3)$ a $(β_1,β_2,β_3)$. Potom lze vektor křížového součinu (jmenovitě jeho souřadnice) najít pomocí následujícího vzorce:
$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
Jinak rozšířením determinantu získáme následující souřadnice
$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
Příklad 2
Najděte vektor vektorového součinu kolineárních vektorů $\overline(α)$ a $\overline(β)$ se souřadnicemi $(0,3,3)$ a $(-1,2,6)$.
Řešení.
Použijme vzorec uvedený výše. Dostaneme
$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$
Odpověď: $(12,-3,3)$.
Vlastnosti vektorového součinu vektorů
Pro libovolné smíšené tři vektory $\overline(α)$, $\overline(β)$ a $\overline(γ)$ a také $r∈R$ platí následující vlastnosti:
Příklad 3
Najděte oblast rovnoběžníku, jehož vrcholy mají souřadnice $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ a $(3,8,0) $.
Řešení.
Nejprve znázorněme tento rovnoběžník v souřadnicovém prostoru (obr. 5):
Obrázek 5. Rovnoběžník v souřadnicovém prostoru. Avtor24 - online výměna studentských prací
Vidíme, že dvě strany tohoto rovnoběžníku jsou konstruovány pomocí kolineárních vektorů se souřadnicemi $\overline(α)=(3,0,0)$ a $\overline(β)=(0,8,0)$. Pomocí čtvrté vlastnosti získáme:
$S=|\overline(α)х\overline(β)|$
Pojďme najít vektor $\overline(α)х\overline(β)$:
$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Proto
$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
Vektorové kresby je pseudovektor kolmý k rovině sestrojený ze dvou faktorů, který je výsledkem binární operace „násobení vektorů“ nad vektory v trojrozměrném euklidovském prostoru. Vektorový součin nemá vlastnosti komutativnosti a asociativnosti (je antikomutativní) a na rozdíl od skalárního součinu vektorů je vektorem. Široce používán v mnoha inženýrských a fyzikálních aplikacích. Například moment hybnosti a Lorentzova síla jsou zapsány matematicky jako vektorový součin. Křížový součin je užitečný pro „měření“ kolmosti vektorů – modul křížového součinu dvou vektorů se rovná součinu jejich modulů, pokud jsou kolmé, a klesá k nule, jsou-li vektory rovnoběžné nebo antiparalelní.
Vektorový součin lze definovat různými způsoby a teoreticky lze v prostoru libovolné dimenze n vypočítat součin n-1 vektorů, čímž se získá jediný vektor kolmý na všechny. Pokud je však součin omezen na netriviální binární součiny s vektorovými výsledky, pak je tradiční vektorový součin definován pouze v trojrozměrných a sedmirozměrných prostorech. Výsledek vektorového součinu, stejně jako skalárního součinu, závisí na metrice euklidovského prostoru.
Na rozdíl od vzorce pro výpočet vektorů skalárního součinu ze souřadnic v trojrozměrném pravoúhlém souřadnicovém systému závisí vzorec pro křížový součin na orientaci pravoúhlého souřadnicového systému, nebo jinými slovy na jeho „chiralitě“.
Definice:
Vektorový součin vektoru a a vektoru b v prostoru R3 je vektor c, který splňuje následující požadavky:
délka vektoru c je rovna součinu délek vektorů a a b a sinusu úhlu φ mezi nimi:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c je ortogonální ke každému z vektorů a a b;
vektor c je směrován tak, že trojice vektorů abc je pravotočivá;
v případě prostoru R7 je vyžadována asociativita trojice vektorů a, b, c.
Označení:
c===a × b
Rýže. 1. Plocha rovnoběžníku se rovná modulu vektorového produktu
Geometrické vlastnosti křížového produktu:
Nezbytnou a postačující podmínkou pro kolinearitu dvou nenulových vektorů je, že jejich vektorový součin je roven nule.
Modul pro více produktů rovná se plocha S paralelogram konstruovaný na vektorech redukovaných na společný počátek A A b(viz obr. 1).
Li E- jednotkový vektor ortogonální k vektorům A A b a vybrali tak, že tři a,b,e- správně a S je plocha na nich vytvořeného rovnoběžníku (redukovaného na společný počátek), pak platí vzorec pro vektorový součin:
=S e
Obr.2. Objem kvádru pomocí vektorového a skalárního součinu vektorů; tečkované čáry ukazují projekce vektoru c na a × b a vektoru a na b × c, prvním krokem je nalezení skalárních součinů
Li C- nějaký vektor, π
- jakákoli rovina obsahující tento vektor, E- jednotkový vektor ležící v rovině π
a ortogonální k c,g- jednotkový vektor ortogonální k rovině π
a nasměrované tak, že trojice vektorů EKG je správné, pak pro jakékoliv ležení v letadle π
vektor A vzorec je správný:
=Pr e a |c|g
kde Pr e a je projekce vektoru e na a
|c|-modul vektoru c
Při použití vektorových a skalárních součinů můžete vypočítat objem rovnoběžnostěnu postaveného na vektorech redukovaných na společný počátek a, b A C. Takový součin tří vektorů se nazývá smíšený.
V=|a (b×c)|
Obrázek ukazuje, že tento objem lze nalézt dvěma způsoby: geometrický výsledek je zachován i při záměně „skalárního“ a „vektorového“ produktu:
V=a×b c=a b×c
Velikost křížového součinu závisí na sinu úhlu mezi původními vektory, takže křížový součin lze vnímat jako stupeň „kolmosti“ vektorů, stejně jako na skalární součin lze pohlížet jako na stupeň „rovnoběžnosti“. “. Vektorový součin dvou jednotkových vektorů je roven 1 (jednotkový vektor), pokud jsou původní vektory kolmé, a rovný 0 (nulový vektor), pokud jsou vektory paralelní nebo antiparalelní.
Výraz pro křížový součin v kartézských souřadnicích
Pokud dva vektory A A b definovány svými pravoúhlými kartézskými souřadnicemi, nebo přesněji reprezentovanými na ortonormální bázi
a=(a x,ay,az)
b=(b x, b y, b z)
a souřadnicový systém je pravotočivý, pak jejich vektorový součin má tvar
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Pro zapamatování tohoto vzorce:
i =∑ε ijk a j b k
Kde ε ijk- symbol Levi-Civita.
7.1. Definice křížového produktu
Tři nekoplanární vektory a, b a c, brané v uvedeném pořadí, tvoří pravotočivý triplet, jestliže od konce třetího vektoru c nejkratší odbočka z prvního vektoru a do druhého vektoru b být proti směru hodinových ručiček a levotočivý triplet ve směru hodinových ručiček (viz obr. 16).
Křížový součin vektoru a a vektoru b se nazývá vektor c, který:
1. Kolmo k vektorům a a b, tj. c ^ a a c ^ b;
2. Má délku číselně rovnou ploše rovnoběžníku konstruovaného na vektorech aab jako na bocích (viz obr. 17), tzn.
3. Vektory a, b a c tvoří pravotočivou trojici.
Křížový součin se označuje a x b nebo [a,b]. Následující vztahy mezi jednotkovými vektory přímo vyplývají z definice vektorového součinu, j A k(viz obr. 18):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažme to například i xj = k.
1) k ^ i, k ^ j;
2) |k |=1, ale | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;
3) vektory i, ja k tvoří pravou trojici (viz obr. 16).
7.2. Vlastnosti křížového produktu
1. Při přeskupování faktorů vektorový součin mění znaménko, tzn. a xb = (b xa) (viz obr. 19).
Vektory a xb a b xa jsou kolineární, mají stejné moduly (plocha rovnoběžníku zůstává nezměněna), ale jsou opačně orientované (trojice a, b, a xb a a, b, b x a opačné orientace). To znamená axb = -(b xa).
2. Vektorový součin má kombinační vlastnost vzhledem ke skalárnímu faktoru, tj. l (a xb) = (la) x b = a x (l b).
Nechť l >0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. Vektor ( l sekera b je také kolmá k vektorům a a b(vektory a, l ale leží ve stejné rovině). To znamená, že vektory l(a xb) a ( l sekera b kolineární. Je zřejmé, že jejich směry se shodují. Mají stejnou délku:
Proto l(a xb)= l a xb. Obdobným způsobem se dokazuje pro l<0.
3. Dva nenulové vektory aa b jsou kolineární právě tehdy, když je jejich vektorový součin roven nulovému vektoru, tj. a ||b<=>a xb = 0.
Zejména i *i =j *j =k *k =0.
4. Vektorový součin má distribuční vlastnost:
(a+b) xc = a xc + b xs.
Přijmeme bez dokladu.
7.3. Vyjádření křížového součinu pomocí souřadnic
Použijeme křížovou součinovou tabulku vektorů i, j a k:
pokud se směr nejkratší cesty z prvního vektoru do druhého shoduje se směrem šipky, pak se součin rovná třetímu vektoru, pokud se neshoduje, bere se třetí vektor se znaménkem mínus.
Nechť jsou dány dva vektory a =a x i +a y j+a z k a b = b x i+b y j+b z k. Pojďme najít vektorový součin těchto vektorů jejich vynásobením jako polynomy (podle vlastností vektorového součinu):
Výsledný vzorec lze napsat ještě stručněji:
protože pravá strana rovnosti (7.1) odpovídá rozšíření determinantu třetího řádu z hlediska prvků prvního řádku Rovnost (7.2) je snadno zapamatovatelná.
7.4. Některé aplikace křížového produktu
Stanovení kolinearity vektorů
Nalezení oblasti rovnoběžníku a trojúhelníku
Podle definice vektorového součinu vektorů A a b |a xb | =|a | * |b |sin g, tj. S párů = |a x b |. A proto D S = 1/2|a x b |.
Určení momentu síly k bodu
Nechť v bodě A působí síla F = AB nech to být O- nějaký bod v prostoru (viz obr. 20).
Z fyziky je známo, že moment síly F vzhledem k bodu O nazývaný vektor M, která prochází bodem O A:
1) kolmo k rovině procházející body O, A, B;
2) číselně se rovná součinu síly na rameno
3) tvoří pravou trojici s vektory OA a A B.
Proto M = OA x F.
Nalezení lineární rychlosti otáčení
Rychlost proti bod M tuhého tělesa rotujícího úhlovou rychlostí w kolem pevné osy, je určeno Eulerovým vzorcem v =w xr, kde r =OM, kde O je nějaký pevný bod osy (viz obr. 21).
SMÍŠENÝ PRODUKT TŘÍ VEKTORŮ A JEHO VLASTNOSTI
Smíšená práce tři vektory se nazývá číslo rovné . Určeno 
. Zde jsou první dva vektory násobeny vektorově a následně je výsledný vektor násoben skalárně třetím vektorem. Je zřejmé, že takový produkt je určitý počet.
Uvažujme vlastnosti smíšeného produktu.
- Geometrický význam smíšená práce. Smíšený součin 3 vektorů až do znaménka se rovná objemu kvádru postaveného na těchto vektorech jako na hranách, tzn. .
Tak a
.
Důkaz. Nechme stranou vektory ze společného počátku a postavme na nich rovnoběžnostěn. Označme a poznamenejme, že . Podle definice skalárního součinu
Za předpokladu, že a označující tím h zjistěte výšku rovnoběžnostěnu.
Tedy, když
Pokud, tak ano. Proto, .
Kombinací obou těchto případů dostaneme nebo .
Z důkazu této vlastnosti zejména vyplývá, že je-li trojice vektorů pravotočivá, pak smíšený součin je , a je-li levotočivý, pak .
- Pro všechny vektory , platí rovnost
Důkaz této vlastnosti vyplývá z vlastnosti 1. Je skutečně snadné prokázat, že a . Kromě toho se znaménka „+“ a „–“ berou současně, protože úhly mezi vektory a a a jsou ostré i tupé.
- Když jsou jakékoli dva faktory přeskupeny, smíšený produkt změní znaménko.
Pokud totiž uvažujeme smíšený produkt, pak např. popř
- Smíšený součin tehdy a jen tehdy, když je jeden z faktorů roven nule nebo jsou vektory koplanární.
Důkaz.
Nezbytnou a postačující podmínkou pro koplanaritu 3 vektorů je tedy to, že jejich smíšený součin je roven nule. Navíc z toho plyne, že tři vektory tvoří základ v prostoru if .
Pokud jsou vektory uvedeny v souřadnicovém tvaru, pak lze ukázat, že jejich smíšený součin lze nalézt podle vzorce:
.Smíšený součin je tedy roven determinantu třetího řádu, který má souřadnice prvního vektoru v prvním řádku, souřadnice druhého vektoru ve druhém řádku a souřadnice třetího vektoru ve třetím řádku.
Příklady.
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
Rovnice F(x, y, z)= 0 definuje v prostoru Oxyz nějaký povrch, tzn. místo bodů, jejichž souřadnice x, y, z splnit tuto rovnici. Tato rovnice se nazývá povrchová rovnice a x, y, z– aktuální souřadnice.
Často však povrch není specifikován rovnicí, ale jako množina bodů v prostoru, které mají tu či onu vlastnost. V tomto případě je nutné najít rovnici povrchu na základě jeho geometrických vlastností.
LETADLO.
NORMÁLNÍ ROVINNÝ VEKTOR.
ROVNICE LETADLA PROLETUJÍCÍHO DANÝM BODEM
Uvažujme libovolnou rovinu σ v prostoru. Jeho poloha je určena určením vektoru kolmého k této rovině a nějakého pevného bodu M0(x 0, y 0, z 0), ležící v rovině σ.
Vektor kolmý k rovině σ se nazývá normální vektor této roviny. Nechť má vektor souřadnice.
Odvoďme rovnici roviny σ procházející tímto bodem M0 a mající normální vektor. K tomu vezměte libovolný bod v rovině σ M(x, y, z) a zvažte vektor .
Za jakýkoli bod MО σ je vektor Proto je jejich skalární součin roven nule. Tato rovnost je podmínkou, že bod MО σ. Platí pro všechny body této roviny a je porušeno, jakmile bod M bude mimo rovinu σ.
Označíme-li body poloměrovým vektorem M, – vektor poloměru bodu M0, pak lze rovnici zapsat ve tvaru
Tato rovnice se nazývá vektor rovinná rovnice. Pojďme to napsat v souřadnicovém tvaru. Od té doby
Získali jsme tedy rovnici roviny procházející tímto bodem. K vytvoření rovnice roviny tedy potřebujete znát souřadnice normálového vektoru a souřadnice nějakého bodu ležícího v rovině.
Všimněte si, že rovnice roviny je rovnicí 1. stupně vzhledem k aktuálním souřadnicím x, y A z.
Příklady.
OBECNÁ ROVNICE LETADLA
Lze ukázat, že jakákoli rovnice prvního stupně s ohledem na kartézské souřadnice x, y, z představuje rovnici nějaké roviny. Tato rovnice je napsána takto:
Ax+By+Cz+D=0
a nazývá se obecná rovnice rovinu a souřadnice A, B, C zde jsou souřadnice normálového vektoru roviny.
Uvažujme speciální případy obecné rovnice. Pojďme zjistit, jak je rovina umístěna vzhledem k souřadnicovému systému, pokud se jeden nebo více koeficientů rovnice stane nulou.
A je délka segmentu odříznutého rovinou na ose Vůl. Podobně lze ukázat, že b A C– délky segmentů odříznutých uvažovanou rovinou na osách Oj A Oz.
Pro konstrukci rovin je vhodné použít rovnici roviny v úsecích.
