Rovnoměrná funkce.

Dokonce Zavolá se funkce, jejíž znaménko se při změně znaménka nemění X.

X rovnost F(–X) = F(X). Podepsat X nemá vliv na znaménko y.

Graf sudé funkce je symetrický podle souřadnicové osy (obr. 1).

Dokonce příklady funkcí:

y= cos X

y = X 2

y = –X 2

y = X 4

y = X 6

y = X 2 + X

Vysvětlení:
Vezměme si funkci y = X 2 nebo y = –X 2 .
Za jakoukoli hodnotu X funkce je kladná. Podepsat X nemá vliv na znaménko y. Graf je symetrický podle souřadnicové osy. Toto je rovnoměrná funkce.

lichá funkce.

zvláštní je funkce, jejíž znaménko se mění při změně znaménka X.

Jinými slovy, za jakoukoli hodnotu X rovnost F(–X) = –F(X).

Graf liché funkce je symetrický vzhledem k počátku (obr. 2).

Příklady liché funkce:

y= hřích X

y = X 3

y = –X 3

Vysvětlení:

Vezměte funkci y = - X 3 .
Všechny hodnoty na bude mít znaménko mínus. To je znamení X ovlivňuje znamení y. Je-li nezávislá proměnná kladné číslo, je funkce kladná, je-li nezávislá proměnná záporné číslo, je funkce záporná: F(–X) = –F(X).
Graf funkce je symetrický podle počátku. Toto je zvláštní funkce.

Vlastnosti sudých a lichých funkcí:

POZNÁMKA:

Ne všechny funkce jsou sudé nebo liché. Jsou funkce, které takové gradaci nepodléhají. Například funkce root na = √X neplatí pro sudé ani liché funkce (obr. 3). Při výčtu vlastností takových funkcí by měl být uveden odpovídající popis: ani sudá, ani lichá.

Periodické funkce.

Jak víte, periodicita je opakování určitých procesů v určitém intervalu. Funkce popisující tyto procesy jsou volány periodické funkce. To znamená, že se jedná o funkce, v jejichž grafech jsou prvky, které se opakují v určitých číselných intervalech.

Funkce je jedním z nejdůležitějších matematických pojmů. Funkce - proměnná závislost na z proměnné X, pokud každá hodnota X odpovídá jedné hodnotě na. variabilní X nazývaná nezávislá proměnná nebo argument. variabilní na nazývaná závislá proměnná. Všechny hodnoty nezávislé proměnné (proměnná X) tvoří definiční obor funkce. Všechny hodnoty, které nabývá závislá proměnná (proměnná y), tvoří rozsah funkce.

Graf funkcí nazývají množinu všech bodů souřadnicové roviny, jejichž úsečky se rovnají hodnotám argumentu a pořadnice se rovnají odpovídajícím hodnotám funkce, tedy hodnotám proměnné jsou vyneseny podél osy x X a hodnoty proměnné jsou vyneseny podél osy y y. Chcete-li vykreslit funkci, musíte znát vlastnosti funkce. Hlavní vlastnosti funkce budou diskutovány níže!

Pro vykreslení funkčního grafu doporučujeme použít náš program - Graphing Functions Online. Máte-li nějaké dotazy při studiu materiálů na této stránce, můžete je kdykoli položit na našem fóru. Také na fóru vám pomůžeme řešit problémy z matematiky, chemie, geometrie, teorie pravděpodobnosti a mnoha dalších předmětů!

Základní vlastnosti funkcí.

1) Rozsah funkcí a rozsah funkcí.

Rozsah funkce je množina všech platných platných hodnot argumentu X(proměnná X), pro které je funkce y = f(x) definované.
Rozsah funkce je množina všech reálných hodnot yže funkce přijímá.

V elementární matematice se funkce studují pouze na množině reálných čísel.

2) Funkční nuly.

Hodnoty X, při kterém y=0, je nazýván funkce nuly. Jsou to úsečky průsečíků grafu funkce s osou x.

3) Intervaly znaménkové stálosti funkce.

Intervaly znaménkové stálosti funkce jsou takové intervaly hodnot X, na kterém jsou hodnoty funkce y buď pouze pozitivní nebo pouze negativní jsou nazývány intervaly znaménkové stálosti funkce.

4) Monotónnost funkce.

Rostoucí funkce (v nějakém intervalu) - funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá větší hodnotě funkce.

Klesající funkce (v nějakém intervalu) - funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá menší hodnotě funkce.

5) Sudé (liché) funkce.

Sudá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je symetrický podle osy y.

Lichá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X z oblasti definice rovnost f(-x) = - f(x). Graf liché funkce je symetrický podle počátku.

Rovnoměrná funkce
1) Definiční obor je symetrický vzhledem k bodu (0; 0), tedy pokud bod A patří do oblasti definice, pak bodu -A také patří do oblasti definice.
2) Za jakoukoli hodnotu X f(-x)=f(x)
3) Graf sudé funkce je symetrický kolem osy Oy.

lichá funkce má následující vlastnosti:
1) Definiční obor je symetrický vzhledem k bodu (0; 0).
2) za jakoukoli hodnotu X, která patří do oblasti definice, rovnosti f(-x)=-f(x)
3) Graf liché funkce je symetrický vzhledem k počátku (0; 0).

Ne každá funkce je sudá nebo lichá. Funkce obecný pohled nejsou ani sudé, ani liché.

6) Omezené a neomezené funkce.

Funkce se nazývá omezená, pokud existuje kladné číslo M takové, že |f(x)| ≤ M pro všechny hodnoty x . Pokud takové číslo neexistuje, pak je funkce neomezená.

7) Periodicita funkce.

Funkce f(x) je periodická, pokud existuje nenulové číslo T takové, že pro libovolné x z definičního oboru funkce platí f(x+T) = f(x). Toto nejmenší číslo se nazývá perioda funkce. Všechny goniometrické funkce jsou periodické. (Trigonometrické vzorce).

Funkce F se nazývá periodické, pokud existuje číslo takové, že pro libovolné X z oblasti definice rovnost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je období funkce.

Každá periodická funkce má nekonečný počet period. V praxi se obvykle uvažuje nejmenší kladné období.

Hodnoty periodické funkce se opakují po intervalu rovném periodě. To se používá při vykreslování grafů.

Funkce nuly
Nula funkce je hodnota X, při kterém se funkce stane 0, tedy f(x)=0.

Nuly jsou průsečíky grafu funkce s osou Ach.

Funkční parita
Funkce je volána, i když pro jakoukoli X z oboru definice, rovnost f(-x) = f(x)

Sudá funkce je symetrická kolem osy OU

Zvláštní funkce
Funkce se nazývá lichá, pokud je nějaká X z definičního oboru je splněna rovnost f(-x) = -f(x).

Lichá funkce je symetrická vzhledem k počátku.
Funkce, která není ani sudá, ani lichá, se nazývá obecná funkce.

Funkce Přírůstek
Funkce f(x) se nazývá rostoucí, pokud větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce, tzn. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Funkce klesající
Funkce f(x) se nazývá klesající, pokud větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce, tzn. x 2 > x 1 → f(x 2)
Volají se intervaly, ve kterých funkce buď pouze klesá, nebo pouze roste intervaly monotónnosti. Funkce f(x) má 3 intervaly monotonie:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Najděte intervaly monotónnosti pomocí služby Intervaly rostoucí a klesající funkce

Místní maximum
Tečka x 0 se nazývá lokální maximální bod, pokud existuje X ze sousedství bodu x 0 platí následující nerovnost: f(x 0) > f(x)

Místní minimum
Tečka x 0 se nazývá místní minimální bod, pokud existuje X ze sousedství bodu x 0 platí následující nerovnost: f(x 0)< f(x).

Lokální maximální body a lokální minimální body se nazývají lokální extrémní body.

x 1 , x 2 - lokální extrémní body.

Periodicita funkce
Funkce f(x) se nazývá periodická s periodou T, pokud k nějakému X f(x+T) = f(x) .

Konstantní intervaly
Intervaly, na kterých je funkce buď pouze kladná nebo pouze záporná, se nazývají intervaly konstantního znaménka.

f(x)>0 pro x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Kontinuita funkce
Funkce f(x) se nazývá spojitá v bodě x 0, pokud limita funkce jako x → x 0 je rovna hodnotě funkce v tomto bodě, tzn. .

body zlomu
Body, ve kterých je podmínka spojitosti porušena, se nazývají body nespojitosti funkce.

x0- bod zlomu.

Obecné schéma pro vykreslování funkcí

1. Najděte definiční obor funkce D(y).
2. Najděte průsečíky grafu funkcí se souřadnicovými osami.
3. Prozkoumejte funkci pro sudou nebo lichou.
4. Zjistěte periodicitu funkce.
5. Najděte intervaly monotonie a extremní body funkce.
6. Najděte intervaly konvexnosti a inflexní body funkce.
7. Najděte asymptoty funkce.
8. Na základě výsledků studie sestavte graf.

Příklad: Prozkoumejte funkci a vytvořte její graf: y = x 3 - 3x
8) Na základě výsledků studie sestrojíme graf funkce:

Definice 1. Funkce je volána dokonce (zvláštní ), pokud spolu s každou hodnotou proměnné
význam - X také patří
a rovnost

Funkce tedy může být sudá nebo lichá pouze tehdy, když je její definiční obor symetrický vzhledem k počátku souřadnic na reálné čáře (čísla X A - X zároveň patří
). Například funkce
není ani sudá, ani lichá, protože je doménou definice
není symetrický vzhledem k původu.

Funkce
dokonce, protože
symetrický vzhledem k počátku souřadnic a.

Funkce
zvláštní protože
A
.

Funkce
není ani sudá, ani lichá, protože ačkoli
a je symetrický vzhledem k počátku, nejsou splněny rovnosti (11.1). Například,.

Graf sudé funkce je symetrický kolem osy OU, jelikož pokud bod

patří také do grafu. Graf liché funkce je symetrický podle počátku, protože pokud
patří do grafu, pak bod
patří také do grafu.

Při dokazování, zda je funkce sudá nebo lichá, jsou užitečná následující tvrzení.

Teorém 1. a) Součet dvou sudých (lichých) funkcí je sudá (lichá) funkce.

b) Součin dvou sudých (lichých) funkcí je sudá funkce.

c) Součin sudé a liché funkce je lichá funkce.

d) Pokud F je sudá funkce na televizoru X a funkce G definované na sadě
, pak funkci
- dokonce.

e) Pokud F je lichá funkce na sadě X a funkce G definované na sadě
a sudá (lichá), pak funkce
- i lichý).

Důkaz. Dokažme například b) ad).

b) Nechat
A
jsou dokonce funkce. Pak tedy. Případ lichých funkcí je posuzován podobně
A
.

d) Nechat F je sudá funkce. Pak.

Ostatní tvrzení věty jsou dokázána podobně. Věta byla prokázána.

Teorém 2. Libovolná funkce
, definované na sadě X, který je symetrický vzhledem k počátku, může být reprezentován jako součet sudé a liché funkce.

Důkaz. Funkce
lze zapsat ve tvaru

.

Funkce
je sudý, protože
a funkce
je zvláštní, protože. Tím pádem,
, Kde
- dokonce a
je zvláštní funkce. Věta byla prokázána.

Definice 2. Funkce
volal časopis pokud existuje číslo
, takové, že pro jakékoli
čísla
A
také patří do oblasti definice
a rovnosti

Takové číslo T volal doba funkcí
.

Z definice 1 vyplývá, že pokud T– funkční období
, pak číslo T Stejný je období funkce
(protože při výměně T na - T rovnost je zachována). Pomocí metody matematické indukce lze ukázat, že pokud T– funkční období F, pak a
, je také období. Z toho vyplývá, že pokud má funkce periodu, pak má nekonečně mnoho period.

Definice 3. Nejmenší z kladných period funkce se nazývá její hlavní doba.

Teorém 3. Pokud T je hlavní období funkce F, pak zbývající období jsou jeho násobky.

Důkaz. Předpokládejme opak, tedy že existuje období funkcí F (>0), ne vícenásobné T. Pak dělení na T se zbytkem dostaneme
, Kde
. Proto

to je – funkční období F, a
, což odporuje skutečnosti, že T je hlavní období funkce F. Tvrzení věty vyplývá ze získaného rozporu. Věta byla prokázána.

Je dobře známo, že goniometrické funkce jsou periodické. Hlavní období
A
rovná se
,
A
. Najděte periodu funkce
. Nechat
je období této funkce. Pak

(protože
.

ororor
.

Význam T, určený z první rovnosti, nemůže být období, protože závisí na X, tj. je funkcí X, není konstantní číslo. Období je určeno z druhé rovnosti:
. Období je nekonečně mnoho
nejmenší kladné období se získá, když
:
. Toto je hlavní období funkce
.

Příkladem složitější periodické funkce je Dirichletova funkce

Všimněte si, že pokud T je tedy racionální číslo
A
jsou racionální čísla pod racionálními X a iracionální, když iracionální X. Proto

pro jakékoli racionální číslo T. Tedy jakékoli racionální číslo T je obdobím Dirichletovy funkce. Je jasné, že tato funkce nemá žádnou hlavní periodu, protože existují kladná racionální čísla libovolně blízká nule (např. racionální číslo lze vytvořit výběrem n libovolně blízko nule).

Teorém 4. Pokud funkce F nastavit na sadě X a má období T a funkce G nastavit na sadě
, pak komplexní funkce
má také období T.

Důkaz. Máme proto

to znamená, že tvrzení věty je dokázáno.

Například od cos X má období
, pak funkce
mít období
.

Definice 4. Volají se funkce, které nejsou periodické neperiodické .

Skrýt show

Způsoby nastavení funkce

Nechť je funkce dána vzorcem: y=2x^(2)-3 . Přiřazením libovolné hodnoty nezávislé proměnné x můžete tento vzorec použít k výpočtu odpovídajících hodnot závislé proměnné y. Pokud například x=-0,5 , pak pomocí vzorce dostaneme, že odpovídající hodnota y je y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Vzhledem k jakékoli hodnotě nabyté argumentem x ve vzorci y=2x^(2)-3 lze vypočítat pouze jednu funkční hodnotu, která jí odpovídá. Funkce může být reprezentována jako tabulka:

X	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Pomocí této tabulky můžete zjistit, že hodnotě argumentu -1 bude odpovídat hodnota funkce -3; a hodnota x=2 bude odpovídat y=0 a tak dále. Je také důležité vědět, že každá hodnota argumentu v tabulce odpovídá pouze jedné funkční hodnotě.

Více funkcí lze nastavit pomocí grafů. Pomocí grafu se zjistí, která hodnota funkce koreluje s určitou hodnotou x. Nejčastěji to bude přibližná hodnota funkce.

Sudá a lichá funkce

Funkce je dokonce funkce, když f(-x)=f(x) pro libovolné x z domény. Taková funkce bude symetrická kolem osy Oy.

Funkce je lichá funkce když f(-x)=-f(x) pro libovolné x v doméně. Taková funkce bude symetrická podle počátku O (0;0) .

Funkce je ani, ani liché a zavolal obecná funkce když nemá symetrii kolem osy nebo počátku.

Zkoumáme následující funkci pro paritu:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) se symetrickou doménou definice o původu. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Funkce f(x)=3x^(3)-7x^(7) je tedy lichá.

Periodická funkce

Funkce y=f(x) , v jejímž definičním oboru platí f(x+T)=f(x-T)=f(x) pro libovolné x, se nazývá periodická funkce s periodou T \neq 0 .

Opakování grafu funkce na libovolném segmentu osy úsečky, který má délku T .

Intervaly, kde je funkce kladná, tj. f (x) > 0 - segmenty osy vodorovné, které odpovídají bodům grafu funkce, které leží nad osou vodorovné.

f(x) > 0 zapnuto (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervaly, kde je funkce záporná, tj. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Omezení funkce

ohraničený zespodu je obvyklé volat funkci y=f(x), x \in X, když existuje číslo A, pro které platí nerovnost f(x) \geq A pro libovolné x \in X .

Příklad funkce ohraničené níže: y=\sqrt(1+x^(2)) protože y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pro libovolné x .

shora ohraničené funkce y=f(x), x \in X se volá, pokud existuje číslo B, pro které platí pro libovolné x \in X nerovnost f(x) \neq B .

Příklad funkce ohraničené níže: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] protože y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pro libovolné x \in [-1;1] .

Omezený je obvyklé volat funkci y=f(x), x \in X, když existuje číslo K > 0, pro které platí nerovnost \left | f(x) \vpravo | \neq K pro libovolné x \in X .

Příklad omezené funkce: y=\sin x je omezeno na celé číselné ose, protože \left | \sin x \right | \neq 1.

Zvyšující a klesající funkce

Je zvykem hovořit o funkci, která roste na uvažovaném intervalu jako zvyšující se funkce kdy větší hodnota x bude odpovídat větší hodnotě funkce y=f(x) . Odtud se ukazuje, že když vezmeme z uvažovaného intervalu dvě libovolné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , bude to y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Zavolá se funkce, která v uvažovaném intervalu klesá klesající funkce kdy větší hodnota x bude odpovídat menší hodnotě funkce y(x) . Odtud se ukazuje, že když vezmeme z uvažovaného intervalu dvě libovolné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , bude to y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funkční kořeny je zvykem pojmenovávat body, ve kterých funkce F=y(x) protíná osu úsečky (získáme je jako výsledek řešení rovnice y(x)=0 ).

a) Pokud se sudá funkce zvětší pro x > 0, pak se pro x sníží< 0

b) Když sudá funkce klesá pro x > 0, pak se zvyšuje pro x< 0

c) Když se lichá funkce zvýší pro x > 0, zvýší se také pro x< 0

d) Když se lichá funkce sníží pro x > 0, pak se sníží také pro x< 0

Funkční extrémy

Minimální bod funkce y=f(x) je zvykem nazývat takový bod x=x_(0) , ve kterém jeho okolí bude mít další body (kromě bodu x=x_(0) ), a pro ně pak nerovnost f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - označení funkce v bodě min.

Maximální bod funkce y=f(x) je zvykem nazývat takový bod x=x_(0) , ve kterém jeho okolí bude mít další body (kromě bodu x=x_(0) ), a pak nerovnost f(x) bude za ně spokojen< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Nutná podmínka

Podle Fermatovy věty: f"(x)=0, pak když funkce f(x) , která je diferencovatelná v bodě x_(0) , objeví se v tomto bodě extrém.

Dostatečný stav

1. Když se znaménko derivace změní z plus na mínus, pak x_(0) bude minimální bod;
2. x_(0) - bude maximální bod pouze tehdy, když derivace změní znaménko z mínus na plus při průchodu stacionárním bodem x_(0) .

Největší a nejmenší hodnota funkce na intervalu

Kroky výpočtu:

1. Hledáme derivaci f "(x) ;
2. Jsou nalezeny stacionární a kritické body funkce a jsou vybrány ty, které patří do intervalu;
3. Hodnoty funkce f(x) se nacházejí ve stacionárních a kritických bodech a na koncích segmentu. Nejmenší z výsledků bude nejmenší hodnota funkce, a více - největší.