Tyto vlastnosti se používají k provedení transformací integrálu za účelem jeho převedení na některý z elementárních integrálů a dalšího výpočtu.

1. Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu:

2. Diferenciál neurčitého integrálu je roven integrandu:

3. Neurčitý integrál diferenciálu nějaké funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

4. Z integrálního znaménka lze vyjmout konstantní faktor:

Navíc a ≠ 0

5. Integrál součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) integrálů:

6. Vlastnost je kombinací vlastností 4 a 5:

Navíc a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Vlastnost invariance neurčitého integrálu:

Pokud, pak

8. Vlastnost:

Pokud, pak

Tato vlastnost je ve skutečnosti speciálním případem integrace pomocí metody změny proměnné, která je podrobněji popsána v další části.

Zvažte příklad:

Nejprve jsme použili vlastnost 5, pak vlastnost 4, pak jsme použili tabulku primitivních derivátů a dostali výsledek.

Algoritmus naší online integrální kalkulačky podporuje všechny výše uvedené vlastnosti a snadno najde podrobné řešení pro váš integrál.

V diferenciálním počtu je problém vyřešen: pod danou funkcí ƒ(x) najděte její derivaci(nebo diferenciál). Integrální počet řeší inverzní problém: najít funkci F (x) se znalostí její derivace F "(x) \u003d ƒ (x) (nebo diferenciál). Požadovaná funkce F (x) se nazývá primitivní funkce funkce ƒ (x).

Je volána funkce F(x). primitivní funkce ƒ(x) na intervalu (a; b), pokud je pro libovolné x є (a; b) rovnost

F" (x)=ƒ(x) (nebo dF(x)=ƒ(x)dx).

Například, primitivní funkce y \u003d x 2, x є R, je funkce, protože

Je zřejmé, že primitivními funkcemi budou také jakékoli funkce

kde C je konstanta, protože

Věta 29. 1. Je-li funkce F(x) primitivní funkcí ƒ(x) na (a;b), pak je množina všech primitivních funkcí pro ƒ(x) dána vzorcem F(x)+ C, kde C je konstantní číslo.

▲ Funkce F(x)+C je primitivní funkce ƒ(x).

Opravdu, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Nechť F(x) je nějaká jiná, odlišná od F(x), primitivní funkce ƒ(x), tj. Ф "(x)=ƒ(x). Pak pro libovolné x є (a; b) máme

A to znamená (viz důsledek 25.1).

kde C je konstantní číslo. Proto Ф(х)=F(x)+С.▼

Zavolá se množina všech primitivních funkcí F(x)+C pro ƒ(x). neurčitý integrál funkce ƒ(x) a označuje se symbolem ∫ ƒ(x) dx.

Takže podle definice

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Zde se volá ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - integrační proměnná, ∫ -podepsat neurčitý integrál .

Operace hledání neurčitého integrálu funkce se nazývá integrace této funkce.

Geometricky neurčitý integrál je rodina "paralelních" křivek y \u003d F (x) + C (každá číselná hodnota C odpovídá určité křivce rodiny) (viz obr. 166). Zavolá se graf každé primitivní funkce (křivky). integrální křivka.

Má každá funkce neurčitý integrál?

Existuje věta, která říká, že „každá funkce spojitá na (a;b) má na tomto intervalu primitivní derivaci“, a tedy neurčitý integrál.

Zaznamenáváme řadu vlastností neurčitého integrálu, které vyplývají z jeho definice.

1. Diferenciál neurčitého integrálu se rovná integrandu a derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

Opravdu, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Díky této vlastnosti je správnost integrace ověřena diferenciací. Například rovnost

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

pravda, protože (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Neurčitý integrál diferenciálu nějaké funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

∫dF(x)=F(x)+C.

Opravdu,

3. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka integrálu:

α ≠ 0 je konstanta.

Opravdu,

(dejte C 1 / a \u003d C.)

4. Neurčitý integrál algebraického součtu konečného počtu spojitých funkcí se rovná algebraickému součtu integrálů členů funkcí:

Nechť F"(x)=ƒ(x) a G"(x)=g(x). Pak

kde C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (Invariance integračního vzorce).

Li , kde u=φ(x) je libovolná funkce, která má spojitou derivaci.

▲ Nechť x je nezávislá proměnná, ƒ(x) - kontinuální funkce a F(x) je jeho primitivní. Pak

Postavme nyní u=φ(x), kde φ(x) je spojitě derivovatelná funkce. Uvažujme komplexní funkci F(u)=F(φ(x)). Vzhledem k invarianci tvaru prvního diferenciálu funkce (viz str. 160) máme

Odtud▼

Vzorec pro neurčitý integrál tedy zůstává platný bez ohledu na to, zda je integrační proměnná nezávislá proměnná nebo jakákoli její funkce, která má spojitou derivaci.

Takže z vzorce nahrazením x za u (u=φ(x)) dostaneme

Zejména,

Příklad 29.1. Najděte integrál

kde C \u003d C1 + C2 + C3 + C4.

Příklad 29.2. Najít integrální řešení:

• 29.3. Tabulka základních neurčitých integrálů

S využitím skutečnosti, že integrace je inverzí k derivaci, lze získat tabulku základních integrálů invertováním odpovídajících vzorců diferenciálního počtu (tabulky diferenciálů) a použitím vlastností neurčitého integrálu.

Například, protože

d(sin u)=cos u . du,

Při zvažování hlavních metod integrace bude uvedena odvození řady tabulkových vzorců.

Integrály v níže uvedené tabulce se nazývají tabulkové integrály. Měli by se znát nazpaměť. V integrálním počtu neexistují jednoduchá a univerzální pravidla pro hledání primitivních derivací z elementární funkce, jako v diferenciálním počtu. Metody hledání primitivních funkcí (tj. integrace funkce) jsou redukovány na indikační metody, které přivádějí daný (požadovaný) integrál do tabulkového. Proto je nutné znát tabulkové integrály a umět je rozpoznat.

Všimněte si, že v tabulce základních integrálů může integrační proměnná a označovat jak nezávisle proměnnou, tak funkci nezávisle proměnné (podle vlastnosti invariance integračního vzorce).

Platnost níže uvedených vzorců lze ověřit odebráním diferenciálu na pravé straně, který se bude rovnat integrandu na levé straně vzorce.

Dokažme například platnost formule 2. Funkce 1/u je definovaná a spojitá pro všechny nenulové hodnoty u.

Pokud u > 0, pak ln|u|=lnu, pak Proto

Pokud ty<0, то ln|u|=ln(-u). НоProstředek

Takže vzorec 2 je správný. Podobně zkontrolujeme vzorec 15:

Tabulka základních integrálů

Přátelé! Zveme vás k diskusi. Pokud máte názor, napište nám do komentářů.

V tomto článku uvádíme hlavní vlastnosti určitého integrálu. Většina těchto vlastností je dokázána na základě Riemannovy a Darbouxovy koncepce určitého integrálu.

Výpočet určitého integrálu se velmi často provádí pomocí prvních pěti vlastností, takže se na ně v případě potřeby odkážeme. Zbývající vlastnosti určitého integrálu se používají hlavně k vyhodnocení různých výrazů.

Před přechodem na základní vlastnosti určitého integrálu souhlasíme, že a nepřesahuje b .

Pro funkci y = f(x) , definovanou pro x = a , platí rovnost.

To znamená, že hodnota určitého integrálu se stejnými integračními limity je nulová. Tato vlastnost je důsledkem definice Riemannova integrálu, protože v tomto případě je každý integrální součet pro libovolné rozdělení intervalu a libovolný výběr bodů roven nule, protože limita integrálních součtů je tedy nulová.

Pro funkci integrovatelnou do segmentu máme .

Jinými slovy, když se horní a dolní hranice integrace obrátí, hodnota určitého integrálu se obrátí. Tato vlastnost určitého integrálu vyplývá i z pojmu Riemannův integrál, pouze číslování dělení úsečky by mělo začínat od bodu x = b.

pro funkce y = f(x) a y = g(x) integrovatelné na intervalu.

Důkaz.

Zapíšeme integrální součet funkce pro daný oddíl segmentu a daný výběr bodů:

kde a jsou integrální součty funkcí y = f(x) a y = g(x) pro dané rozdělení segmentu.

Překročení limitu v dostaneme, že podle definice Riemannova integrálu je ekvivalentní tvrzení dokazované vlastnosti.

Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka určitého integrálu. To znamená, že pro funkci integrovatelnou na segmentu y = f(x) a libovolném čísle k je rovnost .

Důkaz této vlastnosti určitého integrálu je naprosto podobný předchozímu:


Nechť je funkce y = f(x) integrovatelná na intervalu X , a a pak .

Tato vlastnost je platná pro oba a pro nebo .

Důkaz lze provést na základě předchozích vlastností určitého integrálu.

Pokud je funkce integrovatelná do segmentu, pak je integrovatelná také do jakéhokoli vnitřního segmentu.

Důkaz je založen na vlastnosti Darbouxových součtů: pokud se do stávajícího oddílu segmentu přidají nové body, pak se spodní Darbouxův součet nesníží a horní se nezvýší.

Pokud je funkce y = f(x) integrovatelná na intervalu a pro jakoukoli hodnotu argumentu , pak .

Tato vlastnost je dokázána definicí Riemannova integrálu: jakýkoli integrální součet pro libovolný výběr dělicích bodů úsečky a bodů v bude nezáporný (ne kladný).

Následek.

Pro funkce y = f(x) a y = g(x) integrovatelné na intervalu platí následující nerovnosti:


Toto tvrzení znamená, že integrace nerovností je přípustná. Tento důsledek použijeme k prokázání následujících vlastností.

Nechť je funkce y = f(x) integrovatelná na segmentu , pak nerovnost .

Důkaz.

To je zřejmé . V předchozí vlastnosti jsme zjistili, že nerovnost lze integrovat člen po členu, takže je to pravda . Tuto dvojitou nerovnost lze zapsat jako .

Nechť jsou funkce y = f(x) a y = g(x) integrovatelné na intervalu a pro jakoukoli hodnotu argumentu , pak , Kde A .

Důkaz se provádí obdobným způsobem. Protože m a M jsou nejmenší a největší hodnoty funkce y = f(x) na segmentu, pak . Vynásobením dvojité nerovnosti nezápornou funkcí y = g(x) se dostaneme k následující dvojité nerovnosti. Integrací na segment dospějeme k tvrzení, které má být dokázáno.

Následek.

Pokud vezmeme g(x) = 1 , pak nerovnost nabývá tvaru .

První vzorec pro průměr.

Nechť je funkce y = f(x) integrovatelná na segmentu , a , pak je číslo takové, že .

Následek.

Pokud je funkce y = f(x) spojitá na segmentu , pak existuje číslo takové, že .

První vzorec průměrné hodnoty ve zobecněné podobě.

Nechť jsou funkce y = f(x) a y = g(x) integrovatelné na intervalu , a , a g(x) > 0 pro libovolnou hodnotu argumentu . Pak je číslo takové, že .

Druhý vzorec pro průměr.

Pokud je na segmentu funkce y = f(x) integrovatelná a y = g(x) je monotónní, pak existuje takové číslo, že rovnost .

Tento článek podrobně pojednává o hlavních vlastnostech určitého integrálu. Jsou dokázány pomocí konceptu Riemannova a Darbouxova integrálu. Výpočet určitého integrálu projde díky 5 vlastnostem. Zbytek se používá k vyhodnocení různých výrazů.

Než přejdeme k hlavním vlastnostem určitého integrálu, je nutné se ujistit, že a nepřesahuje b .

Základní vlastnosti určitého integrálu

Definice 1

Funkce y \u003d f (x) , definovaná pro x \u003d a, je podobná spravedlivé rovnosti ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Důkaz 1

Odtud vidíme, že hodnota integrálu se shodnými limitami je rovna nule. Toto je důsledek Riemannova integrálu, protože každý integrální součet σ pro libovolnou partici na intervalu [ a ; a ] a libovolný výběr bodů ζ i se rovná nule, protože x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , takže dostaneme, že limita integrálních funkcí je nulová.

Definice 2

Pro funkci integrovatelnou na intervalu [ a ; b ] , je splněna podmínka ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x.

Důkaz 2

Jinými slovy, pokud místy změníte horní a dolní hranici integrace, pak hodnota integrálu změní hodnotu na opačnou. Tato vlastnost je převzata z Riemannova integrálu. Číslování dělení segmentu však začíná od bodu x = b.

Definice 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x se používá pro integrovatelné funkce typu y = f (x) a y = g (x) definované na intervalu [ a ; b] .

Důkaz 3

Napište celočíselný součet funkce y = f (x) ± g (x) pro rozdělení na segmenty s danou volbou bodů ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

kde σ f a σ g jsou celočíselné součty funkcí y = f (x) a y = g (x) pro rozdělení segmentu. Po přechodu na limitu při λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 dostaneme, že lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Z Riemannovy definice je tento výraz ekvivalentní.

Definice 4

Vyjmutí konstantního faktoru ze znaménka určitého integrálu. Integrovatelná funkce z intervalu [ a ; b ] s libovolnou hodnotou k má platnou nerovnost ve tvaru ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Důkaz 4

Důkaz vlastnosti určitého integrálu je podobný předchozímu:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definice 5

Je-li funkce ve tvaru y = f (x) integrovatelná na intervalu x s ​​a ∈ x , b ∈ x , dostáváme ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Důkaz 5

Vlastnost je považována za platnou pro c ∈ a ; b , pro c ≤ a a c ≥ b . Důkaz se provádí obdobně jako u předchozích vlastností.

Definice 6

Když má funkce schopnost být integrovatelná ze segmentu [ a ; b], pak je to možné pro jakýkoli vnitřní segment c; d ∈ a; b.

Důkaz 6

Důkaz je založen na vlastnosti Darboux: pokud jsou body přidány do existujícího oddílu segmentu, pak se spodní Darbouxův součet nesníží a horní se nezvýší.

Definice 7

Když je funkce integrovatelná na [ a ; b ] z f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pro jakoukoli hodnotu x ∈ a ; b , pak dostaneme, že ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Vlastnost lze dokázat pomocí definice Riemannova integrálu: libovolný integrální součet pro libovolnou volbu dělicích bodů úsečky a bodů ζ i s podmínkou, že f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 je nezáporné.

Důkaz 7

Pokud jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovatelné na segmentu [ a ; b ] , pak jsou následující nerovnosti považovány za platné:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Díky tvrzení víme, že integrace je přípustná. Tento důsledek bude použit při dokazování dalších vlastností.

Definice 8

Pro integrovatelnou funkci y = f (x) ze segmentu [ a ; b ] máme platnou nerovnost tvaru ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Důkaz 8

Platí, že - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Z předchozí vlastnosti jsme získali, že nerovnost lze integrovat člen po členu a odpovídá nerovnosti tvaru - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Tato dvojitá nerovnost může být zapsána v jiném tvaru: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definice 9

Když jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovány ze segmentu [ a ; b ] pro g (x) ≥ 0 pro libovolné x ∈ a ; b , získáme nerovnost tvaru m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , kde m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x).

Důkaz 9

Důkaz se provádí podobným způsobem. M a m jsou považovány za největší a nejmenší hodnotu funkce y = f (x) , definovaná ze segmentu [ a ; b], pak m ≤ f (x) ≤ M . Dvojitou nerovnost je potřeba vynásobit funkcí y = g (x) , čímž získáme hodnotu dvojité nerovnosti tvaru m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . Je nutné jej integrovat na segment [ a ; b ] , pak získáme tvrzení, které má být dokázáno.

Následek: Pro g (x) = 1 se nerovnost stane m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

První průměrný vzorec

Definice 10

Pro y = f (x) integrovatelné na intervalu [ a ; b ] s m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x) existuje číslo μ ∈ m ; M , což odpovídá ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Následek: Když je funkce y = f (x) spojitá ze segmentu [ a ; b ] , pak existuje takové číslo c ∈ a ; b , které splňuje rovnost ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

První vzorec průměrné hodnoty ve zobecněné podobě

Definice 11

Když jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovatelné ze segmentu [ a ; b ] s m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x) ag (x) > 0 pro jakoukoli hodnotu x ∈ a; b. Máme tedy, že existuje číslo μ ∈ m ; M , což splňuje rovnost ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Druhý vzorec střední hodnoty

Definice 12

Když je funkce y = f (x) integrovatelná ze segmentu [ a ; b ] , a y = g (x) je monotónní, pak existuje číslo, které c ∈ a ; b , kde získáme spravedlivou rovnost tvaru ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter