Lineární funkce je funkcí tvaru y=kx+b, kde x je nezávislá proměnná, kab jsou libovolná čísla.
Grafem lineární funkce je přímka.

1. Chcete-li vykreslit funkční graf, potřebujeme souřadnice dvou bodů patřících do grafu funkce. Chcete-li je najít, musíte vzít dvě hodnoty x, dosadit je do rovnice funkce a vypočítat z nich odpovídající hodnoty y.

Například pro vykreslení funkce y= x+2 je vhodné vzít x=0 a x=3, pak se souřadnice těchto bodů budou rovnat y=2 ay=3. Dostaneme body A(0;2) a B(3;3). Spojme je a získáme graf funkce y= x+2:

2. Ve vzorci y=kx+b se číslo k nazývá faktor úměrnosti:
je-li k>0, pak funkce y=kx+b roste
pokud k
Koeficient b ukazuje posun grafu funkce podél osy OY:
pokud b>0, pak graf funkce y=kx+b získáme z grafu funkce y=kx posunutím b jednotek nahoru podél osy OY
pokud b
Obrázek níže ukazuje grafy funkcí y=2x+3; y= 1/2x+3; y=x+3

Všimněte si, že ve všech těchto funkcích je koeficient k Nad nulou, a funkce jsou vzrůstající. Navíc, čím větší je hodnota k, tím větší je úhel sklonu přímky ke kladnému směru osy OX.

Ve všech funkcích b=3 - a vidíme, že všechny grafy protínají osu OY v bodě (0;3)

Nyní zvažte grafy funkcí y=-2x+3; y = - 1/2 x + 3; y=-x+3

Tentokrát ve všech funkcích koeficient k méně než nula a funkcemi pokles. Koeficient b=3 a grafy stejně jako v předchozím případě protínají osu OY v bodě (0;3)

Uvažujme grafy funkcí y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Nyní se ve všech rovnicích funkcí koeficienty k rovnají 2. A máme tři rovnoběžné přímky.

Ale koeficienty b jsou různé a tyto grafy protínají osu OY v různých bodech:
Graf funkce y=2x+3 (b=3) protíná osu OY v bodě (0;3)
Graf funkce y=2x (b=0) protíná osu OY v bodě (0;0) - počátku.
Graf funkce y=2x-3 (b=-3) protíná osu OY v bodě (0;-3)

Pokud tedy známe znaménka koeficientů k a b, pak si můžeme hned představit, jak vypadá graf funkce y=kx+b.
Li k 0

Li k>0 a b>0, pak graf funkce y=kx+b vypadá takto:

Li k>0 a b, pak graf funkce y=kx+b vypadá takto:

Li k, pak graf funkce y=kx+b vypadá takto:

Li k=0, pak se funkce y=kx+b změní na funkci y=b a její graf vypadá takto:

Pořadnice všech bodů grafu funkce y=b se rovnají b If b=0, pak graf funkce y=kx (přímá úměrnost) prochází počátkem:

3. Samostatně si všimneme grafu rovnice x=a. Grafem této rovnice je přímka rovnoběžná s osou OY, jejíž všechny body mají úsečku x=a.

Například graf rovnice x=3 vypadá takto:
Pozornost! Rovnice x=a není funkce, protože jedna hodnota argumentu odpovídá různým hodnotám funkce, což neodpovídá definici funkce.

4. Podmínka pro rovnoběžnost dvou čar:

Graf funkce y=k 1 x+b 1 je rovnoběžný s grafem funkce y=k 2 x+b 2, jestliže k 1 =k 2

5. Podmínka, aby dvě přímky byly kolmé:

Graf funkce y=k 1 x+b 1 je kolmý na graf funkce y=k 2 x+b 2, pokud k 1 *k 2 =-1 nebo k 1 =-1/k 2

6. Průsečíky grafu funkce y=kx+b se souřadnými osami.

s osou OY. Úsečka libovolného bodu náležejícího k ose OY je rovna nule. Proto, abyste našli průsečík s osou OY, musíte v rovnici funkce dosadit nulu místo x. Dostaneme y=b. To znamená, že průsečík s osou OY má souřadnice (0;b).

S osou x: Pořadnice libovolného bodu patřícího k ose x je nula. Proto, abyste našli průsečík s osou OX, musíte do rovnice funkce dosadit nulu místo y. Dostaneme 0=kx+b. Proto x=-b/k. To znamená, že průsečík s osou OX má souřadnice (-b / k; 0):

1. Lineární zlomková funkce a její graf

Funkce ve tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy, se nazývá zlomková racionální funkce.

Pravděpodobně již znáte koncept racionálních čísel. Podobně racionální funkce jsou funkce, které lze znázornit jako podíl dvou polynomů.

Je-li zlomková racionální funkce podílem dvou lineárních funkcí - polynomů prvního stupně, tzn. funkce zobrazení

y = (ax + b) / (cx + d), pak se nazývá zlomková lineární.

Všimněte si, že ve funkci y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (jinak se funkce stane lineární y = ax/d + b/d) a že a/c ≠ b/d (jinak funkce je konstanta). Lineární zlomková funkce je definována pro všechna reálná čísla kromě x = -d/c. Grafy lineárně zlomkových funkcí se tvarem neliší od grafu, který znáte y = 1/x. Zavolá se křivka, která je grafem funkce y = 1/x nadsázka. Při neomezeném nárůstu x v absolutní hodnotě funkce y = 1/x neomezeně klesá v absolutní hodnotě a obě větve grafu se přibližují k ose x: pravá shora a levá zdola. Čáry, ke kterým se přibližují větve hyperboly, se nazývají její asymptoty.

Příklad 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Řešení.

Vyberme celočíselnou část: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Nyní je dobře vidět, že graf této funkce získáme z grafu funkce y = 1/x následujícími transformacemi: posunutí o 3 jednotkové segmenty doprava, protažení podél osy Oy 7krát a posunutí o 2 segmenty jednotky nahoru.

Stejným způsobem lze zapsat libovolný zlomek y = (ax + b) / (cx + d) se zvýrazněním „celé části“. V důsledku toho jsou grafy všech lineárně zlomkových funkcí hyperboly posunuté podél souřadnicových os různými způsoby a natažené podél osy Oy.

Sestavit graf nějakého libovolného lineární zlomková funkce není vůbec nutné transformovat zlomek, který tuto funkci definuje. Protože víme, že graf je hyperbola, bude stačit najít přímky, ke kterým se jeho větve blíží - hyperbola asymptoty x = -d/c a y = a/c.

Příklad 2

Najděte asymptoty grafu funkce y = (3x + 5)/(2x + 2).

Řešení.

Funkce není definována, když x = -1. Proto přímka x = -1 slouží jako vertikální asymptota. Abychom našli horizontální asymptotu, zjistěme, k čemu se blíží hodnoty funkce y(x), když argument x vzroste v absolutní hodnotě.

Za tímto účelem vydělíme čitatel a jmenovatel zlomku x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Jako x → ∞ má zlomek tendenci k 3/2. Horizontální asymptota je tedy přímka y = 3/2.

Příklad 3

Nakreslete funkci y = (2x + 1)/(x + 1).

Řešení.

Vybereme „celou část“ zlomku:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nyní je snadné vidět, že graf této funkce získáme z grafu funkce y = 1/x následujícími transformacemi: posun o 1 jednotku doleva, symetrické zobrazení vzhledem k Ox a posun o 2 jednotkové intervaly nahoru podél osy Oy.

Definiční doména D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Průsečíky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkce se zvyšuje na každém z intervalů definičního oboru.

Odpověď: obrázek 1.

2. Zlomkově-racionální funkce

Uvažujme zlomkovou racionální funkci tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy stupně vyššího než první.

Příklady takových racionálních funkcí:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) nebo y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Je-li funkce y = P(x) / Q(x) podílem dvou polynomů stupně vyššího než prvního, bude její graf zpravidla složitější a někdy může být obtížné jej přesně sestavit. , se všemi detaily. Často však stačí aplikovat techniky podobné těm, se kterými jsme se již setkali výše.

Nechť je zlomek vlastní (n< m). Известно, что любую несократимую racionální zlomek lze, a navíc jedinečným způsobem, reprezentovat jako součet konečného počtu elementárních zlomků, jejichž tvar je určen rozšířením jmenovatele zlomku Q(x) na součin reálných faktorů:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) +. .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + q t) mi + ... + (M 1 x + N m 1) / (x 2 + pt x + qt).

Je zřejmé, že graf zlomkové racionální funkce lze získat jako součet grafů elementárních zlomků.

Vykreslování zlomkových racionálních funkcí

Zvažte několik způsobů, jak vykreslit zlomkovou racionální funkci.

Příklad 4

Nakreslete funkci y = 1/x 2 .

Řešení.

Pro vykreslení grafu y \u003d 1 / x 2 použijeme graf funkce y \u003d x 2 a použijeme metodu „dělení“ grafů.

Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (0; +∞).

Nejsou zde žádné průsečíky s osami. Funkce je sudá. Zvyšuje pro všechna x z intervalu (-∞; 0), snižuje pro x od 0 do +∞.

Odpověď: obrázek 2.

Příklad 5

Nakreslete funkci y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Řešení.

Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Zde jsme použili techniku ​​faktoringu, redukce a redukce na lineární funkci.

Odpověď: obrázek 3.

Příklad 6

Vykreslete funkci y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Řešení.

Definiční obor je D(y) = R. Protože je funkce sudá, je graf symetrický podle osy y. Před vykreslením výraz opět transformujeme zvýrazněním celé části:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Všimněte si, že výběr části celého čísla ve vzorci zlomkově-racionální funkce je jedním z hlavních při vykreslování grafů.

Pokud x → ±∞, pak y → 1, tj. přímka y = 1 je vodorovná asymptota.

Odpověď: obrázek 4.

Příklad 7

Uvažujme funkci y = x/(x 2 + 1) a pokusíme se najít přesně její největší hodnotu, tzn. většina vysoký bod pravá polovina grafu. K přesnému sestavení tohoto grafu dnešní znalosti nestačí. Je zřejmé, že naše křivka nemůže "vyšplhat" příliš vysoko, protože jmenovatel rychle začne „předbíhat“ čitatele. Podívejme se, zda se hodnota funkce může rovnat 1. K tomu je třeba vyřešit rovnici x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Tato rovnice nemá žádné skutečné kořeny. Náš předpoklad je tedy chybný. Chcete-li najít co nejvíce velká důležitost funkce, musíte zjistit, pro které největší A bude mít rovnice A \u003d x / (x 2 + 1) řešení. Nahraďme původní rovnici kvadratickou: Ax 2 - x + A = 0. Tato rovnice má řešení, když 1 - 4A 2 ≥ 0. Odtud zjistíme nejvyšší hodnotu A = 1/2.

Odpověď: Obrázek 5, max y(x) = ½.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak vytvořit funkční grafy?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Znalost základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy neméně důležité než znalost násobilky. Jsou jako základ, vše je na nich založeno, vše je z nich postaveno a vše na nich závisí.

V tomto článku uvádíme všechny hlavní elementární funkce, uvádíme jejich grafy a uvádíme je bez odvození a důkazů. vlastnosti základních elementárních funkcí podle schématu:

• chování funkce na hranicích definičního oboru, vertikální asymptoty (v případě potřeby viz článek klasifikace breakpointů funkce);
• sudý a lichý;
• konvexita (konvexita nahoru) a konkávnost (konvexita dolů) intervaly, inflexní body (v případě potřeby viz článek funkce konvexita, směr konvexity, inflexní body, podmínky konvexity a inflexe);
• šikmé a horizontální asymptoty;
• singulární body funkcí;
• speciální vlastnosti některé funkce (například nejmenší kladná perioda pro goniometrické funkce).

Pokud vás zajímá nebo, pak můžete jít do těchto částí teorie.

Základní elementární funkce jsou: konstantní funkce (konstanta), odmocnina n-tého stupně, mocninná funkce, exponenciální, logaritmická funkce, goniometrické a inverzní goniometrické funkce.

Navigace na stránce.

Stálá funkce.

Konstantní funkce je dána na množině všech reálných čísel vzorcem , kde C je nějaké reálné číslo. Konstantní funkce přiřadí každé reálné hodnotě nezávisle proměnné x stejnou hodnotu závisle proměnné y - hodnotu С. Konstantní funkce se také nazývá konstanta.

Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem se souřadnicemi (0,C) . Ukažme si například grafy konstantních funkcí y=5 , y=-2 a , které na obrázku níže odpovídají černé, červené a modré čáře.

Vlastnosti konstantní funkce.

• Definiční obor: celá množina reálných čísel.
• Konstantní funkce je sudá.
• Rozsah hodnot: sada sestávající z jednotné číslo S .
• Konstantní funkce je nerostoucí a neklesající (proto je konstantní).
• O konvexnosti a konkávnosti konstanty nemá smysl mluvit.
• Neexistuje žádná asymptota.
• Funkce prochází bodem (0,C) souřadnicové roviny.

Kořen n-tého stupně.

Uvažujme základní elementární funkci, která je dána vzorcem , kde n je přirozené číslo, větší než jedna.

Odmocnina n-tého stupně, n je sudé číslo.

Začněme funkcí n-té odmocniny pro sudé hodnoty kořenového exponentu n .

Jako příklad uvádíme obrázek s obrázky grafů funkcí a , odpovídají černým, červeným a modrým čarám.

Grafy kořene funkcí mají podobný tvar. sudý stupeň při jiných hodnotách ukazatele.

Vlastnosti odmocniny n-tého stupně pro sudé n .

Odmocnina n-tého stupně, n je liché číslo.

Odmocnina n-tého stupně s lichým exponentem odmocniny n je definována na celé množině reálných čísel. Pro příklad uvádíme grafy funkcí a , černé, červené a modré křivky jim odpovídají.

Pro ostatní liché hodnoty kořenového exponentu budou mít grafy funkce podobný vzhled.

Vlastnosti kořene n-tého stupně pro liché n .

Funkce napájení.

Mocninná funkce je dána vzorcem ve tvaru .

Uvažujme typ grafů mocninné funkce a vlastnosti mocninné funkce v závislosti na hodnotě exponentu.

Začněme mocninnou funkcí s celočíselným exponentem a . V tomto případě závisí podoba grafů mocninných funkcí a vlastnosti funkcí na sudém nebo lichém exponentu a také na jeho znaménku. Proto nejprve uvažujeme mocninné funkce pro liché kladné hodnoty exponentu a , poté pro sudé kladné hodnoty, poté pro liché záporné exponenty a nakonec pro sudé záporné a .

Na hodnotě exponentu a závisí vlastnosti mocninných funkcí se zlomkovými a iracionálními exponenty (a také typ grafů takových mocninných funkcí). Budeme je uvažovat za prvé, když a je od nuly do jedné, za druhé, když a je větší než jedna, za třetí, když a je od mínus jedna do nuly, a za čtvrté, když a je menší než mínus jedna.

Na závěr tohoto pododdílu si pro úplnost popíšeme mocninnou funkci s nulovým exponentem.

Mocninná funkce s lichým kladným exponentem.

Uvažujme mocninnou funkci s lichým kladným exponentem, tedy s a=1,3,5,… .

Níže uvedený obrázek ukazuje grafy mocninných funkcí - černá čára, - modrá čára, - červená čára, - zelená čára. Pro a=1 máme lineární funkce y=x.

Vlastnosti mocninné funkce s lichým kladným exponentem.

Mocninná funkce se sudým kladným exponentem.

Uvažujme mocninnou funkci se sudým kladným exponentem, tedy pro a=2,4,6,… .

Jako příklad si uveďme grafy mocninných funkcí - černá čára, - modrá čára, - červená čára. Pro a=2 máme kvadratickou funkci, jejíž graf je kvadratická parabola.

Vlastnosti mocninné funkce se sudým kladným exponentem.

Mocninná funkce s lichým záporným exponentem.

Podívejte se na grafy exponenciální funkce pro liché záporné hodnoty exponentu, tedy pro \u003d -1, -3, -5, ....

Obrázek ukazuje grafy exponenciálních funkcí jako příklady - černá čára, - modrá čára, - červená čára, - zelená čára. Pro a=-1 máme inverzní úměrnost , jehož graf je hyperbola.

Vlastnosti mocninné funkce s lichým záporným exponentem.

Mocninná funkce se sudým záporným exponentem.

Přejděme k mocninné funkci na a=-2,-4,-6,….

Na obrázku jsou znázorněny grafy mocninných funkcí - černá čára, - modrá čára, - červená čára.

Vlastnosti mocninné funkce se sudým záporným exponentem.

Mocninná funkce s racionálním nebo iracionálním exponentem, jehož hodnota je větší než nula a menší než jedna.

Poznámka! Je-li a kladný zlomek s lichým jmenovatelem, pak někteří autoři považují interval za definiční obor mocninné funkce. Zároveň je stanoveno, že exponent a je neredukovatelný zlomek. Nyní autoři mnoha učebnic algebry a počátků analýzy NEDEFINUJÍ mocninné funkce s exponentem ve formě zlomku s lichým jmenovatelem pro záporné hodnoty argumentu. Budeme se držet právě takového pohledu, to znamená, že za množinu budeme považovat definiční obory mocninných funkcí se zlomkovými kladnými exponenty. Doporučujeme studentům, aby získali názor vašeho učitele na tento jemný bod, abyste se vyhnuli nesouhlasu.

Uvažujme mocninnou funkci s racionálním nebo iracionálním exponentem a , a .

Uvádíme grafy mocninných funkcí pro a=11/12 (černá čára), a=5/7 (červená čára), (modrá čára), a=2/5 (zelená čára).

Mocninná funkce s neceločíselným racionálním nebo iracionálním exponentem větším než jedna.

Uvažujme mocninnou funkci s neceločíselným racionálním nebo iracionálním exponentem a , a .

Uveďme grafy mocninných funkcí daných vzorci (černé, červené, modré a zelené čáry).

>

Pro ostatní hodnoty exponentu a budou mít grafy funkce podobný vzhled.

Vlastnosti mocninné funkce pro .

Mocninná funkce s reálným exponentem větším než mínus jedna a menším než nula.

Poznámka! Jestliže a je záporný zlomek s lichým jmenovatelem, pak někteří autoři uvažují interval . Zároveň je stanoveno, že exponent a je neredukovatelný zlomek. Nyní autoři mnoha učebnic algebry a počátků analýzy NEDEFINUJÍ mocninné funkce s exponentem ve formě zlomku s lichým jmenovatelem pro záporné hodnoty argumentu. Budeme se držet právě takového pohledu, to znamená, že budeme považovat definiční obory mocninných funkcí se zlomkovými zápornými exponenty za množinu, resp. Doporučujeme studentům, aby získali názor vašeho učitele na tento jemný bod, abyste se vyhnuli nesouhlasu.

Přejdeme k mocninné funkci , kde .

Abychom měli dobrou představu o typu grafů mocninných funkcí pro , uvádíme příklady grafů funkcí (černé, červené, modré a zelené křivky).

Vlastnosti mocninné funkce s exponentem a , .

Mocninná funkce s neceločíselným reálným exponentem, který je menší než mínus jedna.

Uveďme příklady grafů mocninných funkcí pro , jsou zobrazeny v černé, červené, modré a zelené linii.

Vlastnosti mocninné funkce s neceločíselným záporným exponentem menším než mínus jedna.

Když a=0 a máme funkci - jedná se o přímku, ze které je bod (0; 1) vyloučen (výraz 0 0 byl dohodnut, že nepřikládá žádnou důležitost).

Exponenciální funkce.

Jednou ze základních elementárních funkcí je exponenciální funkce.

Plán exponenciální funkce, kde a bere jiný druh v závislosti na hodnotě základu a. Pojďme na to přijít.

Nejprve zvažte případ, kdy základ exponenciální funkce nabývá hodnoty od nuly do jedné, tedy .

Uvedeme například grafy exponenciální funkce pro a = 1/2 - modrá čára, a = 5/6 - červená čára. Grafy exponenciální funkce mají podobný vzhled pro ostatní hodnoty základu z intervalu .

Vlastnosti exponenciální funkce se základem menším než jedna.

Vrátíme se k případu, kdy je základ exponenciální funkce větší než jedna, tedy .

Pro ilustraci uvádíme grafy exponenciálních funkcí - modrá čára a - červená čára. Pro jiné hodnoty základu, větší než jedna, budou mít grafy exponenciální funkce podobný vzhled.

Vlastnosti exponenciální funkce se základem větším než jedna.

Logaritmická funkce.

Další základní elementární funkcí je logaritmická funkce , kde , . Logaritmická funkce je definována pouze pro kladné hodnoty argumentu, tedy pro .

Plán logaritmická funkce má různou podobu v závislosti na hodnotě základu a.

Začněme případem, kdy .

Například uvádíme grafy logaritmické funkce pro a = 1/2 - modrá čára, a = 5/6 - červená čára. Pro ostatní hodnoty základu, nepřesahující jednu, budou mít grafy logaritmické funkce podobný vzhled.

Vlastnosti logaritmické funkce se základem menším než jedna.

Přejděme k případu, kdy je báze logaritmické funkce větší než jedna ().

Ukažme si grafy logaritmických funkcí - modrá čára, - červená čára. Pro jiné hodnoty základu, větší než jedna, budou mít grafy logaritmické funkce podobný vzhled.

Vlastnosti logaritmické funkce se základem větším než jedna.

Goniometrické funkce, jejich vlastnosti a grafy.

Všechny goniometrické funkce (sinus, kosinus, tangens a kotangens) jsou základní elementární funkce. Nyní se podíváme na jejich grafy a uvedeme jejich vlastnosti.

Goniometrické funkce mají koncept periodicita(opakování funkčních hodnot při různé hodnoty argumenty, které se od sebe liší hodnotou období , kde T je perioda), proto do seznamu vlastností goniometrických funkcí přibyla položka "nejmenší pozitivní období". Pro každou goniometrickou funkci také uvedeme hodnoty argumentu, při kterých příslušná funkce zmizí.

Nyní se vypořádejme se všemi goniometrické funkce v pořádku.

Funkce sinus y = sin(x) .

Nakreslíme graf funkce sinus, říká se tomu „sinusoida“.

Vlastnosti funkce sinus y = sinx .

Kosinová funkce y = cos(x) .

Graf funkce kosinus (nazývá se "kosinus") vypadá takto:

Vlastnosti funkce kosinus y = cosx .

Funkce tečny y = tg(x) .

Graf funkce tečny (nazývá se „tangentoid“) vypadá takto:

Vlastnosti funkce tečna y = tgx .

Funkce kotangens y = ctg(x) .

Nakreslete graf funkce kotangens (říká se tomu „kotangentoid“):

Vlastnosti funkce kotangens y = ctgx .

Inverzní goniometrické funkce, jejich vlastnosti a grafy.

Základními elementárními funkcemi jsou inverzní goniometrické funkce (arcsinus, arkkosinus, arkustangens a arkotangens). Inverzní goniometrické funkce se často kvůli předponě „oblouk“ nazývají obloukové funkce. Nyní se podíváme na jejich grafy a uvedeme jejich vlastnosti.

Funkce arcsinus y = arcsin(x) .

Nakreslete funkci arcsine:

Vlastnosti funkce arckotangens y = arcctg(x) .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra a počátky analýzy: Proc. pro 10-11 buněk. vzdělávací instituce.
• Vygodsky M.Ya. Příručka elementární matematiky.
• Novoselov S.I. Algebra a elementární funkce.
• Tumanov S.I. Elementární algebra. Průvodce pro sebevzdělávání.

Národní výzkumná univerzita

Ústav aplikované geologie

Esej o vyšší matematice

Na téma: "Základní elementární funkce,

jejich vlastnosti a grafy"

Dokončeno:

Kontrolovány:

učitel

Definice. Funkce daná vzorcem y=a x (kde a>0, a≠1) se nazývá exponenciální funkce se základem a.

Formulujme hlavní vlastnosti exponenciální funkce:

1. Definiční obor je množina (R) všech reálných čísel.

2. Rozsah hodnot je množina (R+) všech kladných reálných čísel.

3. Když a > 1, funkce se zvětší na celé reálné čáře; v 0<а<1 функция убывает.

4. Je obecná funkce.

, na intervalu xО [-3;3] , na intervalu xО [-3;3]

Funkce ve tvaru y(х)=х n , kde n je číslo ОR, se nazývá mocninná funkce. Číslo n může nabývat různých hodnot: celočíselné i zlomkové, sudé i liché. V závislosti na tom bude mít funkce napájení různou podobu. Zvažte speciální případy, které jsou mocninnými funkcemi a odrážejí hlavní vlastnosti tohoto typu křivek v následujícím pořadí: mocninná funkce y \u003d x² (funkce se sudým exponentem - parabola), mocninná funkce y \u003d x³ (funkce s lichým exponentem - kubická parabola) a funkce y \u003d √ x (x na mocninu ½) (funkce se zlomkovým exponentem), funkce se záporným celočíselným exponentem (hyperbola).

Funkce napájení y=x²

1. D(x)=R – funkce je definována na celé číselné ose;

2. E(y)= a roste na intervalu

Funkce napájení y=x³

1. Graf funkce y \u003d x³ se nazývá kubická parabola. Mocninná funkce y=x³ má následující vlastnosti:

2. D(x)=R – funkce je definována na celé číselné ose;

3. E(y)=(-∞;∞) – funkce nabývá všech hodnot ve svém oboru definice;

4. Když x=0 y=0 – funkce prochází počátkem O(0;0).

5. Funkce se zvětšuje v celém definičním oboru.

6. Funkce je lichá (symetrická podle počátku).

, na intervalu xн [-3;3]

V závislosti na číselném faktoru před x³ může být funkce strmá / plochá a zvýšení / snížení.

Mocninná funkce s celočíselným záporným exponentem:

Pokud je exponent n lichý, pak se graf takové mocninné funkce nazývá hyperbola. Mocninná funkce se záporným celočíselným exponentem má následující vlastnosti:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) pro libovolné n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), pokud n je liché číslo; E(y)=(0;∞), pokud n je sudé číslo;

3. Funkce klesá v celém definičním oboru, je-li n liché číslo; funkce roste na intervalu (-∞;0) a klesá na intervalu (0;∞), je-li n sudé číslo.

4. Funkce je lichá (symetrická podle počátku), pokud n je liché číslo; funkce je sudá, když n je sudé číslo.

5. Funkce prochází body (1;1) a (-1;-1), je-li n liché číslo, a body (1;1) a (-1;1), je-li n sudé číslo.

, na intervalu xн [-3;3]

Mocninná funkce s desetinným exponentem

Mocninná funkce se zlomkovým exponentem tvaru (obrázek) má graf funkce znázorněný na obrázku. Mocninná funkce s desetinným exponentem má následující vlastnosti: (obrázek)

1. D(x) ОR, je-li n liché číslo a D(x)= , na intervalu xО , na intervalu xО [-3;3]

Logaritmická funkce y \u003d log a x má následující vlastnosti:

1. Definiční obor D(x)н (0; + ∞).

2. Rozsah hodnot E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funkce není ani sudá, ani lichá (obecná).

4. Funkce se zvyšuje na intervalu (0; + ∞) pro a > 1, klesá na (0; + ∞) pro 0< а < 1.

Graf funkce y = log a x lze získat z grafu funkce y = a x pomocí symetrické transformace kolem přímky y = x. Na obrázku 9 je vykreslen graf logaritmické funkce pro a > 1 a na obrázku 10 - pro 0< a < 1.

; na intervalu xн ; na intervalu xО

Funkce y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x se nazývají goniometrické funkce.

Funkce y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x jsou liché a funkce y \u003d cos x je sudá.

Funkce y \u003d sin (x).

1. Definiční obor D(x) ОR.

2. Rozsah hodnot E(y) О [ - 1; 1].

3. Funkce je periodická; hlavní perioda je 2π.

4. Funkce je lichá.

5. Funkce roste na intervalech [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] a klesá na intervalech [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Graf funkce y \u003d sin (x) je znázorněn na obrázku 11.

Funkce a jejich grafy jsou jedním z nejvíce fascinujících témat školní matematiky. Jen je škoda, že prošla... přes hodiny a studenty. Na střední škole na ni není nikdy dost času. A ty funkce, které se odehrávají v 7. třídě – lineární funkce a parabola – jsou příliš jednoduché a nekomplikované na to, aby ukázaly celou řadu zajímavých úloh.

Schopnost vytvářet grafy funkcí je nezbytná pro řešení úloh s parametry na zkoušce z matematiky. Jedná se o jedno z prvních témat kurzu matematické analýzy na univerzitě. Toto je tak důležité téma, že v Unified State Exam-Studio o něm pořádáme speciální intenzivní kurzy pro studenty a učitele středních škol v Moskvě i online. A často účastníci říkají: "Škoda, že jsme to nevěděli dříve."

Ale to není všechno. Právě u pojmu funkce začíná skutečná, „dospělá“ matematika. Koneckonců, sčítání a odčítání, násobení a dělení, zlomky a podíly - to je stále aritmetika. Transformace výrazů jsou algebra. A matematika je věda nejen o číslech, ale i o vztazích veličin. Řeč funkcí a grafů je srozumitelná pro fyzika, biologa i ekonoma. A jak řekl Galileo Galilei, "Kniha přírody je napsána v jazyce matematiky".

Přesněji řečeno, Galileo Galilei řekl toto: "Matematika je abeceda, kterou Pán nakreslil vesmír."

Témata ke kontrole:

1. Graf funkce

Známá výzva! Tito se setkali v Možnosti OGE matematika. Tam byly považovány za obtížné. Tady ale není nic složitého.

Zjednodušme vzorec funkce:

Funkční graf - přímka s vyraženým bodem

2. Graf funkce

Vyberme část celého čísla ve vzorci funkce:

Graf funkce je hyperbola posunutá o 3 doprava v x a 2 nahoru v y a 10krát natažená ve srovnání s grafem funkce

Výběr celého dílu - užitečná technika používá se při řešení nerovnic, vykreslování grafů a vyhodnocování celých čísel v problémech týkajících se čísel a jejich vlastností. Setkáte se s ním i v prvním ročníku, kdy musíte brát integrály.

3. Graf funkce

Získává se z grafu funkce 2krát protažením, svislým překlopením a svislým posunutím o 1 nahoru

4. Graf funkce

Hlavní věc je správná posloupnost akcí. Napišme vzorec funkce v pohodlnější podobě:

Jednáme v pořadí:

1) Posuňte graf funkce y=sinx doleva;

2) stisknout 2x vodorovně,

3) natáhněte 3x vertikálně,

4) posun nahoru o 1

Nyní vytvoříme několik grafů zlomkových racionálních funkcí. Abyste lépe porozuměli tomu, jak to děláme, přečtěte si článek „Function Behaviour at Infinity. Asymptoty".

5. Graf funkce

Rozsah funkce:

Funkční nuly: a

Přímka x = 0 (osa y) je vertikální asymptota funkce. Asymptota- přímka, ke které se graf funkce nekonečně blízko blíží, ale neprotíná ji a neslučuje se s ní (viz téma "Chování funkce v nekonečnu. Asymptoty")

Existují další asymptoty pro naši funkci? Abychom to zjistili, podívejme se, jak se funkce chová, když x jde do nekonečna.

Otevřeme závorky ve vzorci funkce:

Pokud x jde do nekonečna, pak jde do nuly. Přímka je šikmá asymptota ke grafu funkce.

6. Graf funkce

Toto je zlomková racionální funkce.

Rozsah funkcí

Funkce nuly: body - 3, 2, 6.

Intervaly znaménkové stálosti funkce budou určeny metodou intervalů.

Vertikální asymptoty:

Jestliže x tíhne k nekonečnu, pak y má tendenci k 1. Je tedy horizontální asymptota.

Zde je náčrt grafu:

Další zajímavou technikou je přidávání grafů.

7. Graf funkce

Pokud x tíhne k nekonečnu, pak se graf funkce přiblíží nekonečně blízko k šikmé asymptotě

Pokud má x tendenci k nule, pak se funkce chová takto: Toto vidíme na grafu:

Sestavili jsme tedy graf součtu funkcí. Nyní pracovní harmonogram!

8. Graf funkce

Definičním oborem této funkce jsou kladná čísla, protože je definováno pouze kladné x

Hodnoty funkce jsou nulové v (když je logaritmus nula), stejně jako v bodech, kde, tj.

Když je hodnota (cos x) rovna jedné. Hodnota funkce v těchto bodech bude rovna

9. Graf funkce

Funkce je definována jako Je sudá, protože je součinem dvou lichých funkcí a Graf je symetrický podle osy y.

Nuly funkce jsou v bodech, kde, tedy v

Pokud x jde do nekonečna, jde k nule. Ale co se stane, když má x tendenci k nule? Koneckonců, jak x, tak hřích x se budou zmenšovat a zmenšovat. Jak se zachová soukromník?

Ukazuje se, že pokud x má tendenci k nule, pak má tendenci k jedné. V matematice se toto tvrzení nazývá „První pozoruhodná mez“.

Ale co ten derivát? Ano, konečně jsme se tam dostali. Derivace pomáhá přesněji vykreslovat funkce. Najděte maximální a minimální body a také funkční hodnoty v těchto bodech.

10. Graf funkce

Rozsahem funkce jsou všechna reálná čísla, protože

Funkce je lichá. Jeho graf je symetrický vzhledem k počátku.

Při x=0 je hodnota funkce rovna nule. Pro hodnoty funkce jsou kladné, pro jsou záporné.

Pokud x jde do nekonečna, pak jde do nuly.

Pojďme najít derivaci funkce
Podle vzorce pro derivaci kvocientu

Já pro

V tomto bodě derivace změní znaménko z "minus" na "plus", - minimální bod funkce.

V bodě derivace změní znaménko z "plus" na "minus", - maximální bod funkce.

Najdeme hodnoty funkce při x=2 a při x=-2.

Je vhodné sestavit funkční grafy podle určitého algoritmu nebo schématu. Pamatujete si, že jste se to učili ve škole?

Obecné schéma pro konstrukci grafu funkce:

1. Rozsah funkcí

2. Rozsah funkčních hodnot

3. Sudý – lichý (pokud existuje)

4. Frekvence (pokud existuje)

5. Nuly funkce (body, kde graf protíná souřadnicové osy)

6. Intervaly stálosti funkce (tj. intervaly, na kterých je striktně kladná nebo přísně záporná).

7. Asymptoty (pokud existují).

8. Chování funkce v nekonečnu

9. Derivace funkce

10. Intervaly nárůstu a poklesu. Vysoké a nízké body a hodnoty v těchto bodech.