Komplexní integrály
Tento článek doplňuje téma neurčitých integrálů a zahrnuje integrály, které považuji za docela obtížné. Lekce vznikla na opakovanou žádost návštěvníků, kteří vyjádřili přání, aby na stránce byly rozebrány složitější příklady.
Předpokládá se, že čtenář tohoto textu je dobře připraven a ví, jak aplikovat základní techniky integrace. Dummy a lidé, kteří si nejsou příliš jistí v integrály, by se měli obrátit na úplně první lekci - Neurčitý integrál. Příklady řešení kde se můžete naučit téma téměř od začátku. Zkušenější studenti se mohou seznámit s technikami a metodami integrace, se kterými se v mých článcích dosud nesetkali.
Jaké integrály budeme uvažovat?
Nejprve uvažujeme integrály s odmocninami, k jejichž řešení postupně používáme variabilní substituce A integrace po částech. To znamená, že v jednom příkladu se kombinují dvě metody najednou. A ještě víc.
Pak se seznámíme se zajímavým a originálním metoda redukce integrálu k sobě samému. Tímto způsobem se neřeší tak málo integrálů.
Třetím číslem programu budou integrály složených zlomků, které v minulých článcích proletěly kolem pokladny.
Za čtvrté budou analyzovány další integrály z goniometrických funkcí. Zejména existují metody, které se vyhýbají časově náročné univerzální trigonometrické substituci.
(2) B integrand rozdělte čitatele jmenovatelem člen po členu.
(3) Využijeme vlastnosti linearity neurčitého integrálu. V posledním integrálu okamžitě uveďte funkci pod znaménko diferenciálu.
(4) Vezmeme zbývající integrály. Všimněte si, že v logaritmu můžete použít závorky a ne modul, protože .
(5) Provádíme zpětnou substituci, vyjadřující z přímé substituce "te":
Masochističtí studenti mohou rozlišit odpověď a získat původní integrand, jako jsem to právě udělal já. Ne, ne, provedl jsem kontrolu ve správném smyslu =)
Jak vidíte, v průběhu řešení bylo třeba použít i více než dvě metody řešení, takže k řešení takových integrálů potřebujete sebevědomé integrační schopnosti a neméně zkušeností.
V praxi je samozřejmě běžnější odmocnina, zde jsou tři příklady pro nezávislé řešení:
Příklad 2
Najděte neurčitý integrál
Příklad 3
Najděte neurčitý integrál
Příklad 4
Najděte neurčitý integrál
Tyto příklady jsou stejného typu, takže kompletní řešení na konci článku bude pouze pro příklad 2, v příkladech 3-4 - jedna odpověď. Jakou náhradu použít na začátku rozhodnutí, je myslím zřejmé. Proč jsem zvolil stejný typ příkladů? Často se vyskytují v jejich rolích. Častěji snad jen něco podobného 
.
Ale ne vždy, když pod arkus tangens, sinus, kosinus, exponent a další funkce je kořen lineární funkce, je nutné aplikovat několik metod najednou. V řadě případů je možné „lehce vystoupit“, to znamená, že ihned po výměně se získá jednoduchý integrál, který je brán elementárně. Nejjednodušší z výše navržených úloh je příklad 4, ve kterém po nahrazení získáme relativně jednoduchý integrál.
Metoda redukce integrálu k sobě samému
Chytrá a krásná metoda. Pojďme se podívat na klasiky tohoto žánru:
Příklad 5
Najděte neurčitý integrál
Pod odmocninou je čtvercový binom a při pokusu o integraci tohoto příkladu může konvice trpět hodiny. Takový integrál je přebírán po částech a redukován na sebe. V zásadě to není těžké. Pokud víte jak.
Označme uvažovaný integrál latinkou a začněme řešení: 
Integrace po částech: 
(1) Připravujeme integrand pro dělení po termínech.
(2) Dělíme integrand člen po členu. Možná ne každý rozumí, napíšu podrobněji:
(3) Využijeme vlastnosti linearity neurčitého integrálu.
(4) Vezmeme poslední integrál ("dlouhý" logaritmus).
Nyní se podívejme na úplný začátek řešení: 
A na závěr: 
Co se stalo? V důsledku našich manipulací se integrál zredukoval na sebe!
Přirovnejte začátek a konec: 
Přecházíme na levou stranu se změnou znamení: 
A zbouráme dvojku na pravou stranu. Jako výsledek: 
Konstanta, přísně vzato, měla být přidána dříve, ale přidal jsem ji na konec. Důrazně doporučuji přečíst si, jaká je závažnost zde:
Poznámka:
Přesněji řečeno, závěrečná fáze řešení vypadá takto:
Tím pádem:
Konstantu lze přejmenovat na . Proč se můžete přejmenovat? Protože to ještě trvá žádný hodnoty a v tomto smyslu není rozdíl mezi konstantami a.
Jako výsledek:
Podobný trik s neustálým přejmenováváním je široce používán v diferenciální rovnice. A tam budu přísný. A tady takové svobody jsou mnou povoleny jen proto, abych vás nepletl zbytečnostmi a zaměřil se na samotnou metodu integrace.
Příklad 6
Najděte neurčitý integrál
Další typický integrál pro samostatné řešení. Kompletní řešení a odpověď na konci lekce. Rozdíl oproti odpovědi z předchozího příkladu bude!
Pokud je odmocnina čtvercový trojčlen, pak se řešení v každém případě redukuje na dva analyzované příklady.
Uvažujme například integrál 
. Vše, co musíte udělat, je předem vyberte celý čtverec:
.
Dále se provádí lineární výměna, která zvládá „bez jakýchkoli následků“:
, což má za následek integrál . Něco známého, že?
Nebo tento příklad se čtvercovým binomem:
Výběr celého čtverce:
A po lineárním nahrazení dostaneme integrál , který je také řešen již uvažovaným algoritmem.
Zvažte dva další typické příklady toho, jak redukovat integrál na sebe:
je integrál exponentu násobený sinem;
je integrál exponentu násobený kosinusem.
V uvedených integrálech po částech budete muset integrovat již dvakrát:
Příklad 7
Najděte neurčitý integrál
Integrand je exponent násobený sinem.
Integrujeme po částech dvakrát a integrál redukujeme na sebe: 
V důsledku dvojité integrace po částech se integrál redukuje sám na sebe. Přirovnejte začátek a konec řešení:
Přeneseme na levou stranu se změnou znaménka a vyjádříme náš integrál: 
Připraven. Po cestě je žádoucí pročesat pravou stranu, tzn. vyjměte exponent ze závorek a umístěte sinus a kosinus do závorek v „krásném“ pořadí.
Nyní se vraťme na začátek příkladu, nebo spíše k integraci po částech: 
Neboť jsme určili vystavovatele. Nabízí se otázka, je to exponent, který by měl být vždy označen ? Není nezbytné. Ve skutečnosti v uvažovaném integrálu zásadně na tom nezáleží, co označovat, dalo by se jít i jinak: 
Proč je to možné? Protože se exponent přeměňuje v sebe (při derivování a integraci), sinus a kosinus se vzájemně přeměňují v sebe (opět jak při derivování, tak při integraci).
To znamená, že goniometrická funkce může být označena také. Ale v uvažovaném příkladu je to méně racionální, protože se objeví zlomky. Pokud chcete, můžete zkusit tento příklad vyřešit druhým způsobem, odpovědi musí být stejné.
Příklad 8
Najděte neurčitý integrál
Toto je příklad typu „udělej si sám“. Než se rozhodnete, zamyslete se nad tím, co je v tomto případě výhodnější určit, exponenciální nebo goniometrická funkce? Úplné řešení a odpověď na konci lekce.
A samozřejmě nezapomeňte, že většinu odpovědí v této lekci lze poměrně snadno zkontrolovat rozlišováním!
Příklady nebyly považovány za nejobtížnější. V praxi jsou běžnější integrály, kde konstanta je jak v exponentu, tak v argumentu goniometrické funkce, například: . Mnoho lidí se bude muset v takovém integrálu zmást a já sám se často pletu. Faktem je, že v řešení je vysoká pravděpodobnost výskytu zlomků a je velmi snadné něco ztratit kvůli nepozornosti. Kromě toho existuje vysoká pravděpodobnost chyby ve znaménkách, všimněte si, že v exponentu je znaménko mínus, což přináší další potíže.
V konečné fázi to často dopadne takto:
I na konci řešení byste měli být velmi opatrní a správně zacházet se zlomky: 
Integrace komplexních zlomků
Pomalu se blížíme k rovníku lekce a začínáme uvažovat integrály zlomků. Opět, ne všechny jsou super složité, jen z toho či onoho důvodu byly příklady v jiných článcích trochu „mimo téma“.
Pokračování v tématu kořenů
Příklad 9
Najděte neurčitý integrál
Ve jmenovateli pod odmocninou je čtvercová trojčlenka plus mimo kořenový "přídavek" ve tvaru "X". Integrál tohoto tvaru je řešen pomocí standardní substituce.
rozhodujeme se: 
Výměna je zde jednoduchá: 
Pohled na životnost po výměně: 
(1) Po substituci redukujeme členy pod kořenem na společného jmenovatele.
(2) Vyjmeme ho zpod kořene.
(3) Čitatele a jmenovatele zmenšíme o . Zároveň jsem pod rootem přeskupil podmínky ve vhodném pořadí. S určitými zkušenostmi lze kroky (1), (2) přeskočit provedením komentovaných akcí ústně.
(4) Výsledný integrál, jak si pamatujete z lekce Integrace některých zlomků, je vyřešeno extrakční metoda plné náměstí
. Vyberte celý čtverec.
(5) Integrací získáme obyčejný "dlouhý" logaritmus.
(6) Provádíme zpětnou výměnu. Pokud zpočátku , pak zpět: .
(7) Závěrečná akce je zaměřena na úpravu výsledku: pod kořenem opět přivedeme termíny ke společnému jmenovateli a vyjmeme je zpod kořene.
Příklad 10
Najděte neurčitý integrál 
Toto je příklad typu „udělej si sám“. Zde se k osamělému x přidá konstanta a nahrazení je téměř stejné: 
Jediná věc, kterou je třeba udělat dodatečně, je vyjádřit „x“ z nahrazení: 
Úplné řešení a odpověď na konci lekce.
Někdy v takovém integrálu může být pod odmocninou čtvercový binom, to nemění způsob řešení, dokonce to bude ještě jednodušší. Cítit rozdíl:
Příklad 11
Najděte neurčitý integrál
Příklad 12
Najděte neurčitý integrál
Stručná řešení a odpovědi na konci lekce. Je třeba poznamenat, že příklad 11 je přesně takový binomický integrál, jehož způsob řešení byl v lekci zvažován Integrály iracionálních funkcí.
Integrál nerozložitelného polynomu 2. stupně na stupeň
(polynom ve jmenovateli)
Vzácnější, ale přesto, setkání v praktické příklady typ integrálu.
Příklad 13
Najděte neurčitý integrál
Ale zpět k příkladu se šťastným číslem 13 ( upřímně řečeno, neuhodl). Tento integrál je také z kategorie těch, se kterými můžete docela trpět, když si nevíte rady.
Řešení začíná umělou transformací: 
Myslím, že každý už chápe, jak rozdělit čitatele podle jmenovatele člen po členu.
Výsledný integrál je rozdělen na části: 
Pro integrál ve tvaru (- přirozené číslo) odvozené opakující se vzorec pro downgrade:
, Kde 
je integrál nižšího stupně.
Ověřme platnost tohoto vzorce pro řešený integrál.
V tomto případě: , , použijeme vzorec: 
Jak vidíte, odpovědi jsou stejné.
Příklad 14
Najděte neurčitý integrál
Toto je příklad typu „udělej si sám“. Roztok vzorku používá výše uvedený vzorec dvakrát za sebou.
Pokud je pod stupeň nerozložitelnýčtvercový trojčlen, pak se řešení redukuje na binom vyjmutím celého čtverce, například:
Co když je v čitateli další polynom? V tomto případě je použita metoda neurčitých koeficientů a integrand je rozšířen na součet zlomků. Ale v mé praxi takový příklad nikdy nepotkal, tak jsem tento případ v článku přeskočil Integrály zlomkově-racionální funkce, teď to přeskočím. Pokud se takový integrál stále vyskytuje, podívejte se do učebnice - tam je vše jednoduché. Nepovažuji za účelné zařazovat materiál (byť jednoduchý), u kterého pravděpodobnost setkání bývá nulová.
Integrace komplexních goniometrických funkcí
Přídavné jméno „obtížný“ je u většiny příkladů opět z velké části podmíněné. Začněme tečnami a kotangens dovnitř vysoké stupně. Z hlediska použitých metod řešení tečny a kotangens jsou téměř totožné, proto budu mluvit spíše o tečně, to znamená, že demonstrovaná metoda řešení integrálu platí i pro kotangens.
Ve výše uvedené lekci jsme se podívali na univerzální trigonometrická substituce pro řešení určitého typu integrálů goniometrických funkcí. Nevýhodou univerzální goniometrické substituce je, že její aplikace často vede k těžkopádným integrálům s obtížnými výpočty. A v některých případech se lze vyhnout univerzální trigonometrické substituci!
Zvažte další kanonický příklad, integrál jednoty dělený sinem:
Příklad 17
Najděte neurčitý integrál
Zde můžete použít univerzální trigonometrickou substituci a získat odpověď, ale existuje racionálnější způsob. Poskytnu kompletní řešení s komentáři ke každému kroku:
(1) Použijeme trigonometrický vzorec pro sinus dvojitého úhlu.
(2) Provedeme umělou transformaci: Ve jmenovateli dělíme a násobíme .
(3) Podle známého vzorce ve jmenovateli zlomek převedeme na tečnu.
(4) Funkci přivedeme pod znaménko diferenciálu.
(5) Vezmeme integrál.
Pár jednoduché příklady pro nezávislé řešení:
Příklad 18
Najděte neurčitý integrál
Tip: Úplně prvním krokem je použít redukční vzorec 
a pečlivě provádějte akce podobné předchozímu příkladu.
Příklad 19
Najděte neurčitý integrál
No, toto je velmi jednoduchý příklad.
Kompletní řešení a odpovědi na konci lekce.
Myslím, že nyní nikdo nebude mít problémy s integrály: 
a tak dále.
Jaká je myšlenka této metody? Myšlenka je taková, že pomocí transformací, trigonometrické vzorce organizovat v integrandu pouze tečny a derivaci tečny. To znamená, že mluvíme o nahrazení: 
. V příkladech 17-19 jsme skutečně použili toto nahrazení, ale integrály byly tak jednoduché, že to bylo provedeno s ekvivalentní akcí - uvedením funkce pod diferenciální znaménko.
Podobné úvahy, jak jsem již uvedl, lze provést pro kotangens.
Existuje také formální předpoklad pro použití výše uvedené substituce:
Součet mocnin kosinu a sinu je záporné celé číslo SUDÉ číslo, Například:
pro integrál celé záporné SUDÉ číslo.
! Poznámka : pokud integrand obsahuje POUZE sinus nebo POUZE kosinus, pak se integrál bere i se záporným lichým stupněm (nejjednodušší případy jsou v příkladech č. 17, 18).
Zvažte několik smysluplnějších úkolů pro toto pravidlo:
Příklad 20
Najděte neurčitý integrál
Součet stupňů sinus a kosinus: 2 - 6 \u003d -4 - záporné celé číslo SUDÉ číslo, což znamená, že integrál lze redukovat na tečny a jeho derivaci: 
(1) Transformujme jmenovatele.
(2) Podle známého vzorce získáme .
(3) Transformujme jmenovatele.
(4) Použijeme vzorec 
.
(5) Přivedeme funkci pod diferenciální znaménko.
(6) Provádíme výměnu. Zkušenější studenti nemusí provést záměnu, ale přesto je lepší nahradit tečnu jedním písmenem - hrozí menší riziko záměny.
Příklad 21
Najděte neurčitý integrál
Toto je příklad typu „udělej si sám“.
Vydržte, mistrovská kola začínají =)
V integrandu se často vyskytuje „miška“:
Příklad 22
Najděte neurčitý integrál 
Tento integrál zpočátku obsahuje tečnu, která okamžitě naznačuje již známou myšlenku:
Umělou proměnu hned na začátku a zbytek kroků nechám bez komentáře, jelikož vše již bylo řečeno výše.
Několik kreativních příkladů pro nezávislé řešení:
Příklad 23
Najděte neurčitý integrál 
Příklad 24
Najděte neurčitý integrál 
Ano, samozřejmě v nich můžete snížit stupně sinus, kosinus, použít univerzální trigonometrickou substituci, ale řešení bude mnohem efektivnější a kratší, pokud bude vedeno přes tečny. Úplné řešení a odpovědi na konci lekce
Je ukázáno, že integrál součinu mocninných funkcí sin x a cos x lze redukovat na integrál diferenciálního binomu. Pro celočíselné hodnoty exponentů lze takové integrály snadno vypočítat po částech nebo pomocí redukčních vzorců. Je uvedeno odvození redukčních vzorců. Je uveden příklad výpočtu takového integrálu.
ObsahViz také:
Tabulka neurčitých integrálů
Redukce diferenciálního binomu na integrál
Zvažte integrály tvaru:
Takové integrály jsou redukovány na integrál diferenciálního binomu jedné ze substitucí t = hřích x nebo t= cos x.
Demonstrujme to substitucí
t = hřích x.
Pak
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x \u003d 1 - sin 2 x \u003d 1 - t 2;
Jestliže m a n jsou racionální čísla, pak by měly být použity metody diferenciální binomické integrace.
Integrace s celými čísly ma n
Dále zvažte případ, kdy m a n jsou celá čísla (ne nutně kladná). V tomto případě je integrand racionální funkcí hřích x A cos x. Proto lze použít pravidla uvedená v části "Integrace goniometrických racionálních funkcí".
S přihlédnutím ke specifickým vlastnostem je však jednodušší použít redukční vzorce, které lze snadno získat integrací po částech.
Odlévat vzorce
Redukční vzorce pro integrál
vypadat jako:
;
;
;
.
Nemusí se učit nazpaměť, protože je lze snadno získat integrací po částech.
Důkaz redukčních vzorců
Integrujeme po částech.
Vynásobením m + n dostaneme první vzorec:
Podobně získáme druhý vzorec.
Integrujeme po částech.
Vynásobením m + n dostaneme druhý vzorec:
Třetí vzorec.
Integrujeme po částech.
Násobením n + 1
, dostaneme třetí vzorec:
Podobně pro čtvrtý vzorec.
Integrujeme po částech.
Vynásobením m + 1
, dostaneme čtvrtý vzorec:
Příklad
Pojďme vypočítat integrál:
Pojďme se transformovat:
Zde m = 10, n = -4.
Aplikujeme redukční vzorec:
Pro m = 10, n = -4:
Pro m = 8, n = -2:
Aplikujeme redukční vzorec:
Pro m = 6, n = -0:
Pro m = 4, n = -0:
Pro m = 2, n = -0:
Vypočítáme zbývající integrál:
Mezivýsledky shromažďujeme v jednom vzorci.
Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Sbírka úloh z vyšší matematiky, Lan, 2003.
Hlavní integrály by měl znát každý student
Uvedené integrály jsou základem, základem základů. Tyto vzorce je samozřejmě třeba mít na paměti. Při počítání složitějších integrálů je budete muset neustále používat.
Platit Speciální pozornost na vzorce (5), (7), (9), (12), (13), (17) a (19). Při integraci nezapomeňte k odpovědi přidat libovolnou konstantu C!
Integrál konstanty
∫ A d x = A x + C (1)Integrace funkcí napájení
Ve skutečnosti by se dalo omezit na vzorce (5) a (7), ale zbytek integrálů z této skupiny je tak obyčejný, že stojí za to jim věnovat trochu pozornosti.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integrály exponenciální funkce a hyperbolických funkcí
Vzorec (8) (možná nejpohodlnější k zapamatování) lze samozřejmě považovat za speciální případ vzorce (9). Vzorce (10) a (11) pro integrály hyperbolického sinusu a hyperbolického kosinus lze snadno odvodit ze vzorce (8), ale je lepší si tyto vztahy jen zapamatovat.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Základní integrály goniometrických funkcí
Chyba, které se studenti často dopouštějí: pletou si znaménka ve vzorcích (12) a (13). Vzhledem k tomu, že derivace sinu je rovna kosinu, z nějakého důvodu mnoho lidí věří, že integrál funkce sinx je roven cosx. To není pravda! Integrál sinusu je "minus kosinus", ale integrál cosx je "jen sinus":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrály redukce na inverzní goniometrické funkce
Vzorec (16), který vede k arkus tangens, je přirozeně speciálním případem vzorce (17) pro a=1. Podobně (18) je speciální případ (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Složitější integrály
Tyto vzorce je také žádoucí si zapamatovat. Používají se také poměrně často a jejich výstup je poměrně zdlouhavý.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Obecná integrační pravidla
1) Integrál součtu dvou funkcí je roven součtu odpovídajících integrálů: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Integrál rozdílu dvou funkcí je roven rozdílu odpovídajících integrálů: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konstantu lze vyjmout ze znaménka integrálu: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Je snadné vidět, že vlastnost (26) je jednoduše kombinací vlastností (25) a (27).
4) Integrál komplexní funkce, je-li vnitřní funkce lineární: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Zde F(x) je primitivní funkce pro funkci f(x). Všimněte si, že tento vzorec funguje pouze tehdy, když je vnitřní funkce Ax + B.
Důležité: neexistuje žádný univerzální vzorec pro integrál součinu dvou funkcí, stejně jako pro integrál zlomku:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (třicet)
To samozřejmě neznamená, že zlomek nebo produkt nelze integrovat. Prostě pokaždé, když uvidíte integrál jako (30), musíte vymyslet způsob, jak se s ním „poprat“. V některých případech vám pomůže integrace po částech, někde budete muset provést změnu proměnné a někdy mohou pomoci i „školní“ vzorce algebry nebo trigonometrie.
Jednoduchý příklad pro výpočet neurčitého integrálu
Příklad 1. Najděte integrál: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xPoužijeme vzorce (25) a (26) (integrál součtu nebo rozdílu funkcí se rovná součtu nebo rozdílu odpovídajících integrálů. Dostaneme: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Připomeňme, že konstantu lze vyjmout ze znaménka integrálu (vzorec (27)). Výraz se převede do formy
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Nyní už jen použijeme tabulku základních integrálů. Budeme muset použít vzorce (3), (12), (8) a (1). Pojďme integrovat mocninnou funkci, sinus, exponent a konstantu 1. Nezapomeňte na konec přidat libovolnou konstantu C:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
Po elementárních transformacích dostáváme konečnou odpověď:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Otestujte se s derivací: vezměte derivaci výsledné funkce a ujistěte se, že je rovna původnímu integrandu.
Souhrnná tabulka integrálů
| ∫ Ad x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = log | x | + C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Stáhněte si tabulku integrálů (část II) z tohoto odkazu
Pokud studujete na vysoké škole, pokud máte nějaké potíže s vyšší matematikou ( matematická analýza, lineární algebra, teorie pravděpodobnosti, statistika), pokud potřebujete služby kvalifikovaného učitele, přejděte na stránku lektora vyšší matematiky. Pojďme společně vyřešit vaše problémy!
Také by vás mohlo zajímat
Dobrý den, přátelé!
Jak jsem slíbil, od této lekce začneme brouzdat nekonečnými rozlohami poetického světa integrálů a začneme řešit širokou škálu (někdy velmi krásných) příkladů. :)
Abychom se mohli kompetentně orientovat v celé integrální rozmanitosti a neztratili se, potřebujeme pouze čtyři věci:
1) Tabulka integrálů. Všechny podrobnosti o ní . Jak přesně s ní pracovat - v tomto.
2) Vlastnosti linearity neurčitého integrálu (integrál součtu/rozdílu a součinu konstantou).
3) Tabulka derivací a diferenciačních pravidel.
Ano, nedivte se! Bez schopnosti počítat derivace se v integraci není absolutně čeho chytit. Souhlas, nemá smysl se například učit dělení, aniž bychom věděli, jak násobit. :) A velmi brzy uvidíte, že bez dokonalých derivačních schopností nemůžete vypočítat žádný seriózní integrál, který by přesahoval rámec elementárních tabulkových.
4) Metody integrace.
Je jich velmi, velmi mnoho. Pro konkrétní třídu funkcí – její vlastní. Ale mezi jejich bohatou rozmanitostí vynikají tři základní:
– ,
– ,
– .
O každém z nich - v samostatných lekcích.
A nyní se konečně pustíme do řešení dlouho očekávaných příkladů. Abychom nepřeskakovali z oddílu na oddíl, zduplikuji ještě jednou celý pánský set, který se nám bude hodit další práce. Mějte všechny nástroje po ruce.)
Za prvé, toto tabulka integrálů:
Kromě toho potřebujeme základní vlastnosti neurčitého integrálu (vlastnosti linearity):
No a potřebné vybavení je připraveno. Čas jít! :)
Přímá aplikace stolu
V této části budou zváženy nejjednodušší a neškodné příklady. Algoritmus je zde jednoduchý až hrůza:
1) Podíváme se do tabulky a hledáme požadovaný vzorec (vzorce);
2) Aplikujte vlastnosti linearity (pokud je to požadováno);
3) Provedeme transformaci podle tabulkových vzorců a na konec přidáme konstantu S (nezapomeňte!) ;
4) Zapište odpověď.
Tak pojďme.)
Příklad 1
V naší tabulce žádná taková funkce není. Ale je tam integrál mocenské funkce obecný pohled(druhá skupina). V našem případě n=5. Dosadíme tedy pětku místo n a pečlivě vypočítáme výsledek:
Připraven. :)
Tento příklad je samozřejmě velmi primitivní. Čistě pro seznámení.) Ale schopnost integrovat stupně usnadňuje výpočet integrálů z libovolných polynomů a dalších mocninných struktur.
Příklad 2
Pod integrálním součtem. Dobře. Pro tento případ máme vlastnosti linearity. :) Náš integrál rozdělíme na tři samostatné, vyjmeme všechny konstanty ze znamének integrálů a každou spočítáme podle tabulky (skupina 1-2):
Poznámka: konstantní S se objeví právě ve chvíli, kdy VŠECHNY znaky integrálu zmizí! Samozřejmě ho poté musíte neustále nosit s sebou. Tak co dělat…
Samozřejmě většinou není nutné malovat tak detailně. To je čistě pro pochopení. Abych pochopil pointu.)
Například velmi brzy, bez velkého váhání, v duchu dáte odpověď na monstra jako:
Polynomy jsou nejvolnější funkce v integrálech.) A v difuzích, ve fyzice, v pevnosti materiálů a dalších vážných disciplínách budou muset být polynomy neustále integrovány. Zvyknout si na to.)
Další příklad bude trochu složitější.
Příklad 3
Doufám, že každý chápe, že náš integrand může být zapsán takto:
Integrand je samostatný a multiplikátor dx (ikona rozdílu)- samostatně.
Komentář: v této lekci multiplikátor dx v procesu integrace sbohem se nijak nepodílí a my ho zatím mentálně „tloukáme“. :) Pracujeme pouze s integrand. Ale nezapomínejme na něj. Velmi brzy, doslova další lekce oddaný, budeme na něj vzpomínat. A my pocítíme důležitost a sílu této ikony v plné síle!)
Mezitím se náš pohled obrací k funkci integrand
Nevypadá to moc jako funkce napájení, ale je to tak. :) Pokud si připomeneme školní vlastnosti kořenů a stupňů, pak je docela možné transformovat naši funkci:
A x na mocninu mínus dvou třetin už je funkce tabulky! Druhá skupina n=-2/3. A ta konstantní 1/2 nám není překážkou. Vezmeme to mimo znaménko integrálu a přímo podle vzorce, který považujeme za:
V tomto příkladu nám bylo pomoženo elementární vlastnosti stupně. A tak by se to mělo dělat ve většině případů, kdy pod integrálem jsou jednotlivé odmocniny nebo zlomky. Proto pár praktické rady při integraci silových struktur:
Zlomky nahradíme mocninami zápornými exponenty;
Odmocniny nahradíme mocninami se zlomkovými exponenty.
Ale v konečné odpovědi je přechod od stupňů zpět ke zlomkům a kořenům věcí vkusu. Osobně se obracím zpět - je to estetičtější, nebo co.
A prosím, pečlivě počítejte všechny zlomky! Pečlivě sledujeme znamení a co kam jde - co je čitatel a co jmenovatel.
Co? Už vás nebaví už tak nudné výkonové funkce? OK! Vezmeme býka za rohy!
Příklad 4
Pokud nyní přivedeme vše pod integrál do společného jmenovatele, pak se můžeme na tomto příkladu zaseknout vážně a na dlouhou dobu.) Ale když se na integrand podíváme blíže, můžete vidět, že náš rozdíl se skládá ze dvou tabulkových funkcí. Nepřevracejme tedy, ale místo toho rozšiřme náš integrál na dva:
První integrál je obyčejná mocninná funkce (2. skupina, n=-1): 1/x = x-1.
Náš tradiční vzorec pro primitivní mocninnou funkci
Tady to nefunguje, ale u nás n=-1 existuje cenná alternativa - vzorec s přirozeným logaritmem. Toto:
Pak podle tohoto vzorce bude první zlomek integrován následovně:
A druhý zlomek také funkce stolu! Naučil se? Ano! Tento sedmý vzorec s "vysokým" logaritmem:
Konstanta "a" v tomto vzorci je rovna dvěma: a=2.
Důležitá poznámka: Všimněte si prosím konstantyS se střední integrací I nikde nepřipisuji! Proč? Protože ona půjde ke konečné odpovědi celý příklad. To je docela dost.) Přísně vzato, konstanta musí být zapsána po každé jednotlivé integraci - alespoň střední, alespoň konečná: takže neurčitý integrál vyžaduje ...)
Například po první integraci bych musel napsat:
Po druhé integraci:
Ale celá podstata je, že součet / rozdíl libovolných konstant je také nějaké stálice! V našem případě pro konečnou odpověď potřebujeme od prvního integrálu odčítat druhý. Pak se nám to podaří rozdíl dvě mezilehlé konstanty:
C1-C2
A máme plné právo nahradit tento rozdíl konstant jedna konstanta! A stačí jej přejmenovat na nám známé písmeno „C“. Takhle:
C1-C2 \u003d C
Připisujeme tedy stejnou konstantu S ke konečnému výsledku a získejte odpověď:
Ano, jsou to zlomky! Nejběžnější jsou vícepatrové logaritmy, když jsou integrovány. Taky jsme si zvykli.)
Pamatovat si:
S přechodnou integrací několika termínů, konstanta S po každém z nich nelze psát. Stačí jej zahrnout do závěrečné odpovědi celého příkladu. Na konci.
Další příklad je také se zlomkem. Na zahřátí.)
Příklad 5
V tabulce samozřejmě žádná taková funkce není. Ale existuje podobný funkce:
Toto je nejnovější osmý vzorec. S arkustangenem. :)
Toto:
A sám Bůh nám nařídil, abychom přizpůsobili náš integrál tomuto vzorci! Ale je tu jeden problém: v předchozím tabulkovém vzorci x 2 koeficient neexistuje, ale máme devítku. Vzorec zatím nemůžeme použít přímo. Ale v našem případě je problém zcela řešitelný. Nejprve vyjmeme tuto devítku z hranatých závorek a poté ji obecně vyjmeme z limitů našeho zlomku.)
A nový zlomek je tabulková funkce, kterou potřebujeme na čísle 8! Tady a 2 \u003d 4/9. Nebo a = 2/3.
Všechno. Vyjmeme 1/9 ze znaménka integrálu a použijeme osmý vzorec:
Zde je odpověď. Tento příklad s koeficientem dříve x 2, vybral jsem si to tak. Aby bylo jasné, co v takových případech dělat. :) Pokud předtím x 2 neexistuje žádný koeficient, pak budou takové zlomky také integrovány v mysli.
Například:
Tady a 2 = 5, takže „a“ samo by bylo „kořenem pěti“. Obecně rozumíte.)
A nyní naši funkci mírně upravíme: jmenovatele napíšeme pod kořen.) Nyní vezmeme takový integrál:
Příklad 6
Jmenovatel má kořen. Přirozeně se změnil i odpovídající vzorec pro integraci, že ano.) Opět lezeme do tabulky a hledáme ten správný. Kořeny máme ve vzorcích 5. a 6. skupiny. Ale v šesté skupině je rozdíl pouze pod kořeny. A máme tu sumu. Takže pracujeme na pátá formule, s "dlouhým" logaritmem:
Číslo A máme pět. Dosaďte do vzorce a získejte:
A všechny věci. Toto je odpověď. Ano, ano, je to tak jednoduché!
Pokud se vloudí pochybnosti, pak je vždy možné (a nutné) zkontrolovat výsledek zpětným rozlišením. Pojďme zkontrolovat? A pak najednou nějaká kravina?
Rozlišujeme (modulu nevěnujeme pozornost a vnímáme jej jako obyčejné závorky):
Všechno je spravedlivé. :)
Mimochodem, pokud v integrandu pod kořenem změníme znaménko z plus na mínus, vzorec pro integraci zůstane stejný. Není náhodou, že v tabulce pod kořenem je Plus mínus. :)
Například:
Důležité! V případě mínusu První místo pod kořenem by mělo být přesně x 2 a dále druhý – číslo. Pokud je pod kořenem vše opačně, pak odpovídající tabulkový vzorec již bude další!
Příklad 7
Pod kořenem opět mínus, ale x 2 s pěti vyměněnými místy. Vypadá to podobně, ale ne stejně... Naše tabulka má i pro tento případ vzorec.) Vzorec číslo šest, s tím jsme ještě nepracovali:
A teď - opatrně. V předchozím příkladu naše pětka fungovala jako číslo A . Zde bude pětka fungovat jako číslo a 2!
Proto pro správnou aplikaci vzorce nezapomeňte vzít kořen z pěti:
A nyní je příklad vyřešen v jednom kroku. :)
A je to! Pouze termíny pod kořenem se změnily a výsledek integrace se výrazně změnil! Logaritmus a arcsinus... tak prosím nezaměňujte tyto dva vzorce! I když jsou integrandy velmi podobné...
bonus:
V tabulkových vzorcích 7-8 jsou koeficienty před logaritmem a arkus tangens 1/(2a) A 1/a respektive. A v alarmující bojové situaci se při psaní těchto vzorečků i studiem zocelení šprti často pletou kde 1/a, A kde 1/(2a). Zde je jednoduchý trik, který si zapamatujete.
Ve formuli číslo 7
Jmenovatel integrandu je rozdíl čtverců x 2 - a 2. Která se podle děsivého školního vzorce rozloží jako (x-a) (x+a). Na dva násobitel. Klíčové slovo - dva. A tyto dva při integraci jdou závorky k logaritmu: s mínus nahoru, s plus - dolů.) A koeficient před logaritmem je také 1/( 2 A).
Ale ve formuli číslo 8
Jmenovatel zlomku je součet čtverců. Ale součet čtverců x2 + a2 nerozložitelné na jednodušší faktory. Proto, ať se řekne cokoliv, zůstane to ve jmenovateli jeden faktor. A koeficient před arkus tangens bude také 1/a.
A teď pro změnu integrujeme něco z trigonometrie.)
Příklad 8
Příklad je jednoduchý. Tak jednoduché, že lidé, aniž by se podívali na stůl, okamžitě radostně napsali odpověď a ... dorazili. :)
Sledujeme značky! Toto je nejčastější chyba při integraci sinus/kosinus. Nezaměňujte s deriváty!
Ano, (hřích X)" = cos X A (cos X)’ = - hřích X.
Ale!
Protože si lidé obvykle pamatují alespoň derivace, aby se nepletli ve znaménkách, je zde technika zapamatování integrálů velmi jednoduchá:
Integrál sinus/kosinus = mínus derivace stejného sinus/kosinus.
Například ze školy víme, že derivace sinusu se rovná kosinu:
(hřích X)" = cos X.
Pak pro integrální ze stejného sinu bude pravda:
A je to.) S kosinusem to samé.
Opravme náš příklad:
Předběžné elementární transformace integrandu
Až do této chvíle existovaly nejjednodušší příklady. Chcete-li získat představu o tom, jak tabulka funguje, a nedělat chyby při výběru vzorce.)
Samozřejmě jsme provedli několik jednoduchých transformací – vyjmuli jsme faktory, rozložili je na pojmy. Ale odpověď stále ležela na povrchu tak či onak.) Nicméně... Pokud by se výpočet integrálů omezil pouze na přímé použití tabulky, pak by to bylo naprostý darebák a život by se stal nudným.)
Nyní se podívejme na solidnější příklady. Ti, kde přímo, zdá se, není nic rozhodnuto. Ale stojí za to si připomenout doslova pár vzorců nebo transformací ze základní školy, protože cesta k odpovědi se stává jednoduchou a srozumitelnou. :)
Aplikace trigonometrických vzorců
Pojďme se dál bavit trigonometrií.
Příklad 9
V tabulce žádná taková funkce není. Ale v školní trigonometrie existuje tato málo známá identita:
Nyní vyjádříme druhou mocninu tečny, kterou z ní potřebujeme, a vložíme ji pod integrál:
Proč se to dělá? A pak, že po takové transformaci se náš integrál zredukuje na dva tabulkové a vezme se v úvahu!
Vidět:
Nyní pojďme analyzovat naše činy. Na první pohled se vše zdá být jednoduché. Ale zamysleme se nad tím. Kdybychom měli úkol odlišit stejnou funkci, pak bychom přesně přesně věděl, co má dělat – podat žádost vzorec derivace komplexní funkce:
A to je vše. Jednoduchá a bezproblémová technologie. Vždy to funguje a zaručeně povede k úspěchu.
Ale co integrál? A tady jsme se museli hrabat v trigonometrii, vyhrabávat nějaký obskurní vzorec v naději, že nám to nějak pomůže dostat se ven a zredukovat integrál na tabulkový. A není fakt, že by nám to pomohlo, to vůbec není fakt... Proto je integrace kreativnější proces než diferenciace. Umění, dokonce bych řekl. :) A to není ten nejtěžší příklad. Je to jen začátek!
Příklad 10
co inspiruje? Tabulka integrálů je stále bezmocná, ano. Ale když se znovu podíváte do naší pokladnice trigonometrických vzorců, můžete vydolovat velmi, velmi užitečnou dvojitý úhel kosinusový vzorec:
Tento vzorec tedy aplikujeme na náš integrand. V roli "alfa" máme x / 2.
Dostaneme:
Efekt je úžasný, že?
Tyto dva příklady jasně ukazují, že pre-transformace funkce před integrací docela přijatelné a někdy nesmírně usnadňuje život! A v integraci je tento postup (transformace integrandu) řádově oprávněnější než v diferenciaci. Uvidíte později.)
Pojďme se podívat na několik typických transformací.
Vzorce zkráceného násobení, rozšíření závorek, redukce lajků a metoda dělení termínů.
Obvyklé banální školní proměny. Ale někdy šetří jen oni, ano.)
Příklad 11
Pokud bychom uvažovali derivaci, pak žádný problém: vzorec pro derivaci součinu a - vpřed. Ale standardní vzorec pro integrální z díla neexistuje. Jediným východiskem je otevřít všechny závorky, aby se pod integrálem dostal polynom. A ten polynom nějak integrujeme.) Ale závorky otevřeme také moudře: vzorce pro zkrácené násobení jsou mocná věc!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1) (x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2 x 4 + 1
A nyní uvažujeme:
A všechny věci.)
Příklad 12
Opět standardní vzorec pro zlomkový integrál neexistuje. Jmenovatel integrandu však obsahuje osamělý x. To radikálně mění situaci.) Rozdělme čitatele jmenovatelem člen po člen, čímž náš hrozný zlomek zredukujeme na neškodný součet tabulkových mocninných funkcí:
Nebudu konkrétně komentovat postup integrace titulů: už nejsou malé.)
Integrujeme součet mocninných funkcí. Podle talíře.)
To je vše.) Mimochodem, kdyby jmenovatel nebyl x, ale řekněme, x+1, takhle:
Pak by tento trik s dělením po členech neprošel tak snadno. Je to kvůli přítomnosti kořene v čitateli a jedničky ve jmenovateli. Musel bych se zbavit kořene. Ale takové integrály jsou mnohem složitější. O nich - v dalších lekcích.
Vidět! Stačí jen mírně upravit funkci - přístup k její integraci se okamžitě změní. Někdy dramaticky!) Neexistuje žádné jasné standardní schéma. Každá funkce má svůj vlastní přístup. Někdy dokonce unikátní.
V některých případech jsou převody ve zlomcích ještě složitější.
Příklad 13
A jak lze integrál zredukovat na množinu tabulkových? Zde můžete obratně uhýbat přidáváním a odečítáním výrazu x2 v čitateli zlomku následovaného dělením členu. Velmi zručný příjem v integrálech! Podívejte se na mistrovskou třídu! :)
A nyní, když původní zlomek nahradíme rozdílem dvou zlomků, náš integrál se rozpadne na dva tabulkové - již známou mocninnou funkci a arkus tangens (vzorec 8):
No, co na to říct? Páni!
Tento trik sčítání/odčítání je velmi oblíbený při integrování racionálních zlomků. Velmi! Doporučuji vzít na vědomí.
Příklad 14
I zde platí stejná technologie. K výběru výrazu ve jmenovateli z čitatele stačí přidat/odečíst jeden:
Obecně lze říci, že racionální zlomky (s polynomy v čitateli a jmenovateli) jsou samostatným velmi obsáhlým tématem. Jde o to, že racionální zlomky jsou jednou z mála tříd funkcí, pro které je univerzální způsob integrace existuje. Metoda rozkladu na jednoduché zlomky, spojená s . Ale tato metoda je velmi časově náročná a obvykle se používá jako těžké dělostřelectvo. Bude mu věnována nejedna lekce. Mezitím trénujeme a dostáváme do rukou jednoduché funkce.
Pojďme si shrnout dnešní lekci.
Dnes jsme podrobně zkoumali, jak používat tabulku, se všemi nuancemi, analyzovali jsme mnoho příkladů (a ne ty nejtriviálnější) a seznámili se s nejjednoduššími metodami redukce integrálů na tabulkové. A tak to nyní uděláme Vždy. Ať už je pod integrálem jakákoli strašná funkce, pomocí široké škály transformací zajistíme, že se náš integrál, tak či onak, dříve nebo později zredukuje na množinu tabulkových.
Pár praktických rad.
1) Pokud je pod integrálem zlomek, v jehož čitateli je součet stupňů (odmocnin), a ve jmenovateli - osamělý x, pak použijeme členění čitatele po členech jmenovatelem. Kořeny nahradíme mocnostmi zlomkové ukazatele a práce podle vzorců 1-2.
2) V trigonometrických konstrukcích si nejprve zkoušíme základní vzorce trigonometrie - dvojitý / trojitý úhel,
Může to být velké štěstí. Nebo možná ne…
3) V případě potřeby (zejména v polynomech a zlomcích) používámezkrácené vzorce pro násobení:
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a-b)2 = a2-2ab+b2
(a-b)(a+b) = a2-b2
4) Při integraci zlomků s polynomy se snažíme uměle zvýraznit výraz (y) v čitateli ve jmenovateli. Velmi často se zlomek zjednodušuje a integrál se redukuje na kombinaci tabulkových.
No, přátelé? Vidím, že začínáš mít rád integrály. :) Pak si naplníme ruku a příklady řešíme sami.) K úspěšnému zvládnutí dnešního materiálu je docela dost.
Co? Nevím, ? Ano! Tím jsme si ještě neprošli.) Zde však není nutné je přímo integrovat. A ať vám školní kurz pomůže!)
Odpovědi (v nepořádku):
Pro lepší výsledky důrazně doporučuji zakoupit sbírku problémů na G.N. matan. Berman. Skvělá věc!
A to je pro dnešek vše, co mám. Hodně štěstí!
