aplikace

Omezení online na webu pro studenty a školáky, aby mohli plně konsolidovat látku, kterou probrali. Jak najít limit online pomocí našeho zdroje? To je velmi snadné, stačí správně napsat původní funkci s proměnnou x, vybrat požadované nekonečno z selektoru a kliknout na tlačítko „Vyřešit“. V případě, že limita funkce musí být vypočtena v nějakém bodě x, pak musíte uvést číselnou hodnotu právě tohoto bodu. Odpověď na řešení limitu dostanete během několika sekund, jinými slovy - okamžitě. Pokud však uvedete nesprávné údaje, služba vás na chybu automaticky upozorní. Opravte dříve zavedenou funkci a získejte správné řešení limity. K řešení limit se používají všechny možné techniky, zvláště často se používá L'Hopitalova metoda, protože je univerzální a vede k odpovědi rychleji než jiné metody výpočtu limity funkce. Je zajímavé podívat se na příklady, ve kterých je modul přítomen. Mimochodem, podle pravidel našeho zdroje je modul v matematice označen klasickou svislou čárou „|“ nebo Abs(f(x)) z latinského absolutního. K výpočtu součtu číselné řady je často vyžadováno řešení limity. Jak každý ví, stačí správně vyjádřit dílčí součet zkoumané posloupnosti a vše je pak díky naší bezplatné webové službě mnohem jednodušší, protože výpočet limitu dílčího součtu je konečným součtem číselné posloupnosti. Obecně řečeno, teorie průchodu do limity je základním konceptem veškeré matematické analýzy. Vše je založeno právě na přechodech k limitám, to znamená, že řešení limit je základem vědy o matematické analýze. V integraci se také používá přechod k limitě, kdy je integrál podle teorie reprezentován součtem neomezeného počtu oblastí. Tam, kde je něčeho neomezený počet, tedy tendence počtu objektů k nekonečnu, tam vždy vstupuje v platnost teorie limitních přechodů a ve své obecně přijímané podobě je to řešení pro všechny známé limity. Řešení limitů online na webu je jedinečná služba pro příjem přesné a okamžité odpovědi v reálném čase. Limita funkce (limitní hodnota funkce) v daném bodě, limitní bod pro definiční obor funkce, je hodnota, ke které hodnota dané funkce inklinuje, když její argument inklinuje k danému směřovat. Není neobvyklé, a dokonce bychom řekli, že velmi často, že studenti mají při studiu matematické analýzy otázku řešení limit online. Když se zamyslíte nad řešením limitu online s detailním řešením pouze ve speciálních případech, je jasné, že bez použití limitní kalkulačky si se složitým problémem neporadíte. Řešení limit s naší službou je zárukou přesnosti a jednoduchosti Limita funkce je zobecněním pojmu limita posloupnosti: zpočátku byla limita funkce v bodě chápána jako limita posloupnosti posloupnosti. prvky definičního oboru funkce, složené z obrazů bodů posloupnosti prvků definičního oboru funkce konvergujících k danému bodu (mezi, při které se uvažuje); pokud taková limita existuje, pak se říká, že funkce konverguje k zadané hodnotě; pokud taková limita neexistuje, pak se říká, že funkce diverguje. Řešení limitů online se stává snadnou odpovědí pro uživatele, pokud vědí, jak řešit limit online pomocí webové stránky. Zůstaňme soustředění a nedopusťme, aby nám chyby způsobily potíže v podobě neuspokojivých známek. Jako každé řešení limitů online bude váš problém prezentován pohodlnou a srozumitelnou formou s podrobným řešením v souladu se všemi pravidly a předpisy pro získání řešení. Nejčastěji je definice limity funkce formulována v jazyce sousedství. Limity funkce jsou zde uvažovány pouze v bodech, které jsou limitující pro definiční obor funkce, to znamená, že v každém okolí daného bodu jsou body z definičního oboru právě této funkce. To nám umožňuje mluvit o tendenci argumentu funkce k danému bodu. Limitní bod definičního oboru však nemusí patřit do samotného definičního oboru, a to se dokazuje řešením limity: lze například uvažovat limitu funkce na koncích otevřeného intervalu, na kterém funkce je definována. V tomto případě nejsou samotné hranice intervalu zahrnuty do definiční domény. V tomto smyslu je systém proražených sousedství daného bodu speciálním případem takové báze množin. Řešení limitů online s detailním řešením probíhá v reálném čase a pomocí vzorců v jasně specifikované podobě, ušetříte čas a hlavně peníze, protože za to nepožadujeme náhradu. Jestliže v nějakém bodě v definičním oboru funkce existuje limita a řešení této limity se rovná hodnotě funkce v tomto bodě, pak se funkce v takovém bodě ukáže jako spojitá. Na našem webu je řešení limitů dostupné online dvacet čtyři hodin denně, každý den a každou minutu Používání kalkulačky limitů je velmi důležité a hlavní je použít ji pokaždé, když si potřebujete ověřit své znalosti. Studenti jednoznačně těží ze všech těchto funkcí. Výpočet limity pomocí a aplikace pouze teorie nebude vždy tak jednoduchý, jak říkají zkušení studenti matematických kateder univerzit v zemi. Faktem zůstává skutečnost, pokud existuje cíl. Nalezené řešení limitů obvykle není lokálně použitelné pro formulaci problému. Student zajásá, jakmile objeví kalkulačku limitů online na internetu a volně dostupnou nejen pro sebe, ale pro všechny. Účel by měl být považován za matematiku v jejím obecném chápání. Pokud se na internetu zeptáte, jak podrobně najít limit online, pak množství stránek, které se objeví v důsledku požadavku, nepomůže tak, jak my. Rozdíl mezi stranami se násobí ekvivalencí incidentu. Původní legitimní limita funkce musí být určena formulací samotného matematického problému. Hamilton měl pravdu, ale stojí za to zvážit výroky jeho současníků. Výpočet limitů online není v žádném případě tak obtížný úkol, jak by se někomu na první pohled mohlo zdát... Abychom neporušili pravdu neotřesitelných teorií. Vrátíme-li se k výchozí situaci, je nutné vypočítat limit rychle, efektivně a v úhledně naformátované podobě. Šlo by to udělat jinak? Tento přístup je zřejmý a oprávněný. Kalkulačka limitů byla vytvořena pro zvýšení znalostí, zkvalitnění psaní domácích úkolů a zvýšení celkové nálady mezi studenty, takže bude to pravé pro ně. Stačí co nejrychleji přemýšlet a mysl zvítězí. Explicitně mluvit o limitech termínů online interpolace je pro profesionály ve svém oboru velmi sofistikovaná činnost. Předpovídáme poměr systému neplánovaných rozdílů v bodech v prostoru. A opět je problém redukován na nejistotu, založenou na skutečnosti, že limita funkce existuje v nekonečnu a v určitém okolí lokálního bodu na dané ose x po afinní transformaci výchozího výrazu. Bude snazší analyzovat vzestup bodů na rovině a na vrcholu prostoru. V obecném stavu věcí se nemluví o odvození matematického vzorce, a to jak ve skutečnosti, tak v teorii, takže online kalkulačka limitů se používá k zamýšlenému účelu v tomto smyslu. Bez definování limitu online je pro mě obtížné provádět další výpočty v oblasti studia křivočarého prostoru. Z hlediska nalezení správné správné odpovědi by to nebylo o nic jednodušší. Je nemožné vypočítat limitu, pokud je daný bod v prostoru předem nejistý? Pojďme vyvrátit existenci odpovědí mimo oblast studia. Řešení limit lze z hlediska matematické analýzy diskutovat jako začátek studia posloupnosti bodů na ose. Pouhý fakt výpočtu může být nevhodný. Čísla jsou reprezentovatelná jako nekonečná posloupnost a jsou identifikována počátečním zápisem poté, co jsme limitu vyřešili podrobně online podle teorie. Odůvodněno ve prospěch nejlepší hodnoty. Výsledek limitu funkce jako zjevná chyba v nesprávně formulovaném problému může zkreslit představu o skutečném mechanickém procesu nestabilního systému. Schopnost vyjádřit význam přímo do oblasti zobrazení. Spojením online limitu s podobným zápisem jednostranné limitní hodnoty je lepší vyhnout se jeho explicitnímu vyjádření pomocí redukčních vzorců. Kromě zahájení proporcionálního provádění úkolu. Polynom rozšíříme poté, co budeme schopni vypočítat jednostrannou limitu a napsat ji do nekonečna. Jednoduché myšlenky vedou v matematické analýze ke skutečnému výsledku. Jednoduché řešení limit často vede k různému stupni rovnosti provedených protichůdných matematických ilustrací. Linie a Fibonacciho čísla rozluštily online kalkulačku limitů, v závislosti na tom si můžete objednat neomezený výpočet a možná složitost ustoupí do pozadí. Proces rozvíjení grafu na rovině ve výseku trojrozměrného prostoru probíhá. To vyvolalo potřebu různých pohledů na složitý matematický problém. Výsledek však na sebe nenechá dlouho čekat. Probíhající proces realizace vzestupného součinu však narušuje prostor čar a zapisuje limit online, abyste se seznámili s formulací problému. Přirozenost procesu hromadění problémů předurčuje potřebu znalostí ze všech oblastí matematických disciplín. Vynikající kalkulátor limitů se v rukou zručných studentů stane nepostradatelným nástrojem, který ocení všechny jeho přednosti oproti analogům digitálního pokroku. Ve školách se z nějakého důvodu online limitům říká jinak než v ústavech. Hodnota funkce se zvýší, když se argument změní. L'Hopital také řekl, že nalezení limity funkce je jen polovina úspěchu; musíte dovést problém k logickému závěru a předložit odpověď v rozšířené podobě. Skutečnost je adekvátní přítomnosti faktů v případu. Online limit je spojen s historicky důležitými aspekty matematických disciplín a tvoří základ pro studium teorie čísel. Kódování stránky v matematických vzorcích je dostupné v klientském jazyce v prohlížeči. Jak vypočítat limitu pomocí přijatelné zákonné metody, aniž bychom vynutili změnu funkce ve směru osy x. Obecně platí, že realita prostoru nezávisí pouze na konvexnosti funkce nebo její konkávnosti. Odstraňte z problému všechny neznámé a řešení limitů bude mít za následek nejmenší výdaje z vašich dostupných matematických zdrojů. Vyřešení uvedeného problému stoprocentně opraví funkčnost. Výsledné matematické očekávání odhalí limit online podrobně ohledně odchylky od nejmenšího významného speciálního poměru. Po matematickém rozhodnutí ve prospěch vědy uplynuly tři dny. To je opravdu užitečná činnost. Bezdůvodně bude absence online limitu znamenat divergenci v celkovém přístupu k řešení situačních problémů. Lepší název pro jednostranný limit s nejistotou 0/0 bude v budoucnu žádaný. Zdroj může být nejen krásný a dobrý, ale také užitečný, když za vás dokáže vypočítat limit. Velký vědec jako student zkoumal funkce pro psaní vědecké práce. Uplynulo deset let. Před různými nuancemi stojí za to jednoznačně okomentovat matematické očekávání ve prospěch skutečnosti, že limita funkce si vypůjčuje divergenci principů. Reagovali na objednané zkušební práce. V matematice zaujímá výjimečné postavení ve výuce, kupodivu, studium online limitů se vzájemně se vylučujícími vztahy třetích stran. Jak to v běžných případech bývá. Nemusíte nic reprodukovat. Po analýze přístupů studentů k matematickým teoriím si řešení limit důkladně necháme na závěrečnou fázi. To je smysl následujícího, prozkoumejte text. Lom jednoznačně určuje matematické vyjádření jako podstatu přijímané informace. online limita je podstatou určení skutečné polohy matematického systému relativity vícesměrných vektorů. V tomto smyslu mám na mysli vyjádřit svůj vlastní názor. Stejně jako v předchozím úkolu. Výrazný online limit rozšiřuje svůj vliv do detailu na matematický pohled na sekvenční studium programové analýzy ve studijním oboru. V kontextu teorie je matematika něco vyššího než jen věda. Loajalita se projevuje činy. Zůstává nemožné záměrně přerušit řetězec po sobě jdoucích čísel, která začínají svůj vzestupný pohyb, pokud je limit špatně vypočítán. Oboustranný povrch je vyjádřen ve své přirozené podobě v plné velikosti. Schopnost prozkoumat matematickou analýzu omezuje limit funkce na posloupnost funkčních řad jako epsilonové okolí v daném bodě. Na rozdíl od teorie funkcí nejsou vyloučeny chyby ve výpočtech, ale to je dáno situací. Online problém dělení limitem lze zapsat pomocí proměnné divergenční funkce pro rychlý součin nelineárního systému v trojrozměrném prostoru. Základem operace je triviální případ. Nemusíte být student, abyste analyzovali tento případ. Součet momentů probíhajícího výpočtu, zpočátku řešení limitů je určeno jako fungování celého integrálního systému postupu podél svislé osy na více hodnotách čísel. Jako základní hodnotu bereme nejmenší možnou matematickou hodnotu. Závěr je zřejmý. Vzdálenost mezi rovinami pomůže rozšířit teorii online limitů, protože použití metody divergentního výpočtu subpolárního aspektu významnosti nemá žádný vlastní význam. Výborná volba, pokud je kalkulátor limitů umístěn na serveru, lze to brát tak, jak je, aniž by došlo ke zkreslení významnosti změny povrchu v oblastech, jinak se problém linearity zvýší. Kompletní matematická analýza odhalila nestabilitu systému spolu s jeho popisem v oblasti nejmenšího okolí bodu. Jako každá limita funkce podél osy průsečíku pořadnic a úseček je možné uzavřít číselné hodnoty objektů do nějakého minimálního okolí podle rozložení funkčnosti výzkumného procesu. Zapišme si úkol bod po bodu. Existuje rozdělení do fází psaní. Akademická tvrzení, že vypočítat limit je opravdu obtížné nebo vůbec snadné, jsou podložena rozborem matematických pohledů všech pregraduálních a postgraduálních studentů bez výjimky. Případné průběžné výsledky na sebe nenechají dlouho čekat. Výše uvedená mez je podrobně online studována na absolutním minimu systémového rozdílu objektů, za kterým je linearita prostoru matematiky zkreslena. Větší plošnou segmentaci plochy studenti nevyužívají k výpočtu vícenásobné neshody po nahrání online kalkulátoru limitů pro odčítání. Po začátku studentům zakážeme opakování úloh pro studium prostorového prostředí v matematice. Protože jsme již našli limitu funkce, sestrojme graf jejího studia v rovině. Zvýrazníme ordinátové osy speciální barvou a ukážeme směr čar. Existuje stabilita. Nejistota je při psaní odpovědi přítomna delší dobu. Vypočítejte limitu funkce v bodě jednoduše analýzou rozdílu mezi limitami v nekonečnu za počátečních podmínek. Tato metoda není známa každému uživateli. Potřebujeme matematickou analýzu. Řešení limitů shromažďuje zkušenosti v myslích generací na mnoho let dopředu. Není možné si proces nezkomplikovat. Za jeho uzavření odpovídají studenti všech generací. Vše výše uvedené se může začít měnit při absenci fixačního argumentu pro pozici funkcí kolem určitého bodu, který zaostává za limitními kalkulátory z hlediska rozdílu ve výpočetní síle. Prozkoumejme funkci, abychom získali výslednou odpověď. Závěr není zřejmý. Po vyloučení implicitních funkcí z celkového počtu po transformaci matematických výrazů zbývá posledním krokem najít limity online správně a s vysokou přesností. Přijatelnost vydaného rozhodnutí podléhá ověření. Proces pokračuje. Umístění posloupnosti v izolaci od funkcí as využitím svých obrovských zkušeností musí matematici vypočítat limit, aby ospravedlnili správný směr výzkumu. Takový výsledek nepotřebuje teoretickou podporu. Změňte podíl čísel v určitém okolí nenulového bodu na ose x směrem k online limitní kalkulačce proměnný prostorový úhel sklonu pod písemnou úlohou z matematiky. Propojme dvě oblasti v prostoru. Neshoda mezi řešiteli o tom, jak limita funkce nabývá vlastností jednostranných hodnot v prostoru, nemůže zůstat bez povšimnutí při intenzivnějších řízených výkonech studentů. Směr v online limitu matematiky zaujal jedno z nejméně sporných stanovisek ohledně nejistoty ve výpočtech právě těchto limitů. Online kalkulačka limitů pro výšku rovnoramenných trojúhelníků a krychlí o straně tří poloměrů kruhu pomůže studentovi učit se nazpaměť v rané fázi vědy. Ponechme na svědomí studentů, aby limity ve studiu fungujícího matematického oslabeného systému vyřešili ze strany výzkumné roviny. Názor studenta na teorii čísel je nejednoznačný. Každý má svůj názor. Správný směr ve studiu matematiky pomůže vypočítat limitu v pravém slova smyslu, jako je tomu na univerzitách ve vyspělých zemích. Kotangens v matematice se počítá jako limitní kalkulačka a je poměrem dvou dalších elementárních goniometrických funkcí, totiž kosinusu a sinu argumentu. Toto je řešení rozpůlení segmentů. Jiný přístup pravděpodobně nevyřeší situaci ve prospěch minulého okamžiku. O tom, jak je velmi obtížné a zbytečné řešit online limit do detailu bez porozumění, se můžeme bavit dlouho, ale tento přístup spíše zvyšuje vnitřní kázeň studentů k lepšímu.

Teorie limit je jedním z oborů matematické analýzy. Otázka řešení limit je poměrně rozsáhlá, protože existují desítky metod řešení limit různých typů. Existují desítky nuancí a triků, které vám umožní vyřešit ten či onen limit. Přesto se ještě pokusíme pochopit hlavní typy limitů, se kterými se v praxi nejčastěji setkáváme.

Začněme samotným konceptem limity. Nejprve však krátké historické pozadí. V 19. století žil Francouz Augustin Louis Cauchy, který položil základy matematické analýzy a dal striktní definice, zejména definici limity. Je třeba říci, že tentýž Cauchy byl, je a bude v nočních můrách všech studentů kateder fyziky a matematiky, protože dokázal velké množství teorémů matematické analýzy a každá věta je nechutnější než druhá. V tomto ohledu nebudeme uvažovat o striktní definici limitu, ale pokusíme se udělat dvě věci:

1. Pochopte, co je limit.
2. Naučte se řešit hlavní typy limit.

Omlouvám se za některá nevědecká vysvětlení, důležité je, aby byl materiál srozumitelný i konvici, což je vlastně úkol projektu.

Jaký je tedy limit?

A jen příklad, proč střapaté babičce....

Libovolný limit se skládá ze tří částí:

1) Známá ikona limitu.
2) Záznamy pod ikonou limitu, v tomto případě . Záznam zní „X inklinuje k jedné“. Nejčastěji - přesně, i když místo „X“ v praxi existují jiné proměnné. V praktických úlohách může být místo jedničky naprosto libovolné číslo, stejně jako nekonečno ().
3) Funkce pod mezním znakem, v tomto případě .

Samotný záznam zní takto: „limita funkce jako x má tendenci k jednotě“.

Podívejme se na další důležitou otázku – co znamená výraz „x“? usiluje do jednoho"? A co vůbec znamená „usilovat“?
Pojem limita je takříkajíc pojmem, dynamický. Vytvořme sekvenci: nejprve , pak , , …, , ….
To znamená, že výraz „x usiluje k jedné“ je třeba chápat takto: „x“ trvale nabývá hodnot které se k jednotě nekonečně přibližují a prakticky se s ní shodují.

Jak vyřešit výše uvedený příklad? Na základě výše uvedeného stačí jeden dosadit do funkce pod znaménkem limitu:

Takže první pravidlo: Je-li daný limit, nejprve jednoduše zkusíme zapojit číslo do funkce.

Zvažovali jsme nejjednodušší limity, ale i ty se v praxi vyskytují, a to ne tak zřídka!

Příklad s nekonečnem:

Pojďme zjistit, co to je? To je případ, kdy roste bez omezení, tedy: nejprve, pak, pak, pak a tak dále do nekonečna.

Co se stane s funkcí v tuto chvíli?
, , , …

Takže: if , pak má funkce tendenci k mínus nekonečnu:

Zhruba řečeno, podle našeho prvního pravidla místo „X“ dosadíme do funkce nekonečno a dostaneme odpověď.

Další příklad s nekonečnem:

Znovu začneme růst do nekonečna a podíváme se na chování funkce:

Závěr: když se funkce neomezeně zvyšuje:

A další série příkladů:

Zkuste si prosím v duchu analyzovat následující a zapamatujte si nejjednodušší typy limitů:

, , , , , , , , ,
Pokud máte kdekoli pochybnosti, můžete vzít do ruky kalkulačku a trochu si zacvičit.
V případě, že , zkuste sestrojit posloupnost , , . Pokud , pak , , .

Poznámka: přísně vzato, tento přístup ke konstrukci posloupností několika čísel je nesprávný, ale pro pochopení nejjednodušších příkladů je docela vhodný.

Pozor také na následující věc. I když je limit uveden s velkým číslem nahoře nebo dokonce s milionem: , pak je to všechno stejné , protože dříve nebo později „X“ nabude tak gigantických hodnot, že milion ve srovnání s nimi bude skutečný mikrob.

Co si musíte zapamatovat a pochopit z výše uvedeného?

1) Když je daná nějaká limita, nejprve jednoduše zkusíme dosadit číslo do funkce.

2) Musíte pochopit a okamžitě vyřešit nejjednodušší limity, jako jsou , , atd.

Nyní budeme uvažovat skupinu limit when , a funkcí je zlomek, jehož čitatel a jmenovatel obsahuje polynomy

Příklad:

Vypočítat limit

Podle našeho pravidla zkusíme do funkce dosadit nekonečno. Co získáme na vrcholu? Nekonečno. A co se děje níže? Také nekonečno. Máme tedy to, čemu se říká druhová nejistota. Někdo by si mohl myslet, že a odpověď je připravena, ale v obecném případě tomu tak vůbec není a je nutné použít nějakou techniku ​​řešení, kterou nyní zvážíme.

Jak řešit limity tohoto typu?

Nejprve se podíváme na čitatel a najdeme nejvyšší mocninu:

Vedoucí mocnina v čitateli je dvě.

Nyní se podíváme na jmenovatele a také jej najdeme na nejvyšší mocninu:

Nejvyšší stupeň jmenovatele je dva.

Potom zvolíme nejvyšší mocninu čitatele a jmenovatele: v tomto příkladu jsou stejné a rovny se dvěma.

Metoda řešení je tedy následující: pro odhalení nejistoty je nutné vydělit čitatele a jmenovatele nejvyšší mocninou.

Tady je odpověď a vůbec ne nekonečno.

Co je při návrhu rozhodnutí zásadně důležité?

Nejprve označíme nejistotu, pokud existuje.

Za druhé je vhodné přerušit řešení pro mezilehlá vysvětlení. Obvykle používám znaménko, nemá žádný matematický význam, ale znamená, že řešení je přerušeno pro přechodné vysvětlení.

Za třetí, v limitu je vhodné označit, co kam jde. Když je práce nakreslena ručně, je pohodlnější to udělat takto:

Na poznámky je lepší použít jednoduchou tužku.

Nic z toho samozřejmě dělat nemusíte, ale pak možná učitel upozorní na nedostatky v řešení nebo začne klást doplňující otázky k zadání. Potřebuješ to?

Příklad 2

Najděte limit
Opět v čitateli a jmenovateli najdeme v nejvyšším stupni:

Maximální stupeň v čitateli: 3
Maximální stupeň ve jmenovateli: 4
Vybrat největší hodnotu, v tomto případě čtyři.
Podle našeho algoritmu, abychom odhalili nejistotu, dělíme čitatel a jmenovatel .
Kompletní zadání může vypadat takto:

Čitatele a jmenovatele vydělte

Příklad 3

Najděte limit
Maximální stupeň „X“ v čitateli: 2
Maximální stupeň „X“ ve jmenovateli: 1 (lze zapsat jako)
Pro odhalení nejistoty je nutné vydělit čitatele a jmenovatele . Konečné řešení může vypadat takto:

Čitatele a jmenovatele vydělte

Zápis neznamená dělení nulou (nulou dělit nelze), ale dělení nekonečně malým číslem.

Odhalením druhové nejistoty tedy možná budeme schopni konečné číslo, nula nebo nekonečno.

Limity s neurčitostí typu a způsob jejich řešení

Další skupina limit je poněkud podobná právě uvažovaným limitám: čitatel a jmenovatel obsahují polynomy, ale „x“ již nemá tendenci k nekonečnu, ale k konečné číslo.

Příklad 4

Řešit limit
Nejprve zkusme dosadit do zlomku -1:

V tomto případě se získá tzv. nejistota.

Obecné pravidlo: pokud čitatel a jmenovatel obsahují polynomy a existuje nejistota tvaru, pak to zveřejnit musíte zohlednit čitatel a jmenovatel.

K tomu je nejčastěji potřeba vyřešit kvadratickou rovnici a/nebo použít zkrácené násobící vzorce. Pokud jste na tyto věci zapomněli, navštivte stránku Matematické vzorce a tabulky a přečtěte si učební materiál Žhavé vzorce pro kurz školní matematiky. Mimochodem, nejlepší je si to vytisknout, je to vyžadováno velmi často a informace se lépe vstřebávají z papíru.

Pojďme tedy vyřešit náš limit

Čitatele a jmenovatele rozložte na faktor

Abyste mohli faktorizovat čitatel, musíte vyřešit kvadratickou rovnici:

Nejprve najdeme diskriminant:

A jeho druhá odmocnina: .

Pokud je diskriminant velký, např. 361, použijeme kalkulačku, na nejjednodušší kalkulačce je funkce odmocnění.

! Pokud se neodmocní celý (získá se zlomkové číslo s čárkou), je velmi pravděpodobné, že diskriminant byl spočítán špatně nebo byl v úloze překlep.

Dále najdeme kořeny:

Tím pádem:

Všechno. Čitatel je faktorizován.

Jmenovatel. Jmenovatel je již tím nejjednodušším faktorem a neexistuje způsob, jak jej zjednodušit.

Samozřejmě to lze zkrátit na:

Nyní dosadíme -1 do výrazu, který zůstane pod limitním znaménkem:

Přirozeně, v testu, testu nebo zkoušce není řešení nikdy popsáno tak podrobně. Ve finální verzi by měl design vypadat nějak takto:

Rozložme čitatel na faktor.

Příklad 5

Vypočítat limit

Nejprve „dokončená“ verze řešení

Rozložme čitatel a jmenovatel.

Čitatel:
Jmenovatel:



,

Co je na tomto příkladu důležité?
Za prvé, musíte dobře rozumět tomu, jak se čitatel odhaluje, nejprve jsme vytáhli 2 ze závorek a pak použili vzorec pro rozdíl druhých mocnin. Toto je vzorec, který potřebujete znát a vidět.

První pozoruhodný limit je následující rovnost:

\begin(rovnice)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Protože pro $\alpha\to(0)$ máme $\sin\alpha\to(0)$, říkají, že první pozoruhodná limita odhaluje nejistotu tvaru $\frac(0)(0)$. Obecně řečeno, ve vzorci (1) lze místo proměnné $\alpha$ umístit pod znaménko sinus a do jmenovatele jakýkoli výraz, pokud jsou splněny dvě podmínky:

1. Výrazy pod sinusovým znaménkem a ve jmenovateli současně inklinují k nule, tzn. existuje nejistota tvaru $\frac(0)(0)$.
2. Výrazy pod sinusovým znakem a ve jmenovateli jsou stejné.

Často se také používají důsledky z prvního pozoruhodného limitu:

\begin(rovnice) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnice) \begin(rovnice) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnice) \begin(rovnice) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnice)

Na této stránce je vyřešeno jedenáct příkladů. Příklad č. 1 je věnován důkazu vzorců (2)-(4). Příklady č. 2, č. 3, č. 4 a č. 5 obsahují řešení s podrobným komentářem. Příklady č. 6-10 obsahují řešení prakticky bez komentáře, protože podrobná vysvětlení byla uvedena v předchozích příkladech. Řešení využívá některé goniometrické vzorce, které lze nalézt.

Dovolte mi poznamenat, že přítomnost goniometrických funkcí ve spojení s neurčitostí $\frac (0) (0)$ nemusí nutně znamenat aplikaci první pozoruhodné limity. Někdy stačí jednoduché goniometrické transformace - např. viz.

Příklad č. 1

Dokažte, že $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Protože $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, pak:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Protože $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ a $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Že:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Provedeme změnu $\alpha=\sin(y)$. Protože $\sin(0)=0$, pak z podmínky $\alpha\to(0)$ máme $y\to(0)$. Kromě toho existuje okolí nuly, ve kterém $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, takže:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Rovnost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ byla prokázána.

c) Udělejme náhradu $\alpha=\tg(y)$. Protože $\tg(0)=0$, pak jsou podmínky $\alpha\to(0)$ a $y\to(0)$ ekvivalentní. Kromě toho existuje okolí nuly, ve kterém $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, takže na základě výsledků bodu a) budeme mít:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Rovnost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ byla prokázána.

Rovnosti a), b), c) se často používají spolu s první pozoruhodnou limitou.

Příklad č. 2

Vypočítejte limit $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Protože $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ a $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\vpravo)=\sin(0)=0$, tzn. a čitatel i jmenovatel zlomku mají současně tendenci k nule, pak zde máme co do činění s neurčitostí tvaru $\frac(0)(0)$, tzn. Hotovo. Kromě toho je zřejmé, že výrazy pod sinusovým znakem a ve jmenovateli se shodují (tj. a je splněno):

Jsou tedy splněny obě podmínky uvedené na začátku stránky. Z toho vyplývá, že vzorec je použitelný, tzn. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 $.

Odpovědět: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 $.

Příklad č. 3

Najděte $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Protože $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ a $\lim_(x\to(0))x=0$, pak máme co do činění s nejistotou tvaru $\frac (0)(0)$, tj. Hotovo. Výrazy pod sinusovým znakem a ve jmenovateli se však neshodují. Zde je potřeba upravit výraz ve jmenovateli do požadované podoby. Potřebujeme, aby byl ve jmenovateli výraz $9x$, pak se stane pravdou. V podstatě nám ve jmenovateli chybí faktor 9 $, který není tak těžké zadat – stačí vynásobit výraz ve jmenovateli 9 $. Přirozeně, abyste kompenzovali násobení 9 $, budete muset okamžitě vydělit 9 $:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x)) (9x) $$

Nyní se výrazy ve jmenovateli a pod sinusovým znakem shodují. Obě podmínky pro limit $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ jsou splněny. Proto $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A to znamená, že:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Odpovědět: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Příklad č. 4

Najděte $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Protože $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ a $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, máme co do činění s neurčitostí tvaru $\frac(0)(0)$. Forma první pozoruhodné hranice je však porušena. Čitatel obsahující $\sin(5x)$ vyžaduje jmenovatele $5x$. V této situaci je nejjednodušší vydělit čitatele $5x$ a okamžitě vynásobit $5x$. Kromě toho provedeme podobnou operaci se jmenovatelem, vynásobením a dělením $\tg(8x)$ $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Zmenšíme-li o $x$ a vezmeme-li konstantu $\frac(5)(8)$ mimo znaménko limitu, dostaneme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Všimněte si, že $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ plně splňuje požadavky pro první pozoruhodný limit. Chcete-li najít $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, použijte následující vzorec:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Odpovědět: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Příklad č. 5

Najděte $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Protože $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (pamatujte, že $\cos(0)=1$) a $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, pak máme co do činění s neurčitostí tvaru $\frac(0)(0)$. Chcete-li však použít první pozoruhodnou mez, měli byste se zbavit kosinusu v čitateli a přejít k sinusům (abyste pak mohli použít vzorec) nebo tangensům (abyste pak mohli vzorec použít). To lze provést pomocí následující transformace:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Vraťme se k limitu:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\vpravo) $$

Zlomek $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ se již blíží tvaru požadovanému pro první pozoruhodnou mez. Pojďme trochu pracovat se zlomkem $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ a upravíme jej na první pozoruhodnou mez (všimněte si, že výrazy v čitateli a pod sinem se musí shodovat):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\vpravo)^2$$

Vraťme se k příslušnému limitu:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\vpravo)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$

Odpovědět: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Příklad č. 6

Najděte limit $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Protože $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ a $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, pak máme co do činění s nejistotou $\frac(0)(0)$. Pojďme to odhalit pomocí první pozoruhodné limitky. Abychom toho dosáhli, přejděme od kosinu k sinusům. Protože $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, pak:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Přejdeme-li na sinus v daném limitu, budeme mít:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\vpravo)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\vpravo)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\vpravo)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Odpovědět: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Příklad č. 7

Vypočítejte limit $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ s výhradou $\alpha\neq \ beta$.

Podrobná vysvětlení byla uvedena dříve, ale zde si jednoduše všimneme, že opět existuje nejistota $\frac(0)(0)$. Přejděme od kosinus k sinus pomocí vzorce

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Pomocí tohoto vzorce dostaneme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\vpravo)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\vpravo))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\vpravo))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\vpravo))(x)\vpravo)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\vpravo))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\vpravo)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Odpovědět: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Příklad č. 8

Najděte limit $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Protože $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (pamatujte, že $\sin(0)=\tg(0)=0$) a $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, pak zde máme co do činění s neurčitostí tvaru $\frac(0)(0)$. Pojďme si to rozebrat následovně:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Odpovědět: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Příklad č. 9

Najděte limit $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Protože $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ a $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, pak je zde nejistota tvaru $\frac(0)(0)$. Než přistoupíme k její expanzi, je vhodné provést změnu proměnné tak, aby nová proměnná měla tendenci k nule (všimněte si, že ve vzorcích proměnná $\alpha \to 0$). Nejjednodušší způsob je zavést proměnnou $t=x-3$. Pro usnadnění dalších transformací (tuto výhodu lze vidět v průběhu řešení níže) se však vyplatí provést následující náhradu: $t=\frac(x-3)(2)$. Podotýkám, že v tomto případě jsou použitelné obě náhrady, jen druhé nahrazení vám umožní méně pracovat se zlomky. Protože $x\to(3)$, pak $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\vpravo| =\left|\begin(zarovnáno)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(zarovnáno)\vpravo| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\vpravo) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Odpovědět: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Příklad č. 10

Najděte limit $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.

Opět máme co do činění s nejistotou $\frac(0)(0)$. Než přistoupíme k její expanzi, je vhodné provést změnu proměnné tak, aby nová proměnná měla tendenci k nule (všimněte si, že ve vzorcích je proměnná $\alpha\to(0)$). Nejjednodušší způsob je zavést proměnnou $t=\frac(\pi)(2)-x$. Protože $x\to\frac(\pi)(2)$, pak $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\vpravo)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(zarovnáno)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(zarovnáno)\vpravo| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Odpovědět: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Příklad č. 11

Najděte limity $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

V tomto případě nemusíme používat první báječnou limitku. Vezměte prosím na vědomí, že první i druhá limita obsahují pouze goniometrické funkce a čísla. V příkladech tohoto druhu je často možné zjednodušit výraz umístěný pod limitním znakem. Navíc po zmíněném zjednodušení a redukci některých faktorů nejistota mizí. Tento příklad jsem uvedl pouze za jediným účelem: ukázat, že přítomnost goniometrických funkcí pod znaménkem limity nutně neznamená použití první pozoruhodné limity.

Protože $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (pamatujte, že $\sin\frac(\pi)(2)=1$) a $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (připomínám, že $\cos\frac(\pi)(2)=0$), pak máme zabývající se neurčitostí tvaru $\frac(0)(0)$. To však neznamená, že budeme muset využít první báječnou limitku. K odhalení nejistoty stačí vzít v úvahu, že $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Podobné řešení je v Demidovichově knize řešení (č. 475). Pokud jde o druhou limitu, stejně jako v předchozích příkladech v této části máme nejistotu tvaru $\frac(0)(0)$. Proč vzniká? Vzniká, protože $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ a $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Tyto hodnoty používáme k transformaci výrazů v čitateli a jmenovateli. Cílem našich akcí je zapsat součet v čitateli a jmenovateli jako součin. Mimochodem, často v rámci podobného typu je vhodné změnit proměnnou, provedenou tak, že nová proměnná má tendenci k nule (viz např. příklady č. 9 nebo č. 10 na této stránce). V tomto příkladu však nemá smysl nahrazovat, i když v případě potřeby nahrazení proměnné $t=x-\frac(2\pi)(3)$ není obtížné implementovat.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\vpravo )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\vpravo))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\vpravo))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\vpravo)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Jak vidíte, první báječnou limitku jsme aplikovat nemuseli. Samozřejmě to můžete udělat, pokud chcete (viz poznámka níže), ale není to nutné.

Jaké je řešení pomocí první pozoruhodné limity? zobrazit\skrýt

Pomocí prvního pozoruhodného limitu dostaneme:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\vpravo))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ vpravo))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Odpovědět: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Pojmy limity posloupností a funkcí. Když je potřeba najít limitu posloupnosti, zapíše se takto: lim xn=a. V takové sekvenci sekvencí má xn sklon k a a n směřuje k nekonečnu. Sekvence je obvykle reprezentována jako řada, například:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Sekvence se dělí na rostoucí a klesající. Například:
xn=n^2 - rostoucí sekvence
yn=1/n - sekvence
Takže například limita posloupnosti xn=1/n^ :
limit 1/n^2=0

x→∞
Tato mez je rovna nule, protože n→∞ a posloupnost 1/n^2 má tendenci k nule.

Typicky se proměnná veličina x blíží ke konečné limitě a, x se neustále blíží a a veličina a je konstantní. To je zapsáno následovně: limx =a, zatímco n může mít také sklon k nule nebo nekonečnu. Existují nekonečné funkce, pro které má limita tendenci k nekonečnu. V jiných případech, kdy například funkce zpomaluje vlak, je možné, že se limit bude blížit nule.
Limity mají řadu vlastností. Každá funkce má obvykle pouze jeden limit. Toto je hlavní vlastnost limitu. Ostatní jsou uvedeny níže:
* Limit množství se rovná součtu limitů:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Limit produktu se rovná součinu limitů:
lim(xy)=lim x*lim y
* Limita podílu se rovná podílu limit:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Konstantní faktor se bere mimo limitní znaménko:
lim(Cx)=C lim x
Je-li dána funkce 1 /x, ve které x →∞, je její limita nulová. Pokud x→0, limita takové funkce je ∞.
Pro goniometrické funkce existují některá z těchto pravidel. Protože funkce sin x má vždy tendenci k jednotě, když se blíží nule, platí pro ni identita:
lim sin x/x=1

V řadě funkcí existují funkce, u kterých při výpočtu mezí vzniká nejistota - situace, kdy limitu nelze vypočítat. Jediným východiskem z této situace je L'Hopital. Existují dva typy nejistot:
* neurčitost tvaru 0/0
* neurčitost tvaru ∞/∞
Například je dána limita v následujícím tvaru: lim f(x)/l(x) a f(x0)=l(x0)=0. V tomto případě vzniká nejistota tvaru 0/0. K vyřešení takového problému jsou obě funkce diferencovány, po kterých je nalezena mez výsledku. Pro nejistoty typu 0/0 je limit:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (při x→0)
Stejné pravidlo platí také pro nejistoty typu ∞/∞. Ale v tomto případě platí následující rovnost: f(x)=l(x)=∞
Pomocí L'Hopitalova pravidla můžete najít hodnoty všech limitů, ve kterých se objevují nejistoty. Předpokladem pro

objem - žádné chyby při hledání derivátů. Takže například derivace funkce (x^2)" je rovna 2x. Odtud můžeme usoudit, že:
f"(x)=nx^(n-1)

Pro ty, kteří se chtějí naučit, jak najít limity, vám o tom povíme v tomto článku. Nebudeme se pouštět do teorie, učitelé ji obvykle přednášejí na přednáškách. Takže „nudnou teorii“ byste si měli poznamenat do svých poznámkových bloků. Pokud tomu tak není, můžete si přečíst učebnice převzaté z knihovny vzdělávací instituce nebo z jiných internetových zdrojů.

Pojem limita je tedy při studiu vyšší matematiky docela důležitý, zvláště když se setkáte s integrálním počtem a pochopíte souvislost mezi limitou a integrálem. Aktuální materiál se bude zabývat jednoduchými příklady a způsoby jejich řešení.

Příklady řešení

Příklad 1

Vypočítejte a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Řešení

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Lidé nám často posílají tyto limity s žádostí o pomoc při jejich řešení. Rozhodli jsme se je zvýraznit jako samostatný příklad a vysvětlit, že tyto limity je třeba si zpravidla pamatovat. Pokud nemůžete svůj problém vyřešit, pošlete nám jej. Poskytneme podrobné řešení. Budete moci sledovat průběh výpočtu a získávat informace. To vám pomůže získat známku od učitele včas!

Odpovědět

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Co dělat s neurčitostí tvaru: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Příklad 3

Vyřešte $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Řešení

Jako vždy začneme dosazením hodnoty $ x $ do výrazu pod limitním znaménkem. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ co bude teď dál? Co by se mělo nakonec stát? Protože se jedná o nejistotu, toto ještě není odpověď a pokračujeme ve výpočtu. Vzhledem k tomu, že máme v čitatelích polynom, rozložíme ho pomocí vzorce, který všichni znají ze školy $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Pamatuješ si? Skvělý! Nyní pokračujte a použijte to s písní :) Zjistíme, že čitatel $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Pokračujeme v řešení s ohledem na výše uvedenou transformaci: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Odpovědět

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Posuňme limitu v posledních dvou příkladech do nekonečna a zvažte nejistotu: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Příklad 5

Vypočítejte $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Řešení

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Co dělat? Co bych měl dělat? Nepropadejte panice, protože nemožné je možné. Je nutné vyjmout x v čitateli i ve jmenovateli a poté jej zmenšit. Poté zkuste limit vypočítat. Zkusme to... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Použitím definice z příkladu 2 a dosazením nekonečna za x dostaneme: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Odpovědět

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmus pro výpočet limit

Pojďme si tedy stručně shrnout příklady a vytvořit algoritmus pro řešení limit:

1. Do výrazu za znaménkem limity dosaďte bod x. Pokud je získáno určité číslo nebo nekonečno, pak je limita zcela vyřešena. Jinak máme nejistotu: „nula děleno nulou“ nebo „nekonečno děleno nekonečnem“ a přejděte k dalším krokům pokynů.
2. Chcete-li eliminovat nejistotu „nula dělená nulou“, musíte faktorizovat čitatel a jmenovatel. Omezte podobné. Dosaďte bod x do výrazu pod limitním znakem.
3. Je-li nejistota „nekonečno děleno nekonečnem“, pak vyjmeme čitatel i jmenovatel x v nejvyšší míře. Zkracujeme písmena X. Do zbývajícího výrazu dosadíme hodnoty x z pod limity.

V tomto článku jste se naučili základy řešení limit, často používané v kurzu Calculus. Samozřejmě to nejsou všechny typy problémů, které zkoušející nabízejí, ale pouze ty nejjednodušší limity. O dalších typech úkolů si povíme v budoucích článcích, ale nejprve se musíte naučit tuto lekci, abyste se mohli posunout vpřed. Pojďme diskutovat o tom, co dělat, pokud existují kořeny, stupně, studovat infinitezimální ekvivalentní funkce, pozoruhodné limity, L'Hopitalovo pravidlo.

Pokud sami nedokážete zjistit limity, nepropadejte panice. Vždy rádi pomůžeme!