Rozložení řešení čtvercového trinomu. Faktorizace čtvercových trinomů: příklady a vzorce. Příklady faktorizace polynomů pomocí vzorců

Čtvercový trinom je polynom ve tvaru ax^2+bx+c, kde x je proměnná, a, b a c jsou nějaká čísla a a se nerovná nule.
Ve skutečnosti první věc, kterou potřebujeme vědět, abychom mohli faktorizovat nešťastnou trojčlenku, je teorém. Vypadá to takto: „Pokud jsou x1 a x2 kořeny čtvercový trojčlen ax^2+bx+c, poté ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)“. Samozřejmě existuje i důkaz této věty, ale vyžaduje určité teoretické znalosti (pokud vyjmeme faktor a v polynomu ax^2+bx+c dostaneme ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) Podle Viettovy věty x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, tedy b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2), takže ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Někdy vás učitelé nutí naučit se důkaz, ale pokud ano není vyžadováno, radím vám, abyste si zapamatovali konečný vzorec.

2 krok

Vezměme si jako příklad trinom 3x^2-24x+21. První věc, kterou musíme udělat, je přirovnat trojčlen k nule: 3x^2-24x+21=0. Kořeny výsledné kvadratické rovnice budou kořeny trinomu, resp.

3 krok

Vyřešte rovnici 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Takže, pojďme se rozhodnout. Kdo neví, jak se rozhodnout kvadratické rovnice Podívejte se na můj pokyn se 2 způsoby, jak je vyřešit pomocí stejné rovnice jako příklad. Máme kořeny x1=7, x2=1.

4 krok

Nyní, když máme trinomické kořeny, můžeme je bezpečně dosadit do vzorce =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
dostaneme: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Výrazu a se můžete zbavit tak, že jej dáte do hranatých závorek: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
ve výsledku dostaneme: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Poznámka: každý ze získaných faktorů ((x-7), (3x-3) jsou polynomy prvního stupně. To je celé rozšíření =) Pokud pochybujete o odpovědi, kterou jste dostali, můžete si to vždy ověřit vynásobením závorek.

5 krok

Ověření řešení. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Nyní víme jistě, že naše řešení je správné! Doufám, že můj návod někomu pomůže =) Hodně štěstí při studiu!

V našem případě v rovnici D > 0 a dostali jsme každý 2 kořeny. Kdyby to byl D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
Nemá-li čtvercový trinom žádné kořeny, nemůže být započítán do faktorů, které jsou polynomy prvního stupně.

V této lekci se naučíme, jak rozložit čtvercové trinomy na lineární faktory. K tomu je nutné připomenout Vietovu větu a její inverzní. Tato dovednost nám pomůže rychle a pohodlně rozložit čtvercové trinomy na lineární činitele a také zjednodušit redukci zlomků skládajících se z výrazů.

Takže zpět ke kvadratické rovnici, kde .

To, co máme na levé straně, se nazývá čtvercový trinom.

Věta je pravdivá: Pokud jsou kořeny čtvercového trinomu, pak je identita pravdivá

Kde je vedoucí koeficient, jsou kořeny rovnice.

Máme tedy kvadratickou rovnici – čtvercový trinom, kde kořeny kvadratické rovnice se také nazývají kořeny kvadratického trinomu. Pokud tedy máme kořeny čtvercového trinomu, pak se tento trinom rozloží na lineární faktory.

Důkaz:

Důkaz této skutečnosti se provádí pomocí Vietova teorému, o kterém jsme uvažovali v předchozích lekcích.

Připomeňme si, co nám říká Vietin teorém:

Jestliže jsou kořeny čtvercového trinomu pro které , pak .

Tento teorém implikuje následující tvrzení, že .

Vidíme, že podle Vieta teorému, tedy dosazením těchto hodnot do výše uvedeného vzorce, dostaneme následující výraz

Q.E.D.

Připomeňme, že jsme dokázali větu, že pokud jsou kořeny čtvercového trinomu, pak rozklad platí.

Nyní si připomeňme příklad kvadratické rovnice, ke které jsme pomocí Vietovy věty vybrali kořeny. Z této skutečnosti můžeme díky dokázané větě získat následující rovnost:

Nyní zkontrolujeme správnost této skutečnosti pouhým rozbalením závorek:

Vidíme, že jsme faktorovali správně a každý trinom, pokud má kořeny, může být faktorizován podle této věty na lineární faktory podle vzorce

Zkontrolujme však, zda je pro jakoukoli rovnici taková faktorizace možná:

Vezměme si například rovnici. Nejprve zkontrolujme znaménko diskriminantu

A pamatujeme si, že abychom splnili větu, kterou jsme se naučili, musí být D větší než 0, proto je v tomto případě faktorizace podle studované věty nemožná.

Proto formulujeme novou větu: jestliže čtvercová trojčlenka nemá kořeny, pak ji nelze rozložit na lineární faktory.

Zvažovali jsme tedy Vietův teorém, možnost rozkladu čtvercového trinomu na lineární faktory, a nyní vyřešíme několik problémů.

Úkol 1

V této skupině budeme vlastně řešit problém inverzně k tomu nastolenému. Měli jsme rovnici a našli jsme její kořeny, rozkladem na faktory. Zde to uděláme naopak. Řekněme, že máme kořeny kvadratické rovnice

Inverzní problém je tento: napište kvadratickou rovnici tak, aby byly její kořeny.

Existují 2 způsoby, jak tento problém vyřešit.

Protože jsou kořeny rovnice, tedy je kvadratická rovnice, jejíž kořeny jsou dány čísly. Nyní otevřeme závorky a zkontrolujeme:

To byl první způsob, jak jsme vytvořili kvadratickou rovnici s danými kořeny, která nemá žádné jiné kořeny, protože jakákoli kvadratická rovnice má nejvýše dva kořeny.

Tato metoda zahrnuje použití inverzní Vietovy věty.

Pokud jsou kořeny rovnice, pak splňují podmínku, že .

Pro redukovanou kvadratickou rovnici , , tedy v tomto případě a .

Tím jsme vytvořili kvadratickou rovnici, která má dané kořeny.

Úkol #2

Musíte snížit zlomek.

Máme trinom v čitateli a trinom ve jmenovateli a trinomy mohou, ale nemusí být rozloženy na faktor. Pokud jsou čitatel i jmenovatel faktorizován, pak mezi nimi mohou být stejné faktory, které lze snížit.

Nejprve je nutné rozložit čitatel.

Nejprve musíte zkontrolovat, zda lze tuto rovnici faktorizovat, najít diskriminant . Protože , pak znaménko závisí na součinu (musí být menší než 0), v tomto příkladu , tj. daná rovnice má kořeny.

K vyřešení použijeme Vietův teorém:

V tomto případě, protože máme co do činění s kořeny, bude docela obtížné kořeny jednoduše zvednout. Vidíme ale, že koeficienty jsou vyrovnané, tj. pokud předpokládáme, že a dosadíme tuto hodnotu do rovnice, dostaneme následující systém: tj. 5-5=0. Zvolili jsme tedy jeden z kořenů této kvadratické rovnice.

Druhý kořen budeme hledat dosazením již známého do soustavy rovnic, např. , tzn. .

Našli jsme tedy oba kořeny kvadratické rovnice a můžeme jejich hodnoty dosadit do původní rovnice, abychom ji vynásobili:

Připomeňme si původní problém, potřebovali jsme snížit zlomek.

Zkusme problém vyřešit dosazením místo čitatele .

Je třeba nezapomenout, že v tomto případě nemůže být jmenovatel roven 0, tj.

Pokud jsou tyto podmínky splněny, pak jsme původní zlomek zredukovali do tvaru .

Úloha č. 3 (úloha s parametrem)

Při jakých hodnotách parametru je součet kořenů kvadratické rovnice

Pokud kořeny této rovnice existují, pak , otázka je kdy .

Tato online kalkulačka je navržena pro faktorizaci funkce.

Například rozklad: x 2 /3-3x+12 . Zapišme to jako x^2/3-3*x+12 . Můžete také využít tuto službu, kde jsou všechny výpočty uloženy ve formátu Word.

Například rozložit na pojmy. Zapišme to jako (1-x^2)/(x^3+x) . Chcete-li zobrazit průběh řešení, klikněte na Zobrazit kroky . Pokud potřebujete získat výsledek ve formátu Word, použijte tuto službu.

Poznámka: číslo "pi" (π) se zapisuje jako pi ; odmocnina jako sqrt , např. sqrt(3) , tangens tg se zapisuje jako tan . Odpověď naleznete v části Alternativa.

Pokud je zadán jednoduchý výraz, například 8*d+12*c*d , pak rozklad výrazu znamená faktorizovat výraz. Chcete-li to provést, musíte najít společné faktory. Tento výraz zapíšeme jako: 4*d*(2+3*c) .
Vyjádřete součin jako dva binomy: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Zde již musíme najít několik společných faktorů: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Vyjmeme (x+7z) a dostaneme: (x+7z)(x + 3y) .

viz také Dělení polynomů rohem (zobrazeny jsou všechny kroky dělení sloupcem)

Užitečné při učení pravidel faktorizace jsou zkrácené násobící vzorce, pomocí kterého bude jasné, jak otevřít závorky pomocí čtverce:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a2-b2
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Metody faktoringu

Po naučení pár triků faktorizaceřešení lze klasifikovat takto:

Použití zkrácených vzorců pro násobení.
Hledejte společný faktor.

Toto je jeden z nejzákladnějších způsobů, jak zjednodušit výraz. Pro aplikaci této metody si připomeňme distributivní zákon násobení s ohledem na sčítání (těchto slov se nebojte, tento zákon určitě znáte, jen jste možná zapomněli jeho název).

Zákon říká: abyste součet dvou čísel vynásobili třetím číslem, musíte vynásobit každý výraz tímto číslem a sečíst výsledky, jinými slovy,.

Můžete také provést zpětnou operaci a právě tato zpětná operace nás zajímá. Jak je vidět ze vzorku, společný faktor a, lze vyjmout ze závorky.

Podobnou operaci lze provést jak s proměnnými, jako například a, tak s čísly: .

Ano, toto je příliš elementární příklad, stejně jako příklad uvedený dříve, s rozšířením čísla, protože každý ví, co jsou čísla a jsou dělitelná, ale co kdybyste dostali složitější výraz:

Jak zjistit, na co se například číslo dělí, ne, s kalkulačkou to může každý, ale bez ní je to slabé? A k tomu existují znaky dělitelnosti, tyto znaky opravdu stojí za to znát, pomohou vám rychle pochopit, zda je možné vyjmout společný faktor ze závorky.

Známky dělitelnosti

Není tak těžké si je zapamatovat, s největší pravděpodobností vám většina z nich byla již známá a něco bude novým užitečným objevem, více podrobností v tabulce:

Poznámka: V tabulce chybí znaménko dělitelnosti 4. Pokud jsou poslední dvě číslice dělitelné 4, pak je celé číslo dělitelné 4.

No, jak se vám líbí znamení? Radím vám, abyste si to zapamatovali!

No, vraťme se k výrazu, možná ho vyndejte ze závorky a stačí to? Ne, je zvykem, že matematici zjednodušují, takže naplno, vyndejte VŠECHNO, co je vyjmuto!

U hráče je tedy vše jasné, ale co číselná část výrazu? Obě čísla jsou lichá, takže je nelze dělit

Můžete použít znaménko dělitelnosti, součet číslic a, ze kterých se číslo skládá, je rovno a je dělitelné, což znamená, že je dělitelné.

S vědomím toho můžete bezpečně rozdělit do sloupce, jako výsledek dělení dostaneme (známky dělitelnosti se hodily!). Můžeme tedy vyjmout číslo ze závorky, stejně jako y, a ve výsledku máme:

Abyste se ujistili, že je vše správně rozloženo, můžete zkontrolovat expanzi násobením!

Společný faktor lze také vyjmout z mocninných výrazů. Vidíte zde například společný faktor?

Všechny členy tohoto výrazu mají x - vyjmeme, všechny vydělíme - znovu vyjmeme, podíváme se, co se stalo: .

2. Zkrácené vzorce násobení

Vzorce pro zkrácené násobení už byly teoreticky zmíněny, pokud si jen stěží vzpomenete, co to je, pak byste si je měli osvěžit v paměti.

No, pokud se považujete za velmi chytrého a jste líní číst takový oblak informací, pak jen čtěte dál, podívejte se na vzorce a hned si vezměte příklady.

Podstatou tohoto rozkladu je všimnout si nějakého určitého vzorce ve výrazu před vámi, použít jej a získat tak součin něčeho a něčeho, to je celý rozklad. Níže jsou uvedeny vzorce:

Nyní zkuste faktorizovat následující výrazy pomocí výše uvedených vzorců:

A tady je to, co se mělo stát:

Jak jste si všimli, tyto vzorce jsou velmi efektivním způsobem faktoringu, není to vždy vhodné, ale může být velmi užitečné!

3. Seskupování nebo metoda seskupování

Zde je další příklad pro vás:

No, co s tím budeš dělat? Zdá se, že je dělitelná něčím a na něco a něco do a do

Ale nelze vše rozdělit do jedné věci, no neexistuje žádný společný faktor, jak nehledat co, a nechat to bez faktoringu?

Zde je třeba ukázat vynalézavost a název této vynalézavosti je seskupení!

Používá se právě tehdy, když nemají všichni členové společné dělitele. Pro seskupení potřebujete najít skupiny termínů, které mají společné dělitele a přeskupte je tak, aby bylo možné z každé skupiny získat stejný multiplikátor.

Samozřejmě není nutné místy přeskupovat, ale dává to viditelnost, pro přehlednost můžete jednotlivé části výrazu vzít do závorek, není zakázáno je dávat, jak chcete, hlavní je ne zmást znamení.

To vše není příliš jasné? Dovolte mi to vysvětlit na příkladu:

V polynomu - vložte člen - za člen - dostaneme

seskupíme první dva výrazy do samostatné závorky a stejným způsobem seskupíme třetí a čtvrtý výraz, přičemž znaménko mínus ze závorky ponecháme, dostaneme:

A nyní se podíváme odděleně na každou ze dvou „hromad“, do kterých jsme rozbili výraz se závorkami.

Trik je rozbít to na takové hromádky, ze kterých bude možné vyjmout největší možný faktor, nebo se jako v tomto příkladu pokusit seskupit členy tak, aby po vyjmutí faktorů ze závorek z hromád mít stejné výrazy v závorkách.

Z obou závorek vyjmeme společné faktory členů, z první závorky a z druhé závorky, dostaneme:

Ale to není rozklad!

Posel rozklad by měl zůstat pouze násobením, ale prozatím máme polynom jednoduše rozdělený na dvě části ...

ALE! Tento polynom má společný faktor. Tento

mimo držák a dostaneme konečný produkt

Bingo! Jak vidíte, součin již existuje a mimo závorky není sčítání ani odčítání, rozklad je dokončen, protože už nemáme co vyndavat ze závorek.

Může se zdát jako zázrak, že po vyjmutí činitelů ze závorek máme v závorkách stále stejné výrazy, které jsme opět vyjmuli ze závorek.

A není to vůbec žádný zázrak, faktem je, že příklady v učebnicích i ve zkoušce jsou speciálně udělané tak, že většina výrazů v úlohách pro zjednodušení resp. faktorizace se správným přístupem k nim se snadno zjednoduší a po stisknutí tlačítka se náhle složí jako deštník, takže v každém výrazu hledejte právě to tlačítko.

Něco jsem odbočil, co tam máme se zjednodušením? Složitý polynom nabyl jednodušší podoby: .

Souhlasíte, není to tak objemné, jak bývalo?

4. Výběr plného čtverce.

Někdy, aby bylo možné použít vzorce pro zkrácené násobení (opakování tématu), je nutné transformovat existující polynom tak, že jeden z jeho členů představíme jako součet nebo rozdíl dvou členů.

V takovém případě to musíte udělat, dozvíte se z příkladu:

Polynom v tomto tvaru nelze rozložit pomocí zkrácených vzorců pro násobení, proto je nutné jej převést. Možná vám zprvu nebude jasné, do kterého termínu dělit, ale postupem času se naučíte ihned vidět vzorce zkráceného násobení, i když nejsou přítomny celé, a rychle zjistíte, co zde chybí na plný vzorec, ale zatím - učit se , student, přesněji školák.

Pro úplný vzorec druhé mocniny rozdílu zde potřebujete místo toho. Reprezentujme třetí člen jako rozdíl, dostaneme: Na výraz v závorkách můžeme použít vzorec rozdílového čtverce (neplést s rozdílem čtverců!!!), máme: , na tento výraz můžeme použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin (neplést s druhou mocninou rozdílu!!!), když si představíme jak, dostaneme: .

Výraz, který není vždy započítán do faktorů, vypadá jednodušeji a menší, než byl před rozkladem, ale v této podobě se stává mobilnějším v tom smyslu, že se nemusíte starat o změnu znamének a další matematické nesmysly. Abyste se mohli rozhodnout sami, je třeba vzít v úvahu následující výrazy.

Příklady:

Odpovědi:

5. Faktorizace čtvercového trinomu

Pro rozklad čtvercového trinomu viz níže v příkladech rozkladu.

Příklady 5 metod pro faktorizaci polynomu

1. Vyjmutí společného činitele ze závorek. Příklady.

Pamatujete si, co je to zákon o distribuci? Toto je takové pravidlo:

Příklad:

Rozložte polynom na faktor.

Řešení:

Další příklad:

Násobit.

Řešení:

Pokud je celý výraz vyjmut ze závorky, jeden zůstane v závorce místo něj!

2. Vzorce pro zkrácené násobení. Příklady.

Nejčastěji používané vzorce jsou rozdíl druhých mocnin, rozdíl krychlí a součet krychlí. Pamatujete si tyto vzorce? Pokud ne, naléhavě téma zopakujte!

Příklad:

Zohledněte výraz.

Řešení:

V tomto výrazu je snadné zjistit rozdíl kostek:

Příklad:

Řešení:

3. Metoda seskupování. Příklady

Někdy je možné zaměnit členy takovým způsobem, že z každé dvojice sousedních členů lze extrahovat jeden a tentýž faktor. Tento společný faktor lze vyjmout ze závorky a původní polynom se změní na součin.

Příklad:

Vylož polynom.

Řešení:

Seskupujeme termíny následovně:
.

V první skupině vyjmeme společný faktor ze závorek a ve druhé - :
.

Nyní lze společný faktor také vyjmout ze závorek:
.

4. Metoda výběru plného čtverce. Příklady.

Pokud lze polynom znázornit jako rozdíl druhých mocnin dvou výrazů, nezbývá než použít zkrácený násobící vzorec (rozdíl druhých mocnin).

Příklad:

Vylož polynom.

Řešení:Příklad:

\begin(pole)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\pod závorkou(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(čtverec\ součty\ ((\left (x+3 \vpravo))^(2)))-9-7=((\vlevo(x+3 \vpravo))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(pole)

Vylož polynom.

Řešení:

\begin(pole)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(čtverec\ rozdíly((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^) (2))-2 \vpravo))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(pole)

5. Faktorizace čtvercového trinomu. Příklad.

Čtvercová trojčlenka je polynom ve tvaru, kde je neznámá, jsou navíc nějaká čísla.

Proměnné hodnoty, které otočí čtvercový trinom na nulu, se nazývají kořeny trinomu. Proto jsou kořeny trojčlenu kořeny kvadratické rovnice.

Teorém.

Příklad:

Rozložme čtvercový trojčlen na faktor: .

Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici: Nyní můžeme zapsat rozklad tohoto čtvercového trinomu na faktory:

Nyní váš názor...

Podrobně jsme popsali, jak a proč faktorizovat polynom.

Uvedli jsme spoustu příkladů, jak na to v praxi, poukázali na úskalí, dali řešení ...

Co říkáš?

Jak se vám líbí tento článek? Používáte tyto triky? Chápete jejich podstatu?

Napište do komentářů a... připravte se na zkoušku!

Zatím je to to nejdůležitější ve vašem životě.