V této lekci se naučíme, jak rozložit čtvercové trinomy na lineární faktory. K tomu je nutné připomenout Vietovu větu a její inverzní. Tato dovednost nám pomůže rychle a pohodlně rozložit čtvercové trinomy na lineární činitele a také zjednodušit redukci zlomků skládajících se z výrazů.

Takže zpět ke kvadratické rovnici, kde .

To, co máme na levé straně, se nazývá čtvercový trinom.

Věta je pravdivá: Pokud jsou kořeny čtvercového trinomu, pak je identita pravdivá

Kde je vedoucí koeficient, jsou kořeny rovnice.

Takže máme kvadratická rovnice- čtvercový trojčlen, kde kořeny kvadratické rovnice se také nazývají kořeny čtvercového trinomu. Pokud tedy máme kořeny čtvercového trinomu, pak se tento trinom rozloží na lineární faktory.

Důkaz:

Důkaz tento fakt se provádí pomocí Vietova teorému, o kterém jsme uvažovali v předchozích lekcích.

Připomeňme si, co nám říká Vietin teorém:

Jestliže jsou kořeny čtvercového trinomu pro které , pak .

Tento teorém implikuje následující tvrzení, že .

Vidíme, že podle Vieta teorému, tedy dosazením těchto hodnot do výše uvedeného vzorce, dostaneme následující výraz

Q.E.D.

Připomeňme, že jsme dokázali větu, že pokud jsou kořeny čtvercového trinomu, pak rozklad platí.

Nyní si připomeňme příklad kvadratické rovnice, ke které jsme pomocí Vietovy věty vybrali kořeny. Z této skutečnosti můžeme díky dokázané větě získat následující rovnost:

Nyní zkontrolujeme správnost této skutečnosti pouhým rozbalením závorek:

Vidíme, že jsme faktorovali správně a každý trinom, pokud má kořeny, může být faktorizován podle této věty na lineární faktory podle vzorce

Zkontrolujme však, zda je pro jakoukoli rovnici taková faktorizace možná:

Vezměme si například rovnici. Nejprve zkontrolujme znaménko diskriminantu

A pamatujeme si, že abychom splnili větu, kterou jsme se naučili, musí být D větší než 0, proto je v tomto případě faktorizace podle studované věty nemožná.

Proto formulujeme novou větu: jestliže čtvercová trojčlenka nemá kořeny, pak ji nelze rozložit na lineární faktory.

Zvažovali jsme tedy Vietův teorém, možnost rozkladu čtvercového trinomu na lineární faktory, a nyní vyřešíme několik problémů.

Úkol 1

V této skupině budeme vlastně řešit problém inverzně k tomu nastolenému. Měli jsme rovnici a našli jsme její kořeny, rozkladem na faktory. Zde to uděláme naopak. Řekněme, že máme kořeny kvadratické rovnice

Inverzní problém je tento: napište kvadratickou rovnici tak, aby byly její kořeny.

Existují 2 způsoby, jak tento problém vyřešit.

Protože jsou kořeny rovnice, tedy je kvadratická rovnice, jejíž kořeny jsou daná čísla. Nyní otevřeme závorky a zkontrolujeme:

To byl první způsob, jak jsme vytvořili kvadratickou rovnici s danými kořeny, která nemá žádné jiné kořeny, protože jakákoli kvadratická rovnice má nejvýše dva kořeny.

Tato metoda zahrnuje použití inverzní Vietovy věty.

Pokud jsou kořeny rovnice, pak splňují podmínku, že .

Pro redukovanou kvadratickou rovnici , , tedy v tomto případě a .

Tím jsme vytvořili kvadratickou rovnici, která má dané kořeny.

Úkol #2

Musíte snížit zlomek.

Máme trinom v čitateli a trinom ve jmenovateli a trinomy mohou, ale nemusí být rozloženy na faktor. Pokud jsou čitatel i jmenovatel faktorizován, pak mezi nimi mohou být stejné faktory, které lze snížit.

Nejprve je nutné rozložit čitatel.

Nejprve musíte zkontrolovat, zda lze tuto rovnici faktorizovat, najít diskriminant . Protože , pak znaménko závisí na součinu (mělo by být menší než 0), v tomto příkladu, tzn. daná rovnice má kořeny.

K vyřešení použijeme Vietův teorém:

V tomto případě, protože máme co do činění s kořeny, bude docela obtížné kořeny jednoduše zvednout. Vidíme ale, že koeficienty jsou vyrovnané, tj. pokud předpokládáme, že a dosadíme tuto hodnotu do rovnice, dostaneme následující systém: tj. 5-5=0. Zvolili jsme tedy jeden z kořenů této kvadratické rovnice.

Druhý kořen budeme hledat dosazením již známého do soustavy rovnic, např. , tzn. .

Našli jsme tedy oba kořeny kvadratické rovnice a můžeme jejich hodnoty dosadit do původní rovnice, abychom ji vynásobili:

Připomeňme si původní problém, potřebovali jsme snížit zlomek.

Zkusme problém vyřešit dosazením místo čitatele .

Je třeba nezapomenout, že v tomto případě nemůže být jmenovatel roven 0, tj.

Pokud jsou tyto podmínky splněny, pak jsme původní zlomek zredukovali do tvaru .

Úloha č. 3 (úloha s parametrem)

Při jakých hodnotách parametru je součet kořenů kvadratické rovnice

Pokud kořeny této rovnice existují, pak , otázka je kdy .

Plán - shrnutí lekce (MBOU "Chernomorskaya střední škola№2"

Jméno učitele

Ponomarenko Vladislav Vadimovič

Položka

Algebra

Datum lekce

19.09.2018

№ lekce

Třída

9B

Téma lekce

(podle KTP)

"Rozklad čtvercového trinomu na faktory"

stanovení cílů

- vzdělávací: naučit studenty, jak faktorizovat čtvercový trinom, naučit, jak aplikovat algoritmus faktorizace čtvercový trojčlen při řešení příkladů zvažte úlohy databáze GIA, která používá algoritmus pro rozdělení čtvercového trinomu na faktory

- rozvíjející se: rozvíjet u školáků schopnost formulovat problémy, navrhovat způsoby jejich řešení, podporovat rozvoj dovedností školáků zvýraznit to hlavní v kognitivním objektu.

- vzdělávací: pomáhat žákům uvědomit si hodnotu společných aktivit, podporovat rozvoj dovedností dětí k nácviku sebekontroly, sebehodnocení a sebekorekce výchovných aktivit.

Typ lekce

učení a primární upevňování nových znalostí.

Zařízení:

multimediální projektor, plátno, počítač, didaktický materiál, učebnice, sešity, prezentacedo lekce

Během vyučování

1. Organizační čas: učitel pozdraví žáky, zkontroluje připravenost na hodinu.

Motivuje studenty:

Dnes v lekci společné aktivity potvrdíme slova Poyi (snímek 1). („Úkol, který řešíte, může být velmi skromný, ale pokud zpochybňuje vaši zvědavost a pokud ho vyřešíte sami, můžete zkušenost vedoucí k otevření napětí mysli a užít si radost z vítězství.“ Poya door.)

Zpráva o Poyovi (Snímek 2)

Chci vyzvat vaši zvědavost. Zvažte úkol od GIA. Vykreslete funkci .

Dokážeme si užít radost z vítězství a splnit tento úkol? (problémová situace).

Jak tento problém vyřešit?

- Navrhněte akční plán k řešení tohoto problému.

Opravuje plán hodiny, komentuje zásadu samostatné práce.

Samostatná práce(rozdejte třídě letáčky s textem samostatné práce) (Příloha 1)

Samostatná práce

Násobit:

X 2 - 3x;

X 2 – 9;

X 2 – 8x + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2x 2 – 7x – 4.

Snížit zlomek:

SkluzavkaS odpověďmi na samovyšetření.

Otázka do třídy:

Jaké metody faktorizace polynomu jste použili?

Byli jste schopni faktorizovat všechny polynomy?

Lze snížit všechny zlomky?

Problém 2:Skluzavka

Jak faktorizovat polynom

2 X 2 – 7 X – 4?

Jak snížit zlomek?

Frontální průzkum:

Co jsou to polynomy

2 X 2 – 7 X– 4 aX 2 – 5 X +6?

Definujte čtvercový trojčlen.

Co víme o čtvercové trojčlence?

Jak najít jeho kořeny?

Co určuje počet kořenů?

Porovnejte tyto znalosti s tím, co potřebujeme vědět, a formulujte téma lekce. (Poté se na obrazovce zobrazí téma lekce)Skluzavka

Stanovte si cíl lekceSkluzavka

Pojďme se podívat na konečný výsledekSkluzavka

Otázka do třídy:Jak tento problém vyřešit?

Třída pracuje ve skupinách.

Úkol pro skupiny:

najděte požadovanou stránku v obsahu, přečtěte si bod 4 s tužkou v ruce, zvýrazněte hlavní myšlenku, sestavte algoritmus, kterým lze rozložit jakýkoli čtvercový trojčlen.

Kontrola, že třída dokončila úkol ( přední práce):

co je hlavní myšlenka bod 4?Skluzavka(na obrazovce vzorec pro rozdělení čtvercového trinomu na faktory).

algoritmus na obrazovce.Skluzavka

1. Srovnejte čtvercový trojčlen s nulou.

2. Najděte diskriminant.

3. Najděte kořeny čtvercového trojčlenu.

4. Dosaďte do vzorce nalezené kořeny.

5. V případě potřeby zadejte do závorek vodicí koeficient.

Dalšímalý problém : je-li D=0, je možné rozložit čtvercový trojčlen, a pokud ano, jak?

(Výzkum ve skupinách).

Skluzavka(na obrazovce:

Pokud D = 0, pak
.

Pokud čtvercová trojčlenka nemá kořeny,

pak to nelze zohlednit.)

Vraťme se k úkolu v samostatné práci. Můžeme nyní faktorizovat čtvercové trinomy2 X 2 – 7 X– 4 aX 2 – 5 X +6?

Třída pracuje samostatně, množí se, se slabými žáky pracuji individuálně.

Skluzavka(s řešením)Vzájemná kontrola

Můžeme zlomek snížit?

Snižte zlomek, volám silného studenta k tabuli.

Vraťme se k úkoluod GIA. Nyní můžeme funkci vykreslit do grafu?

Jaký je graf této funkce?

Nakreslete graf funkce do sešitu.

Test (Ssamostatná práce)Příloha 2

Sebevyšetření a sebehodnoceníStudenti dostali letáky (příloha 3), do kterých si měli zapsat své odpovědi. Poskytují hodnotící kritéria.

Kritéria hodnocení:

3 úkoly - hodnocení "4"

4 úkoly - známka "5"

Odraz:(skluzavka)

1. Dnes jsem se na lekci naučil...

2. Dnes jsem v lekci zopakoval ...

3. Opravil jsem…

4. Líbilo se mi...

5. Dal jsem si známku za aktivitu v lekci ...

6. Jaké druhy práce způsobovaly potíže a vyžadují opakování...

7. Dosáhli jsme zamýšleného výsledku?

Slide: Díky za lekci!

Příloha 1

Samostatná práce

Násobit:

X 2 - 3x;

X 2 – 9;

X 2 – 8x + 16;

X 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 X 2 – 7 X – 4.

Snížit zlomek:

Příloha 2

Test

1 možnost

faktorizovat?

X 2 – 8x+ 7;

X 2 – 8x+ 16 ;

X 2 – 8x+ 9;

X 2 – 8x+ 1 7.

2 X 2 – 9 X – 5 = 2( X – 5)(…)?

Odpovědět:_________ .

Snižte zlomek:

X – 3;

X + 3;

X – 4;

jiná odpověď.

Test

Možnost 2

Jaký čtvercový trojčlen nemůže být pfaktorizovat?

5 X 2 + X+ 1;

⅓ X 2 – 8x+ 2;

0,1 X 2 + 3 X - 5;

X 2 + 4 X+ 5.

Který polynom by měl být nahrazen elipsou, aby byla rovnost:2 X 2 + 5 X – 3 = 2( X + 3)(…)?

Odpovědět:_________ .

Snižte zlomek:

3 X 2 – 6 X – 15;

0,25(3 X - 1);

0,25( X - 1);

jiná odpověď.

Dodatek 3

Zapište si odpovědi.

Kritéria hodnocení:

Správně provedeno: úkol 2 – známka „3“

3 úkoly - hodnocení "4"

4 úkoly - známka "5"

Úkol číslo 1

Úkol číslo 2

Úkol číslo 3

1 možnost

Možnost 2

V této lekci se naučíme, jak rozložit čtvercové trinomy na lineární faktory. K tomu je nutné připomenout Vietovu větu a její inverzní. Tato dovednost nám pomůže rychle a pohodlně rozložit čtvercové trinomy na lineární činitele a také zjednodušit redukci zlomků skládajících se z výrazů.

Takže zpět ke kvadratické rovnici, kde .

To, co máme na levé straně, se nazývá čtvercový trinom.

Věta je pravdivá: Pokud jsou kořeny čtvercového trinomu, pak je identita pravdivá

Kde je vedoucí koeficient, jsou kořeny rovnice.

Máme tedy kvadratickou rovnici – čtvercový trinom, kde kořeny kvadratické rovnice se také nazývají kořeny kvadratického trinomu. Pokud tedy máme kořeny čtvercového trinomu, pak se tento trinom rozloží na lineární faktory.

Důkaz:

Důkaz této skutečnosti se provádí pomocí Vietova teorému, o kterém jsme uvažovali v předchozích lekcích.

Připomeňme si, co nám říká Vietin teorém:

Jestliže jsou kořeny čtvercového trinomu pro které , pak .

Tento teorém implikuje následující tvrzení, že .

Vidíme, že podle Vieta teorému, tedy dosazením těchto hodnot do výše uvedeného vzorce, dostaneme následující výraz

Q.E.D.

Připomeňme, že jsme dokázali větu, že pokud jsou kořeny čtvercového trinomu, pak rozklad platí.

Nyní si připomeňme příklad kvadratické rovnice, ke které jsme pomocí Vietovy věty vybrali kořeny. Z této skutečnosti můžeme díky dokázané větě získat následující rovnost:

Nyní zkontrolujeme správnost této skutečnosti pouhým rozbalením závorek:

Vidíme, že jsme faktorovali správně a každý trinom, pokud má kořeny, může být faktorizován podle této věty na lineární faktory podle vzorce

Zkontrolujme však, zda je pro jakoukoli rovnici taková faktorizace možná:

Vezměme si například rovnici. Nejprve zkontrolujme znaménko diskriminantu

A pamatujeme si, že abychom splnili větu, kterou jsme se naučili, musí být D větší než 0, proto je v tomto případě faktorizace podle studované věty nemožná.

Proto formulujeme novou větu: jestliže čtvercová trojčlenka nemá kořeny, pak ji nelze rozložit na lineární faktory.

Zvažovali jsme tedy Vietův teorém, možnost rozkladu čtvercového trinomu na lineární faktory, a nyní vyřešíme několik problémů.

Úkol 1

V této skupině budeme vlastně řešit problém inverzně k tomu nastolenému. Měli jsme rovnici a našli jsme její kořeny, rozkladem na faktory. Zde to uděláme naopak. Řekněme, že máme kořeny kvadratické rovnice

Inverzní problém je tento: napište kvadratickou rovnici tak, aby byly její kořeny.

Existují 2 způsoby, jak tento problém vyřešit.

Protože jsou kořeny rovnice, tedy je kvadratická rovnice, jejíž kořeny jsou dány čísly. Nyní otevřeme závorky a zkontrolujeme:

To byl první způsob, jak jsme vytvořili kvadratickou rovnici s danými kořeny, která nemá žádné jiné kořeny, protože jakákoli kvadratická rovnice má nejvýše dva kořeny.

Tato metoda zahrnuje použití inverzní Vietovy věty.

Pokud jsou kořeny rovnice, pak splňují podmínku, že .

Pro redukovanou kvadratickou rovnici , , tedy v tomto případě a .

Tím jsme vytvořili kvadratickou rovnici, která má dané kořeny.

Úkol #2

Musíte snížit zlomek.

Máme trinom v čitateli a trinom ve jmenovateli a trinomy mohou, ale nemusí být rozloženy na faktor. Pokud jsou čitatel i jmenovatel faktorizován, pak mezi nimi mohou být stejné faktory, které lze snížit.

Nejprve je nutné rozložit čitatel.

Nejprve musíte zkontrolovat, zda lze tuto rovnici faktorizovat, najít diskriminant . Protože , pak znaménko závisí na součinu (musí být menší než 0), v tomto příkladu , tj. daná rovnice má kořeny.

K vyřešení použijeme Vietův teorém:

V tomto případě, protože máme co do činění s kořeny, bude docela obtížné kořeny jednoduše zvednout. Vidíme ale, že koeficienty jsou vyrovnané, tj. pokud předpokládáme, že a dosadíme tuto hodnotu do rovnice, dostaneme následující systém: tj. 5-5=0. Zvolili jsme tedy jeden z kořenů této kvadratické rovnice.

Druhý kořen budeme hledat dosazením již známého do soustavy rovnic, např. , tzn. .

Našli jsme tedy oba kořeny kvadratické rovnice a můžeme jejich hodnoty dosadit do původní rovnice, abychom ji vynásobili:

Připomeňme si původní problém, potřebovali jsme snížit zlomek.

Zkusme problém vyřešit dosazením místo čitatele .

Je třeba nezapomenout, že v tomto případě nemůže být jmenovatel roven 0, tj.

Pokud jsou tyto podmínky splněny, pak jsme původní zlomek zredukovali do tvaru .

Úloha č. 3 (úloha s parametrem)

Při jakých hodnotách parametru je součet kořenů kvadratické rovnice

Pokud kořeny této rovnice existují, pak , otázka je kdy .

Tato online kalkulačka je navržena pro faktorizaci funkce.

Například rozklad: x 2 /3-3x+12 . Zapišme to jako x^2/3-3*x+12 . Můžete také využít tuto službu, kde jsou všechny výpočty uloženy ve formátu Word.

Například rozložit na pojmy. Zapišme to jako (1-x^2)/(x^3+x) . Chcete-li zobrazit průběh řešení, klikněte na Zobrazit kroky . Pokud potřebujete získat výsledek ve formátu Word, použijte tuto službu.

Poznámka: číslo "pi" (π) se zapisuje jako pi ; odmocnina jako sqrt , např. sqrt(3) , tangens tg se zapisuje jako tan . Odpověď naleznete v části Alternativa.

1. Pokud je zadán jednoduchý výraz, například 8*d+12*c*d , pak rozklad výrazu znamená faktorizovat výraz. Chcete-li to provést, musíte najít společné faktory. Tento výraz zapíšeme jako: 4*d*(2+3*c) .
2. Vyjádřete součin jako dva binomy: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Zde již musíme najít několik společných faktorů: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Vyjmeme (x+7z) a dostaneme: (x+7z)(x + 3y) .

viz také Dělení polynomů rohem (zobrazeny jsou všechny kroky dělení sloupcem)

Užitečné při učení pravidel faktorizace jsou zkrácené násobící vzorce, pomocí kterého bude jasné, jak otevřít závorky pomocí čtverce:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a2-b2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Metody faktoringu

Po naučení pár triků faktorizaceřešení lze klasifikovat takto:

1. Použití zkrácených vzorců pro násobení.
2. Hledejte společný faktor.

Je uvedeno 8 příkladů faktorizace polynomů. Zahrnují příklady řešení kvadratických a bikvadratických rovnic, příklady rekurzivních polynomů a příklady hledání celých kořenů polynomů třetího a čtvrtého stupně.

Obsah

Viz také: Metody faktorizace polynomů
Kořeny kvadratické rovnice
Řešení kubických rovnic

1. Příklady s řešením kvadratické rovnice

Příklad 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

Vyjměte x 2 pro závorky:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Kořeny rovnic:
, .

.

Příklad 1.2

Rozložení polynomu třetího stupně:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.

Vyjmeme x ze závorek:
.
Řešíme kvadratickou rovnici x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jeho diskriminační je .
Protože diskriminant je roven nule, kořeny rovnice jsou násobky: ;
.

Odtud získáme rozklad polynomu na faktory:
.

Příklad 1.3

Rozložení polynomu pátého stupně:
X 5 – 2 x 4 + 10 x 3.

Vyjměte x 3 pro závorky:
.
Řešíme kvadratickou rovnici x 2 - 2 x + 10 = 0.
Jeho diskriminační je .
Protože diskriminant je menší než nula, kořeny rovnice jsou složité: ;
, .

Faktorizace polynomu má tvar:
.

Pokud nás zajímá faktoring s reálnými koeficienty, pak:
.

Příklady faktorizace polynomů pomocí vzorců

Příklady s bikvadratickými polynomy

Příklad 2.1

Rozložte bikvadratický polynom na faktor:
X 4 + x 2 - 20.

Použijte vzorce:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Příklad 2.2

Rozložení polynomu, který se redukuje na bikvadratický:
X 8 + x 4 + 1.

Použijte vzorce:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Příklad 2.3 s rekurzivním polynomem

Faktorizace rekurzivního polynomu:
.

Rekurzivní polynom má lichý stupeň. Proto má kořen x = - 1 . Polynom dělíme x - (-1) = x + 1. V důsledku toho získáme:
.
Provádíme substituci:
, ;
;


;
.

Příklady faktorování polynomů s celočíselnými kořeny

Příklad 3.1

Rozložení polynomu:
.

Předpokládejme rovnici

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Našli jsme tedy tři kořeny:
X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 3 .
Protože původní polynom je třetího stupně, nemá více než tři kořeny. Protože jsme našli tři kořeny, jsou jednoduché. Pak
.

Příklad 3.2

Rozložení polynomu:
.

Předpokládejme rovnici

má alespoň jeden kořen celého čísla. Pak je to dělitel čísla 2 (člen bez x ). To znamená, že celý kořen může být jedno z čísel:
-2, -1, 1, 2 .
Nahraďte tyto hodnoty jednu po druhé:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Takže jsme našli jeden kořen:
X 1 = -1 .
Polynom dělíme x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Pak,
.

Nyní musíme vyřešit rovnici třetího stupně:
.
Pokud předpokládáme, že tato rovnice má celočíselný kořen, pak je to dělitel čísla 2 (člen bez x ). To znamená, že celý kořen může být jedno z čísel:
1, 2, -1, -2 .
Nahraďte x = -1 :
.

Takže jsme našli další kořen x 2 = -1 . Bylo by možné, stejně jako v předchozím případě, rozdělit polynom , ale seskupíme členy:
.