Součin dvou komplexních čísel je podobný součinu dvou reálných čísel, totiž: součin je považován za číslo složené z násobku, stejně jako je faktor složen z jedničky. Vektor odpovídající komplexnímu číslu s modulem r a argumentem j lze získat z jednotkového vektoru, jehož délka je jedna a jehož směr se shoduje s kladným směrem osy OX jeho prodloužením o faktor r a jeho otočením v kladném směru. směr pod úhlem j. Součin nějakého vektoru a 1 a vektoru a 2 je vektor, který získáme, pokud na vektor a 1 aplikujeme prodloužení a rotaci, pomocí které se vektor a 2 získá z jednotkového vektoru, a ten samozřejmě odpovídá skutečné jednotce. Jestliže (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) jsou moduly a argumenty komplexních čísel odpovídajících vektorům a 1 a a 2 , pak součin těchto vektorů bude zjevně odpovídat komplexnímu číslu s modulem r 1 r 2 a argument (j1 + j2). Součin dvou komplexních čísel je tedy takové komplexní číslo, jehož modul se rovná součinu modulů faktorů a argument je součtem argumentů faktorů.
V případě, že jsou komplexní čísla zapsána v goniometrickém tvaru, budeme mít
r 1 (cos? 1 + i hřích? 1) * r 2 (cos? 2 + i hřích? 2) = r 1 r 2.
V případě (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi pomocí zápisu modulů a argumentů faktorů můžeme napsat:
a 1 = r 1 cos? 1; b 1 \u003d r 1 hřích? 1; a 2 = r 2 cos? 2; b 2 \u003d r 2 hřích? 2;
podle definice násobení:
x = r1r2cos(A 1 + A 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - hřích? 1 hřích? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 hřích? 1 r 2 hřích? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (hřích? 1 cos? 2 + cos? 1 hřích? 2) = = r 1 hřích? 1 r 2 cos? 2 + r1 cos? 1 r 2 hřích? 2 \u003d b 1 a 2 + a 1 b 2,
a nakonec dostaneme:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) i.
V případě b 1 = b 2 = 0 jsou faktory reálná čísla a 1 a a 2 a součin je redukován na součin a 1 a 2 těchto čísel. Když
a 1 = a 2 = 0 a b 1 = b 2 = 1,
rovnost (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I dává: i???i = i2 = -1, tzn. druhá mocnina imaginární jednotky je -1. Výpočtem sekvenčně kladných celočíselných mocnin i dostaneme:
i 2 \u003d -1; i 3 \u003d -i; i4 = 1; i5 = i; i6 = -1; ...
a obecně pro jakékoli kladné k:
i4k = 1; i4k+1 = i; i4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Pravidlo násobení vyjádřené rovností (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) \u003d (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) Mohu být formulován následovně: komplexní čísla se musí násobit jako doslovné polynomy, přičemž i 2 = -1.
Z výše uvedených vzorců přímo vyplývá, že sčítání a násobení komplexních čísel se řídí komutativním zákonem, tzn. součet nezávisí na pořadí členů a součin nezávisí na pořadí faktorů. Není těžké zkontrolovat platnost asociativních a distributivních zákonů vyjádřených následujícími identitami:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Součin několika faktorů bude mít modul rovný součinu modulů faktorů a argument rovný součtu argumentů faktorů. Součin komplexních čísel se tedy bude rovnat nule právě tehdy, když je alespoň jeden z faktorů roven nule.
Příklad: daná komplexní čísla z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Nalézt:
a) z 1 + z 2; b) z 1 - z 2; c) z 1 z 2.
a) z 1 + z 2 \u003d (2 + 3i) + (5 - 7i) \u003d 2 + 3i + 5 - 7i \u003d (2 + 5) + (3i - 7i) \u003d 7 - 4i; b) z 1 - z 2 \u003d (2 + 3i) - (5 - 7i) \u003d 2 + 3i - 5 + 7i \u003d (2 - 5) + (3i + 7i) \u003d - 3 + 10i; c) z 1 z 2 \u003d (2 + 3i) (5 - 7i) \u003d 10 - 17i + 15i - 21i 2 \u003d 10 - 14i + 15i + 21 \u003d (10 + 21) + (- 15i) ) \u003d 31 + i (zde se bere v úvahu, že i 2 = - 1).
Příklad: proveďte následující:
a) (2 + 3i)2; b) (3-5i)2; c) (5 + 3i)3.
a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2 x 2 x 3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 \u003d 9 - 2H3H5i + 25i 2 \u003d 9 - 30i - 25 \u003d - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 3 × 25 × 3i + 3 × 5 × 9i 2 + 27i 3; protože i 2 \u003d - 1 a i 3 \u003d - i, pak dostaneme (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 225i - 135 - - 27i \u003d - 10 + 198i.
Příklad: provádět akce
a) (5 + 3i) (5 - 3i); b) (2 + 5i) (2 - 5i); c) (1 + i) (1 - i).
a) (5 + 3i) (5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i) (2 - 5i) = 22 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i) (1 - i) = 12 - i2 = 1 + 1 = 2.
Komplexní číslo je číslo tvaru , kde a jsou reálná čísla, tzv pomyslná jednotka. Číslo se volá skutečná část () komplexní číslo, číslo se nazývá imaginární část () komplexní číslo.
Komplexní čísla jsou zobrazena na komplexní rovina:
Jak bylo uvedeno výše, je zvykem označovat množinu reálných čísel písmenem. hromada stejný komplexní čísla je obvyklé označovat jej jako „tučné“ nebo ztluštělé písmeno. Proto by mělo být písmeno umístěno na výkresu, což znamená, že máme složitou rovinu.
Algebraický tvar komplexního čísla. Sčítání, odčítání, násobení a dělení komplexních čísel
Sčítání komplexních čísel
Chcete-li sečíst dvě komplexní čísla, přidejte jejich skutečnou a imaginární část:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i* (b 1 + b 2).
Pro komplexní čísla platí pravidlo první třídy: z 1 + z 2 \u003d z 2 + z 1 - součet se přeskupením členů nemění.
Odečítání komplexních čísel
Akce je podobná sčítání, jedinou funkcí je, že subtrahend musí být převzat v závorkách a poté, jako standard, otevřít tyto závorky se změnou znaménka:
z 1 + z 2 \u003d (a 1 - a 2) + i * (b 1 - b 2)
Násobení komplexních čísel
Základní rovnost komplexních čísel:
Součin komplexních čísel:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 * b 2 = a 1 * a 2 - b 1 * b 2 + i* (a 1 * b 2 + a 2 * b 1).
Stejně jako součet je součin komplexních čísel permutabilní, to znamená, že rovnost platí: .
Dělení komplexních čísel
Dělení čísel se provádí vynásobením jmenovatele a čitatele sdruženým vyjádřením jmenovatele.
2 Otázka. komplexní rovina. Modul a argumenty komplexních čísel
Každé komplexní číslo z = a + i*b může být spojeno s bodem se souřadnicemi (a;b) a naopak každý bod se souřadnicemi (c;d) může být spojen s komplexním číslem w = c + i* d Mezi body roviny a množinou komplexních čísel je tedy vytvořena korespondence jedna ku jedné. Proto mohou být komplexní čísla reprezentována jako body v rovině. Obvykle se nazývá rovina, na které se kreslí komplexní čísla komplexní rovina.
Častěji jsou však komplexní čísla znázorněna jako vektor s počátkem v bodě O, konkrétně komplexní číslo z \u003d a + i * b je reprezentováno vektorem poloměru bodu se souřadnicemi (a; b). V tomto případě bude obraz komplexních čísel z předchozího příkladu vypadat takto: 
Obraz součtu dvou komplexních čísel je vektor rovný součtu vektorů reprezentujících čísla a . Jinými slovy, při sčítání komplexních čísel se sčítají i vektory, které je reprezentují.
Nechť je komplexní číslo z = a + i*b reprezentováno poloměrovým vektorem. Pak se nazývá délka tohoto vektoru modulčíslo z a je označeno |z| .
|
|
Úhel, který svírá vektor poloměru čísla s osou, se nazývá argumentčísla a značí se arg z . Argument číslo není definován jednoznačně, ale až do násobku . Obvykle je však argument uveden v rozsahu 0 nebo v rozsahu -to. Navíc není definován argument číslo.
Pomocí tohoto vztahu můžete najít argument komplexního čísla:
navíc první vzorec platí, pokud je obraz čísla v první nebo čtvrté čtvrtině, a druhý, pokud je ve druhé nebo třetí. Jestliže , pak je komplexní číslo reprezentováno vektorem na ose Oy a jeho argument je /2 nebo 3*/2.
Dáme si ještě jednu užitečný vzorec. Nechť z = a + i*b . Pak ,
Komplexní čísla- toto je minimální rozšíření nám známé množiny reálných čísel. Jejich zásadní rozdíl je v tom, že se objeví prvek, který na druhou dává -1, tzn. já nebo .
Každé komplexní číslo má dvě části: skutečné a imaginární:
Je tedy zřejmé, že množina reálných čísel se shoduje s množinou komplexních čísel s nulovou imaginární částí.
Nejoblíbenějším modelem pro množinu komplexních čísel je obyčejná rovina. První souřadnice každého bodu bude jeho skutečnou částí a druhá - imaginární. Role samotných komplexních čísel pak budou vektory se začátkem v bodě (0,0).
Operace s komplexními čísly.
Ve skutečnosti, pokud vezmeme v úvahu model množiny komplexních čísel, je intuitivně jasné, že sčítání (odčítání) a násobení dvou komplexních čísel se provádí stejným způsobem jako odpovídající operace s vektory. A to znamená vektorový produkt vektory, protože výsledkem této operace je opět vektor.
1.1 Doplnění.
(Jak vidíte, tato operace přesně odpovídá )
1.2 Odečítání, podobně se provádí podle následujícího pravidla:
2. Násobení.
3. Rozdělení.
Je definován jednoduše jako inverzní operace násobení.
trigonometrický tvar.
Modul komplexního čísla z je následující veličina:
,
je zřejmé, že toto je opět jednoduše modul (délka) vektoru (a,b).
Nejčastěji se modul komplexního čísla označuje jako ρ.
Ukázalo se, že
z = ρ(cosφ+isinφ).
Následující vyplývá přímo z trigonometrické formy zápisu komplexního čísla. vzorce :
Poslední vzorec se nazývá De Moivre vzorec. Vzorec je odvozen přímo z něj. n-tá odmocnina komplexního čísla:
existuje tedy n-tá odmocnina komplexního čísla z.
Zatímco sčítání a odčítání komplexních čísel je pohodlnější v algebraické formě, násobení a dělení je snazší pomocí trigonometrické formy komplexních čísel.
Vezměte dvě libovolná komplexní čísla v goniometrickém tvaru:
Vynásobením těchto čísel dostaneme:
Ale podle vzorců trigonometrie
Když se tedy násobí komplexní čísla, násobí se jejich moduly a argumenty
přidat. Protože v tomto případě jsou moduly převedeny samostatně a argumenty - odděleně, provádění násobení v goniometrickém tvaru je jednodušší než v algebraickém.
Rovnice (1) implikuje vztahy:
Protože dělení je inverzí k násobení, dostáváme to
Jinými slovy, modul kvocientu se rovná poměru moduly dividendy a dělitele a argument kvocientu je rozdíl mezi argumenty dividendy a dělitele.
Zastavme se nyní u geometrického významu násobení komplexních čísel. Vzorce (1) - (3) ukazují, že k nalezení součinu musíte nejprve zvýšit modul počtu, aniž byste změnili jeho argument, a poté zvýšit argument výsledného čísla beze změny jeho modulu. První z těchto operací geometricky znamená stejnoměrnost vzhledem k bodu O s koeficientem a druhá - otočení vzhledem k bodu O o úhel rovný Vezmeme-li v úvahu, že jeden faktor je konstantní a druhý je proměnný, můžeme formulovat výsledek je následující: vzorec
Součin dvou komplexních čísel definujeme stejně jako součin reálných čísel, totiž: součin je považován za číslo složené z násobku, stejně jako faktor je tvořen jednotou.
Vektor odpovídající komplexnímu číslu s modulem a argumentem lze získat z jednotkového vektoru, jehož délka je rovna jedné a jehož směr se shoduje s kladným směrem osy OX, jeho prodloužením o faktor a otočením v kladném směru. o úhel
Součinem určitého vektoru vektorem rozumíme vektor, který získáme, pokud se na vektor aplikuje výše uvedené prodloužení a rotace, s jejichž pomocí se vektor získá z jednotkového vektoru a ten zjevně odpovídá skutečnou jednotku.
Pokud jsou podstatou moduly a argumenty komplexních čísel odpovídajících vektorům, pak součin těchto vektorů bude zjevně odpovídat komplexnímu číslu s modulem a argumentem . Dostáváme se tedy k následující definici součinu komplexních čísel:
Součin dvou komplexních čísel je takové komplexní číslo, jehož modul se rovná součinu modulů faktorů a argument je součtem argumentů faktorů.
Tedy v případě, kdy jsou komplexní čísla zapsána v goniometrickém tvaru, budeme mít
Nyní odvodíme pravidlo pro sestavení součinu pro případ, kdy komplexní čísla nejsou uvedena v trigonometrickém tvaru:
Pomocí výše uvedené notace pro moduly a argumenty faktorů můžeme psát
podle definice násobení (6):
a nakonec se dočkáme
V tomto případě jsou faktory reálná čísla a součin je redukován na součin ahag těchto čísel. V případě rovnost (7) dává
tj. druhá mocnina imaginární jednotky je
Výpočtem po sobě jdoucích kladných celočíselných mocnin získáme
a obecně pro každé kladné celé číslo
Pravidlo násobení vyjádřené rovností (7) lze formulovat následovně: komplexní čísla je třeba násobit jako doslovné polynomy, přičemž
Je-li a komplexní číslo, pak se komplexní číslo nazývá konjugát a a značí se a. Podle vzorců (3) to z rovnosti (7) vyplývá
a následně,
tj. součin konjugovaných komplexních čísel je roven druhé mocnině modulu každého z nich.
Všimněme si také zjevných vzorců
Ze vzorců (4) a (7) přímo vyplývá, že sčítání a násobení komplexních čísel se řídí komutativním zákonem, tj. součet nezávisí na pořadí členů a součin nezávisí na pořadí faktorů. . Není těžké zkontrolovat platnost asociativních a distributivních zákonů vyjádřených následujícími identitami:
To necháme na čtenáři.
Nakonec si všimněte, že součin několika faktorů bude mít modul rovný součinu modulů faktorů a argument rovný součtu argumentů faktorů. Součin komplexních čísel se tedy bude rovnat nule právě tehdy, když je alespoň jeden z faktorů roven nule.
