Funktsiooni nimetatakse paaris (paarituks), kui mis tahes ja võrdsuse korral

.

Paarisfunktsiooni graafik on telje suhtes sümmeetriline
.

Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

Näide 6.2. Uurige paaris- või paarituid funktsioone

1)
; 2)
; 3)
.

Lahendus.

1) Funktsioon on defineeritud
. Otsime üles
.

Need.
. Nii et see funktsioon on ühtlane.

2) Funktsioon on defineeritud

Need.
. Seega on see funktsioon veider.

3) funktsioon on defineeritud jaoks, s.t. Sest

,
. Seetõttu pole funktsioon paaris ega paaritu. Nimetagem seda üldfunktsiooniks.

3. Monotoonsuse funktsiooni uurimine.

Funktsioon
nimetatakse suurenemiseks (vähenemiseks) mõnel intervallil, kui selles intervallis vastab iga argumendi suurem väärtus funktsiooni suuremale (väiksemale) väärtusele.

Mingil intervallil suurenevaid (vähenevaid) funktsioone nimetatakse monotoonilisteks.

Kui funktsioon
intervallil diferentseeruv
ja sellel on positiivne (negatiivne) tuletis
, siis funktsioon
suureneb (väheneb) selles intervallis.

Näide 6.3. Leia funktsioonide monotoonsuse intervallid

1)
; 3)
.

Lahendus.

1) See funktsioon on määratletud kogu arvteljel. Leiame tuletise.

Tuletis on null, kui
Ja
. Määratlusvaldkond - numbritelg, jagatud punktidega
,
intervallide jaoks. Määrame igas intervallis tuletise märgi.

Intervall
tuletis on negatiivne, funktsioon sellel intervallil väheneb.

Intervall
tuletis on positiivne, seetõttu funktsioon sellel intervallil kasvab.

2) See funktsioon on defineeritud, kui
või

.

Määrame igas intervallis ruuttrinoomi märgi.

Seega funktsiooni ulatus

Leiame tuletise
,
, Kui
, st.
, Aga
. Määrame tuletise märgi intervallides
.

Intervall
tuletis on negatiivne, seetõttu funktsioon intervallil väheneb
. Intervall
tuletis on positiivne, funktsioon suureneb intervallil
.

4. Ekstreemumi funktsiooni uurimine.

Punkt
nimetatakse funktsiooni maksimaalseks (minimaalseks) punktiks
, kui punkti selline naabrus on olemas seda kõigile
see naabruskond rahuldab ebavõrdsust

.

Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkte nimetatakse äärmuspunktideks.

Kui funktsioon
punktis omab ekstreemumit, siis on funktsiooni tuletis selles punktis võrdne nulliga või seda ei eksisteeri (vajalik tingimus ekstreemumi olemasoluks).

Punkte, kus tuletis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri, nimetatakse kriitilisteks.

5. Ekstreemumi olemasoluks piisavad tingimused.

1. reegel. Kui üleminekul (vasakult paremale) läbi kriitilise punkti tuletis
muudab märgi "+" asemel "-", seejärel punktis funktsiooni
on maksimum; kui "-" kuni "+", siis miinimum; Kui
märki ei vaheta, siis ekstreemumit pole.

2. reegel. Lase punktis
funktsiooni esimene tuletis
null
, ja teine ​​tuletis on olemas ja on nullist erinev. Kui
, See on maksimumpunkt, kui
, See on funktsiooni miinimumpunkt.

Näide 6.4 . Uurige maksimaalseid ja minimaalseid funktsioone:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Lahendus.

1) Funktsioon on defineeritud ja intervallil pidev
.

Leiame tuletise
ja lahendage võrrand
, st.
.siit
on kriitilised punktid.

Määrame tuletise märgi intervallides ,
.

Punktide läbimisel
Ja
tuletis muudab märgi “–” asemel “+”, seega vastavalt reeglile 1
on miinimumpunktid.

Punkti läbimisel
tuletis muudab märgi "+" asemel "-", nii et
on maksimumpunkt.

,
.

2) Funktsioon on defineeritud ja intervallis pidev
. Leiame tuletise
.

Võrrandi lahendamisega
, leia
Ja
on kriitilised punktid. Kui nimetaja
, st.
, siis tuletist ei eksisteeri. Niisiis,
on kolmas kriitiline punkt. Määrame tuletise märgi intervallides.

Seetõttu on funktsioonil punktis miinimum
, maksimum punktides
Ja
.

3) Funktsioon on defineeritud ja pidev, kui
, st. juures
.

Leiame tuletise

.

Leiame kriitilised punktid:

Punktide naabrused
ei kuulu definitsiooni valdkonda, seega ei ole need äärmuslikud t. Nii et uurime kriitilisi punkte
Ja
.

4) Funktsioon on defineeritud ja intervallil pidev
. Kasutame reeglit 2. Leia tuletis
.

Leiame kriitilised punktid:

Leiame teise tuletise
ja määrake punktides selle märk

Punktides
funktsioonil on miinimum.

Punktides
funktsioonil on maksimum.

Tagasi ette

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Eesmärgid:

• kujundada paaris- ja paaritu funktsioonide mõiste, õpetada nende omaduste määramise ja kasutamise oskust funktsioonide uurimisel, joonistamisel;
• arendada õpilaste loomingulist tegevust, loogilist mõtlemist, võrdlemis-, üldistusvõimet;
• kasvatada töökust, matemaatilist kultuuri; arendada suhtlemisoskusi .

Varustus: multimeedia installatsioon, interaktiivne tahvel, jaotusmaterjalid.

Töö vormid: frontaal ja rühm otsingu- ja uurimistegevuse elementidega.

Teabeallikad:

1. Algebra klass 9 A.G.Mordkovich. Õpik.
2. Algebra 9. klass A.G. Mordkovich. Ülesanderaamat.
3. Algebra hinne 9. Ülesanded õpilaste õppimiseks ja arendamiseks. Belenkova E. Yu. Lebedintseva E.A.

TUNNIDE AJAL

1. Organisatsioonimoment

Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.

2. Kodutööde kontrollimine

Nr 10.17 (Probleemiraamat 9. klass A.G. Mordkovich).

A) juures = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 jaoks X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsioon suureneb X € [– 2; + ∞)
6. Funktsioon on altpoolt piiratud.
7. juures rent = -3, juures naibi pole olemas
8. Funktsioon on pidev.

(Kas kasutasite funktsioonide uurimise algoritmi?) Libisema.

2. Kontrollime slaidil tabelit, mida teilt küsiti.

Täida tabel
	Domeen	Funktsiooni nullid	Püsivuse intervallid		Graafiku ja Oy lõikepunktide koordinaadid
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Teadmiste värskendus

- Funktsioonid on antud.
– Määrake iga funktsiooni määratluspiirkond.
– Võrrelge iga funktsiooni väärtust iga argumendi väärtuste paari jaoks: 1 ja – 1; 2 ja -2.
– Milliste definitsioonipiirkonna antud funktsioonide jaoks on võrdsused f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pane andmed tabelisse) Libisema

		f(1) ja f(– 1)	f(2) ja f(– 2)	diagrammid	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ja pole määratletud.

4. Uus materjal

- Seda tööd tehes, poisid, oleme paljastanud veel ühe funktsiooni omaduse, mis on teile võõras, kuid mitte vähem oluline kui teised - see on funktsiooni ühtlus ja veidrus. Kirjutage tunni teema: "Paaris- ja paaritu funktsioonid", meie ülesandeks on õppida paaris- ja paarituid funktsioone määrama, selgitada välja selle omaduse tähtsus funktsioonide uurimisel ja joonistamisel.
Niisiis, otsime õpikust definitsioonid ja loeme (lk 110) . Libisema

Def. 1 Funktsioon juures = f (X) nimetatakse hulgal X määratletud isegi, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X pooleli võrdus f (–x) = f (x). Too näiteid.

Def. 2 Funktsioon y = f(x), defineeritud hulgal X kutsutakse kummaline, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X võrdus f(–х)= –f(х) on täidetud. Too näiteid.

Kus kohtasime mõisteid "paaris" ja "paaritu"?
Mis sa arvad, milline neist funktsioonidest on paaris? Miks? Millised on veidrad? Miks?
Vormi mis tahes funktsiooni jaoks juures= x n, Kus n on täisarv, võib väita, et funktsioon on paaritu jaoks n on paaritu ja funktsioon on paaris jaoks n- isegi.
– Funktsioonide vaatamine juures= ja juures = 2X– 3 pole paaris ega paaritu, sest võrdsust ei täideta f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Küsimuse uurimist, kas funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse pariteedi funktsiooni uurimiseks. Libisema

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlesid funktsiooni väärtusi punktides x ja - x, seega eeldatakse, et funktsioon on defineeritud ka väärtuse juures X, ja kell - X.

ODA 3. Kui arvuhulk koos iga selle elemendiga x sisaldab vastaselementi x, siis hulk X nimetatakse sümmeetriliseks hulgaks.

Näited:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) on sümmeetrilised hulgad ja , [–5;4] on mittesümmeetrilised.

- Kas isegi funktsioonidel on määratluspiirkond – sümmeetriline hulk? Imelikud?
- kui D( f) on asümmeetriline hulk, siis mis on funktsioon?
– Seega, kui funktsioon juures = f(X) on paaris või paaritu, siis on selle määratluspiirkond D( f) on sümmeetriline komplekt. Kuid kas vastupidine väide on tõene, kui funktsiooni domeeniks on sümmeetriline hulk, siis on see paaris või paaritu?
- Seega on definitsioonipiirkonna sümmeetrilise hulga olemasolu vajalik, kuid mitte piisav tingimus.
– Kuidas siis uurida pariteedi funktsiooni? Proovime kirjutada algoritmi.

Libisema

Pariteedi funktsiooni uurimise algoritm

1. Määrake, kas funktsiooni domeen on sümmeetriline. Kui ei, siis pole funktsioon paaris ega paaritu. Kui jah, siis minge algoritmi 2. sammu juurde.

2. Kirjutage avaldis jaoks f(–X).

3. Võrdle f(–X).Ja f(X):

• Kui f(–X).= f(X), siis on funktsioon paaris;
• Kui f(–X).= – f(X), siis on funktsioon paaritu;
• Kui f(–X) ≠ f(X) Ja f(–X) ≠ –f(X), siis pole funktsioon paaris ega paaritu.

Näited:

Uurige pariteedi funktsiooni a) juures= x 5 +; b) juures= ; V) juures= .

Lahendus.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), sümmeetriline hulk.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsioon h(x)= x 5 + paaritu.

b) y =,

juures = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asümmeetriline hulk, seega pole funktsioon paaris ega paaritu.

V) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. variant

1. Kas antud hulk on sümmeetriline: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Uurige pariteedi funktsiooni:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi jaoks X, mis vastab tingimusele X? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), Kui juures = f(X) on paarisfunktsioon.

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi x-i puhul, mis rahuldavad x? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), Kui juures = f(X) on paaritu funktsioon.

Vastastikune kontroll libisema.

6. Kodutöö: №11.11, 11.21,11.22;

Paarsuse omaduse geomeetrilise tähenduse tõestus.

*** (Kasutamise valiku määramine).

1. Paaritu funktsioon y \u003d f (x) on defineeritud kogu reaalreal. Muutuja x mis tahes mittenegatiivse väärtuse korral langeb selle funktsiooni väärtus kokku funktsiooni g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Leia funktsiooni h( X) = juures X = 3.

7. Kokkuvõtete tegemine

. Selleks kasutage millimeetripaberit või graafilist kalkulaatorit. Valige sõltumatu muutuja jaoks suvaline arv arvväärtusi x (\displaystyle x) ja ühendage need sõltuva muutuja väärtuste arvutamiseks funktsiooniga y (\displaystyle y). Asetage leitud punktide koordinaadid koordinaatide tasapinnale ja ühendage need punktid funktsiooni graafiku koostamiseks.

• Asendage funktsiooni positiivsed arvväärtused x (\displaystyle x) ja vastavad negatiivsed arvväärtused. Näiteks antud funktsioon f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Asendage sellesse järgmised väärtused x (\displaystyle x):

Kontrollige, kas funktsiooni graafik on y-telje suhtes sümmeetriline. Sümmeetria viitab y-telje ümber oleva graafiku peegelpildile. Kui y-teljest paremal olev graafiku osa (sõltumatu muutuja positiivsed väärtused) ühtib y-teljest vasakul oleva graafiku osaga (sõltumatu muutuja negatiivsed väärtused), on graafik y-telje suhtes sümmeetriline. Kui funktsioon on y-telje suhtes sümmeetriline, on funktsioon paaris.

Kontrollige, kas funktsiooni graafik on algpunkti suhtes sümmeetriline. Algpunktiks on punkt koordinaatidega (0,0). Sümmeetria päritolu kohta tähendab positiivset väärtust y (\displaystyle y)(positiivse väärtusega x (\displaystyle x)) vastab negatiivsele väärtusele y (\displaystyle y)(negatiivse väärtusega x (\displaystyle x)), ja vastupidi. Paaritutel funktsioonidel on sümmeetria päritolu suhtes.

Kontrollige, kas funktsiooni graafikul on sümmeetriat. Viimast tüüpi funktsioonid on funktsioonid, mille graafikul puudub sümmeetria, st puudub peegelpilt nii y-telje kui ka alguspunkti suhtes. Näiteks antud funktsioon.

• Asendage funktsiooni mitu positiivset ja vastavat negatiivset väärtust x (\displaystyle x):
• Saadud tulemuste kohaselt sümmeetria puudub. Väärtused y (\displaystyle y) vastandlike väärtuste jaoks x (\displaystyle x) ei sobi kokku ega ole vastandlikud. Seega pole funktsioon paaris ega paaritu.
• Pange tähele, et funktsioon f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) võib kirjutada nii: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Sellisel kujul kirjutatuna näib funktsioon olevat paaris, kuna sellel on paarisaste. Kuid see näide tõestab, et funktsiooni vormi ei saa kiiresti määrata, kui sõltumatu muutuja on sulgudes. Sel juhul peate avama sulud ja analüüsima saadud eksponente.

Funktsioon on üks olulisemaid matemaatilisi mõisteid. Funktsioon – muutuv sõltuvus juures muutujast x, kui iga väärtus X vastab ühele väärtusele juures. muutuv X nimetatakse sõltumatuks muutujaks või argumendiks. muutuv juures nimetatakse sõltuvaks muutujaks. Kõik sõltumatu muutuja väärtused (muutuja x) moodustavad funktsiooni domeeni. Kõik väärtused, mida sõltuv muutuja võtab (muutuja y), moodustavad funktsiooni vahemiku.

Funktsioonigraafik nad kutsuvad koordinaattasandi kõigi punktide hulka, mille abstsissid on võrdsed argumendi väärtustega ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega, see tähendab, et muutuja väärtused kantakse piki abstsisstellge. x, ja muutuja väärtused kantakse piki y-telge y. Funktsiooni joonistamiseks peate teadma funktsiooni omadusi. Funktsiooni põhiomadusi käsitletakse allpool!

Funktsioonigraafiku joonistamiseks soovitame kasutada meie programmi - Graphing Functions Online. Kui teil on selle lehe materjali uurimisel küsimusi, võite neid alati meie foorumis esitada. Samuti aidatakse foorumil lahendada ülesandeid matemaatikas, keemias, geomeetrias, tõenäosusteoorias ja paljudes teistes ainetes!

Funktsioonide põhiomadused.

1) Funktsiooni ulatus ja funktsioonide ulatus.

Funktsiooni ulatus on argumendi kõigi kehtivate väärtuste kogum x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y = f(x) määratletud.
Funktsiooni vahemik on kõigi reaalväärtuste hulk y et funktsioon aktsepteerib.

Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.

2) Funktsiooni nullid.

Väärtused X, mille juures y=0, kutsutakse funktsiooni nullid. Need on funktsiooni graafiku ja x-telje lõikepunktide abstsissid.

3) Funktsiooni märgi püsivuse intervallid.

Funktsiooni märgi püsivuse intervallid on sellised väärtuste intervallid x, millel on funktsiooni väärtused y kutsutakse kas ainult positiivseid või ainult negatiivseid funktsiooni märgi püsivuse intervallid.

4) Funktsiooni monotoonsus.

Kasvav funktsioon (mingis intervallis) - funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Vähenev funktsioon (mingis intervallis) - funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

5) Paaris (paaritud) funktsioonid.

Paarisfunktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.

Paaritu funktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X määratlusvaldkonnast võrdsus f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

Ühtlane funktsioon
1) Määratluspiirkond on punkti (0; 0) suhtes sümmeetriline, st kui punkt a kuulub definitsiooni valdkonda, siis punkt -a kuulub ka definitsiooni valdkonda.
2) Iga väärtuse jaoks x f(-x)=f(x)
3) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline Oy telje suhtes.

paaritu funktsioon sellel on järgmised omadused:
1) Määratluspiirkond on punkti (0; 0) suhtes sümmeetriline.
2) mis tahes väärtuse puhul x, mis kuulub definitsiooni, võrdsuse valdkonda f(-x)=-f(x)
3) Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline alguspunkti (0; 0) suhtes.

Mitte iga funktsioon pole paaris ega paaritu. Funktsioonid üldine vaade pole paaris ega paaritu.

6) Piiratud ja piiramatud funktsioonid.

Funktsiooni nimetatakse piirituks, kui on olemas positiivne arv M, mille puhul |f(x)| ≤ M kõigi x väärtuste korral. Kui sellist arvu pole, on funktsioon piiramata.

7) Funktsiooni perioodilisus.

Funktsioon f(x) on perioodiline, kui on olemas nullist erinev arv T, nii et mis tahes funktsiooni domeeni x korral on f(x+T) = f(x). Seda väikseimat arvu nimetatakse funktsiooni perioodiks. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. (Trigonomeetrilised valemid).

Funktsioon f nimetatakse perioodiliseks, kui on olemas selline arv, et mis tahes jaoks x määratlusvaldkonnast võrdsus f(x)=f(x-T)=f(x+T). T on funktsiooni periood.

Igal perioodilisel funktsioonil on lõpmatu arv perioode. Praktikas võetakse tavaliselt arvesse väikseimat positiivset perioodi.

Perioodilise funktsiooni väärtusi korratakse pärast perioodiga võrdset perioodi. Seda kasutatakse graafikute koostamisel.

Tagasi ette

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Eesmärgid:

• kujundada paaris- ja paaritu funktsioonide mõiste, õpetada nende omaduste määramise ja kasutamise oskust funktsioonide uurimisel, joonistamisel;
• arendada õpilaste loomingulist tegevust, loogilist mõtlemist, võrdlemis-, üldistusvõimet;
• kasvatada töökust, matemaatilist kultuuri; arendada suhtlemisoskusi .

Varustus: multimeedia installatsioon, interaktiivne tahvel, jaotusmaterjalid.

Töö vormid: frontaal ja rühm otsingu- ja uurimistegevuse elementidega.

Teabeallikad:

1. Algebra klass 9 A.G.Mordkovich. Õpik.
2. Algebra 9. klass A.G. Mordkovich. Ülesanderaamat.
3. Algebra hinne 9. Ülesanded õpilaste õppimiseks ja arendamiseks. Belenkova E. Yu. Lebedintseva E.A.

TUNNIDE AJAL

1. Organisatsioonimoment

Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.

2. Kodutööde kontrollimine

Nr 10.17 (Probleemiraamat 9. klass A.G. Mordkovich).

A) juures = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 jaoks X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsioon suureneb X € [– 2; + ∞)
6. Funktsioon on altpoolt piiratud.
7. juures rent = -3, juures naibi pole olemas
8. Funktsioon on pidev.

(Kas kasutasite funktsioonide uurimise algoritmi?) Libisema.

2. Kontrollime slaidil tabelit, mida teilt küsiti.

Täida tabel
	Domeen	Funktsiooni nullid	Püsivuse intervallid		Graafiku ja Oy lõikepunktide koordinaadid
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Teadmiste värskendus

- Funktsioonid on antud.
– Määrake iga funktsiooni määratluspiirkond.
– Võrrelge iga funktsiooni väärtust iga argumendi väärtuste paari jaoks: 1 ja – 1; 2 ja -2.
– Milliste definitsioonipiirkonna antud funktsioonide jaoks on võrdsused f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pane andmed tabelisse) Libisema

		f(1) ja f(– 1)	f(2) ja f(– 2)	diagrammid	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ja pole määratletud.

4. Uus materjal

- Seda tööd tehes, poisid, oleme paljastanud veel ühe funktsiooni omaduse, mis on teile võõras, kuid mitte vähem oluline kui teised - see on funktsiooni ühtlus ja veidrus. Kirjutage tunni teema: "Paaris- ja paaritu funktsioonid", meie ülesandeks on õppida paaris- ja paarituid funktsioone määrama, selgitada välja selle omaduse tähtsus funktsioonide uurimisel ja joonistamisel.
Niisiis, otsime õpikust definitsioonid ja loeme (lk 110) . Libisema

Def. 1 Funktsioon juures = f (X) nimetatakse hulgal X määratletud isegi, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X pooleli võrdus f (–x) = f (x). Too näiteid.

Def. 2 Funktsioon y = f(x), defineeritud hulgal X kutsutakse kummaline, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X võrdus f(–х)= –f(х) on täidetud. Too näiteid.

Kus kohtasime mõisteid "paaris" ja "paaritu"?
Mis sa arvad, milline neist funktsioonidest on paaris? Miks? Millised on veidrad? Miks?
Vormi mis tahes funktsiooni jaoks juures= x n, Kus n on täisarv, võib väita, et funktsioon on paaritu jaoks n on paaritu ja funktsioon on paaris jaoks n- isegi.
– Funktsioonide vaatamine juures= ja juures = 2X– 3 pole paaris ega paaritu, sest võrdsust ei täideta f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Küsimuse uurimist, kas funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse pariteedi funktsiooni uurimiseks. Libisema

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlesid funktsiooni väärtusi punktides x ja - x, seega eeldatakse, et funktsioon on defineeritud ka väärtuse juures X, ja kell - X.

ODA 3. Kui arvuhulk koos iga selle elemendiga x sisaldab vastaselementi x, siis hulk X nimetatakse sümmeetriliseks hulgaks.

Näited:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) on sümmeetrilised hulgad ja , [–5;4] on mittesümmeetrilised.

- Kas isegi funktsioonidel on määratluspiirkond – sümmeetriline hulk? Imelikud?
- kui D( f) on asümmeetriline hulk, siis mis on funktsioon?
– Seega, kui funktsioon juures = f(X) on paaris või paaritu, siis on selle määratluspiirkond D( f) on sümmeetriline komplekt. Kuid kas vastupidine väide on tõene, kui funktsiooni domeeniks on sümmeetriline hulk, siis on see paaris või paaritu?
- Seega on definitsioonipiirkonna sümmeetrilise hulga olemasolu vajalik, kuid mitte piisav tingimus.
– Kuidas siis uurida pariteedi funktsiooni? Proovime kirjutada algoritmi.

Libisema

Pariteedi funktsiooni uurimise algoritm

1. Määrake, kas funktsiooni domeen on sümmeetriline. Kui ei, siis pole funktsioon paaris ega paaritu. Kui jah, siis minge algoritmi 2. sammu juurde.

2. Kirjutage avaldis jaoks f(–X).

3. Võrdle f(–X).Ja f(X):

• Kui f(–X).= f(X), siis on funktsioon paaris;
• Kui f(–X).= – f(X), siis on funktsioon paaritu;
• Kui f(–X) ≠ f(X) Ja f(–X) ≠ –f(X), siis pole funktsioon paaris ega paaritu.

Näited:

Uurige pariteedi funktsiooni a) juures= x 5 +; b) juures= ; V) juures= .

Lahendus.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), sümmeetriline hulk.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsioon h(x)= x 5 + paaritu.

b) y =,

juures = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asümmeetriline hulk, seega pole funktsioon paaris ega paaritu.

V) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. variant

1. Kas antud hulk on sümmeetriline: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Uurige pariteedi funktsiooni:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi jaoks X, mis vastab tingimusele X? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), Kui juures = f(X) on paarisfunktsioon.

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi x-i puhul, mis rahuldavad x? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), Kui juures = f(X) on paaritu funktsioon.

Vastastikune kontroll libisema.

6. Kodutöö: №11.11, 11.21,11.22;

Paarsuse omaduse geomeetrilise tähenduse tõestus.

*** (Kasutamise valiku määramine).

1. Paaritu funktsioon y \u003d f (x) on defineeritud kogu reaalreal. Muutuja x mis tahes mittenegatiivse väärtuse korral langeb selle funktsiooni väärtus kokku funktsiooni g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Leia funktsiooni h( X) = juures X = 3.

7. Kokkuvõtete tegemine