Algebraliste polünoomide arvutamisel kasutame arvutuste lihtsustamiseks lühendatud korrutusvalemid. Selliseid valemeid on kokku seitse. Neid kõiki tuleb peast teada.

Samuti tuleks meeles pidada, et valemites "a" ja "b" asemel võivad olla nii arvud kui ka muud algebralised polünoomid.

Ruudude erinevus

Pea meeles!

Ruudude erinevus kaks arvu võrdub nende arvude ja nende summa erinevuse korrutisega.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

• 15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 koos 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

summa ruut

Pea meeles!

Kahe arvu summa ruut on võrdne esimese arvu ruuduga pluss esimese arvu kahekordne korrutis ja teine ​​pluss teise arvu ruut.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Pange tähele, et selle vähendatud korrutamisvalemiga on seda lihtne teha leida suurte arvude ruudud ilma kalkulaatorit või pikka korrutamist kasutamata. Selgitame näitega:

Leidke 112 2 .

• Lagundame 112 arvude summaks, mille ruutu me hästi mäletame.
  112 = 100 + 1
• Kirjutame sulgudesse arvude summa ja paneme sulgude kohale ruudu.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Kasutame summa ruudu valemit:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Pidage meeles, et ruutsumma valem kehtib ka kõigi algebraliste polünoomide puhul.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Hoiatus!

(a + b) 2 ei ole võrdne (a 2 + b 2)

Vahe ruut

Pea meeles!

Kahe arvu erinevuse ruut võrdub esimese arvu ruuduga, millest on lahutatud esimese ja teise kahekordne korrutis pluss teise arvu ruut.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Samuti tasub meeles pidada väga kasulikku teisendust:

(a - b) 2 = (b - a) 2

Ülaltoodud valemit tõestatakse lihtsalt sulgude laiendamisega:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

summa kuup

Pea meeles!

Kahe arvu summa kuup võrdub esimese arvu kuubikuga pluss kolm korda esimese arvu ruut korda teine ​​pluss kolm korda esimese numbri korrutis, teise ruut pluss teise kuup.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Kuidas jätta meelde summa kuup

Selle "kohutava" välimusega valemi mäletamine on üsna lihtne.

• Õppige, et "3" tuleb alguses.
• Kahe keskel oleva polünoomi koefitsiendid on 3.
• Tuletage meelde, et mis tahes arv nullastmeni on 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . On hästi näha, et valemis on astme "a" vähenemine ja astme "b" suurenemine. Saate seda kontrollida:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Hoiatus!

(a + b) 3 ei ole võrdne a 3 + b 3-ga

erinevuse kuubik

Pea meeles!

erinevuse kuubik kahest arvust on võrdne esimese numbri kuubiga, millest on lahutatud esimese numbri kolm korda ruut ja teise numbriga pluss kolm korda esimese arvu ja teise ruudu korrutis, millest on lahutatud teise kuup.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Seda valemit mäletatakse nagu eelmist, kuid ainult märkide "+" ja "-" vaheldumist arvesse võttes. Enne esimest liiget "a 3" on "+" (vastavalt matemaatikareeglitele me seda ei kirjuta). See tähendab, et järgmisele liikmele eelneb "-", seejärel jälle "+" jne.

(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Kuubikute summa

Mitte segi ajada summa kuubikuga!

Pea meeles!

Kuubikute summa on võrdne kahe arvu summa korrutisega erinevuse mittetäieliku ruuduga.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2)

Kuubikute summa on kahe sulu korrutis.

• Esimene sulg on kahe arvu summa.
• Teine sulg on arvude erinevuse mittetäielik ruut. Erinevuse mittetäielikku ruutu nimetatakse avaldiseks:
  (a 2 − ab + b 2)
  See ruut on mittetäielik, kuna keskel on topeltkorrutise asemel tavaline arvude korrutis.

Kuubikute erinevus

Mitte segi ajada erinevuse kuubikuga!

Pea meeles!

Kuubikute erinevus on võrdne kahe arvu vahe korrutisega summa mittetäieliku ruuduga.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Olge tähemärkide kirjutamisel ettevaatlik.

Lühendatud korrutusvalemite rakendamine

Tuleb meeles pidada, et kõiki ülaltoodud valemeid kasutatakse ka paremalt vasakule.

Paljud õpikutes olevad näited on loodud selleks, et saaksite polünoomi tagasi kokku panna valemeid.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Saate alla laadida tabeli kõigi lühendatud korrutamise valemitega jaotises "

Samuti tulevad iseseisva lahenduse ülesanded, mille vastuseid näete.

Lühendatud korrutusvalemid võimaldavad teil teostada avaldiste - polünoomide - identseid teisendusi. Nende abil saab polünoome faktoreerida ning valemeid vastupidises järjekorras kasutades saab binoomide, ruutude ja kuubikute korrutisi esitada polünoomidena. Vaatleme kõiki üldtunnustatud lühendatud korrutamise valemeid, nende tuletamist, tavalisi ülesandeid avaldiste identsete teisenduste jaoks nende valemite abil, samuti koduseid ülesandeid (vastused neile avatakse linkidega).

summa ruut

Summa ruudu valem on võrdsus

(kahe arvu summa ruut võrdub esimese arvu ruuduga pluss esimese arvu kahekordne korrutis ja teine ​​pluss teise arvu ruut).

Selle asemel a Ja b selle valemiga saab asendada mis tahes arvu.

Arvutuste lihtsustamiseks kasutatakse sageli summaruut valemit. Näiteks,

Ruutsumma valemit kasutades saab polünoomi faktoriseerida, nimelt esitada kahe identse teguri korrutisena.

Näide 1

.

Näide 2 Kirjutage polünoomiavaldisena

Lahendus. Summa ruudu valemiga saame

Vahe ruut

Erinevuse ruudu valem on võrdsus

(kahe arvu erinevuse ruut võrdub esimese arvu ruuduga, millest on lahutatud esimese ja teise arvu kahekordne korrutis pluss teise arvu ruut).

Arvutuste lihtsustamiseks kasutatakse sageli erinevuse ruudu valemit. Näiteks,

Kasutades erinevuse ruudu valemit, saab polünoomi faktoriseerida, nimelt esitada kahe identse teguri korrutisena.

Valem tuleneb polünoomi polünoomiga korrutamise reeglist:

Näide 5 Kirjutage polünoomiavaldisena

Lahendus. Vahe ruudu valemiga saame

.

Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust

Täisruudu valik

Sageli sisaldab teise astme polünoom summa või erinevuse ruutu, kuid sisaldub varjatud kujul. Täisruudu selgesõnaliseks saamiseks peate polünoomi teisendama. Selleks esitatakse reeglina üks polünoomi liikmetest topeltkorrutis ning seejärel liidetakse polünoomile ja lahutatakse sellest sama arv.

Näide 7

Lahendus. Seda polünoomi saab teisendada järgmiselt:

Siin oleme esitanud 5 x topeltkorrutise kujul 5/2 by x, lisati polünoomile ja lahutati sellest sama arv, seejärel rakendati binoomile summa ruutvalem.

Seega oleme võrdsust tõestanud

,

võrdub täisruuduga pluss arvuga .

Näide 8 Vaatleme teise astme polünoomi

Lahendus. Teeme sellel järgmised teisendused:

Siin oleme esitanud 8 x topelttoote kujul x 4 võrra, liideti polünoomile ja lahutati sellest sama arv 4², rakendati binoomile erinevuse ruudu valemit x − 4 .

Seega oleme võrdsust tõestanud

,

mis näitab, et teise astme polünoom

võrdub täisruuduga pluss arvuga −16.

Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust

summa kuup

Summa kuubi valem on võrdsus

(Kahe arvu summa kuup võrdub esimese arvu kuubiga, millele on lisatud kolm korda esimese ja teise arvu ruut, pluss kolm korda esimese arvu ja teise numbri korrutis, pluss teise arvu kuup).

Summa kuubi valem tuletatakse järgmiselt:

Näide 10 Kirjutage polünoomiavaldisena

Lahendus. Summa kuubi valemi järgi saame

Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust

erinevuse kuubik

Erinevuskuubi valem on võrdsus

(Kahe arvu erinevuse kuup võrdub esimese arvu kuubiga, millest on lahutatud esimese ja teise numbri kolm korda ruut, pluss kolm korda esimese arvu ja teise numbri korrutis miinus teise arvu kuup).

Summakuubiku valemi abil saab polünoomi lagundada teguriteks, nimelt saab seda esitada kolme identse teguri korrutisena.

Erinevuskuubi valem tuletatakse järgmiselt:

Näide 12. Kirjutage polünoomiavaldisena

Lahendus. Kasutades erinevuse kuubi valemit, saame

Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust

Ruudude erinevus

Ruudude erinevuse valem on võrdsus

(kahe arvu ruutude vahe võrdub nende arvude summa ja nende erinevuse korrutisega).

Summa kuubi valemit kasutades saab iga vormi polünoomi faktoriseerida.

Valemi tõestus saadi polünoomide korrutusreegli abil:

Näide 14 Kirjutage korrutis polünoomina

.

Lahendus. Ruudude erinevuse valemiga saame

Näide 15 Faktoreerida

Lahendus. See väljend selgel kujul ei sobi ühegi identiteediga. Kuid arvu 16 saab esitada astmena alusega 4: 16=4². Siis on algne avaldis teistsugusel kujul:

,

ja see on ruutude erinevuse valem ja seda valemit rakendades saame

Eelmises tunnis käsitlesime faktoriseerimist. Õppisime kahte meetodit: ühisteguri sulgudest välja võtmine ja rühmitamine. Selles õpetuses on järgmine võimas meetod: lühendatud korrutusvalemid. Lühidalt - FSU.

Lühendatud korrutusvalemid (summa ja vahe ruut, summa ja vahe kuup, ruutude vahe, kuubikute summa ja vahe) on hädavajalikud kõigis matemaatikaharudes. Neid kasutatakse avaldiste lihtsustamisel, võrrandite lahendamisel, polünoomide korrutamisel, murdude vähendamisel, integraalide lahendamisel jne. ja nii edasi. Ühesõnaga, nendega tegelemiseks on põhjust. Saate aru, kust need tulevad, miks neid vaja on, kuidas neid meeles pidada ja kuidas neid rakendada.

Kas me saame aru?)

Kust tulevad lühendatud korrutusvalemid?

Võrdused 6 ja 7 ei ole kirjutatud väga tavalisel viisil. Nagu vastupidi. See on meelega.) Igasugune võrdsus toimib nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. Sellise kirje puhul on selgem, kust FSO pärineb.

Need on võetud korrutamisest.) Näiteks:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

See on kõik, ei mingeid teaduslikke trikke. Me lihtsalt korrutame sulud ja anname sarnased. Nii see selgub kõik lühendatud korrutusvalemid. lühendatult korrutamine on sellepärast, et valemites endis sulgude korrutamist ja sarnaste vähendamist pole. Vähendatud.) Tulemus antakse kohe.

FSU peab teadma peast. Ilma esimese kolmeta ei saa te unistada kolmikust, ilma ülejäänuteta - umbes neljast viiega.)

Miks me vajame lühendatud korrutusvalemeid?

Nende valemite õppimiseks ja isegi meeldejätmiseks on kaks põhjust. Esimene - valmis vastus masinas vähendab dramaatiliselt vigade arvu. Kuid see pole peamine põhjus. Ja siin on teine...

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Üks esimesi algebrakursusel õpitud teemasid on lühendatud korrutamise valemid. 7. klassis kasutatakse neid kõige lihtsamates olukordades, kus on nõutav avaldises ühe valemi äratundmine ja polünoomi faktoriseerimine või vastupidi summa või vahe kiiresti ruut või kuup. Tulevikus kasutatakse FSU-d kiireks võrratuste ja võrrandite lahendamiseks ning isegi mõne arvulise avaldise arvutamiseks ilma kalkulaatorita.

Kuidas valemite loend välja näeb?

Seal on 7 põhivalemit, mis võimaldavad sulgudes olevaid polünoome kiiresti korrutada.

Mõnikord sisaldab see loend ka neljanda astme laiendust, mis tuleneb esitatud identiteetidest ja on kujul:

a4 - b4 = (a - b) (a + b) (a² + b2).

Kõigil võrdustel on paar (summa - vahe), välja arvatud ruutude erinevus. Ruudude summa valemit pole.

Ülejäänud võrdsusi on lihtne meeles pidada.:

Tuleb meeles pidada, et FSO-d töötavad igal juhul ja mis tahes väärtuste nimel. a Ja b: see võib olla nii suvalised arvud kui ka täisarvulised avaldised.

Olukorras, kus järsku ei tule meelde, milline märk on valemis ühe või teise termini ees, saab avada sulud ja saada sama tulemuse, mis pärast valemi kasutamist. Näiteks kui erinevuse kuubi FSU rakendamisel tekkis probleem, peate kirjutama algse avaldise ja korrutage ükshaaval:

(a - b)³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Selle tulemusena saadi pärast kõigi selliste liikmete redutseerimist sama polünoom, mis tabelis. Samasuguseid manipuleerimisi saab teha ka kõigi teiste FSO-dega.

FSO rakendamine võrrandite lahendamiseks

Näiteks peate lahendama võrrandi, mis sisaldab 3. astme polünoom:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Kooli õppekavas ei käsitleta universaalseid võtteid kuupvõrrandite lahendamiseks ja selliseid ülesandeid lahendatakse enamasti lihtsamate meetoditega (näiteks faktoriseerimine). Kui märkate, et identiteedi vasak pool meenutab summa kuupi, siis saab võrrandi kirjutada lihtsamal kujul:

(x + 1)³ = 0.

Sellise võrrandi juur arvutatakse suuliselt: x=-1.

Ebavõrdsust lahendatakse sarnaselt. Näiteks saame lahendada ebavõrdsuse x³ – 6x² + 9x > 0.

Kõigepealt on vaja avaldis teguriteks lagundada. Kõigepealt tuleb sulgud välja võtta x. Pärast seda peaksite tähelepanu pöörama sellele, et sulgudes oleva avaldise saab teisendada erinevuse ruuduks.

Seejärel peate leidma punktid, kus avaldis võtab nullväärtusi, ja märkima need arvureale. Konkreetsel juhul on need 0 ja 3. Seejärel määrake intervallmeetodi abil, millistes intervallides x täidab ebavõrdsuse tingimust.

FSO-d võivad elluviimisel abiks olla mõned arvutused ilma kalkulaatori abita:

703²–203² = (703 + 203) (703–203) = 906 ∙ 500 = 453 000.

Lisaks saate avaldiste faktoringuga hõlpsalt murde vähendada ja erinevaid algebralisi avaldisi lihtsustada.

Ülesannete näited 7.-8. klassile

Kokkuvõtteks analüüsime ja lahendame kaks ülesannet lühendatud korrutusvalemite rakendamiseks algebras.

Ülesanne 1. Lihtsusta väljendit:

(m + 3)² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).

Lahendus. Ülesande tingimusel on vaja avaldist lihtsustada, st avada sulud, sooritada korrutamise ja astendamise toimingud ning tuua ka kõik sellised terminid. Jagame avaldise tinglikult kolmeks osaks (vastavalt terminite arvule) ja avame sulud ükshaaval, kasutades võimalusel FSU-d.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(ruutsumma);
• (3 m + 1) (3 m - 1) = 9 m² - 1(ruutude erinevus);
• Viimasel terminil peate tegema korrutamise: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Asendage tulemused algses avaldises:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Võttes arvesse märke, avame sulud ja anname sarnased terminid:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Ülesanne 2. Lahendage võrrand, mis sisaldab tundmatut k astmega 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Lahendus. Sel juhul on vaja kasutada FSO-d ja rühmitamismeetodit. Peame viimase ja eelviimase termini üle kandma identiteedi paremale poole.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Ühine kordaja võetakse parem- ja vasakpoolsest osast (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Kõik kantakse võrrandi vasakule poolele nii, et 0 jääb paremale poolele:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Jällegi peate välja võtma ühise teguri:

(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0.

Esimesest saadud tegurist saame tuletada k. Lühikese korrutusvalemi kohaselt on teine ​​tegur identne (k + 2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

Kasutades ruutude erinevuse valemit:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

Kuna korrutis on 0, kui vähemalt üks selle teguritest on null, pole võrrandi kõigi juurte leidmine keeruline:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Illustreerivate näidete põhjal saab aru, kuidas meeles pidada valemeid, nende erinevusi ning lahendada FSU abil ka mitmeid praktilisi probleeme. Ülesanded on lihtsad ja nende täitmine ei tohiks olla keeruline.

Algebraliste polünoomide lihtsustamiseks on olemas lühendatud korrutusvalemid. Neid pole nii palju ja neid on lihtne meeles pidada, kuid peate neid meeles pidama. Valemites kasutatav tähistus võib olla mis tahes kujul (arv või polünoom).

Esimest lühendatud korrutamisvalemit nimetatakse ruutude erinevus. See seisneb selles, et ühe arvu ruudust lahutatakse teise numbri ruut, mis on võrdne nende arvude vahega, samuti nende korrutis.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Analüüsime selguse huvides:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

Teine valem umbes ruutude summa. Tundub, et kahe väärtuse ruudu summa võrdub esimese väärtuse ruuduga, sellele lisatakse esimese väärtuse topeltkorrutis korrutatuna teisega, neile lisatakse teise väärtuse ruut.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Tänu sellele valemile on suure arvu ruudu arvutamine palju lihtsam ilma arvutitehnoloogiat kasutamata.

Nii näiteks: ruut 112 saab olema
1) Alguses analüüsime 112 arvudeks, mille ruudud on meile tuttavad
112 = 100 + 12
2) Saadud sisestame sulgudesse ruudus
112 2 = (100+12) 2
3) Valemit rakendades saame:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Kolmas valem on vahe ruudus. Mis ütleb, et kaks väärtust, mis on lahutatud üksteisest ruudus, on võrdne tõsiasjaga, et esimesest ruudus olevast väärtusest lahutame esimese väärtuse topeltkorrutise, mis on korrutatud teisega, lisades neile teise väärtuse ruudu.

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

kus (a - b) 2 võrdub (b - a) 2 . Selle tõestamiseks (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Neljandat lühendatud korrutamisvalemit nimetatakse summa kuup. Mis kõlab nii: kuubis oleva väärtuse kaks liiget on võrdsed 1 väärtusega kuubiga, neile lisatakse 1 väärtuse kolmikkorrutis korrutatuna 2. väärtusega, neile lisatakse 1 väärtuse kolmikkorrutis, mis on korrutatud 2 väärtuse ruuduga, millele lisandub teine ​​​​väärtus kuubikuga.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Viiendat, nagu te juba aru saite, nimetatakse erinevuse kuubik. Mis leiab väärtuste erinevused, kuna kuubi esimesest tähistusest lahutame esimese tähise kolmikkorrutise korrutatuna teisega, neile liidetakse esimese tähise kolmikkorrutis korrutatuna teise tähise ruuduga, millest lahutatakse kuubis olev teine ​​tähis.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Kuuendat nimetatakse kuubikute summa. Kuubikute summa võrdub kahe liikme korrutisega erinevuse mittetäieliku ruuduga, kuna keskel pole kahekordset väärtust.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Teisel viisil võib öelda, et kuubikute summat võib nimetada kahes sulus olevaks korruseks.

Seitsmes ja viimane on nn kuubikute erinevus(seda on lihtne segi ajada erinevuse kuubi valemiga, kuid need on erinevad asjad). Kuubikute vahe on võrdne kahe suuruse erinevuse korrutisega summa mittetäieliku ruuduga, kuna keskel pole kahekordset väärtust.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

Ja seega on lühendatud korrutamiseks ainult 7 valemit, need on üksteisega sarnased ja neid on lihtne meeles pidada, ainus asi on mitte märkides segadusse sattuda. Need on mõeldud kasutamiseks ka vastupidises järjekorras ja selliseid ülesandeid on õpikutesse kogutud päris palju. Olge ettevaatlik ja õnnestub.

Kui teil on valemite kohta küsimusi, kirjutage need kindlasti kommentaaridesse. Vastame teile hea meelega!

Kui olete rasedus- ja sünnituspuhkusel, kuid soovite raha teenida. Lihtsalt järgige linki Interneti-äri Oriflame'iga. Kõik on kirjutatud ja näidatud väga üksikasjalikult. See saab olema huvitav!