Millised arvud on irratsionaalsed? Irratsionaalne arv ei ole ratsionaalne reaalarv, st. seda ei saa esitada murdena (kahe täisarvu suhtena), kus m- täisarv, n- naturaalarv. Irratsionaalne arv saab esitada lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna.

Irratsionaalne arv ei pruugi olla täpset tähendust. Ainult formaadis 3.333333…. Näiteks, ruutjuur kahest on irratsionaalne arv.

Milline arv on irratsionaalne? Irratsionaalne arv(erinevalt ratsionaalsest) nimetatakse lõpmatuks kümnendmurruks mitteperioodiliseks murruks.

Irratsionaalarvude komplekt sageli tähistatakse suure ladina tähega rasvases stiilis ilma varjuta. See.:

Need. Irratsionaalarvude hulk on reaal- ja ratsionaalarvude hulk.

Irratsionaalarvude omadused.

• Kahe mittenegatiivse irratsionaalarvu summa võib olla ratsionaalne arv.
• Irratsionaalarvud defineerivad Dedekindi kärpeid ratsionaalarvude hulgas, mille alumises klassis pole suurimat arvu ja ülemises klassis pole väiksemat.
• Iga tõeline transtsendentaalne arv on irratsionaalne arv.
• Kõik irratsionaalsed arvud on kas algebralised või transtsendentaalsed.
• Irratsionaalarvude hulk on arvujoonel kõikjal tihe: iga arvupaari vahel on irratsionaalarv.
• Irratsionaalarvude hulga järjekord on isomorfne reaalsete transtsendentaalsete arvude hulga järjestusega.
• Irratsionaalarvude hulk on lõpmatu ja on 2. kategooria hulk.
• Iga ratsionaalarvudega aritmeetilise tehte tulemus (välja arvatud 0-ga jagamine) on ratsionaalarv. Irratsionaalarvude aritmeetiliste toimingute tulemus võib olla kas ratsionaal- või irratsionaalarv.
• Ratsionaal- ja irratsionaalarvu summa jääb alati irratsionaalarvuks.
• Irratsionaalarvude summa võib olla ratsionaalne arv. Näiteks, lase x irratsionaalne siis y=x*(-1) ka irratsionaalne; x+y=0, ja number 0 ratsionaalne (kui liidame näiteks mistahes astme 7 juure ja miinus seitsme sama astme juure, saame ratsionaalarvu 0).

Irratsionaalsed arvud, näited.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Juba muistsed matemaatikud teadsid ühikupikkuse lõiku: nad teadsid näiteks diagonaali ja ruudu külje võrreldamatust, mis võrdub arvu irratsionaalsusega.

Irratsionaalsed on:

Näited irratsionaalsuse tõestuseks

2. juur

Oletame vastupidist: see on ratsionaalne, see tähendab, et see on esitatud taandamatu murru kujul, kus ja on täisarvud. Võrdleme oletatava võrdsuse:

.

Sellest järeldub, et isegi on isegi ja . Las see olla seal, kus on tervik. Siis

Seetõttu tähendab isegi isegi ja . Leidsime, et ja on paaris, mis on vastuolus murdosa taandatamatusega. See tähendab, et esialgne eeldus oli vale ja see on irratsionaalne arv.

Arvu 3 kahendlogaritm

Oletame vastupidist: see on ratsionaalne, see tähendab, et see on esitatud murdena, kus ja on täisarvud. Alates , ja saab valida positiivseks. Siis

Aga paaris ja veider. Saame vastuolu.

e

Lugu

Irratsionaalarvude kontseptsiooni võtsid India matemaatikud kaudselt kasutusele 7. sajandil eKr, kui Manava (umbes 750 eKr – u 690 eKr) leidis, et mõne naturaalarvu, näiteks 2 ja 61 ruutjuuri ei saa otseselt väljendada. .

Esimeseks tõendiks irratsionaalsete arvude olemasolu kohta omistatakse tavaliselt Hippasusele Metapontosest (umbes 500 eKr), Pythagorase'le, kes leidis selle tõendi pentagrammi külgede pikkusi uurides. Pythagoraslaste ajal usuti, et eksisteerib üksainus pikkusühik, piisavalt väike ja jagamatu, mis siseneb mis tahes lõiku täisarv kordi. Hippasus väitis aga, et ühest pikkuseühikut pole olemas, kuna selle olemasolu oletus toob kaasa vastuolu. Ta näitas, et kui võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus sisaldab täisarvu ühiklõike, siis peab see arv olema nii paaris kui ka paaritu. Tõestus nägi välja selline:

• Võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkuse ja jala pikkuse suhet saab väljendada järgmiselt a:b, Kus a Ja b valitud võimalikult väikseks.
• Pythagorase teoreemi järgi: a² = 2 b².
• Sest a- isegi, a peab olema paaris (kuna paaritu arvu ruut oleks paaritu).
• Kuna a:b taandamatu b peab olema veider.
• Sest a isegi, me tähistame a = 2y.
• Siis a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y² seega b- isegi siis b isegi.
• Siiski on tõestatud, et b kummaline. Vastuolu.

Kreeka matemaatikud nimetasid seda võrreldamatute suuruste suhet alogos(ütlematu), kuid legendide järgi ei avaldanud nad Hippasusele nõuetekohast austust. On legend, et Hippasus tegi avastuse merereisil ja teised Pythagorased viskasid ta üle parda "universumi elemendi loomise pärast, mis eitab doktriini, et kõiki universumi üksusi saab taandada täisarvudeks ja nende suheteks". Hippasuse avastamine tekitas Pythagorase matemaatika jaoks tõsise probleemi, hävitades selle aluseks olnud eelduse, et arvud ja geomeetrilised objektid on üks ja lahutamatud.

Vaata ka

Märkmed

Arvsüsteemid
Loendamine komplektid	Täisarvud ()

Mis on irratsionaalsed arvud? Miks neid nii kutsutakse? Kus neid kasutatakse ja mis need on? Vähesed inimesed suudavad neile küsimustele mõtlemata vastata. Kuid tegelikult on vastused neile üsna lihtsad, kuigi kõik ei vaja neid ja väga harvadel juhtudel

Olemus ja tähistus

Irratsionaalarvud on lõpmatud mitteperioodilised arvud. Selle mõiste kasutuselevõtu vajadus tuleneb asjaolust, et tekkivate uute probleemide lahendamiseks ei piisanud enam varem eksisteerinud reaal- või reaalarvude, naturaal- ja ratsionaalarvude mõistetest. Näiteks selleks, et arvutada, milline suurus on 2 ruut, peate kasutama mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendkohti. Lisaks pole paljudel lihtsatel võrranditel lahendust ka irratsionaalarvu kontseptsiooni tutvustamata.

Seda komplekti tähistatakse kui I. Ja nagu juba selge, ei saa neid väärtusi esitada lihtmurruna, mille lugeja on täisarv ja nimetaja on

Esimest korda puutusid India matemaatikud selle nähtusega ühel või teisel viisil kokku 7. sajandil, kui avastati, et mõne suuruse ruutjuuri ei saa selgesõnaliselt näidata. Ja esimene tõend selliste arvude olemasolu kohta omistatakse Pythagorase Hippasusele, kes tegi seda võrdhaarse täisnurkse kolmnurga uurimisel. Mõned teised enne meie ajastut elanud teadlased andsid selle komplekti uurimisele tõsise panuse. Irratsionaalsete arvude kontseptsiooni kasutuselevõtt tõi kaasa olemasoleva matemaatilise süsteemi revideerimise, mistõttu on need nii olulised.

nime päritolu

Kui ladina keelest tõlgitud suhe on "murd", "suhe", siis eesliide "ir"
annab sellele sõnale vastupidise tähenduse. Seega näitab nende arvude hulga nimi, et neid ei saa korreleerida täisarvu või murdosaga ja neil on eraldi koht. See tuleneb nende olemusest.

Koht üldarvestuses

Irratsionaalarvud kuuluvad koos ratsionaalarvudega reaal- või reaalarvude rühma, mis omakorda kuuluvad kompleksarvude hulka. Alamhulka pole, kuid on algebralisi ja transtsendentaalseid variante, mida arutatakse allpool.

Omadused

Kuna irratsionaalarvud on osa reaalarvude hulgast, kehtivad nende suhtes kõik nende omadused, mida aritmeetikas uuritakse (neid nimetatakse ka algebralisteks põhiseadusteks).

a + b = b + a (kommutatiivsus);

(a + b) + c = a + (b + c) (assotsiatiivsus);

a + (-a) = 0 (vastandarvu olemasolu);

ab = ba (kommutatiivne seadus);

(ab)c = a(bc) (jaotus);

a(b+c) = ab + ac (jaotusseadus);

a x 1/a = 1 (retsiprookarvu olemasolu);

Võrdlus toimub ka üldiste seaduste ja põhimõtete järgi:

Kui a > b ja b > c, siis a > c (seose transitiivsus) ja. jne.

Muidugi saab kõiki irratsionaalseid numbreid põhiaritmeetika abil teisendada. Erireegleid ei ole.

Lisaks kehtib Archimedese aksioom irratsionaalarvude kohta. Selles öeldakse, et iga kahe suuruse a ja b korral on tõsi, et kui võtta a liikmeks piisavalt korda, võite b ületada.

Kasutamine

Vaatamata asjaolule, et te ei kohta neid igapäevaelus väga sageli, ei saa irratsionaalseid numbreid üles lugeda. Neid on tohutult palju, kuid nad on peaaegu nähtamatud. Irratsionaalsed arvud on kõikjal meie ümber. Kõigile tuttavad näited on arv pi, mis on võrdne 3,1415926... või e, mis on sisuliselt naturaallogaritmi alus, 2,718281828... Algebras, trigonomeetrias ja geomeetrias tuleb neid pidevalt kasutada. Muide, ka "kuldse suhte" kuulus tähendus, st nii suurema osa ja väiksema osa suhe kui ka vastupidi

kuulub sellesse komplekti. Vähem tuntud “hõbedane” ka.

Arvjoonel asuvad need väga tihedalt, nii et kahe ratsionaalseks liigitatud suuruse vahel tekib kindlasti üks irratsionaalne.

Selle komplektiga on seotud veel palju lahendamata probleeme. On olemas sellised kriteeriumid nagu irratsionaalsuse mõõt ja arvu normaalsus. Matemaatikud jätkavad kõige olulisemate näidete uurimist, et teha kindlaks, kas need kuuluvad ühte või teise rühma. Näiteks arvatakse, et e on tavaline arv, st erinevate numbrite esinemise tõenäosus selle tähistuses on sama. Mis puutub pi-sse, siis selle kohta uuringud alles käivad. Irratsionaalsuse mõõt on väärtus, mis näitab, kui hästi saab antud arvu ratsionaalsete arvude abil lähendada.

Algebraline ja transtsendentaalne

Nagu juba mainitud, jagatakse irratsionaalsed arvud tinglikult algebralisteks ja transtsendentaalseteks. Tinglikult, kuna rangelt võttes kasutatakse seda klassifikatsiooni hulga C jagamiseks.

See tähistus peidab kompleksarvud, mis sisaldavad reaal- või reaalarve.

Niisiis, algebraline on väärtus, mis on polünoomi juur, mis ei ole identselt võrdne nulliga. Näiteks 2 ruutjuur kuuluks sellesse kategooriasse, kuna see on võrrandi x 2 lahendus – 2 = 0.

Kõiki teisi reaalarve, mis sellele tingimusele ei vasta, nimetatakse transtsendentaalseteks. Sellesse sorti kuuluvad kõige kuulsamad ja juba mainitud näited - arv pi ja naturaallogaritmi alus e.

Huvitaval kombel ei olnud matemaatikud algselt välja töötanud üht ega teist nende irratsionaalsust ja transtsendentsust mitu aastat pärast nende avastamist. Pi jaoks esitati tõestus 1882. aastal ja lihtsustati 1894. aastal, lõpetades 2500 aastat kestnud debati ringi ruudu ruudustamise probleemi üle. Seda pole ikka veel täielikult uuritud, nii et kaasaegsetel matemaatikutel on, mille kallal töötada. Muide, selle väärtuse esimese üsna täpse arvutuse tegi Archimedes. Enne teda olid kõik arvutused liiga ligikaudsed.

e jaoks (Euleri või Napieri arv) leiti 1873. aastal tõend selle ületamisest. Seda kasutatakse logaritmiliste võrrandite lahendamisel.

Muud näited hõlmavad siinuse, koosinuse ja tangensi väärtusi mis tahes algebralise nullist erineva väärtuse jaoks.

Irratsionaalarvu definitsioon

Irratsionaalsed arvud on need arvud, mis kümnendsüsteemis tähistavad lõputuid mitteperioodilisi kümnendmurde.

Näiteks naturaalarvude ruutjuure võtmisel saadud arvud on irratsionaalsed ega ole naturaalarvude ruudud. Kuid mitte kõiki irratsionaalseid numbreid ei saada ruutjuurte võtmisega, sest ka jagamisel saadud arv pi on irratsionaalne ja tõenäoliselt ei saa te seda naturaalarvu ruutjuure eraldamisel.

Irratsionaalarvude omadused

Erinevalt arvudest, mis on kirjutatud lõpmatu kümnendkohana, kirjutatakse ainult irratsionaalsed arvud mitteperioodiliste lõpmatute kümnendkohtadena.
Kahe mittenegatiivse irratsionaalarvu summa võib lõpuks saada ratsionaalarvuks.
Irratsionaalarvud defineerivad Dedekindi kärpeid ratsionaalarvude hulgas, mille alumises klassis pole suurimat arvu ja ülemises klassis pole väiksemat.
Iga tõeline transtsendentaalne arv on irratsionaalne.
Kõik irratsionaalsed arvud on kas algebralised või transtsendentaalsed.
Irratsionaalarvude hulk sirgel paikneb tihedalt ja selle mis tahes kahe arvu vahel on kindlasti irratsionaalarv.
Irratsionaalarvude hulk on lõpmatu, loendamatu ja on 2. kategooria hulk.
Ratsionaalarvudega mis tahes aritmeetilise toimingu sooritamisel, välja arvatud 0-ga jagamine, on tulemuseks ratsionaalarv.
Lisades irratsionaalarvule ratsionaalarvu, on tulemuseks alati irratsionaalarv.
Irratsionaalarvude liitmisel võime saada ratsionaalarvu.
Irratsionaalarvude hulk pole paaris.

Numbrid ei ole irratsionaalsed

Mõnikord on üsna raske vastata küsimusele, kas arv on irratsionaalne, eriti juhtudel, kui arv on kümnendmurru või arvavaldise, juure või logaritmi kujul.

Seetõttu ei ole üleliigne teada, millised arvud pole irratsionaalsed. Kui lähtuda irratsionaalarvude definitsioonist, siis me juba teame, et ratsionaalarvud ei saa olla irratsionaalsed.

Irratsionaalsed arvud ei ole:

Esiteks kõik naturaalarvud;
Teiseks täisarvud;
Kolmandaks harilikud murrud;
Neljandaks erinevad seganumbrid;
Viiendaks, need on lõpmatud perioodilised kümnendmurrud.

Lisaks kõigele eelnevale ei saa irratsionaalarv olla mistahes ratsionaalarvude kombinatsioon, mida sooritavad aritmeetiliste tehtete märgid, nagu +, -, , :, kuna sel juhul on ka kahe ratsionaalarvu tulemus ratsionaalne arv.

Nüüd vaatame, millised arvud on irratsionaalsed:

Kas teate fänniklubi olemasolust, kus selle salapärase matemaatilise nähtuse fännid otsivad Pi kohta üha rohkem teavet, püüdes selle saladust lahti harutada? Selle klubi liikmeks võib saada igaüks, kes teab peast teatud arvu Pi-arve pärast koma;

Kas teadsite, et Saksamaal asub UNESCO kaitse all Castadel Monte palee, tänu mille proportsioonidele saab arvutada Pi. Kuningas Frederick II pühendas sellele numbrile kogu palee.

Selgub, et nad üritasid Paabeli torni ehitamisel kasutada numbrit Pi. Kuid kahjuks viis see projekti kokkuvarisemiseni, kuna sel ajal ei uuritud Pi väärtuse täpset arvutamist piisavalt.

Laulja Kate Bush salvestas oma uuele plaadile laulu nimega "Pi", milles kõlas sada kakskümmend neli numbrit kuulsast numbrisarjast 3, 141….

Näide:
\(4\) on ratsionaalarv, sest seda saab kirjutada kujul \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) on ka ratsionaalne, sest seda saab kirjutada kujul \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)...\) - ja see on ratsionaalne arv: saab esitada kujul \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) on ratsionaalne, kuna seda saab esitada kujul \(\frac(1)(2)\) . Tõepoolest, saame läbi viia teisenduste ahela \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

Irratsionaalne arv on arv, mida ei saa kirjutada täisarvulise lugeja ja nimetajaga murruna.

See on võimatu, sest see on lõputu murrud ja isegi mitteperioodilised. Seetõttu pole täisarve, mis üksteisega jagamisel annaksid irratsionaalarvu.

Näide:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) on irratsionaalne arv;
\(π≈3,1415926… \) on irratsionaalne arv;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) on irratsionaalne arv.

Näide (Ülesanne OGE-lt). Millise avaldise tähendus on ratsionaalne arv?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Lahendus:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – \(14\) juurt ei saa võtta, mis tähendab, et arvu on võimatu esitada täisarvudega murdosana, seetõttu on arv irratsionaalne.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – juure ei jää, arvu saab lihtsalt murdena esitada, näiteks \(\frac(-5)(1)\), mis tähendab, et see on ratsionaalne.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – juurt ei saa välja tõmmata – arv on irratsionaalne.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) on samuti irratsionaalne.