Sõnad suurte arvude kohta viitavad testide arvule - võetakse arvesse juhusliku muutuja suurt hulka väärtusi või suure hulga juhuslike muutujate kumulatiivset mõju. Selle seaduse olemus on järgmine: kuigi on võimatu ennustada, millise väärtuse üksik juhuslik suurus ühes katses omandab, kaotab suure hulga sõltumatute juhuslike muutujate tegevuse kogutulemus oma juhuslikkuse ja võib ennustada peaaegu usaldusväärselt (st suure tõenäosusega). Näiteks on võimatu ennustada, mis suunas üks münt maandub. Kui aga visata 2 tonni münte, siis võib suure kindlusega väita, et vapiga üleval langenud müntide kaal võrdub 1 tonniga.

Suurte arvude seadus viitab eelkõige nn Tšebõševi ebavõrdsusele, mis hindab ühe testiga tõenäosust, et juhuslik suurus võtab vastu väärtuse, mis erineb keskmisest väärtusest mitte rohkem kui etteantud väärtuse võrra.

Tšebõševi ebavõrdsus. Lase X- suvaline juhuslik suurus, a=M(X) , A D(X) – selle dispersioon. Siis

Näide. Masina sisse lülitatud hülsi läbimõõdu nimiväärtus (st nõutav) on võrdne 5 mm, ja hajumist pole enam 0.01 (see on masina täpsustolerants). Hinnake tõenäosust, et ühe puksi valmistamisel on selle läbimõõdu kõrvalekalle nominaalsest väiksem kui 0,5 mm .

Lahendus. Lase r.v. X– valmistatud puksi läbimõõt. Vastavalt tingimusele on selle matemaatiline ootus võrdne nimiläbimõõduga (kui masina seadistustes pole süstemaatilist riket): a=M(X)=5 ja dispersioon D(X) ≤ 0,01. Rakendades Tšebõševi ebavõrdsust at ε = 0,5, saame:

Seega on sellise kõrvalekalde tõenäosus üsna suur ja seetõttu võime järeldada, et detaili ühekordsel valmistamisel on peaaegu kindel, et läbimõõdu hälve nominaalsest ei ületa 0,5 mm .

Selle tähenduses on standardhälve σ iseloomustab keskmine juhusliku suuruse kõrvalekalle oma keskpunktist (s.o. tema matemaatilisest ootusest). Sest see keskmine kõrvalekalle, siis on testimise ajal võimalikud suured (rõhuasetus o-l) kõrvalekalded. Kui suured kõrvalekalded on praktiliselt võimalikud? Normaalse jaotusega juhuslike muutujate uurimisel tuletasime "kolme sigma" reegli: normaalse jaotusega juhuslik muutuja X ühes testis praktiliselt ei erine oma keskmisest rohkem kui 3σ, Kus σ = σ(X)– r.v. standardhälve. X. Selle reegli tuletasime sellest, et saime ebavõrdsuse

.

Hindame nüüd tõenäosust meelevaldne juhuslik muutuja X aktsepteerida väärtust, mis erineb keskmisest mitte rohkem kui kolm korda standardhälbest. Rakendades Tšebõševi ebavõrdsust at ε = 3σ ja seda arvestades D(Х)= σ 2 , saame:

.

Seega üldiselt me saame hinnata tõenäosust, et juhuslik suurus kaldub oma keskmisest kõrvale mitte rohkem kui kolme standardhälbe võrra arvu järgi 0.89 , samas kui normaaljaotuse puhul saab seda garanteerida tõenäosusega 0.997 .

Tšebõševi ebavõrdsust saab üldistada sõltumatute identselt jaotatud juhuslike muutujate süsteemiks.

Tšebõševi üldistatud ebavõrdsus. Kui sõltumatud juhuslikud muutujad X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a ja dispersioone D(X i )= D, See

Kell n=1 see ebavõrdsus muundub ülalpool sõnastatud Tšebõševi ebavõrdsuseks.

Tšebõševi ebavõrdsust, millel on iseseisev tähendus vastavate ülesannete lahendamisel, kasutatakse nn Tšebõševi teoreemi tõestamiseks. Kõigepealt räägime selle teoreemi olemusest ja seejärel esitame selle formaalse sõnastuse.

Lase X 1 , X 2 , … , X n– suur hulk sõltumatuid matemaatiliste ootustega juhuslikke muutujaid M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Kuigi igaüks neist võib katse tulemusel võtta oma keskmisest (st matemaatilisest ootusest) kaugel oleva väärtuse, on juhuslik muutuja
, mis on võrdne nende aritmeetilise keskmisega, võtab tõenäoliselt fikseeritud arvu lähedase väärtuse
(see on kõigi matemaatiliste ootuste keskmine). See tähendab järgmist. Olgu testi tulemusena sõltumatud juhuslikud suurused X 1 , X 2 , … , X n(neid on palju!) võtsid väärtused vastavalt X 1 , X 2 , … , X n vastavalt. Kui need väärtused ise võivad osutuda vastavate juhuslike suuruste keskmistest väärtustest kaugel, siis nende keskmine väärtus
on tõenäoliselt numbri lähedal
. Seega kaotab suure hulga juhuslike suuruste aritmeetiline keskmine juba oma juhuslikkuse ja on suure täpsusega ennustatav. Seda saab seletada asjaoluga, et väärtuste juhuslikud kõrvalekalded X i alates a i võivad olla erineva märgiga ja seetõttu kokkuvõttes need kõrvalekalded suure tõenäosusega kompenseeritakse.

Terema Tšebõšev (suurte arvude seadus Tšebõševi kujul). Lase X 1 , X 2 , … , X n … – paarikaupa sõltumatute juhuslike muutujate jada, mille dispersioon on piiratud sama arvuga. Siis, ükskõik kui väikese arvu ε me võtame, ebavõrdsuse tõenäosus

on nii lähedal ühele kui soovitakse n võtta juhuslikud muutujad piisavalt suured. Formaalselt tähendab see seda, et teoreemi tingimustel

Seda tüüpi lähenemist nimetatakse tõenäosuse lähenemiseks ja seda tähistatakse:

Seega ütleb Tšebõševi teoreem, et kui sõltumatuid juhuslikke muutujaid on piisavalt palju, omandab nende aritmeetiline keskmine ühes testis peaaegu usaldusväärselt nende matemaatiliste ootuste keskmisele lähedase väärtuse.

Kõige sagedamini rakendatakse Tšebõševi teoreemi olukordades, kus juhuslikud muutujad X 1 , X 2 , … , X n … neil on sama jaotus (st sama jaotusseadus või sama tõenäosustihedus). Tegelikult on see lihtsalt sama juhusliku muutuja suur hulk juhtumeid.

Tagajärg(üldine Tšebõševi ebavõrdsus). Kui sõltumatud juhuslikud muutujad X 1 , X 2 , … , X n … on sama jaotus matemaatiliste ootustega M(X i )= a ja dispersioone D(X i )= D, See

, st.
.

Tõestus tuleneb üldistatud Tšebõševi ebavõrdsusest, minnes piirini at n→∞ .

Märgime veel kord, et ülaltoodud võrdsused ei garanteeri koguse väärtust
poole püüdleb A juures n→∞. See suurus jääb endiselt juhuslikuks muutujaks ja selle individuaalsed väärtused võivad olla üsna kaugel A. Kuid sellise tõenäosus (kaugelt mitte A) väärtused kasvavad n kipub 0.

Kommenteeri. Järeldus kehtib ilmselgelt ka üldisemal juhul, kui juhuslikud suurused on sõltumatud X 1 , X 2 , … , X n … neil on erinevad jaotused, kuid samad matemaatilised ootused (võrdne A) ja ühiselt piiratud dispersioonid. See võimaldab ennustada teatud suuruse mõõtmise täpsust, isegi kui need mõõtmised tehti erinevate instrumentidega.

Vaatleme üksikasjalikumalt selle järelduse rakendamist suuruste mõõtmisel. Kasutame mõnda seadet n sama suuruse mõõtmised, mille tegelik väärtus on võrdne A ja me ei tea. Selliste mõõtmiste tulemused X 1 , X 2 , … , X n võivad üksteisest (ja tegelikust väärtusest) oluliselt erineda A) erinevate juhuslike tegurite mõjul (rõhumuutused, temperatuur, juhuslik vibratsioon jne). Kaaluge r.v. X– mõõteriista näit suuruse ühekordseks mõõtmiseks, samuti kogum r.v. X 1 , X 2 , … , X n– instrumendi näit esimesel, teisel, ..., viimasel mõõtmisel. Seega iga kogus X 1 , X 2 , … , X n on vaid üks juhtudest s.v. X ja seetõttu on neil kõigil sama jaotus nagu r.v. X. Kuna mõõtmistulemused üksteisest ei sõltu, siis r.v. X 1 , X 2 , … , X n võib pidada iseseisvaks. Kui seade ei tekita süstemaatilist viga (näiteks skaala null ei ole “väljas”, vedru ei ole venitatud jne), siis võib eeldada, et matemaatiline ootus M(X) = a, ning seetõttu M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Seega on ülaltoodud järelduse tingimused täidetud ja seega koguse ligikaudse väärtusena A võime võtta juhusliku muutuja "teostuse".
meie katses (mis koosneb rea läbiviimisest n mõõdud), st.

.

Suure arvu mõõtmiste korral on selle valemi abil arvutamise hea täpsus praktiliselt kindel. Sellest lähtub praktiline põhimõte, et suure arvu mõõtmiste korral ei erine nende aritmeetiline keskmine praktiliselt kuigi palju mõõdetud väärtuse tegelikust väärtusest.

Matemaatilises statistikas laialdaselt kasutatav "valimise" meetod põhineb suurte arvude seadusel, mis võimaldab saada selle objektiivsed omadused vastuvõetava täpsusega suhteliselt väikesest juhusliku suuruse väärtuste valimi põhjal. Kuid sellest tuleb juttu järgmises osas.

Näide. Teatud suurust mõõdetakse mõõteseadmel, mis ei tekita süstemaatilisi moonutusi Aüks kord (saadud väärtus X 1 ) ja seejärel veel 99 korda (saadud väärtused X 2 , … , X 100 ). Tõelise mõõteväärtuse jaoks A esimesena võetakse esimese mõõtmise tulemus
ja seejärel kõigi mõõtmiste aritmeetiline keskmine
. Seadme mõõtetäpsus on selline, et mõõtmise standardhälve σ ei ole suurem kui 1 (seetõttu on dispersioon D=σ 2 samuti ei ületa 1). Hinnake iga mõõtmismeetodi puhul tõenäosust, et mõõtmisviga ei ületa 2.

Lahendus. Lase r.v. X– instrumendi näit ühe mõõtmise jaoks. Siis tingimuste järgi M(X)=a. Esitatud küsimustele vastamiseks rakendame üldistatud Tšebõševi ebavõrdsust

ε juures =2 kõigepealt jaoks n=1 ja siis eest n=100 . Esimesel juhul saame
, ja teises. Seega tagab teine ​​juhtum praktiliselt määratud mõõtmistäpsuse, esimene aga jätab selles mõttes suuri kahtlusi.

Rakendame ülaltoodud väiteid Bernoulli skeemis tekkivate juhuslike suuruste kohta. Tuletagem meelde selle skeemi olemust. Las toodetakse n sõltumatud katsed, millest igaüks sisaldab mõnda sündmust A võib ilmneda sama tõenäosusega R, A q=1–р(tähenduses on see vastupidise sündmuse tõenäosus - sündmust ei toimu A) . Kulutame mõne numbri n sellised testid. Vaatleme juhuslikke muutujaid: X 1 – sündmuse esinemiste arv A V 1 - test, ..., X n– sündmuse esinemiste arv A V n- test. Kõik sisestatud s.v. võib omandada väärtusi 0 või 1 (sündmus A võib testis ilmuda või mitte) ja väärtus 1 vastavalt tingimusele aktsepteeritakse igas katses tõenäosusega lk(sündmuse toimumise tõenäosus A igas katses) ja väärtus 0 tõenäosusega q= 1 – lk. Seetõttu on nendel suurustel samad jaotusseadused:

X 1

X n

Seetõttu on ka nende suuruste ja nende dispersioonide keskmised väärtused samad: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p = p, …, M(X n )= lk ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ lk)− lk 2 = lk∙(1− lk)= lk ∙ q, … , D(X n )= lk ∙ q. Asendades need väärtused üldistatud Tšebõševi ebavõrdsusega, saame

.

On selge, et r.v. X=X 1 +…+X n on sündmuse esinemiste arv A kõik n testid (nagu öeldakse - "edumiste arv". n testid). Laske dirigeeritud sisse n testimisüritus A ilmus sisse k nendest. Siis saab eelmise võrratuse kirjutada kujul

.

Aga suurusjärk
, võrdub sündmuse esinemiste arvu suhtega A V n sõltumatuid katseid uuringute koguarvuni nimetati varem suhteliseks sündmuste sageduseks A V n testid. Seetõttu on ebavõrdsus

.

Pöörates nüüd piiranguni kell n→∞, saame
, st.
(tõenäoliselt). See moodustab suurte arvude seaduse sisu Bernoulli kujul. Sellest järeldub, et piisavalt suure hulga testidega n suhtelise sageduse meelevaldselt väikesed kõrvalekalded
sündmusi selle tõenäosusest R- peaaegu usaldusväärsed sündmused ja suured kõrvalekalded - peaaegu võimatud. Sellest tulenev järeldus suhteliste sageduste sellise stabiilsuse kohta (millest me varem rääkisime kui eksperimentaalne fakt) põhjendab varem tutvustatud statistilist definitsiooni sündmuse tõenäosusest kui arvust, mille ümber sündmuse suhteline sagedus kõigub.

Arvestades, et väljend lk∙ q= lk∙(1− lk)= lk− lk 2 ei ületa muutuste intervalli
(seda saab hõlpsasti kontrollida, leides sellel segmendil selle funktsiooni miinimumi), ülaltoodud ebavõrdsusest
lihtne seda saada

,

mida kasutatakse asjakohaste probleemide lahendamisel (üks neist on toodud allpool).

Näide. Münti visati 1000 korda. Hinnake tõenäosust, et vapi välimuse suhtelise sageduse hälve selle tõenäosusest on väiksem kui 0,1.

Lahendus. Ebavõrdsuse rakendamine
juures lk= q=1/2 , n=1000 , ε = 0,1, me saame .

Näide. Hinnake tõenäosust, et eelmise näite tingimustes on arv k langenud embleemid jäävad vahemikku alates 400 enne 600 .

Lahendus. Seisund 400< k<600 tähendab seda 400/1000< k/ n<600/1000 , st. 0.4< W n (A)<0.6 või
. Nagu just eelmisest näitest nägime, pole sellise sündmuse tõenäosus väiksem 0.975 .

Näide. Mõne sündmuse tõenäosuse arvutamiseks A Viidi läbi 1000 katset, milles sündmus A ilmunud 300 korda. Hinnake tõenäosust, et suhteline sagedus (võrdne 300/1000 = 0,3) on tegelikust tõenäosusest eemal R mitte rohkem kui 0,1.

Lahendus. Ülaltoodud ebavõrdsuse rakendamine
kui n=1000, ε=0,1, saame .

Suurte arvude seadus tõenäosusteoorias väidab, et fikseeritud jaotusest pärineva piisavalt suure lõpliku valimi empiiriline keskmine (aritmeetiline keskmine) on lähedane selle jaotuse teoreetilisele keskmisele (matemaatilisele ootusele). Sõltuvalt konvergentsi tüübist eristatakse suurte arvude nõrka seadust, kui lähenemine toimub tõenäosusega, ja suurte arvude tugevat seadust, kui lähenemine toimub peaaegu kõikjal.

Alati on piiratud arv katseid, mida iga etteantud tõenäosuse korral on vähem 1 mõne sündmuse suhteline esinemissagedus erineb võimalikult vähe selle tõenäosusest.

Suurte arvude seaduse üldine tähendus: suure hulga identsete ja sõltumatute juhuslike tegurite koosmõju viib tulemuseni, mis piirides ei sõltu juhusest.

Lõpliku valimi analüüsil põhinevad tõenäosuse hindamise meetodid põhinevad sellel omadusel. Ilmekas näide on valimistulemuste prognoos valijate valimi uuringu põhjal.

Entsüklopeediline YouTube

1 / 5

✪ Suurte arvude seadus

✪ 07 – Tõenäosusteooria. Suurte arvude seadus

✪ 42 suurte arvude seadus

✪ 1 - Tšebõševi suurte arvude seadus

✪ 11. klass, 25. tund, Gaussi kõver. Suurte arvude seadus

Subtiitrid

Vaatame suurte arvude seadust, mis on ehk kõige intuitiivsem seadus matemaatikas ja tõenäosusteoorias. Ja kuna see kehtib väga paljude asjade kohta, kasutatakse seda mõnikord ja mõistetakse valesti. Lubage mul kõigepealt see täpsuse huvides määratleda ja seejärel räägime intuitsioonist. Võtame juhusliku suuruse, näiteks X. Oletame, et teame selle matemaatilist ootust või üldkogumi keskmist. Suurte arvude seadus ütleb lihtsalt, et kui me võtame juhusliku suuruse n-nda arvu vaatluste näite ja võtame kõigi nende vaatluste keskmise... Võtame muutuja. Nimetagem seda X-ks, mille ülaosas on alaindeksi n ja riba. See on meie juhusliku suuruse n-nda vaatluste arvu aritmeetiline keskmine. Siin on minu esimene tähelepanek. Ma teen katse üks kord ja teen selle vaatluse, siis teen seda uuesti ja teen selle vaatluse ja teen seda uuesti ja saan selle. Korraldan selle katse n-ndat korda ja jagan siis oma vaatluste arvuga. Siin on minu näidiskeskmine. Siin on kõigi minu tehtud tähelepanekute keskmine. Suurte arvude seadus ütleb meile, et minu valimi keskmine läheneb juhusliku suuruse eeldatavale väärtusele. Või võin ka kirjutada, et minu valimi keskmine läheneb lõpmatuseni kalduva n-nda suuruse populatsiooni keskmisele. Ma ei hakka selgelt eristama "lähendamist" ja "konvergentsi", kuid loodan, et saate intuitiivselt aru, et kui ma võtan siin üsna suure valimi, siis saan eeldatava väärtuse kogu üldkogumi kohta. Ma arvan, et enamik teist mõistab intuitiivselt, et kui ma teen piisavalt teste suure hulga näidetega, siis lõpuks annavad testid mulle väärtused, mida ootan, võttes arvesse eeldatavat väärtust ja tõenäosust ja kogu seda jazzi. Kuid ma arvan, et sageli jääb arusaamatuks, miks see nii juhtub. Ja enne kui hakkan selgitama, miks see nii on, lubage mul tuua konkreetne näide. Suurte arvude seadus ütleb meile, et... Oletame, et meil on juhuslik suurus X. See on võrdne peade arvuga 100 õiglase mündi viskamisel. Esiteks teame selle juhusliku muutuja matemaatilist ootust. See on mündiviskamiste või katsete arv, mis on korrutatud mis tahes katse õnnestumise tõenäosusega. Seega on see võrdne 50-ga. See tähendab, et suurte arvude seadus ütleb, et kui me võtame proovi või kui ma arvutan nende katsete keskmise, siis ma saan. .. Kui ma esimest korda testi teen, viskan münti 100 korda või võtan saja mündiga karbi, raputan seda ja siis loendan, mitu pead ma saan, ja ma saan, ütleme , number 55. See oleks X1. Siis raputan uuesti kasti ja saan numbri 65. Siis jälle ja saan 45. Ja ma teen seda n arv kordi ja jagan siis katsete arvuga. Suurte arvude seadus ütleb meile, et see keskmine (kõikide minu vaatluste keskmine) läheneb 50-le, kui n läheneb lõpmatusele. Nüüd tahaksin veidi rääkida, miks see nii juhtub. Paljud usuvad, et kui pärast 100 katset on mu tulemus üle keskmise, siis tõenäosusseaduste järgi peaksin saama rohkem või vähem päid, et nii-öelda vahet kompenseerida. Päris nii see ei juhtu. Seda nimetatakse sageli "mänguri eksimuseks". Las ma näitan teile erinevust. Kasutan järgmist näidet. Las ma joonistan graafiku. Muudame värvi. See on n, minu x-telg on n. See on testide arv, mida ma teen. Ja minu Y-telg on valimi keskmine. Teame, et selle suvalise muutuja matemaatiline ootus on 50. Las ma joonistan selle. See on 50. Tuleme tagasi oma näite juurde. Kui n on... Esimesel testil sain 55, see on minu keskmine. Mul on ainult üks andmesisestuspunkt. Siis pärast kahte testi saan 65. Minu keskmine oleks siis 65+55 jagatud 2-ga. See on 60. Ja mu keskmine on veidi tõusnud. Siis sain 45, mis jällegi langetas mu aritmeetilist keskmist. Ma ei kavatse joonistada 45. Nüüd pean selle kõige keskmise arvutama. Millega võrdub 45+65? Las ma arvutan selle väärtuse punkti esindamiseks. See on 165 jagatud 3-ga. See on 53. Ei, 55. Nii et keskmine langeb tagasi 55-ni. Võime neid katseid jätkata. Pärast seda, kui oleme teinud kolm katset ja saanud selle keskmise, arvavad paljud, et tõenäosusjumalad hoolitsevad selle eest, et me saaksime tulevikus vähem päid ja et paari järgmise katse puhul on keskmise alandamiseks madalamad tulemused. Kuid see ei ole alati nii. Edaspidi jääb tõenäosus alati samaks. Alati on 50% tõenäosus, et saan pead. Asi pole selles, et ma saan alguses teatud arvu päid, rohkem, kui ootan, ja siis äkki pean sabad saama. See on mänguri eksitus. See, et saad ebaproportsionaalselt palju päid, ei tähenda, et ühel hetkel hakkab sul ebaproportsionaalselt palju sabasid saama. See pole täiesti tõsi. Suurte arvude seadus ütleb meile, et sellel pole tähtsust. Oletame, et pärast teatud lõplikku arvu teste on teie keskmine... Selle tõenäosus on üsna väike, kuid sellegipoolest... Oletame, et teie keskmine on jõudnud selle märgini - 70. Arvate: "Vau, me oleme oodatud väärtusest kaugenenud." Kuid suurte arvude seadus ütleb, et pole vahet, kui palju teste me teeme. Meil on veel ees lõputu hulk väljakutseid. Selle lõpmatu arvu katsete matemaatiline ootus, eriti sellises olukorras, oleks järgmine. Kui jõuate lõpliku arvuni, mis väljendab mingit suurt väärtust, viib sellega koonduv lõpmatu arv taas eeldatava väärtuseni. See on muidugi väga lõtv tõlgendus, kuid seda ütleb meile suurte arvude seadus. See on tähtis. See ei ütle meile, et kui me saame palju päid, siis kuidagi suureneb tõenäosus, et saame sabad, et kompenseerida. See seadus ütleb meile, et pole vahet, milline on lõpptulemus piiratud arvu katsete puhul, kui teil on veel lõpmatu arv katseid. Ja kui teete neid piisavalt, jõuate taas oodatud väärtuse juurde. See on oluline punkt. Mõtle selle üle. Aga seda ei kasutata praktikas iga päev loteriide ja kasiinodega, kuigi on teada, et kui teha piisavalt teste... Võime isegi välja arvutada... kui suur on tõenäosus, et kaldume normist tõsiselt kõrvale? Aga kasiinod ja loteriid töötavad iga päev põhimõttel, et kui võtad loomulikult lühikese aja jooksul väikese valimiga piisavalt inimesi, siis paar inimest löövad jackpoti. Kuid üle pika aja võidab kasiino alati tänu nende mängude parameetritele, mida nad mängima kutsuvad. See on oluline tõenäosuse põhimõte, mis on intuitiivne. Kuigi mõnikord tundub see kõik veidi segane, kui seda teile formaalselt juhuslike muutujatega seletatakse. Kõik see seadus ütleb, et mida rohkem valimeid on, seda rohkem kaldub nende valimite aritmeetiline keskmine tõelise keskmise poole. Ja kui täpsem olla, siis teie valimi aritmeetiline keskmine läheneb juhusliku suuruse matemaatilisele ootusele. See on kõik. Kohtumiseni järgmises videos!

Suurte arvude nõrk seadus

Suurte arvude nõrka seadust nimetatakse ka Bernoulli teoreemiks Jacob Bernoulli järgi, kes tõestas seda 1713. aastal.

Olgu olemas identselt jaotatud ja korreleerimata juhuslike muutujate lõpmatu jada (järjestikune loendus). See tähendab nende kovariatsiooni c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\kõik i\not =j). Laske . Tähistame esimese valimi keskmisega n (\displaystyle n) liikmed:

.

Siis X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

See tähendab iga positiivse jaoks ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Tugevdatud suurte arvude seadus

Olgu sõltumatute identse jaotusega juhuslike muutujate lõpmatu jada ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), mis on määratletud ühel tõenäosusruumil (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Lase E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\all i\in \mathbb (N) ). Tähistagem poolt X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n)) valimi keskmine n (\displaystyle n) liikmed:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\mathbb (N) ).

Siis X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) peaaegu alati.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ paremal)=1.) .

Nagu iga matemaatiline seadus, saab suurte arvude seadust reaalses maailmas rakendada ainult teatud eeldustel, mida saab täita ainult teatud täpsusega. Näiteks ei saa järjestikuseid katsetingimusi sageli lõputult ja absoluutse täpsusega säilitada. Lisaks räägib suurte arvude seadus ainult sellest ebatõenäolisus keskmise väärtuse oluline kõrvalekalle matemaatilisest ootusest.

SUURTE ARVUDE SEADUS

üldpõhimõte, mille kohaselt juhuslike tegurite kombinatsioon viib teatud väga üldistel tingimustel tulemuseni, mis on peaaegu juhusest sõltumatu. Selle põhimõtte toimimise esimeseks näiteks võib olla juhusliku sündmuse esinemissageduse ja selle tõenäosuse lähenemine katsete arvu suurenemisel (esmakordselt märgati ilmselt hasartmängudes).

17. ja 18. sajandi vahetusel. J. Bernoulli tõestas teoreemi, mis väidab, et sõltumatute katsete jadas, millest igaühes on teatud sündmuse toimumisel sama väärtus, on tõene järgmine seos:

mis tahes - sündmuse esinemiste arv esimestel katsetel, - esinemiste sagedus. See Bernoulli teoreem laiendas S. Poisson sõltumatute katsete jada juhtumile, kus sündmuse A toimumise tõenäosus võib sõltuda katsete arvust. Olgu see k-nda katse tõenäosus võrdne ja olgu

Siis Poissoni teoreem väidab, et

mis tahes Selle teoreemi esimese range käsitluse andis P. L. Chebyshev (1846), kelle meetod erineb täielikult Poissoni meetodist ja põhineb teatud äärmuslikel kaalutlustel; S. Poisson tuletas (2) näidatud tõenäosuse ligikaudsest valemist, mis põhineb Gaussi seaduse kasutamisel ja ei olnud sel ajal veel rangelt põhjendatud. S. Poisson kohtas esmakordselt mõistet “suurte arvude seadus”, mida ta nimetas oma Bernoulli teoreemi üldistamiseks.

Bernoulli ja Poissoni teoreemide loomulik edasine üldistus tekib, kui märkame, et juhuslikke muutujaid saab esitada summana

sõltumatud juhuslikud muutujad, kus kui A ilmub Ath katses ja - muidu. Samas matemaatika ootus (mis langeb kokku matemaatiliste ootuste aritmeetilise keskmisega) on Bernoulli juhtumi ja Poissoni juhtumi puhul võrdne p-ga. Teisisõnu, mõlemal juhul arvestatakse aritmeetilise keskmise hälbe X k nende matemaatilise aritmeetilisest keskmisest ootustele.

P. L. Tšebõševi töös “Keskmised väärtused” (1867) tehti kindlaks, et sõltumatute juhuslike muutujate puhul on seos

(mis tahes ) on väga üldiste eelduste korral tõsi. P. L. Tšebõšev eeldas, et matemaatik. kõik ootused on piiratud sama konstandiga, kuigi tema tõestuse põhjal on selge, et piiratud dispersioonide nõue on piisav

või isegi nõudmisi

Seega näitas P. L. Tšebõšev Bernoulli teoreemi laia üldistuse võimalust. A. A. Markov märkis edasiste üldistuste võimalust ja soovitas kasutada nimetust B. h.z. kogu Bernoulli teoreemi üldistuste kogumile [ja eriti punktile (3)]. Tšebõševi meetod põhineb matemaatika üldiste omaduste täpsel kindlaksmääramisel. ootustest ja kasutamise kohta nn. Tšebõševi ebavõrdsused[tõenäosuse (3) jaoks annab see vormi hinnangu

selle piiri saab asendada täpsemaga, muidugi olulisemate piirangute korral vt Bernsteini ebavõrdsus]. Hilisemad tõendid B. h.z. erinevate vormide kohta. on ühel või teisel määral Tšebõševi meetodi edasiarendus. Rakendades juhuslike suuruste õiget “lõikamist” (asendades need abimuutujatega, nimelt: , kui kus on teatud konstandid), laiendas A. A. Markov B. osa. juhtudel, kui terminite erinevused puuduvad. Näiteks näitas ta, et (3) toimub teatud konstantide korral, kui ja kõik ja

Ära kaota seda. Liituge ja saate oma e-kirjas artikli linki.

Suheldes igapäevaselt töö või õppetöös arvude ja kujunditega, ei kahtlusta paljud meist isegi, et eksisteerib väga huvitav suurte arvude seadus, mida kasutatakse näiteks statistikas, majanduses ning isegi psühholoogilistes ja pedagoogilistes uuringutes. See viitab tõenäosusteooriale ja ütleb, et mis tahes suure valimi aritmeetiline keskmine fikseeritud jaotusest on lähedane selle jaotuse matemaatilisele ootusele.

Tõenäoliselt märkasite, et selle seaduse olemuse mõistmine pole lihtne, eriti neil, kes matemaatikas eriti head ei ole. Sellest lähtuvalt tahaksime sellest lihtsas keeles rääkida (võimaluse piires muidugi), et igaüks saaks vähemalt umbkaudu ise aru, millega on tegu. Need teadmised aitavad teil paremini mõista mõningaid matemaatilisi mustreid, muutuda erudeeritumaks ja avaldada neile positiivset mõju.

Suurte arvude seaduse mõisted ja selle tõlgendamine

Lisaks eelpool käsitletud suurte arvude seaduse definitsioonile tõenäosusteoorias saame anda ka selle majandusliku tõlgenduse. Sel juhul esindab see põhimõtet, et teatud tüüpi rahaliste kahjude sagedust saab suure usaldusväärsusega ennustada, kui sarnast tüüpi kahjude tase üldiselt on suur.

Lisaks saame olenevalt märkide konvergentsi tasemest eristada suurte arvude nõrku ja tugevaid seadusi. Me räägime nõrgast, kui konvergents eksisteerib tõenäoliselt, ja tugevast, kui lähenemine on olemas peaaegu kõiges.

Kui tõlgendada seda mõnevõrra erinevalt, peaksime ütlema nii: alati on võimalik leida lõplik arv katseid, kus iga etteprogrammeeritud tõenäosusega, mis on väiksem kui üks, erineb mõne sündmuse toimumise suhteline sagedus selle tõenäosusest väga vähe.

Seega saab suurte arvude seaduse üldist olemust väljendada järgmiselt: suure hulga identsete ja sõltumatute juhuslike tegurite kompleksse toime tulemuseks on tulemus, mis ei sõltu juhusest. Ja veel lihtsamalt öeldes, siis suurte arvude seaduses avalduvad massinähtuste kvantitatiivsed mustrid selgelt alles siis, kui nende arv on suur (sellepärast nimetatakse seadust suurte arvude seaduseks).

Sellest võime järeldada, et seaduse olemus seisneb selles, et massivaatluse teel saadud arvudes on mõningaid õigsuseid, mida vähesel hulgal faktidel ei ole võimalik tuvastada.

Suurte arvude seaduse olemus ja selle näited

Suurte arvude seadus väljendab kõige üldisemaid juhuslikkuse ja vajaliku seaduspärasusi. Kui juhuslikud kõrvalekalded üksteist “tühistavad”, omandavad sama struktuuri jaoks määratud keskmised näitajad tüüpiliste kuju. Need peegeldavad oluliste ja püsivate faktide tegevust konkreetsetes aja ja koha tingimustes.

Suurte arvude seadusega määratletud mustrid on tugevad ainult siis, kui need esindavad massitrende ja need ei saa olla üksikjuhtumite seadused. Seega hakkab kehtima matemaatilise statistika põhimõte, mis ütleb, et mitme juhusliku faktori kompleksne toime võib põhjustada mittejuhusliku tulemuse. Ja selle põhimõtte toimimise kõige ilmekam näide on juhusliku sündmuse esinemissageduse ja selle tõenäosuse lähenemine katsete arvu suurenemisel.

Meenutagem tavalist mündiviskamist. Teoreetiliselt võivad pead ja sabad langeda ühesuguse tõenäosusega. See tähendab, et kui viskad münti näiteks 10 korda, siis 5 neist peaksid tõusma peaga ja neist 5 pead tõusma. Kuid kõik teavad, et seda ei juhtu peaaegu kunagi, sest peade ja sabade sageduse suhe võib olla 4 kuni 6, 9 kuni 1, 2 kuni 8 jne. Kui aga mündiviskamiste arv kasvab näiteks 100-ni, ulatub peade või sabade saamise tõenäosus 50%-ni. Kui teoreetiliselt viiakse läbi lõpmatu arv sarnaseid katseid, on tõenäosus, et münt kukub mõlemalt poolt välja, alati 50%.

Suur hulk juhuslikke tegureid mõjutab täpselt seda, kuidas münt kukub. See on mündi asukoht peopesas, jõud, millega vise sooritatakse, kukkumise kõrgus, kiirus jne. Aga kui katseid on palju, siis olenemata tegurite mõjust võib alati väita, et praktiline tõenäosus on lähedane teoreetilisele tõenäosusele.

Siin on veel üks näide, mis aitab teil mõista suurte arvude seaduse olemust: oletame, et peame hindama teatud piirkonna inimeste sissetulekute taset. Kui arvestada 10 vaatlust, kus 9 inimest saab 20 tuhat rubla ja 1 inimene 500 tuhat rubla, on aritmeetiline keskmine 68 tuhat rubla, mis on muidugi ebatõenäoline. Aga kui võtta arvesse 100 vaatlust, kus 99 inimest saab 20 tuhat rubla ja 1 inimene 500 tuhat rubla, siis aritmeetilise keskmise arvutamisel saame 24,8 tuhat rubla, mis on asjade tegelikule seisule lähemal. Suurendades vaatluste arvu, sunnime keskmist väärtust kalduma tegelikule väärtusele.

Just sel põhjusel on suurte arvude seaduse rakendamiseks vaja esmalt koguda statistilist materjali, et saada tõeseid tulemusi suure hulga vaatluste uurimisel. Seetõttu on seda seadust mugav kasutada jällegi statistikas või sotsiaalmajanduses.

Võtame selle kokku

Suurte arvude seaduse toimimise tähtsust on raske ülehinnata ühegi teadusliku teadmise valdkonna jaoks ja eriti teaduse arengute jaoks statistikateooria ja statistilise tunnetuse meetodite valdkonnas. Seaduse mõju omab suurt tähtsust ka uuritavatele objektidele endile oma massimustritega. Peaaegu kõik statistilise vaatluse meetodid põhinevad suurte arvude seadusel ja matemaatilise statistika põhimõttel.

Kuid isegi teadust ja statistikat kui sellist arvesse võtmata võime kindlalt järeldada, et suurte arvude seadus ei ole lihtsalt tõenäosusteooria valdkond, vaid nähtus, millega kohtame oma elus peaaegu iga päev.

Loodame, et nüüd on suurte arvude seaduse olemus teile selgemaks saanud ja saate seda lihtsalt ja lihtsalt kellelegi teisele selgitada. Ja kui matemaatika ja tõenäosusteooria teema on teile põhimõtteliselt huvitav, siis soovitame lugeda ja. Tutvu ka ja. Ja muidugi pöörake tähelepanu meie omadele, sest pärast selle läbimist ei omanda te mitte ainult uusi mõtlemistehnikaid, vaid parandate ka oma kognitiivseid võimeid üldiselt, sealhulgas matemaatilisi.

Juhuslike nähtuste uurimise praktika näitab, et kuigi üksikute, isegi samades tingimustes tehtud vaatluste tulemused võivad oluliselt erineda, on samal ajal keskmised tulemused piisavalt suure hulga vaatluste puhul stabiilsed ja sõltuvad nõrgalt vaatlustulemustest. üksikute vaatluste tulemused.

Selle juhuslike nähtuste märkimisväärse omaduse teoreetiline alus on suurte arvude seadus. Nimetus "suurte arvude seadus" ühendab teoreemide rühma, mis määravad kindlaks suure hulga juhuslike nähtuste keskmiste tulemuste stabiilsuse ja selgitavad selle stabiilsuse põhjust.

Suurte arvude seaduse lihtsaim vorm ja ajalooliselt selle jaotise esimene teoreem on Bernoulli teoreem, mis ütleb, et kui sündmuse toimumise tõenäosus on kõigis katsetes sama, siis katsete arvu kasvades kaldub sündmuse sagedus sündmuse tõenäosusele ja lakkab olemast juhuslik.

Poissoni teoreem väidab, et sündmuse sagedus sõltumatute katsete seerias kaldub selle tõenäosuste aritmeetilisele keskmisele ja lakkab olemast juhuslik.

Tõenäosusteooria piirteoreemid, teoreemid Moivre-Laplace selgitada sündmuse esinemissageduse stabiilsuse olemust. See olemus seisneb selles, et katsete arvu piiramatu kasvuga sündmuse esinemiste arvu piirav jaotus (kui sündmuse tõenäosus on kõigis katsetes sama) on normaaljaotus.

Keskpiiri teoreem selgitab laialt levinud tavaline seadus distributsioonid. Teoreem väidab, et kui juhuslik suurus moodustub suure hulga sõltumatute lõplike dispersioonidega juhuslike suuruste liitmise tulemusena, osutub selle juhusliku suuruse jaotusseadus praktiliselt normaalne seaduse järgi.

Allpool toodud teoreem pealkirjaga " Suurte arvude seadus" ütleb, et teatud, üsna üldistel tingimustel kaldub juhuslike suuruste arvu suurenemisega nende aritmeetiline keskmine matemaatiliste ootuste aritmeetilisele keskmisele ja lakkab olemast juhuslik.

Ljapunovi teoreem selgitab laialt levinud tavaline seadus levikut ja selgitab selle tekkemehhanismi. Teoreem võimaldab väita, et kui suure hulga sõltumatute juhuslike suuruste liitmise tulemusena tekib juhuslik suurus, mille dispersioonid on summa dispersiooniga võrreldes väikesed, pöördub selle juhusliku suuruse jaotusseadus praktiliselt olema normaalne seaduse järgi. Ja kuna juhuslikke muutujaid genereerib alati lõpmatu arv põhjuseid ja enamasti pole ühelgi neist dispersioon võrreldav juhusliku suuruse enda dispersiooniga, alluvad enamik praktikas esinevaid juhuslikke muutujaid normaaljaotuse seadusele.

Suurte arvude seaduse kvalitatiivsed ja kvantitatiivsed väited põhinevad Tšebõševi ebavõrdsus. See määrab ülemise piiri tõenäosusele, et juhusliku suuruse kõrvalekalle selle matemaatilisest ootusest on suurem kui teatud arv. On tähelepanuväärne, et Tšebõševi ebavõrdsus annab hinnangu sündmuse tõenäosusele juhusliku muutuja puhul, mille jaotus on teadmata, on teada ainult selle matemaatiline ootus ja dispersioon.

Tšebõševi ebavõrdsus. Kui juhuslikul suurusel x on dispersioon, siis iga e > 0 korral kehtib järgmine ebavõrdsus: , Kus M x ja D x - juhusliku suuruse x matemaatiline ootus ja dispersioon.

Bernoulli teoreem. Olgu m n n Bernoulli katse õnnestumiste arv ja p üksikkatse õnnestumise tõenäosus. Siis iga e > 0 korral on see tõsi .

Keskpiiri teoreem. Kui juhuslikud suurused x 1 , x 2 , …, x n , … on paaride kaupa sõltumatud, identselt jaotunud ja neil on lõplik dispersioon, siis n ® korral ühtlaselt x (- ,)