Uurime tuletist. Kas see on tõesti elus nii oluline? “Diferentsiaalarvutus on meid ümbritseva maailma kirjeldus, mis on tehtud matemaatilises keeles. Tuletis aitab meil edukalt lahendada mitte ainult matemaatilisi probleeme, vaid ka praktilisi ülesandeid erinevates teaduse ja tehnika valdkondades.
Mõiste keemia keeles Nimetus Mõiste matemaatika keeles Ainete arv ajahetkel t 0 p \u003d p (t 0) Funktsioon Ajavahemik t \u003d t– t 0 Argumendi juurdekasv Ainete koguse muutus p \u003d p (t 0 + t) - keemiline suhe 0) - p t kasvukiirus funktsiooni juurdekasv argumendi juurdekasvuni V (t) \u003d p (t) Lahendus:
Populatsioon on teatud liigi isendite kogum, mis hõivavad territooriumi teatud ala liigi levila piires, ristuvad üksteisega vabalt ja on osaliselt või täielikult isoleeritud teistest populatsioonidest ning on ka evolutsiooni elementaarne üksus.
Lahendus: Mõiste bioloogia keeles Nimetus Mõiste matemaatika keeles Arv ajahetkel t 1 x \u003d x (t) Funktsioon Ajavahemik t \u003d t 2 - t 1 Argumendi juurdekasv Populatsiooni suuruse muutus x \u003d x (t 2) - x (t 1) Funktsiooni populatsiooni suuruse suhe / suurenemine funktsioonis argumendi krement Suhteline suurenemine hetkel Lim x / t t 0 Tuletis Р \u003d x (t)
Algoritm tuletise leidmiseks (funktsioonile y=f(x)) Fikseeri x väärtus, leia f(x). Andke argumendile x juurdekasv Dx, (liiguta x+Dx uude punkti), leidke f(x+Dx). Leidke funktsiooni juurdekasv: Dy= f(x+Dx)-f(x) Koostage funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe Arvutage selle suhte piir (see piir on f `(x).)
FGOU SPO
Novosibirski Põllumajanduskolledž
Essee
distsipliinis "matemaatika"
"Tuletisinstrumentide rakendamine teaduses ja tehnoloogias"
S. Razdolnoe 2008
Sissejuhatus
1. Teoreetiline osa
1.1 Probleemid, mis viivad tuletise mõisteni
1.2 Tuletise definitsioon
1.3 Üldreegel tuletise leidmiseks
1.4 Tuletise geomeetriline tähendus
1.5 Tuletise mehaaniline tähendus
1.6 Teist järku tuletis ja selle mehaaniline tähendus
1.7 Diferentsiaali definitsioon ja geomeetriline tähendus
2. Funktsioonide uurimine tuletise abil
Järeldus
Kirjandus
Sissejuhatus
Minu essee esimeses peatükis räägime tuletise mõistest, selle rakendamise reeglitest, tuletise geomeetrilisest ja füüsikalisest tähendusest. Minu essee teises peatükis räägime tuletise kasutamisest teaduses ja tehnoloogias ning selle valdkonna probleemide lahendamisest.
1. Teoreetiline osa
1.1 Probleemid, mis viivad tuletise mõisteni
Teatud protsesside ja nähtuste uurimisel tekib sageli probleem nende protsesside kiiruse määramisel. Selle lahendus viib tuletise mõisteni, mis on diferentsiaalarvutuse põhimõiste.
Diferentsiaalarvutuse meetod loodi 17. ja 18. sajandil. Kahe suure matemaatiku, I. Newtoni ja G.V. Leibniz.
Newton jõudis diferentsiaalarvutuse avastamiseni, kui lahendas ülesandeid materiaalse punkti kiiruse kohta antud ajahetkel (hetkkiirus).
Nagu teada, ühtlane liikumine on liikumine, mille käigus keha läbib võrdsete ajavahemike jooksul võrdse pikkusega teed. Keha läbitud vahemaad ajaühikus nimetatakse kiirustühtlane liikumine.
Praktikas on aga enamasti tegemist ebaühtlase liikumisega. Maanteel sõitev auto aeglustab ristmikel kiirust ja kiirendab nendel lõikudel, kus tee on vaba; lennuk aeglustab maandudes jne. Seetõttu peame kõige sagedamini leppima sellega, et keha läbib võrdsete ajavahemike järel erineva pikkusega teelõike. Sellist liikumist nimetatakse ebaühtlane. Selle kiirust ei saa iseloomustada ühe numbriga.
Sageli kasutatakse seda mõistet ebaühtlase liikumise iseloomustamiseks keskmine kiirus liikumine aja jooksul ∆t٫, mis on määratud seosega kus ∆s on keha läbitud tee aja ∆t jooksul.
Niisiis, kui keha on vabalanguses, on selle keskmine liikumiskiirus esimese kahe sekundi jooksul
Praktikas ütleb selline liikumise tunnus nagu keskmine kiirus liikumise kohta väga vähe. Tõepoolest, 4,9 m / s ja 2. - 14,7 m / s, samas kui esimese kahe sekundi keskmine kiirus on 9,8 m / s. Keskmine kiirus esimese kahe sekundi jooksul ei anna aimu, kuidas liikumine toimus: millal keha liikus kiiremini ja millal aeglasemalt. Kui seame iga sekundi keskmised liikumiskiirused eraldi, siis saame näiteks teada, et 2. sekundil liikus keha palju kiiremini kui 1. sekundil. Enamasti aga palju kiiremini, kui me rahul ei ole. On ju lihtne aru saada, et selle 2. sekundi jooksul liigub ka keha erinevalt: alguses aeglasemalt, lõpus kiiremini. Ja kuidas see kuskil selle 2. sekundi keskel liigub? Teisisõnu, kuidas määrata hetkekiirust?
Keha liikumist kirjeldab seadus aja jooksul, mis on võrdne ∆t-ga. Hetkel t0 on keha läbinud raja, hetkel - tee. Seetõttu on keha aja ∆t jooksul läbinud vahemaa ja keha keskmine kiirus sellel ajavahemikul on.
Mida lühem on ajavahemik ∆t, seda täpsemalt on võimalik kindlaks teha, millise kiirusega keha hetkel t0 liigub, kuna liikuv keha ei saa lühikese aja jooksul oma kiirust oluliselt muuta. Seetõttu läheneb keskmine kiirus, kuna ∆t kipub nulli, tegelikule liikumiskiirusele ja piirväärtuses annab liikumiskiiruse antud ajahetkel t0 (hetkkiirus).
Seega ,
Definitsioon 1. Vahetu kiirus Keha sirgjoonelist liikumist antud ajahetkel t0 nimetatakse keskmise kiiruse piiriks aja jooksul t0 kuni t0+ ∆t, kui ajavahemik ∆t kipub olema null.
Niisiis, sirgjoonelise ebaühtlase liikumise kiiruse leidmiseks antud hetkel on vaja leida tee ∆ juurdekasvu ja aja juurdekasvu ∆t suhte piir tingimusel s.o. Leibniz jõudis diferentsiaalarvutuse avastamiseni, lahendades oma võrrandiga antud mis tahes kõvera puutuja konstrueerimise probleemi.
Selle probleemi lahendus on väga oluline. Lõppude lõpuks on liikuva punkti kiirus suunatud piki selle trajektoori puutujat, nii et mürsu kiiruse määramine selle trajektooril, mis tahes selle orbiidil oleva planeedi kiirus, taandub kõvera puutuja suuna määramiseks.
Puutuja definitsioon sirgjoonena, millel on ainult üks kõveraga ühine punkt, mis kehtib ringi puhul, ei sobi paljude teiste kõverate jaoks.
Järgnev kõvera puutuja määratlus ei vasta mitte ainult intuitiivsele ettekujutusele selle kohta, vaid võimaldab ka tegelikult leida selle suuna, s.t. arvutada puutuja kalle.
2. definitsioon. Tangent kõverale punktis M nimetatakse sirget MT, mis on lõike MM1 piirasend, kui punkt M1, liikudes mööda kõverat, läheneb lõputult punktile M.
1.2 Tuletise definitsioon
Pange tähele, et kõvera puutuja ja ebaühtlase liikumise hetkekiiruse määramisel tehakse sisuliselt samu matemaatilisi tehteid:
1. Argumendi antud väärtust suurendatakse ja argumendi uuele väärtusele vastav funktsiooni uus väärtus arvutatakse.
2. Määrake valitud argumendi juurdekasvule vastav funktsiooni juurdekasv.
3. Funktsiooni juurdekasv jagatakse argumendi juurdekasvuga.
4. Arvutage selle suhte piir, eeldusel, et argumendi juurdekasv kipub olema null.
Paljude probleemide lahendused viivad seda tüüpi üleminekute piiramiseni. Vajalik on teha üldistus ja anda sellele lõigule piirini nimi.
Funktsiooni muutumise kiirust sõltuvalt argumendi muutumisest saab ilmselgelt iseloomustada suhtega. Seda suhet nimetatakse keskmine kiirus funktsioon muutub vahemikus alates kuni. Nüüd peame arvestama murdosa piiriga. Selle suhte piir, kuna argumendi juurdekasv kipub nulli (kui see piir on olemas), on mingi uus funktsioon. Seda funktsiooni tähistatakse sümbolitega y', mida nimetatakse tuletis see funktsioon, kuna see saadakse (toodetakse) funktsioonist Funktsioon ise kutsutakse primitiivne funktsiooni selle tuletise suhtes
3. määratlus. tuletis funktsioonid antud punktis nimetavad funktsiooni ∆y ja argumendi ∆x vastava juurdekasvu suhte piiri, eeldusel, et ∆x→0, s.o.
1.3 Üldreegel tuletise leidmiseks
Nimetatakse mõne funktsiooni tuletise leidmise operatsiooni eristamist funktsioonid ja selle tehte omadusi uuriv matemaatika haru on diferentsiaalarvutus.
Kui funktsioonil on tuletis x=a, siis öeldakse, et see on eristatav sel hetkel. Kui funktsioonil on antud intervalli igas punktis tuletis, siis öeldakse, et see on eristatav Sellel intervall .
Tuletise definitsioon mitte ainult ei iseloomusta täielikult funktsiooni muutumise kiiruse mõistet argumendi muutumisel, vaid annab ka võimaluse antud funktsiooni tuletise tegelikuks arvutamiseks. Selleks peate tegema järgmised neli toimingut (neli sammu), mis on näidatud tuletise enda definitsioonis:
1. Leidke uus funktsiooni väärtus, esitades sellele funktsioonile x asemel uue argumendi väärtuse: .
2. Funktsiooni juurdekasvu määramiseks lahutatakse funktsiooni antud väärtus selle uuest väärtusest: .
3. Koostage funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhe: .
4. Minge limiidini ja leidke tuletis: .
Üldiselt on tuletis "uus" funktsioon, mis on tuletatud antud funktsioonist vastavalt kindlaksmääratud reeglile.
1.4 Tuletise geomeetriline tähendus
17. sajandi lõpus esmakordselt antud tuletise geomeetriline tõlgendus. Leibniz on järgmine: funktsiooni tuletise väärtus punktis x on võrdne funktsiooni graafikule samas punktis x tõmmatud puutuja kaldega, need.
Puutuja võrrandil, nagu igal sirgel, mis läbib antud punkti antud suunas, on vorm - praegused koordinaadid. Kuid puutuja võrrand kirjutatakse ka järgmiselt: . Tavaline võrrand kirjutatakse kujul
1.5 Tuletise mehaaniline tähendus
Tuletise mehaanilise tõlgenduse andis esimesena I. Newton. See koosneb järgmisest: materiaalse punkti liikumiskiirus antud ajahetkel on võrdne tee tuletisega aja suhtes, s.o. Seega, kui materiaalse punkti liikumisseadus on antud võrrandiga, siis selleks, et leida punkti hetkkiirust mingil kindlal ajahetkel, tuleb leida tuletis ja asendada sellega t vastav väärtus.
1.6 Teist järku tuletis ja selle mehaaniline tähendus
Saame (võrrandi õpikus Lisichkin V.T. Soloveychik I.L. "Matemaatika" lk 240 tehtust):
Seega keha sirgjoonelise liikumise kiirendus antud hetkel on võrdne teekonna teise tuletisega aja suhtes, mis on arvutatud antud hetkel. See on teise tuletise mehaaniline tähendus.
1.7 Diferentsiaali definitsioon ja geomeetriline tähendus
4. määratlus. Funktsiooni juurdekasvu põhiosa, mis on lineaarne funktsiooni juurdekasvu suhtes, lineaarne sõltumatu muutuja juurdekasvu suhtes, nimetatakse diferentsiaal funktsioonid ja seda tähistatakse d-ga, st. .
Funktsioonide diferentsiaal geomeetriliselt kujutatud punktis tõmmatud puutuja ordinaadi juurdekasvuga M ( x ; y ) antud x ja ∆x väärtuste korral.
arvutus diferentsiaal – .
Diferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes – , funktsiooni juurdekasvu ligikaudne väärtus langeb kokku selle diferentsiaaliga.
1. teoreem. Kui diferentseeritav funktsioon suureneb (väheneb) antud intervallis, siis selle funktsiooni tuletis ei ole selles intervallis negatiivne (pole positiivne).
2. teoreem. Kui tuletisfunktsioon on mingis intervallis positiivne (negatiivne), siis funktsioon selles intervallis on monotoonselt kasvav (monotooniliselt kahanev).
Sõnastame nüüd funktsiooni monotoonsuse intervallide leidmise reegli
1. Arvutage selle funktsiooni tuletis.
2. Leidke punktid, kus on null või seda pole olemas. Neid punkte nimetatakse kriitiline funktsiooni jaoks
3. Leitud punktidega jagatakse funktsiooni domeen intervallideks, millest igaühel jääb tuletis oma märgi. Need intervallid on monotoonsuse intervallid.
4. Uurige iga leitud intervalli märki. Kui vaadeldaval intervallil, siis sellel intervallil suureneb; kui, siis sellisel intervallil see väheneb.
Sõltuvalt ülesande tingimustest saab monotoonsuse intervallide leidmise reeglit lihtsustada.
Definitsioon 5. Punkti nimetatakse funktsiooni maksimaalseks (minimaalseks) punktiks, kui ebavõrdsus kehtib vastavalt mis tahes x jaoks punkti mõnest naabrusest.
Kui on funktsiooni maksimaalne (minimaalne) punkt, siis me ütleme seda (minimaalne) punktis. Maksimaalne ja minimaalne funktsioonid ühendavad pealkirja äärmus funktsioonid ning kutsutakse välja maksimum- ja miinimumpunktid äärmuspunktid (äärmuspunktid).
3. teoreem.(vajalik ekstreemumi märk). Kui ja tuletis on selles punktis olemas, siis on see võrdne nulliga: .
4. teoreem.(piisav ekstreemumi märk). Kui tuletis kui x läbib a muudab märki siis a on funktsiooni äärmuspunkt .
Tuletise uurimise põhipunktid:
1. Leia tuletis.
2. Leia funktsiooni domeenist kõik kriitilised punktid.
3. Määrake funktsiooni tuletise märgid kriitiliste punktide läbimisel ja kirjutage välja äärmuspunktid.
4. Arvutage funktsiooni väärtused igas äärmises punktis.
2. Funktsioonide uurimine tuletise abil
Ülesanne nr 1 . Logi maht. Tööstuslikuks ümarpuiduks nimetatakse õige kujuga puidudefektideta palke, mille paksude ja peenikeste otste läbimõõt on suhteliselt väike. Tööstusliku ümarpuidu mahu määramisel kasutatakse tavaliselt lihtsustatud valemit, kus on palgi pikkus, selle keskmise sektsiooni pindala. Uurige, kas tegelik maht lõpeb või alahindab; hinnata suhtelist viga.
Lahendus. Ümmarguse äripuidu kuju on tüvikoonuse lähedal. Laskma olla palgi suurema ja väiksema otsa raadius. Siis saab selle peaaegu täpse ruumala (kärbitud koonuse ruumala) teadaolevalt leida valemiga. Olgu lihtsustatud valemiga arvutatud mahu väärtus. Siis;
Need. . See tähendab, et lihtsustatud valem annab helitugevuse alahinnangu. Paneme selle nüüd. Siis. See näitab, et suhteline viga ei sõltu palgi pikkusest, vaid selle määrab suhe. Mis ajast intervalli suurenemine . Seega, mis tähendab, et suhteline viga ei ületa 3,7%. Metsateaduse praktikas peetakse sellist viga üsna vastuvõetavaks. Suurema täpsusega on praktiliselt võimatu mõõta ei otste läbimõõtu (kuna need erinevad ringidest mõnevõrra) ega ka palgi pikkust, kuna need ei mõõda mitte kõrgust, vaid koonuse generaatorit (palgi pikkus on kümneid kordi suurem kui läbimõõt ja see ei too kaasa suuri vigu). Seega osutub esmapilgul vale, kuid lihtsam valem kärbikoonuse mahu kohta tegelikus olukorras üsna õiguspäraseks. Korduvalt läbi viidud spetsiaalsete kontrollimeetodite abil näitas, et tööstusmetsa massiarvestuse korral ei ületa suhteline viga vaadeldava valemi kasutamisel 4%.
Ülesanne nr 2 . Kaevude, ämbrite ja muude tüvikoonuse kujuga konteinerite mahtude määramisel kasutatakse põllumajanduspraktikas mõnikord lihtsustatud valemit, kus on kõrgus, koonuse aluste pindala. Uurige, kas tegelik maht on üle- või alahinnatud, hinnake suhtelist viga praktika jaoks loomuliku tingimuse korral: (- baasraadiused, .
Lahendus. Tähistades läbi tüvikoonuse ruumala tegeliku väärtuse ja läbi lihtsustatud valemiga arvutatud väärtuse saame: , s.o. . See tähendab, et lihtsustatud valem annab helitugevuse ülehinnangu. Korrates edasi eelmise ülesande lahendust, leiame, et suhteline viga ei ületa 6,7%. Tõenäoliselt on selline täpsus kaevetööde normeerimisel vastuvõetav - ega kaevudest ju ideaalseid koonuseid ei saa ja vastavaid parameetreid reaalsetes tingimustes mõõdetakse väga umbkaudselt.
Ülesanne nr 3 . Erikirjanduses on freespingi spindli pöördenurga β määramiseks hammastega sidurite freesimisel tuletatud valem kus. Kuna see valem on keeruline, on soovitatav selle nimetaja ära jätta ja kasutada lihtsustatud valemit. Millise (- täisarvu) korral saab seda valemit kasutada, kui nurga määramisel on lubatud viga in?
Lahendus. Täpse valemi pärast lihtsaid identseid teisendusi saab taandada vormile. Seetõttu on ligikaudse valemi kasutamisel lubatud absoluutne viga, kus. Uurime funktsiooni intervallil . Sel juhul 0,06, s.o. nurk kuulub esimesse veerandisse. Meil on: . Pange tähele, et vaadeldaval intervallil ja seega funktsioon sellel intervallil väheneb. Kuna edasi, kõigi jaoks. Tähendab,. Kuna tegemist on radiaaniga, siis piisab sellest ebavõrdsuse lahendamiseks. Lahendades selle ebavõrdsuse valikuga, leiame, et . Kuna funktsioon väheneb, järeldub sellest
Järeldus
Tuletise kasutusala on üsna lai ja seda saab seda tüüpi töödes täielikult käsitleda, kuid olen püüdnud käsitleda põhipunkte. Meie ajal, seoses teaduse ja tehnika arenguga, eelkõige arvutisüsteemide kiire arenguga, muutub diferentsiaalarvutus üha olulisemaks nii lihtsate kui ka ülikeeruliste probleemide lahendamisel.
Kirjandus
1. V.A. Petrov "Matemaatiline analüüs tootmisülesannetes"
2. Soloveicchik I.L., Lisichkin V.T. "Matemaatika"
Käesolevas töös käsitlen tuletise rakendusi erinevates teadustes ja tööstusharudes. Töö on jagatud peatükkideks, millest igaüks käsitleb diferentsiaalarvutuse üht aspekti (geomeetriline, füüsikaline tähendus jne)
1. Tuletise mõiste
1-1. Ajalooline teave
Diferentsiaalarvutuse lõid Newton ja Leibniz 17. sajandi lõpus kahe ülesande alusel:
1) suvalise sirge puutuja leidmise kohta
2) kiiruse otsimisest suvalise liikumisseadusega
Veelgi varem kohtas tuletise mõistet itaalia matemaatiku Tartaglia (umbes 1500 - 1557) töödes - siin ilmnes püstoli kaldenurga küsimuse uurimise käigus puutuja, mis tagab mürsu suurima ulatuse.
17. sajandil arendati G. Galileo liikumisteooria põhjal aktiivselt tuletise kinemaatilist kontseptsiooni. Descartes’i, prantsuse matemaatiku Robervali ja inglise teadlase L. Gregory teostes hakkasid ilmuma erinevad ettekanded. Lopital, Bernoulli, Lagrange, Euler, Gauss andsid suure panuse diferentsiaalarvutuse uurimisse.
1-2. Tuletise mõiste
Olgu y \u003d f (x) argumendi x pidev funktsioon, mis on määratletud intervallis (a; b), ja olgu x 0 selle intervalli suvaline punkt
Anname argumendile x juurdekasvu?x, siis funktsioon y = f(x) saab juurdekasvu?y = f(x + ?x) - f(x). Piiri, milleni suhe?y /?x kaldub, kui?x > 0, nimetatakse funktsiooni f(x) tuletiseks.
y"(x)=
1-3. Diferentseerimise reeglid ja tuletiste tabel
| C" = 0 | (x n) = nx n-1 | (sin x)" = cos x |
| x" = 1 | (1 / x)" = -1 / x2 | (cos x)" = -sin x |
| (Cu)"= Cu" | (vx)" = 1 / 2vx | (tg x)" = 1 / cos 2 x |
| (uv)" = u"v + uv" | (a x)" = a x log x | (ctg x)" = 1 / sin 2 x |
| (u / v)"=(u"v - uv") / v 2 | (ex)" = ex | (kaare x)" = 1 / v (1- x 2) |
| (log a x)" = (log a e) / x | (arccos x)" = -1 / v (1 - x 2) | |
| (ln x)" = 1 / x | (arctg x)" = 1 / v (1 + x 2) | |
| (arcctg x)" = -1 / v (1+ x 2) |
2. Tuletise geomeetriline tähendus
2-1. Kõvera puutuja
Olgu meil kõver ja fikseeritud punkt M ja sellel punkt N. Punkti M puutuja on sirgjoon, mille asukohta kipub hõivama kõõl MN, kui punktile N läheneda mööda kõverat määramatult punktile M.
Vaatleme funktsiooni f(x) ja sellele funktsioonile vastavat kõverat y = f(x). Mõne väärtuse x korral on funktsioonil väärtus y = f(x). Need kõvera väärtused vastavad punktile M(x 0, y 0). Toome sisse uue argumendi x 0 + ?x, selle väärtus vastab funktsiooni y 0 + ?y = f(x 0 + ?x) väärtusele. Vastav punkt on N(x 0 + ?x, y 0 + ?y). Joonistage sekant MN ja tähistage? nurk, mille moodustab sekant Ox-telje positiivse suunaga. Jooniselt on näha, et ?y / ?x = tg ?. Kui nüüd x läheneb nullile, siis punkt N liigub mööda kõverat, sekant MN pöörleb ümber punkti M ja nurk? - muuta. Kui x > 0 nurk? kaldub mõnele ?, siis on soovitud puutuja M-i läbiv sirgjoon, mis moodustab abstsisstelje positiivse suunaga nurga ?. Samal ajal on selle kalde koefitsient:
See tähendab, et tuletise f "(x) väärtus argumendi x antud väärtuse jaoks on võrdne nurga puutujaga, mille Ox-telje positiivse suunaga moodustab funktsiooni f (x) graafiku puutuja punktis M (x, f (x)).
Ruumijoone puutuja määratlus on sarnane tasapinnalise kõvera puutuja määratlusega. Sel juhul, kui funktsioon on antud võrrandiga z = f(x, y), on OX ja OY telgede kalded võrdsed f osatuletistega x ja y suhtes.
2-2. Pinna puutuja tasapind
Pinna puutuja tasand punktis M on tasand, mis sisaldab pinna kõigi ruumikõverate puutujaid, mis läbivad M - kokkupuutepunkti.
Võtame võrrandiga F(x, y, z) = 0 antud pind ja sellel mõni harilik punkt M(x 0 , y 0 , z 0). Vaatleme pinnal mõnda kõverat L, mis läbib M. Olgu kõver antud võrranditega
x = a(t); y = a(t); z = ?(t).
Asendame need avaldised pinna võrrandisse. Võrrand muutub identiteediks, kuna kõver asub täielikult pinnal. Kasutades diferentsiaali kuju muutumatust omadust, eristame saadud võrrandi t suhtes:
Punktis M oleva kõvera L puutuja võrrandid on järgmisel kujul:
Kuna erinevused x - x 0, y - y 0, z - z 0 on võrdelised vastavate diferentsiaalidega, näeb tasandi lõppvõrrand välja selline:
F" x (x - x 0) + F" y (y - y 0) + F" z (z - z 0) = 0
ja konkreetsel juhul z = f(x, y):
Z - z 0 \u003d F "x (x - x 0) + F" y (y - y 0)
Näide: Leidke hüperboolse paraboloidi punkti (2a; a; 1,5a) puutujatasandi võrrand
Lahendus:
Z" x \u003d x / a \u003d 2; Z" y \u003d -y / a \u003d -1
Soovitud tasandi võrrand:
Z - 1,5a = 2 (x - 2a) - (Y - a) või Z = 2x - y - 1,5a
3. Tuletise kasutamine füüsikas
3-1. Materjali punkti kiirus
Olgu tee s sõltuvus ajast t materiaalse punkti antud sirgjoonelisel liikumisel võrrandiga s = f(t) ja t 0 on mingi ajahetk. Arvestage teist aega t, tähistage?t = t - t 0 ja arvutage tee juurdekasv: ?s = f(t 0 + ?t) - f(t 0). Suhet?s /?t nimetatakse keskmiseks liikumiskiiruseks aja?t kohta, mis kulus alghetkest t 0 . Kiirust nimetatakse selle suhte piiriks, kui t\u003e 0.
Ebaühtlase liikumise keskmine kiirendus intervallis (t; t + ?t) on väärtus =?v / ?t. Materiaalse punkti hetkkiirendus ajahetkel t on keskmise kiirenduse piir:
See tähendab, esmakordne tuletis (v "(t)).
Näide: Keha läbitud tee sõltuvus ajast saadakse võrrandiga s \u003d A + Bt + Ct 2 + Dt 3 (C \u003d 0,1 m / s, D \u003d 0,03 m / s 2). Määrake aeg pärast liikumise algust, mille möödudes võrdub keha kiirendus 2 m / s 2.
Lahendus:
v(t) = s "(t) = B + 2Ct + 3Dt 2; a(t) = v"(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;
1,8 = 0,18 t; t = 10 s
3-2. Aine soojusmahtuvus antud temperatuuril
Erinevate temperatuuride T suurendamiseks sama väärtuse võrra, mis võrdub T 1 - T, 1 kg kohta. antud aine vajab erinevat soojushulka Q 1 - Q ja suhet
sest see aine ei ole konstantne. Seega antud aine puhul on soojushulk Q temperatuuri T mittelineaarne funktsioon: Q = f(T). Siis?Q = f(t + ?T) - f(T). Suhtumine
nimetatakse keskmiseks soojusmahtuvuseks segmendil ja selle avaldise piiriks T > 0 nimetatakse antud aine soojusmahtuvuseks temperatuuril T.
3-3. Võimsus
Keha mehaanilise liikumise muutuse põhjustavad sellele teistelt kehadelt mõjuvad jõud. Interakteeruvate kehade vahelise energiavahetuse protsessi kvantitatiivseks iseloomustamiseks võetakse mehaanikas kasutusele jõu töö mõiste. Töö tegemise kiiruse iseloomustamiseks võetakse kasutusele võimsuse mõiste:
4. Diferentsiaalarvutus majandusteaduses
4-1. Funktsiooniuuringud
Diferentsiaalarvutus on matemaatiline aparaat, mida kasutatakse laialdaselt majandusanalüüsiks. Majandusanalüüsi põhiülesanne on uurida funktsioonidena kirjutatud majandussuuruste seoseid. Millises suunas muutuvad valitsuse tulud, kui tõstetakse makse või kehtestatakse imporditollid? Kas ettevõtte tulud suurenevad või vähenevad, kui tema toodete hind tõuseb? Millises proportsioonis saab lisavarustus asendada pensionile jäänud töötajaid? Selliste ülesannete lahendamiseks tuleb konstrueerida neis sisalduvate muutujate seosfunktsioonid, mida seejärel diferentsiaalarvutuse meetoditega uuritakse. Majandusteaduses on sageli vaja leida indikaatori parim või optimaalne väärtus: kõrgeim tööviljakus, maksimaalne kasum, maksimaalne toodang, minimaalsed kulud jne. Iga näitaja on ühe või mitme argumendi funktsioon. Seega taandub indikaatori optimaalse väärtuse leidmine funktsiooni ekstreemumi leidmisele.
Fermat' teoreemi järgi, kui punkt on funktsiooni ekstreemum, siis tuletist selles kas ei eksisteeri või on see võrdne 0-ga. Ekstreemumi tüübi saab määrata ühe ekstreemumi piisava tingimusega:
1) Olgu funktsioon f(x) diferentseeruv mõnes punkti x 0 läheduses. Kui tuletis f "(x) muudab punkti x 0 läbimisel märgi +-st -, siis x 0 on maksimumpunkt, kui punktist - +, siis x 0 on miinimumpunkt, kui see märki ei muuda, siis selles punktis ekstreemumit pole.
2) Olgu funktsioon f (x) kaks korda diferentseeruv mõnes punkti x 0 läheduses ja f "(x 0) \u003d 0, f "" (x 0) ? 0, siis punktis x 0 on funktsioonil f (x 0) maksimum, kui f "" (x 0)< 0 и минимум, если f ""(x 0) > 0.
Lisaks iseloomustab teine tuletis funktsiooni kumerust (funktsiooni graafikut nimetatakse kumeraks üles [alla] intervallil (a, b), kui see asub sellel intervallil mitte kõrgemal [mitte madalamal] kui ükski tema puutuja).
Näide: valida ettevõtte optimaalne tootmismaht, mille kasumifunktsiooni saab modelleerida sõltuvusega:
?(q) = R(q) - C(q) = q 2 - 8q + 10
Lahendus:
?"(q) = R"(q) - C"(q) = 2q - 8 = 0 > q extr = 4
q jaoks<
q extr = 4 >?" (q)< 0 и прибыль убывает
Kui q > q extr = 4 > ?(q) > 0 ja kasum suureneb
Kui q = 4, on kasum minimaalne.
Milline on ettevõtte optimaalne väljund? Kui ettevõte ei suuda vaadeldaval perioodil toota üle 8 ühiku toodangut (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), siis oleks optimaalne lahendus üldse mitte midagi toota, vaid saada tulu ruumide ja/või seadmete rentimisest. Kui ettevõte suudab toota rohkem kui 8 ühikut, siis on ettevõtte jaoks optimaalne toota oma tootmisvõimsuse piiril.
4-2. Nõudluse elastsus
Funktsiooni f (x) elastsust punktis x 0 nimetatakse piiriks
Nõudlus on ostja poolt nõutud kauba kogus. Nõudluse hinnaelastsus E D näitab, kuidas nõudlus reageerib hinnamuutustele. Kui ¦E D ¦>1, siis nimetatakse nõudlust elastseks, kui ¦E D ¦<1, то неэластичным. В случае
E D =0 спрос называется совершенно
неэластичным, т. е. изменение цены не приводит
ни к какому изменению спроса. Напротив,
если самое малое снижение цены побуждает
покупателя увеличить покупки от 0 до предела
своих возможностей, говорят, что спрос
является совершенно эластичным. В зависимости
от текущей эластичности спроса, предприниматель
принимает решения о снижении или повышении
цен на продукцию.
4-3. Limiidi analüüs
Majandusteaduses kasutatavate diferentsiaalarvutuse meetodite oluliseks osaks on piiranalüüsi meetodid, st meetodite kogum kulude või tulemuste muutuvate väärtuste uurimiseks koos tootmise, tarbimise jms muutustega, mis põhineb nende piirväärtuste analüüsil. Funktsiooni piirnäitaja(d) on selle tuletis (ühe muutuja funktsiooni korral) või osatuletised (mitme muutuja funktsiooni korral)
Majandusteaduses kasutatakse sageli keskmisi: keskmine tööviljakus, keskmised kulud, keskmine sissetulek, keskmine kasum jne. Kuid sageli tuleb välja selgitada, kui palju tulemus kasvab kulude suurendamisel või vastupidi, kui palju tulemus väheneb kulude vähendamisel. Keskmiste väärtuste abil on sellele küsimusele võimatu vastata. Selliste ülesannete puhul tuleb määrata tulemuse ja kulude kasvu suhte piir, st leida piirmõju. Seetõttu on nende lahendamiseks vaja kasutada diferentsiaalarvutuse meetodeid.
5. Tuletis ligikaudsetes arvutustes
jne.................
Esitluse kirjeldus üksikutel slaididel:
1 slaid
Slaidi kirjeldus:
Tunni teema: Tuletise rakendamine erinevates teadmiste valdkondades Matemaatika õpetaja MBOU "Kool nr 74" Zagumennova Marina Vladimirovna
2 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Tunni eesmärk: Õppida tuletise peamisi kasutusvaldkondi erinevates teaduse ja tehnika valdkondades; Mõelge praktiliste probleemide lahendamise näidete abil, kuidas tuletist kasutatakse keemias, füüsikas, bioloogias, geograafias ja majanduses.
3 slaidi
Slaidi kirjeldus:
"Ei ole ühtegi matemaatika valdkonda, olgu see nii abstraktne kui tahes, mis ei oleks kunagi reaalse maailma nähtuste jaoks rakendatav." N.I. Lobatševski
4 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Diferentseerimisreeglid Summa tuletis konstantse teguri kohta Korrutise tuletis Murru tuletis Kompleksfunktsiooni tuletis
5 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Tuletis füüsikas Ülesanne. Auto liikumist pidurdamisel kirjeldatakse valemiga s(t) = 30t - 5t2, (s on peatumisteekond meetrites, t on aeg sekundites pidurdamise algusest kuni auto täieliku peatumiseni). Saate teada, mitu sekundit auto liigub hetkest, mil see alustab pidurdamist kuni täieliku seiskumiseni. Kui suur on vahemaa, mille auto läbib pidurdamise algusest kuni täieliku peatumiseni? Lahendus: Kuna kiirus on liikumise esimene tuletis ajas, siis v = S'(t) = 30 - 10t, sest pidurdamisel on kiirus null, siis 0=30–10t; 10t = 30; t = 3 (s). Peatumisteekond S(t) = 30t - 5t2 = 30∙3-5∙32 = 90-45 = 45(m). Vastus: aeglustusaeg 3s, pidurdusteekond 45m.
6 slaidi
Slaidi kirjeldus:
See on huvitav aurulaev "Chelyuskin" läbis 1934. aasta veebruaris edukalt kogu põhjapoolse meretee, kuid jäi Beringi väinas jäälõksu. Jää kandis Tšeljuskini põhja ja purustas selle. Siin on katastroofi kirjeldus: "Kere tugev metall ei andnud kohe järele," teatas ekspeditsiooni juht O.Yu. Schmidt. - Oli näha, kuidas jäätükk külje sisse suruti ja kuidas selle kohal olevad kattelehed paisusid väljapoole. Jää jätkas oma aeglast, kuid vastupandamatut edasiliikumist. Kere plaadistuse paisunud raudlehed olid õmblusest rebenenud. Needid lendasid praguga. Hetkega rebenes laeva pappkülg vööritrümmist lahti teki tagumise otsani ... ”Miks katastroof juhtus?
7 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Jää survejõud Р jaguneb kaheks: F ja R. R on lauaga risti, F on suunatud tangentsiaalselt. P ja R vaheline nurk - α - külje nurk vertikaali suhtes. Q on jää hõõrdejõud laua vastu. Q = 0,2 R (0,2 on hõõrdetegur). Kui Q< F, то F увлекает напирающий лед под воду, лед не причиняет вреда, если Q >F, siis takistab hõõrdumine jäätüki libisemist ning jää võib muljuda ja küljest läbi suruda. 0,2R< R tgα , tgα >0,2; K< F, если α >1100. Laeva pardade kalle vertikaali suhtes nurga all α > 1100 tagab ohutu liiklemise jääl.
8 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Keemia tuletis Keemilise reaktsiooni kiiruse määramiseks kasutatakse keemia derivaati. See on vajalik: protsessiinseneridele kemikaalide tootmise efektiivsuse määramisel, keemikutele, kes arendavad ravimeid meditsiini ja põllumajanduse jaoks, samuti arstidele ja agronoomidele, kes kasutavad neid ravimeid inimeste ravimiseks ja pinnasesse kandmiseks. Tootmisprobleemide lahendamiseks meditsiini-, põllumajandus- ja keemiatööstuses on lihtsalt vaja teada kemikaalide reaktsioonikiirusi.
9 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Ülesanne keemias Olgu keemilises reaktsioonis osalenud aine kogus antud sõltuvusega: р(t) = t2/2 + 3t –3 (mol). Leidke keemilise reaktsiooni kiirus 3 sekundi pärast. Viide: Keemilise reaktsiooni kiirus on reagentide kontsentratsiooni muutus ajaühikus või reagentide kontsentratsiooni tuletis aja suhtes (matemaatika keeles oleks kontsentratsioon funktsioon ja aeg argument)
10 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Lahendus Mõiste keemia keeles Tähistus Mõiste matemaatika keeles Aine kogus ajahetkel t0 p = p(t0) Funktsioon Ajavahemik ∆t = t – t0 Argumendi juurdekasv Aine koguse muutus ∆p = p(t0+ ∆t) – p(t0) Funktsiooni keemiline reaktsiooniargumendi juurdekasv/argumenti ∆t0 juurdekasv V (t) = p‘(t)
11 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Tuletis bioloogias Probleem bioloogias: Populatsiooni suuruse x(t) teadaoleva sõltuvuse põhjal määrake suhteline kasv ajahetkel t. Viide: Populatsioon on teatud liigi isendite kogum, mis hõivab territooriumi teatud ala liigi levila piires, ristuvad omavahel vabalt ja on osaliselt või täielikult isoleeritud teistest populatsioonidest ning on ka evolutsiooni elementaarne üksus.
12 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Lahendus Mõiste bioloogia keeles Nimetus Mõiste matemaatika keeles Populatsioon ajahetkel t x = x(t) Funktsioon Ajavahemik ∆t = t – t0 Argumendi juurdekasv Populatsiooni suuruse muutus ∆x = x(t) – x(t0) Funktsiooni juurdekasv Populatsiooni suuruse muutumise määr ∆x/∆tatiivse argumendi juurdekasv. lim∆x/∆t ∆t → 0 tuletis P \u003d x "(t)
13 slaidi
Slaidi kirjeldus:
14 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Tuletis geograafias Tuletis aitab arvutada: Mõned väärtused seismograafias Maa elektromagnetvälja tunnused Tuuma geofüüsikaliste näitajate radioaktiivsus Paljud väärtused majandusgeograafias Tuletage valem territooriumi rahvaarvu arvutamiseks ajahetkel t.
15 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Geograafiaülesanne Tuletage valem rahvaarvu arvutamiseks piiratud alal ajahetkel t.
16 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Lahendus Olgu y=y(t) üldkogum. Vaatleme rahvastiku kasvu, kui ∆t = t – t0 ∆у = k∙y∙∆t, kus k = kр – kс on rahvastiku kasvumäär (kр on sündimus, kс on suremus). ∆у/∆t = k∙y kui ∆t → 0 saame lim ∆у/∆t = у’. Rahvastiku kasv – y’ = k∙y. ∆t → 0 Järeldus: tuletis geograafias on kombineeritud nii paljude selle harudega (seismograafia, asukoht ja populatsioon) kui ka majandusgeograafiaga. Kõik see võimaldab põhjalikumalt uurida maailma rahvastiku ja riikide arengut.
17 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Tuletisinstrument majanduses Tuletis lahendab olulisi küsimusi: Millises suunas muutuvad valitsuse sissetulekud maksude tõusuga või tollimaksude kehtestamisega? Kas ettevõtte tulud suurenevad või vähenevad, kui tema toodete hind tõuseb? Nende küsimuste lahendamiseks on vaja konstrueerida sisendmuutujate ühendusfunktsioonid, mida seejärel diferentsiaalarvutuse meetoditega uuritakse. Samuti saab majanduses funktsiooni ekstreemumi kasutades leida kõrgeima tööviljakuse, maksimaalse kasumi, maksimaalse toodangu ja minimaalsed kulud.
18 slaidi
Slaidi kirjeldus:
Ülesanne majandusteaduses nr 1 (tootmiskulud) Olgu y tootmiskulud ja x toodangu kogus, siis x1 on toodangu suurenemine ja y1 on tootmiskulude kasv.
19 slaidi
Slaidi kirjeldus:
20 slaidi
Projektitegevus matemaatikatundides
Projekti teema: Tuletise rakendamine
Liikmed: Riikliku Õppeasutuse "SKSiS" 1. kursuse õpilased
Fundamentaalne küsimus : Kuidas mõõta kiirust?
Probleemsed küsimused
Kes töötas "diferentseerimise" küsimuse kallal?
Kuidas kasutatakse tuletist funktsiooni uurimisel?
Kuidas tuletis aitab biolooge, keemikuid?
Milliseid ülesandeid füüsikas lahendatakse tuletise abil?
Kuidas tuletist majanduses kasutatakse?
Milline on tuletise ja geograafia suhe?
Sihtmärk: Tuletise kasutamise õpetus ülesannete lahendamisel analüüsi, füüsika, majanduse, bioloogia, keemia ja geograafia põhimõtetes; teadmiste süvendamine ja laiendamine teemal "Tuletis".
Ülesanded:
Leidke teavet tuletise tekkeloo kohta, uurige seda ja süstematiseerige.
Funktsioonide uurimine monotoonsuse, ekstreemsuse, kumeruse-nõgususe jaoks derivaadi abil.
Valik ülesandeid erinevatest bioloogiaharudest, mida lahendatakse tuletise abil
Uurige, milliseid protsesse tuletis geograafias reguleerib. Mõelge geograafia ülesannetele, mida lahendatakse tuletise abil
Valige erinevatest füüsikaosadest ülesanded, mis lahendatakse tuletise abil.
Valige majandusprobleemid, mis lahendatakse tuletise abil.
Kaaluge tuletise arvutamise reeglite rakendamist majandusliku sisuga praktiliste probleemide lahendamisel.
"Hoiatan teid, et olge ettevaatlik dx-i mahajätmise eest - see on viga, mida sageli tehakse ja mis takistab edasiminekut"
G.W. Leibniz
Tuletise kasutamine probleemide lahendamiseks nõuab õpilastelt kastist väljas mõtlemist. Tuleb märkida, et mittestandardsete probleemide lahendamise meetodite ja tehnikate tundmine aitab kaasa uue, mittestandardse mõtlemise kujunemisele, mida saab edukalt rakendada ka teistes inimtegevuse valdkondades (majandus, füüsika, keemia, bioloogia jne). See tõestab selle töö asjakohasust. Projekti kallal töötades jälgitakse tingimata õpilaste tegevuse teatud etappe. Igaüks neist aitab kaasa isikuomaduste kujunemisele.
Ettevalmistav etapp
Selles etapis oleme õpilased ja mina projektisse süvenenud: tegevus on motiveeritud, teema, probleem ja eesmärgid määratletud. Projekti teema peaks olema mitte ainult lähedane ja huvitav, vaid ka õpilasele kättesaadav. See projekti etapp on ajaliselt lühim, kuid väga oluline oodatud tulemuste saavutamiseks.Sissejuhatava esitluse demonstreerimise ajal peetakse vestlust; teemal olemasolevate teadmiste aktualiseerimine, projekti üldplaani arutelu, projektiga seotud tööde planeerimine. Infootsingu suuna määramine erinevatest allikatest.
Teema "Tuletis" on matemaatilise analüüsi kursuse üks olulisemaid sektsioone, kuna see kontseptsioon on diferentsiaalarvutuses peamine ja on integraalarvutuse konstrueerimise lähtealuseks. Kuid sageli ei mõista õpilased, kes puutuvad selle kontseptsiooniga esimest korda kokku, miks seda on vaja uurida. Nad ei näe selle teema praktilist rakendust. Seetõttu on käesolev projekt "Tuletise rakendamine" suunatud sellele, et õpilased saaksid teada, miks on vaja tuletist õppida, kus saab tuletisega seotud teadmisi kasutada nii elus kui ka muudes ainetes.
Planeerimise ja tegevuste korraldamise etapp.
Selles etapis määratleme grupid tegevusvaldkondade kaupa, toome välja iga rühma eesmärgid ja eesmärgid. Soovitatud teemad rühmavalikuks:
1. rühm - "Diferentsiaalarvutuse ajalooline teave";
2. rühm - "Tuletise geomeetriline tähendus"
rühm 4 - "Tuletise rakendamine füüsikaliste ülesannete lahendamisel";
3. rühm – "Parima lahenduse leidmine rakenduslikes, sh sotsiaalmajanduslikes ülesannetes"
4. rühm - "Tuletise rakendamine keemias ja bioloogias"
5. rühm – "Tuletise kasutamine geograafilise sisuga probleemide lahendamisel."
Rühma kuulusid erinevate õpivõimetega õpilased. Iga rühm sai ülesandeks analüüsida valitud teemat, leida infot. Rühmade töö on planeeritud: jaotatakse õpilaste vahel vastutusalad, määratakse teabeallikad, teabe kogumise ja analüüsimise meetodid, tegevuste tulemuste esitamise viisid (meil ettekanded ja vihikud.).
Otsimise etapp.
Selles etapis toimub nende valitud teema kohta teabe otsimine ja kogumine, vaheülesannete lahendamine. Kogutud materjali analüüs ja üldistamine. Tulemuste kirjalik esitlus ja saadud tulemuste vahekontroll, õpetaja poolt. Toimusid konsultatsioonid programmide PowerPoint, Publisher, Word teemal õpilastele, kellel oli praktilises töös probleeme tulemuste vormistamiseks. Järelduste vormistamine.
Tulemuste esitamise etapp, aruanne.
Esitlusetapp on vajalik töö lõpetamiseks, tehtu analüüsimiseks, enese- ja hinnangu andmiseks väljastpoolt ning tulemuste demonstreerimiseks. Meie projekti tulemuste esitlemise vorm: suuline aruanne koos materjalide demonstreerimisega esitluse, brošüüri, referaadi kujul.
Tulemuste hindamine, refleksioon
Projektiga töötamise üks viimaseid etappe on tulemuste hindamine, refleksioon. Projekti kaitsmine toimub tunnis või ringitunnis.
Lisades on projekti tegevuste raames koostatud õpilaste tööd ettekannete ja brošüüri kujul.
Õpilaste projektitöö hindamisel võetakse arvesse sisu (teema täielik avalikustamine, teema aspektide esitamine, probleemi lahendamise strateegia esitlus, teabe esitamise loogika, erinevate ressursside kasutamine), grupi iseseisva töö astet (koordineeritud töö rühmas, rollide jaotus rühmas, autori originaalsus), sobiv tootesõnastik, esitluse sõnastus ja sõnastus. ), kaitse (ettekande kvaliteet, teema teadmiste maht ja sügavus, kõnekultuur, kuulajaskonnast kinnihoidmise viis, küsimustele vastamine).
