Funktsioon on üks olulisemaid matemaatilisi mõisteid. Funktsioon – muutuv sõltuvus juures muutujast x, kui iga väärtus X vastab ühele väärtusele juures. muutuv X nimetatakse sõltumatuks muutujaks või argumendiks. muutuv juures nimetatakse sõltuvaks muutujaks. Kõik sõltumatu muutuja väärtused (muutuja x) moodustavad funktsiooni domeeni. Kõik väärtused, mida sõltuv muutuja võtab (muutuja y), moodustavad funktsiooni vahemiku.

Funktsioonigraafik nad kutsuvad koordinaattasandi kõigi punktide hulka, mille abstsissid on võrdsed argumendi väärtustega ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega, st muutujad on kantud piki abstsisstellge x, ja muutuja väärtused kantakse piki y-telge y. Funktsiooni joonistamiseks peate teadma funktsiooni omadusi. Funktsiooni põhiomadusi käsitletakse allpool!

Funktsioonigraafiku joonistamiseks soovitame kasutada meie programmi - Graphing Functions Online. Kui teil on selle lehe materjali uurimisel küsimusi, võite neid alati meie foorumis esitada. Samuti aidatakse foorumil lahendada ülesandeid matemaatikas, keemias, geomeetrias, tõenäosusteoorias ja paljudes teistes ainetes!

Funktsioonide põhiomadused.

1) Funktsiooni ulatus ja funktsioonide ulatus.

Funktsiooni ulatus on argumendi kõigi kehtivate väärtuste kogum x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y = f(x) määratletud.
Funktsiooni vahemik on kõigi reaalväärtuste hulk y et funktsioon aktsepteerib.

Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.

2) Funktsiooni nullid.

Väärtused X, mille juures y=0, kutsutakse funktsiooni nullid. Need on funktsiooni graafiku ja x-telje lõikepunktide abstsissid.

3) Funktsiooni märgi püsivuse intervallid.

Funktsiooni märgi püsivuse intervallid on sellised väärtuste intervallid x, millel on funktsiooni väärtused y kutsutakse kas ainult positiivseid või ainult negatiivseid funktsiooni märgi püsivuse intervallid.

4) Funktsiooni monotoonsus.

Kasvav funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Vähenev funktsioon (mingis intervallis) - funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

5) Paaris (paaritud) funktsioonid.

Paarisfunktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.

Paaritu funktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X määratlusvaldkonnast võrdsus f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

Ühtlane funktsioon
1) Määratluspiirkond on punkti (0; 0) suhtes sümmeetriline, st kui punkt a kuulub definitsiooni valdkonda, siis punkt -a kuulub ka definitsiooni valdkonda.
2) Iga väärtuse jaoks x f(-x)=f(x)
3) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline Oy telje suhtes.

paaritu funktsioon sellel on järgmised omadused:
1) Määratluspiirkond on punkti (0; 0) suhtes sümmeetriline.
2) mis tahes väärtuse puhul x, mis kuulub definitsiooni, võrdsuse valdkonda f(-x)=-f(x)
3) Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline alguspunkti (0; 0) suhtes.

Iga funktsioon ei ole paaris või paaritu. Funktsioonid üldine vaade pole paaris ega paaritu.

6) Piiratud ja piiramatud funktsioonid.

Funktsiooni nimetatakse piirituks, kui on olemas positiivne arv M, mille puhul |f(x)| ≤ M kõigi x väärtuste korral. Kui sellist arvu pole, on funktsioon piiramata.

7) Funktsiooni perioodilisus.

Funktsioon f(x) on perioodiline, kui on olemas nullist erinev arv T, nii et mis tahes funktsiooni domeeni x korral on f(x+T) = f(x). Seda väikseimat arvu nimetatakse funktsiooni perioodiks. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. (Trigonomeetrilised valemid).

Funktsioon f nimetatakse perioodiliseks, kui on olemas selline arv, et mis tahes jaoks x määratlusvaldkonnast võrdsus f(x)=f(x-T)=f(x+T). T on funktsiooni periood.

Igal perioodilisel funktsioonil on lõpmatu arv perioode. Praktikas võetakse tavaliselt arvesse väikseimat positiivset perioodi.

Perioodilise funktsiooni väärtusi korratakse pärast perioodiga võrdset intervalli. Seda kasutatakse graafikute koostamisel.

isegi, kui kõigi \(x\) selle domeenist on tõene: \(f(-x)=f(x)\) .

Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline telje \(y\) suhtes:

Näide: funktsioon \(f(x)=x^2+\cos x\) on paaris, sest \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Kutsutakse välja funktsioon \(f(x)\). kummaline, kui kõigi \(x\) selle domeenist on tõene: \(f(-x)=-f(x)\) .

Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline:

Näide: funktsioon \(f(x)=x^3+x\) on paaritu, kuna \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funktsioone, mis pole paaris ega paaritu, nimetatakse üldfunktsioonideks. Sellist funktsiooni saab alati üheselt esitada paaris ja paaritu funktsiooni summana.

Näiteks funktsioon \(f(x)=x^2-x\) on paarisfunktsiooni \(f_1=x^2\) ja paaritu funktsiooni \(f_2=-x\) summa.

\(\must kolmnurkparem\) Mõned omadused:

1) Kahe sama paarsusega funktsiooni korrutis ja jagatis on paarisfunktsioon.

2) Kahe erineva pariteediga funktsiooni korrutis ja jagatis on paaritu funktsioon.

3) Paarisfunktsioonide summa ja erinevus on paarisfunktsioon.

4) Paaritute funktsioonide summa ja erinevus on paaritu funktsioon.

5) Kui \(f(x)\) on paarisfunktsioon, siis võrrandil \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) on kordumatu juur siis ja ainult siis, kui \(x =0\) .

6) Kui \(f(x)\) on paaris või paaritu funktsioon ja võrrandil \(f(x)=0\) on juur \(x=b\) , siis on sellel võrrandil tingimata sekund juur \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funktsiooni \(f(x)\) nimetatakse perioodiliseks \(X\), kui mõne arvu \(T\ne 0\) jaoks on \(f(x)=f(x+ T) \) , kus \(x, x+T\in X\) . Väikseimat \(T\) , mille puhul see võrdsus kehtib, nimetatakse funktsiooni põhi(põhi)perioodiks.

Perioodilisel funktsioonil on suvaline arv kujul \(nT\) , kus \(n\in \mathbb(Z)\) on samuti punkt.

Näide: iga trigonomeetriline funktsioon on perioodiline;
funktsioonide \(f(x)=\sin x\) ja \(f(x)=\cos x\) põhiperiood on võrdne \(2\pi\) , funktsioonide \(f(x) )=\mathrm( tg)\,x\) ja \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) põhiperiood on \(\pi\) .

Perioodilise funktsiooni joonistamiseks saate joonistada selle graafiku mis tahes pikkusega lõigule \(T\) (põhiperiood); siis lõpetatakse kogu funktsiooni graafik, nihutades konstrueeritud osa täisarvu perioodide võrra paremale ja vasakule:

\(\blacktriangleright\) Funktsiooni \(f(x)\) domeen \(D(f)\) on hulk, mis koosneb argumendi \(x\) kõigist väärtustest, mille jaoks funktsioon on mõttekas (on määratletud).

Näide: funktsioonil \(f(x)=\sqrt x+1\) on määratlusdomeen: \(x\in

Ülesanne 1 #6364

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Milliste parameetri \(a\) väärtuste jaoks on võrrand

on unikaalne lahendus?

Pange tähele, et kuna \(x^2\) ja \(\cos x\) on paarisfunktsioonid, siis kui võrrandil on juur \(x_0\) , on sellel ka juur \(-x_0\) .
Tõepoolest, olgu \(x_0\) juur, see tähendab võrdsus \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)õige. Asendus \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Seega, kui \(x_0\ne 0\) , siis on võrrandil juba vähemalt kaks juurt. Seetõttu \(x_0=0\) . Seejärel:

Saime kaks parameetri väärtust \(a\) . Pange tähele, et oleme kasutanud tõsiasja, et \(x=0\) on täpselt algse võrrandi juur. Kuid me ei kasutanud kunagi seda, et ta on ainus. Seetõttu on vaja parameetri \(a\) saadud väärtused asendada algses võrrandis ja kontrollida, millise \(a\) juur \(x=0\) on tõepoolest kordumatu.

1) Kui \(a=0\) , siis on võrrand kujul \(2x^2=0\) . Ilmselgelt on sellel võrrandil ainult üks juur \(x=0\) . Seetõttu sobib meile väärtus \(a=0\).

2) Kui \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , siis on võrrand kujul \ Kirjutame võrrandi ümber kujul \ Sest \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), See \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Seetõttu kuuluvad võrrandi (*) parema külje väärtused segmenti \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Kuna \(x^2\geqslant 0\) , siis võrrandi (*) vasak pool on suurem või võrdne \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Seega võib võrdus (*) kehtida ainult siis, kui võrrandi mõlemad pooled on võrdsed \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Ja see tähendab seda \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftright nool\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightparrow\quad x=0\] Seetõttu sobib meile väärtus \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Vastus:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Ülesanne 2 #3923

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke parameetri \(a\) kõik väärtused, millest igaühe jaoks on funktsiooni graafik \

sümmeetriline päritolu suhtes.

Kui funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline, on selline funktsioon paaritu, st \(f(-x)=-f(x)\) on täidetud mis tahes \(x\) korral funktsiooni domeen. Seega tuleb leida need parameetrite väärtused, mille puhul \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(joondatud) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(joondatud)\]

Viimane võrrand peab kehtima kõigi \(x\) domeeni \(f(x)\) jaoks, seega \(\sin(2\pi a)=0 \Paremnool a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Vastus:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Ülesanne 3 #3069

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke parameetri \(a\) kõik väärtused, millest igaühe jaoks on võrrandil \ 4 lahendit, kus \(f\) on paaris perioodiline funktsioon perioodiga \(T=\dfrac(16)3\) defineeritud kogu reaalreal ja \(f(x)=ax^2\) jaoks \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tellijate ülesanne)

Ülesanne 4 #3072

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke kõik väärtused \(a\) , millest igaühe võrrand \

on vähemalt üks juur.

(Tellijate ülesanne)

Kirjutame võrrandi ümber kujul \ ja kaaluge kahte funktsiooni: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) ja \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funktsioon \(g(x)\) on paaris, selle miinimumpunkt on \(x=0\) (ja \(g(0)=49\) ).
Funktsioon \(f(x)\) \(x>0\) puhul väheneb ja \(x) puhul<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Tõepoolest, \(x>0\) puhul laieneb teine ​​moodul positiivselt (\(|x|=x\) ), seetõttu on \(f(x)\) olenemata sellest, kuidas esimene moodul laieneb. ( kx+A\) , kus \(A\) on \(a\) avaldis ja \(k\) võrdub kas \(-9\) või \(-3\) . \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Leidke väärtus \(f\) maksimumpunktist: \

Selleks, et võrrandil oleks vähemalt üks lahend, on vajalik, et funktsioonide \(f\) ja \(g\) graafikutel oleks vähemalt üks lõikepunkt. Seetõttu vajate: \ Selle süsteemide komplekti lahendades saame vastuse: \\]

Vastus:

\(a\in \(-7\)\tass\)

Ülesanne 5 #3912

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke parameetri \(a\) kõik väärtused, millest igaühe jaoks on võrrand \

on kuus erinevat lahendust.

Teeme asendused \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Siis võtab võrrand kuju \ Kirjutame järk-järgult välja tingimused, mille korral algsel võrrandil on kuus lahendit.
Pange tähele, et ruutvõrrandil \((*)\) võib olla kuni kaks lahendit. Igal kuupvõrrandil \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) võib olla kuni kolm lahendit. Seega, kui võrrandil \((*)\) on kaks erinevat lahendit (positiivne!, kuna \(t\) peab olema suurem kui null) \(t_1\) ja \(t_2\) , siis, olles teinud vastupidise asendus, saame: \[\left[\begin(kogutud)\begin(joondatud) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(joondatud)\end(kogutud)\paremale.\] Kuna iga positiivset arvu saab mingil määral esitada kujul \(\sqrt2\), näiteks \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), siis kirjutatakse hulga esimene võrrand kujul ümber \ Nagu me juba ütlesime, ei ole ühelgi kuupvõrrandil rohkem kui kolm lahendit, seega pole igal hulga võrrandil rohkem kui kolm lahendit. See tähendab, et kogu komplektis ei ole rohkem kui kuus lahendust.
See tähendab, et selleks, et algsel võrrandil oleks kuus lahendit, peab ruutvõrrandil \((*)\) olema kaks erinevat lahendit ja igal saadud kuupvõrrandil (hulgast) peab olema kolm erinevat lahendit (ja mitte ühte ühe võrrandi lahendus peaks langema kokku sellega – või teise otsusega!)
Ilmselgelt, kui ruutvõrrandil \((*)\) on üks lahend, siis me ei saa algvõrrandi jaoks kuut lahendit.

Nii saab lahendusplaan selgeks. Paneme punkthaaval kirja tingimused, mis peavad olema täidetud.

1) Et võrrandil \((*)\) oleks kaks erinevat lahendit, peab selle diskriminant olema positiivne: \

2) Samuti on meil vaja, et mõlemad juured oleksid positiivsed (sest \(t>0\) ). Kui kahe juure korrutis on positiivne ja nende summa on positiivne, siis on juured ise positiivsed. Seetõttu vajate: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Seega oleme juba varustanud endale kaks erinevat positiivset juurt \(t_1\) ja \(t_2\) .

3) Vaatame seda võrrandit \ Millise \(t\) jaoks on sellel kolm erinevat lahendust?
Vaatleme funktsiooni \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Saab korrutada: \ Seetõttu on selle nullpunktid: \(x=-1;2\) .
Kui leiame tuletise \(f"(x)=3x^2-6x\) , siis saame kaks äärmist punkti \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Seetõttu näeb graafik välja selline:


Näeme, et mis tahes horisontaalne joon \(y=k\) , kus \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) on kolm erinevat lahendust, on vajalik, et \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Seega vajate: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Pangem kohe ka tähele, et kui arvud \(t_1\) ja \(t_2\) on erinevad, siis arvud \(\log_(\sqrt2)t_1\) ja \(\log_(\sqrt2)t_2\) olla erinevad, seega võrrandid \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Ja \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) on erinevad juured.
Süsteemi \((**)\) saab ümber kirjutada järgmiselt: \[\begin(cases) 1

Seega oleme kindlaks teinud, et võrrandi \((*)\) mõlemad juured peavad asuma intervallis \((1;4)\) . Kuidas seda tingimust kirjutada?
Me ei kirjuta otseselt välja juuri.
Vaatleme funktsiooni \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Selle graafik on ülespoole suunatud harudega parabool, millel on kaks lõikepunkti abstsissteljega (selle tingimuse kirjutasime lõigus 1)). Kuidas peaks selle graafik välja nägema, et lõikepunktid abstsissteljega oleksid vahemikus \((1;4)\) ? Niisiis:


Esiteks peavad funktsiooni väärtused \(g(1)\) ja \(g(4)\) punktides \(1\) ja \(4\) olema positiivsed ja teiseks, funktsiooni tipp ka parabool \(t_0\ ) peab olema vahemikus \((1;4)\) . Seetõttu saab süsteemi kirjutada: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

Seega peame ristuma 1., 2. ja 3. lõigus leitud parameetrite väärtused \(a\) ja saame vastuse: \[\begin(cases) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\ 4

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Eesmärgid:

• kujundada paaris- ja paaritu funktsioonide mõiste, õpetada nende omaduste määramise ja kasutamise oskust funktsioonide uurimisel, joonistamisel;
• arendada õpilaste loomingulist tegevust, loogilist mõtlemist, võrdlemis-, üldistusvõimet;
• kasvatada töökust, matemaatilist kultuuri; arendada suhtlemisoskusi .

Varustus: multimeedia installatsioon, interaktiivne tahvel, jaotusmaterjalid.

Töö vormid: frontaal ja rühm otsingu- ja uurimistegevuse elementidega.

Teabeallikad:

1. Algebra klass 9 A.G.Mordkovich. Õpik.
2. Algebra 9. klass A.G. Mordkovich. Ülesanderaamat.
3. Algebra hinne 9. Ülesanded õpilaste õppimiseks ja arendamiseks. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TUNNIDE AJAL

1. Organisatsioonimoment

Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.

2. Kodutööde kontrollimine

Nr 10.17 (Probleemiraamat 9. klass A.G. Mordkovich).

A) juures = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 jaoks X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsioon suureneb X € [– 2; + ∞)
6. Funktsioon on altpoolt piiratud.
7. juures rent = -3, juures naibi pole olemas
8. Funktsioon on pidev.

(Kas kasutasite funktsioonide uurimise algoritmi?) Libisema.

2. Kontrollime slaidil tabelit, mida teilt küsiti.

Täida tabel
	Domeen	Funktsiooni nullid	Püsivuse intervallid		Graafiku ja Oy lõikepunktide koordinaadid
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Teadmiste värskendus

- Funktsioonid on antud.
– Määrake iga funktsiooni määratluspiirkond.
– Võrrelge iga funktsiooni väärtust iga argumendi väärtuste paari jaoks: 1 ja – 1; 2 ja -2.
– Milliste definitsioonipiirkonna antud funktsioonide jaoks on võrdsused f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pane andmed tabelisse) Libisema

		f(1) ja f(– 1)	f(2) ja f(– 2)	diagrammid	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ja pole määratletud.

4. Uus materjal

- Seda tööd tehes, poisid, oleme paljastanud veel ühe funktsiooni omaduse, mis on teile võõras, kuid mitte vähem oluline kui teised - see on funktsiooni ühtlus ja veidrus. Kirjutage tunni teema: "Paaris- ja paaritu funktsioonid", meie ülesandeks on õppida paaris- ja paarituid funktsioone määrama, selgitada välja selle omaduse tähtsus funktsioonide uurimisel ja joonistamisel.
Niisiis, otsime õpikust definitsioonid ja loeme (lk 110) . Libisema

Def. 1 Funktsioon juures = f (X) nimetatakse hulgal X määratletud isegi, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X pooleli võrdus f (–x) = f (x). Too näiteid.

Def. 2 Funktsioon y = f(x), defineeritud hulgal X kutsutakse kummaline, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X võrdus f(–х)= –f(х) on täidetud. Too näiteid.

Kus kohtasime mõisteid "paaris" ja "paaritu"?
Mis sa arvad, milline neist funktsioonidest on paaris? Miks? Millised on veidrad? Miks?
Vormi mis tahes funktsiooni jaoks juures= x n, Kus n on täisarv, võib väita, et funktsioon on paaritu jaoks n on paaritu ja funktsioon on paaris jaoks n- isegi.
– Funktsioonide vaatamine juures= ja juures = 2X– 3 pole paaris ega paaritu, sest võrdsust ei täideta f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Küsimuse uurimist, kas funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse pariteedi funktsiooni uurimiseks. Libisema

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlesid funktsiooni väärtusi punktides x ja - x, seega eeldatakse, et funktsioon on defineeritud ka väärtuse juures X, ja kell - X.

ODA 3. Kui arvuhulk koos iga selle elemendiga x sisaldab vastaselementi x, siis hulk X nimetatakse sümmeetriliseks hulgaks.

Näited:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) on sümmeetrilised hulgad ja , [–5;4] on mittesümmeetrilised.

- Kas isegi funktsioonidel on määratluspiirkond – sümmeetriline hulk? Imelikud?
- kui D( f) on asümmeetriline hulk, siis mis on funktsioon?
– Seega, kui funktsioon juures = f(X) on paaris või paaritu, siis on selle määratluspiirkond D( f) on sümmeetriline komplekt. Kuid kas on vastupidine, kui funktsiooni valdkond on sümmeetriline hulk, siis on see paaris või paaritu?
- Seega on definitsioonipiirkonna sümmeetrilise hulga olemasolu vajalik, kuid mitte piisav tingimus.
– Kuidas siis uurida pariteedi funktsiooni? Proovime kirjutada algoritmi.

Libisema

Pariteedi funktsiooni uurimise algoritm

1. Määrake, kas funktsiooni domeen on sümmeetriline. Kui ei, siis pole funktsioon paaris ega paaritu. Kui jah, siis minge algoritmi 2. sammu juurde.

2. Kirjutage avaldis jaoks f(–X).

3. Võrdle f(–X).Ja f(X):

• Kui f(–X).= f(X), siis on funktsioon paaris;
• Kui f(–X).= – f(X), siis on funktsioon paaritu;
• Kui f(–X) ≠ f(X) Ja f(–X) ≠ –f(X), siis pole funktsioon paaris ega paaritu.

Näited:

Uurige pariteedi funktsiooni a) juures= x 5 +; b) juures= ; V) juures= .

Lahendus.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), sümmeetriline hulk.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsioon h(x)= x 5 + paaritu.

b) y =,

juures = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asümmeetriline hulk, seega pole funktsioon paaris ega paaritu.

V) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. võimalus

1. Kas antud hulk on sümmeetriline: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Uurige pariteedi funktsiooni:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi jaoks X, mis vastab tingimusele X? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), Kui juures = f(X) on paarisfunktsioon.

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi x-i puhul, mis rahuldavad x? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), Kui juures = f(X) on paaritu funktsioon.

Vastastikune kontroll libisema.

6. Kodutöö: №11.11, 11.21,11.22;

Paarsuse omaduse geomeetrilise tähenduse tõestus.

*** (Kasutamise valiku määramine).

1. Paaritu funktsioon y \u003d f (x) on defineeritud kogu reaalreal. Muutuja x mis tahes mittenegatiivse väärtuse korral langeb selle funktsiooni väärtus kokku funktsiooni g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Leia funktsiooni h( X) = juures X = 3.

7. Kokkuvõtete tegemine

Funktsiooniuuringud.

1) D(y) – määratluspiirkond: muutuja x kõigi nende väärtuste kogum. mille all on algebralised avaldised f(x) ja g(x) mõttekad.

Kui funktsioon on antud valemiga, koosneb definitsioonipiirkond kõigist sõltumatu muutuja väärtustest, mille jaoks valem on mõttekas.

2) Funktsiooni omadused: paaris/paaritu, perioodilisus:

kummaline Ja isegi nimetatakse funktsioonideks, mille graafikud on argumendi märgi muutuse suhtes sümmeetrilised.

paaritu funktsioon- funktsioon, mis muudab sõltumatu muutuja märgi muutumisel väärtust vastupidiseks (sümmeetriline koordinaatide keskpunkti suhtes).

Ühtlane funktsioon- funktsioon, mis ei muuda oma väärtust sõltumatu muutuja märgi muutumisel (sümmeetriline y-telje suhtes).

Ei paaris ega paaritu funktsioon (üldfunktsioon) on funktsioon, millel puudub sümmeetria. See kategooria sisaldab funktsioone, mis ei kuulu kahe eelmise kategooria alla.

Kutsutakse funktsioone, mis ei kuulu ühtegi ülaltoodud kategooriasse ei paaris ega paaritu(või üldfunktsioonid).

Veidrad funktsioonid

Paaritu aste kus on suvaline täisarv.

Isegi funktsioonid

Paarisaste kus on suvaline täisarv.

Perioodiline funktsioon on funktsioon, mis kordab oma väärtusi argumendi teatud kindla intervalliga, st ei muuda selle väärtust, kui argumendile lisatakse mingi fikseeritud nullist erinev arv ( periood funktsioonid) kogu määratlusvaldkonnas.

3) Funktsiooni nullpunktid (juured) on punktid, kus see kaob.

Graafiku ja telje lõikepunkti leidmine Oy. Selleks peate arvutama väärtuse f(0). Leia ka graafiku lõikepunktid teljega Ox, milleks leida võrrandi juured f(x) = 0 (või veenduge, et juured puuduvad).

Nimetatakse punkte, kus graafik lõikub teljega funktsiooni nullid. Funktsiooni nullpunktide leidmiseks tuleb võrrand lahendada ehk leida need x väärtused, mille puhul funktsioon kaob.

4) Märkide püsivuse intervallid, märgid neis.

Intervallid, kus funktsioon f(x) säilitab oma märgi.

Konstantsuse intervall on intervall igas punktis, kus funktsioon on positiivne või negatiivne.

X-telje kohal.

TELJE ALL.

5) Järjepidevus (katkestuspunktid, katkestuse iseloom, asümptoodid).

pidev funktsioon- funktsioon ilma "hüpeteta", st selline, mille argumendi väikesed muutused põhjustavad funktsiooni väärtuses väikseid muutusi.

Eemaldatavad katkestuspunktid

Kui funktsiooni piir on olemas, kuid funktsioon pole selles punktis määratletud või piirang ei ühti funktsiooni väärtusega sellel hetkel:

,

siis nimetatakse punkti murdepunkt funktsioonid (kompleksanalüüsis eemaldatav ainsuse punkt).

Kui "parandame" funktsiooni eemaldatava katkestuse kohas ja paneme , siis saame funktsiooni, mis on selles punktis pidev. Sellist toimingut funktsiooniga nimetatakse funktsiooni laiendamine pidevaks või funktsiooni laiendamine järjepidevuse järgi, mis õigustab punkti nime, punktidena ühekordselt kasutatavad lõhe.

Esimest ja teist tüüpi katkestuspunktid

Kui funktsioonil on antud punktis katkestus (st funktsiooni piir antud punktis puudub või ei ühti funktsiooni väärtusega antud punktis), siis on numbriliste funktsioonide jaoks kaks võimalust seotud numbriliste funktsioonide olemasoluga ühepoolsed piirangud:

kui mõlemad ühepoolsed piirid eksisteerivad ja on lõplikud, siis sellist punkti nimetatakse esimest tüüpi murdepunkt. Eemaldatavad katkestuspunktid on esimest tüüpi katkestuspunktid;

kui vähemalt ühte ühepoolsetest piiridest ei eksisteeri või see ei ole lõplik väärtus, siis sellist punkti nimetatakse teist tüüpi murdepunkt.

Asümptoot - sirge, millel on omadus, et kaugus kõvera punktist selleni sirge kipub nulli, kui punkt liigub piki haru lõpmatuseni.

vertikaalne

Vertikaalne asümptoot – piirjoon .

Vertikaalse asümptoodi määramisel otsitakse reeglina mitte ühte piiri, vaid kahte ühepoolset (vasak ja parem). Seda tehakse selleks, et määrata, kuidas funktsioon käitub, kui see läheneb vertikaalsele asümptoodile erinevatest suundadest. Näiteks:

Horisontaalne

Horisontaalne asümptoot - sirge liigid, olenevalt olemasolust piiri

.

kaldus

Kaldus asümptoot - sirge liigid, olenevalt olemasolust piirid

Märkus. Funktsioonil võib olla kuni kaks kaldu (horisontaalset) asümptooti.

Märkus: kui vähemalt üks kahest ülalmainitud piirist ei eksisteeri (või on võrdne ), siis kaldasümptooti punktis (või ) ei eksisteeri.

kui punktis 2.), siis , ja piirang leitakse horisontaalse asümptoodi valemiga, .

6) Monotoonsuse intervallide leidmine. Leia funktsiooni monotoonsusintervallid f(x) (st suurenemise ja kahanemise intervallid). Seda tehakse tuletise märgi uurimisega f(x). Selleks leidke tuletis f(x) ja lahendage ebavõrdsus f(x)0. Intervallidel, kus see ebavõrdsus on täidetud, funktsioon f(x) suureneb. Kus kehtib vastupidine ebavõrdsus f(x)0, funktsioon f(x) väheneb.

Kohaliku ekstreemumi leidmine. Olles leidnud monotoonsuse intervallid, saame kohe määrata lokaalse ekstreemumi punktid, kus kasv asendub langusega, on lokaalsed maksimumid ja kus vähenemine asendub tõusuga, lokaalsed miinimumid. Arvutage funktsiooni väärtus nendes punktides. Kui funktsioonil on kriitilisi punkte, mis ei ole lokaalsed äärmuspunktid, siis on kasulik ka nendes punktides funktsiooni väärtus välja arvutada.

Funktsiooni y = f(x) suurima ja väikseima väärtuse leidmine segmendil(jätk)

1. Leia funktsiooni tuletis: f(x). 2. Leidke punktid, kus tuletis on null: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Määrake punktide kuuluvus X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: las x 1a;b, A x 2a;b . 4. Leidke funktsiooni väärtused valitud punktidest ja segmendi otstest: f(x 1), f(x 2),..., f(x a),f(x b), 5. Funktsiooni suurimate ja väiksemate väärtuste valik leitud väärtustest. Kommenteeri. Kui intervallil [ a; b] on katkestuspunkte, siis tuleb nendes arvutada ühepoolsed piirid ja seejärel funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse valimisel nende väärtusi arvesse võtta.

7) Kumeruse ja nõgususe intervallide leidmine. Seda tehakse teise tuletise märki uurides f(x). Leidke kumerate ja nõgusate intervallide ristmikel olevad käändepunktid. Arvutage funktsiooni väärtus käändepunktides. Kui funktsioonil on muid pidevuspunkte (peale käänupunktide), kus teine ​​tuletis võrdub 0-ga või seda ei eksisteeri, siis on nendes punktides kasulik ka funktsiooni väärtus välja arvutada. Leidmine f(x), lahendame ebavõrdsuse f(x)0. Igal lahendusintervallil on funktsioon allapoole kumer. Vastupidise ebavõrdsuse lahendamine f(x)0, leiame intervallid, millel funktsioon on ülespoole kumer (st nõgus). Me defineerime pöördepunkte kui punkte, kus funktsioon muudab kumeruse suunda (ja on pidev).

Funktsiooni käändepunkt- see on punkt, kus funktsioon on pidev ja mille läbimisel muudab funktsioon kumeruse suunda.

Olemise tingimused

Käändepunkti olemasolu vajalik tingimus: kui funktsioon on kahekordselt diferentseeruv mõnes punkti punkteeritud ümbruses, siis kas .

Funktsiooni nimetatakse paaris (paarituks), kui mis tahes ja võrdsuse korral

.

Paarisfunktsiooni graafik on telje suhtes sümmeetriline
.

Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

Näide 6.2. Uurige paaris- või paarituid funktsioone

1)
; 2)
; 3)
.

Lahendus.

1) Funktsioon on defineeritud
. Otsime üles
.

Need.
. Nii et see funktsioon on ühtlane.

2) Funktsioon on defineeritud

Need.
. Seega on see funktsioon veider.

3) funktsioon on defineeritud jaoks, s.t. Sest

,
. Seetõttu pole funktsioon paaris ega paaritu. Nimetagem seda üldfunktsiooniks.

3. Monotoonsuse funktsiooni uurimine.

Funktsioon
nimetatakse suurenemiseks (vähenemiseks) mõnel intervallil, kui selles intervallis vastab iga argumendi suurem väärtus funktsiooni suuremale (väiksemale) väärtusele.

Mingil intervallil suurenevaid (vähenevaid) funktsioone nimetatakse monotoonilisteks.

Kui funktsioon
intervallil diferentseeruv
ja sellel on positiivne (negatiivne) tuletis
, siis funktsioon
suureneb (väheneb) selles intervallis.

Näide 6.3. Leia funktsioonide monotoonsuse intervallid

1)
; 3)
.

Lahendus.

1) See funktsioon on määratletud kogu arvteljel. Leiame tuletise.

Tuletis on null, kui
Ja
. Määratlusvaldkond - numbritelg, jagatud punktidega
,
intervallide jaoks. Määrame igas intervallis tuletise märgi.

Intervall
tuletis on negatiivne, funktsioon sellel intervallil väheneb.

Intervall
tuletis on positiivne, seetõttu funktsioon sellel intervallil kasvab.

2) See funktsioon on defineeritud, kui
või

.

Määrame igas intervallis ruuttrinoomi märgi.

Seega funktsiooni ulatus

Leiame tuletise
,
, Kui
, st.
, Aga
. Määrame tuletise märgi intervallides
.

Intervall
tuletis on negatiivne, seetõttu funktsioon intervallil väheneb
. Intervall
tuletis on positiivne, funktsioon suureneb intervallil
.

4. Ekstreemumi funktsiooni uurimine.

Punkt
nimetatakse funktsiooni maksimaalseks (minimaalseks) punktiks
, kui punkti selline naabrus on olemas seda kõigile
see naabruskond rahuldab ebavõrdsust

.

Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkte nimetatakse äärmuspunktideks.

Kui funktsioon
punktis omab ekstreemumit, siis on funktsiooni tuletis selles punktis võrdne nulliga või seda ei eksisteeri (vajalik tingimus ekstreemumi olemasoluks).

Punkte, kus tuletis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri, nimetatakse kriitilisteks.

5. Ekstreemumi olemasoluks piisavad tingimused.

1. reegel. Kui üleminekul (vasakult paremale) läbi kriitilise punkti tuletis
muudab märgi "+" asemel "-", seejärel punktis funktsiooni
on maksimum; kui "-" kuni "+", siis miinimum; Kui
märki ei vaheta, siis ekstreemumit pole.

2. reegel. Lase punktis
funktsiooni esimene tuletis
null
, ja teine ​​tuletis on olemas ja on nullist erinev. Kui
, See on maksimumpunkt, kui
, See on funktsiooni miinimumpunkt.

Näide 6.4 . Uurige maksimaalseid ja minimaalseid funktsioone:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Lahendus.

1) Funktsioon on defineeritud ja intervallil pidev
.

Leiame tuletise
ja lahendage võrrand
, st.
.siit
on kriitilised punktid.

Määrame tuletise märgi intervallides ,
.

Punktide läbimisel
Ja
tuletis muudab märgi “–” asemel “+”, seega vastavalt reeglile 1
on miinimumpunktid.

Punkti läbimisel
tuletis muudab märgi "+" asemel "-", nii et
on maksimumpunkt.

,
.

2) Funktsioon on defineeritud ja intervallis pidev
. Leiame tuletise
.

Võrrandi lahendamisega
, leia
Ja
on kriitilised punktid. Kui nimetaja
, st.
, siis tuletist ei eksisteeri. Niisiis,
on kolmas kriitiline punkt. Määrame tuletise märgi intervallides.

Seetõttu on funktsioonil punktis miinimum
, maksimum punktides
Ja
.

3) Funktsioon on defineeritud ja pidev, kui
, st. juures
.

Leiame tuletise

.

Leiame kriitilised punktid:

Punktide naabrused
ei kuulu definitsiooni valdkonda, seega ei ole need äärmuslikud t. Nii et uurime kriitilisi punkte
Ja
.

4) Funktsioon on defineeritud ja intervallil pidev
. Kasutame reeglit 2. Leia tuletis
.

Leiame kriitilised punktid:

Leiame teise tuletise
ja määrake punktides selle märk

Punktides
funktsioonil on miinimum.

Punktides
funktsioonil on maksimum.