Antud ring keskpunktiga KOHTA ja punkt A väljaspool ringi. A) Ringi läbimõõt on joonistatud. Kasutades ainult joonlauda*, langetage risti punktist A selle läbimõõdu jaoks. b) Läbi punkti A sirgjoon tõmmatakse ilma ühised punktid ringiga. Kasutades ainult joonlauda langetage risti punktist KOHTA sellele reale.

*Märge. Ehitusülesannete "joonlaua" all mõeldakse alati mitte mõõteriista, vaid geomeetrilist - selle abil saate tõmmata ainult sirgeid (läbi kahe olemasoleva punkti), kuid mitte mõõta punktide vahelist kaugust. Lisaks peetakse geomeetrilist joonlauda ühepoolseks – sellega ei saa tõmmata paralleelset joont, lihtsalt kinnitades joonlaua ühe külje kahe punkti külge ja tõmmates joont mööda teist külge.

Vihje 1

Kasutage läbimõõdu otsasid, mitte ringi keskpunkti.

Vihje 2

Nurk, mille tipp on ringil selle läbimõõdu alusel, on täisnurk. Seda teades saab konstrueerida kaks kõrgust kolmnurgas, mis on moodustatud läbimõõdu ja punkti otstest A.

Vihje 3

Proovige alguses lahendada lihtsam juhtum, kui lõigus toodud b), - kui antud sirge lõikub ringiga.

Lahendus

A) Lase päike- antud läbimõõt (joon. 1). Probleemi lahendamiseks pidage meeles kaks esimest vihjet: kui joonistate sirgeid jooni AB Ja AC ja seejärel ühendage nende lõikepunktid ringjoonega kolmnurga soovitud tippudega ABC, siis saame selle kolmnurga kaks kõrgust. Ja kuna kolmnurga kõrgused ristuvad ühes punktis, siis joon CH on kolmas kõrgus, st soovitud risti alates A läbimõõduni päike.

b) Selle punkti lahendus ei tundu aga isegi kolmandas vihjes antud juhul lihtsam: jah, saame joonistada läbimõõdud, ühendada nende otsad ja saada ristküliku ABCD(Joonis 2, kus lihtsuse huvides on punkt A ringile märgitud), aga kuidas see viib meid lähemale ringi keskpunktist risti ehitamisele?

Aga kuidas: kolmnurgast alates AOB võrdhaarne, seejärel risti (kõrgus) Okei läheb keskelt läbi K küljed AB. Niisiis, ülesanne taandus selle külje keskkoha leidmisele. Üllataval kombel ei vaja me enam üldse ringi ja punkti D ka üldiselt "ekstra". Ja siin on lõige CD- mitte üleliigne, kuid sellel pole vaja mingit konkreetset punkti, vaid täiesti suvalist punkti E! Kui määratud L ristumispunkt OLE Ja AC(joonis 3) ja seejärel pikendada AE enne ristmikku jätkuga eKr punktis M, siis sirgjoon LM on lahendus kõigile meie muredele ja probleemidele!

Kas see on tõsi, on väga sarnane, Mida LM ristid AB keskel? See on tõsi. Proovige seda tõestada. Tõendamist lükkame edasi ülesande lahendamise lõpuni.

Niisiis, oleme õppinud leidma segmendi keskpunkti AB, mis tähendab, et oleme õppinud alandama risti vastu AB ringi keskelt. Aga mida teha algse ülesandega, kus antud sirge ei ristu ringiga, nagu joonisel fig. 4?

Püüame probleemi taandada juba lahendatud probleemile. Seda saab teha näiteks nii.

Esiteks konstrueerime ringjoone keskpunkti suhtes antud sirge sümmeetrilise sirge. Konstruktsioon on selge jooniselt fig. 5, millel see sirgjoon on ringi all horisontaalne ja selle suhtes sümmeetriline sirgjoon on punasega esile tõstetud (kaks sinised täpid võib ringidele võtta üsna meelevaldselt). Samal ajal joonistame läbi keskuse KOHTA veel üks sirge, mis on risti saadud ristküliku ühe küljega ringis, et saada sellel sirgel kaks võrdse pikkusega lõiku.

Omades kahte paralleelset sirget, millest ühel on lõigu kaks otsa ja keskosa juba märgitud, võtame suvalise punkti T(näiteks ringil) ja konstrueerida selline punkt S, mis on sirge TS on paralleelne olemasoleva kahe liiniga. See konstruktsioon on näidatud joonisel fig. 6.

Nii saime antud sirgega paralleelse ringjoone kõõlu ehk taandasime ülesande varem lahendatud variandile, kuna me juba teame, kuidas ringi keskpunktist sellisele kõõlule risti tõmmata.

Jääb üle tõestada fakti, mida me eespool kasutasime.

nelinurkne ABCE joonisel fig. 3 - trapets, L on selle diagonaalide lõikepunkt ja M- selle külgmiste külgede pikenduste lõikepunkt. Trapetsi tuntud omaduse järgi (seda nimetatakse ka trapetsi suurepärane omadus; näete, kuidas see on tõestatud) otsene ML läbib trapetsi aluste keskpunkte.

Tegelikult tuginesime veel kord samale teoreemile juba viimases alamülesandes, kui tõmbasime kolmanda paralleelsirge.

Järelsõna

Ühe joonlauaga geomeetriliste konstruktsioonide teooria, kui on antud tsentriga abiring, töötas välja 19. sajandi tähelepanuväärne saksa geomeeter Jacob Steiner (õigem on hääldada tema perekonnanime Steiner kui “Steiner”, kuid kirjapilt kahe e-ga on vene kirjanduses juba ammu fikseeritud). Tema matemaatilistest saavutustest rääkisime juba kord ülesandes "Lühidalt Sklifosovski". Raamatus "Sirge ja fikseeritud ringjoonega teostatavad geomeetrilised konstruktsioonid" tõestas Steiner teoreemi, mille kohaselt saab ilma kompassita teostada mis tahes konstruktsiooni, mida saab teostada kompassi ja sirgjoonega, kui on antud ainult üks ring ja selle keskpunkt on märgitud.. Steineri tõestus on taandatud põhikonstruktsioonide teostamise võimaluse demonstreerimisele, mida tavaliselt tehakse kompassiga, eelkõige paralleelsete ja risti asetsevate joonte joonistamiseks. Meie ülesanne, nagu on hästi näha, on selle demonstratsiooni erijuhtum.

Kuid Steiner ei toonud kaasa mõningaid probleeme. ainus viis lahendusi. Tutvustame teist meetodit.

Võtke antud sirgel kaks suvalist punkti A Ja B(joonis 7). Esmalt konstrueerime risti A(sinisele) sirgele BO- see on tegelikult meie esimese ülesande lahendus, sest see joon sisaldab ringi läbimõõtu; kõik vastavad konstruktsioonid joonisel fig. 7 on sinised. Seejärel ehitame risti B(rohelisele) sirgele AO- see on täpselt sama lahendus täpselt samale probleemile, konstruktsioonid on valmis rohelises. Seega saime kolmnurga kaks kõrgust AOB. Selle kolmnurga kolmas kõrgus läbib keskpunkti O ja kahe ülejäänud kõrguse ristumispunkt. See on soovitud joonega risti AB.

Kuid see pole veel kõik. Hoolimata kogu teise meetodi (suhtelisest) lihtsusest on see "liiga pikk". See tähendab, et on veel üks ehitusmeetod, mis nõuab vähem operatsioone (ehitusprobleemide puhul arvestatakse iga kompassi või sirgjoonega tõmmatud joon üheks toiminguks). Konstruktsioonid, mis nõuavad teadaolevate arvude tehte hulgast miinimumi, nimetas prantsuse matemaatik Emile Lemoine (Émile Lemoine, 1840–1912) geomeetriline(vt: Geometrograafia).

Seega on teie tähelepanu suunatud punkti geomeetrilisele lahendusele b). See nõuab vaid 10 sammu, millest esimesed kuus on "looduslikud" ja järgmised kolm on "hämmastavad". Viimast sammu, risti joonistamist, tuleks ehk nimetada ka loomulikuks.

Tahame joonistada punase punktiirristi (joonis 8), selleks peame leidma sellel mõne punkti, mis erineb KOHTA. Mine.

1) Lase A on suvaline punkt sirgel ja C on suvaline punkt ringil. Joonistame sirgjoone AC.

2)–3) Joonistage läbimõõt OC(teiseseks ringi ületamine punktis D) ja otse AD. Märgime joonte teise lõikepunkti AC Ja AD ringiga B Ja E, vastavalt.

4)–6) Kulutame OLE, BD Ja CE. Otsene CD Ja OLE ristuvad punktis H, A BD Ja CE- punktis G(joonis 9).

Muide, kas see võib olla nii OLE oleks paralleelne CD? Jah, kindlasti. Juhul kui läbimõõt CD risti AO, siis juhtub täpselt nii: OLE Ja CD on paralleelsed ja punktid A, O Ja G lebama samal real. Aga oskus võtta punkti C eeldab meelevaldselt meie võimet valida see nii, et CO Ja AO ei olnud risti.

Ja nüüd lubatud vinged ehitusetapid:

7) Me juhime GH punktis antud sirgega ristumiskohani I.
8) Me kulutame CI punktis ringiga ristumiskohani J.
9) Me kulutame b.j., mis ristub GH... Kus? Täpselt nii, punase punkti juures, mis asub ringi vertikaalsel läbimõõdul (joonis 10).

10) Joonistage vertikaalne läbimõõt.

8. sammu asemel võiks tõmmata sirge DI ja seejärel sammus 9 ühendage selle teine ​​lõikepunkt punktiga ringiga E. Tulemuseks oleks sama punane täpp. Kas see on tõesti hämmastav? Veelgi enam, pole isegi selge, mis on üllatavam - kas punane täpp on kahe ehitusmeetodi puhul sama või asub see vajalikul ristil. Geomeetria ei ole aga "faktikunst", vaid "tõestamise kunst". Nii et proovige seda tõestada.

Sirgete joonte ehitamine - alus tehniline joonistus. Nüüd tehakse seda üha enam graafiliste toimetajate abiga, mis pakuvad disainerile suurepäraseid võimalusi. Mõned ehituspõhimõtted jäävad aga samaks, mis klassikalises joonistamises – kasutades pliiatsi ja joonlauda.

Sa vajad

• - paber;
• - pliiats;
• - joonlaud;
• - AutoCAD tarkvaraga arvuti.

Juhend

• Alustage klassikalise ehitusega. Määrake tasapind, millele joone tõmbate. Olgu selleks paberilehe tasapind. Korraldage punktid sõltuvalt probleemi tingimustest. Need võivad olla suvalised, kuid on võimalik, et on antud mingi koordinaatsüsteem. Suvalised punktid asetage sinna, kus teile kõige rohkem meeldib. Märgistage need A ja B. Kasutage nende ühendamiseks joonlauda. Aksioomi järgi on alati võimalik tõmmata sirge läbi kahe punkti ja ainult ühe.
• Joonistage koordinaatide süsteem. Olgu teile antud punkti A koordinaadid (x1; y1). Nende leidmiseks peate piki x-telge soovitud arv kõrvale jätma ja tõmmake läbi märgitud punkti y-teljega paralleelse sirge. Seejärel joonistage piki vastavat telge väärtus, mis on võrdne y1-ga. Joonistage märgitud punktist risti, kuni see lõikub esimesega. Nende ristumiskohaks saab punkt A. Samamoodi leia punkt B, mille koordinaate saab tähistada kui (x2; y2). Ühendage mõlemad punktid sirgjoonega.
• AutoCADis saab sirgjoont tõmmata mitmel viisil. "Kahe punkti" funktsioon on tavaliselt vaikimisi seatud. Leidke ülemisest menüüst vahekaart "Kodu". Näete enda ees joonistuspaneeli. Otsige üles sirgjoonega nupp ja klõpsake sellel.
• Selles programmis saab kahest punktist sirge konstrueerida kahel viisil. Asetage kursor ekraanil soovitud punkti ja klõpsake hiire vasakut nuppu. Seejärel määrake teine ​​punkt, lohistage sinna joon ja klõpsake ka hiirt.
• AutoCAD võimaldab määrata ka mõlema punkti koordinaadid. Tippige allolevale käsureale (_xline). Vajutage sisestusklahvi. Sisestage esimese punkti koordinaadid ja vajutage ka sisestusklahvi. Samamoodi määratlege teine ​​punkt. Seda saab määrata ka hiireklõpsuga, asetades kursori ekraanil soovitud punkti.
• AutoCADis saate sirget ehitada mitte ainult kahe punkti, vaid ka kaldenurga järgi. Valige kontekstimenüüst Joonista sirgjoon ja seejärel suvand Nurk. Algpunkti saab määrata hiireklõpsuga või koordinaatidega, nagu eelmises meetodis. Seejärel määrake nurga suurus ja vajutage sisestusklahvi. Vaikimisi asetatakse joon horisontaali suhtes soovitud nurga alla.

Paralleeljoonte konstrueerimise meetodid erinevate vahenditega põhinevad paralleelsete joonte märkidel.

Paralleeljoonte konstrueerimine sirkli ja sirgjoonega

Kaaluge läbiva paralleeljoone konstrueerimise põhimõte antud punkt , kasutades kompassi ja joonlauda.

Olgu antud sirge ja mingi punkt A, mis antud sirgele ei kuulu.

On vaja konstrueerida antud punkti $A$ läbiv sirge paralleelselt antud sirgega.

Praktikas on sageli vaja konstrueerida kaks või enam paralleelset sirget ilma antud sirge ja punktita. Sel juhul on vaja meelevaldselt tõmmata joon ja märkida mis tahes punkt, mis sellel joonel ei asu.

Kaaluge paralleelse joone ehitamise sammud:

Praktikas kasutatakse ka paralleeljoonte konstrueerimise meetodit joonestusruudu ja joonlaua abil.

Paralleelsete joonte ehitamine ruudu ja joonlaua abil

Sest konstrueerida sirge, mis läbib punkti M paralleelselt antud sirgega a, vajalik:

1. Kinnitage ruut diagonaaliga sirge $a$ külge (vt joonist) ja selle suurema jala külge kinnitage joonlaud.
2. Liiguta ruutu mööda joonlauda, ​​kuni antud punkt $M$ on ruudu diagonaalil.
3. Joonistage soovitud joon $b$ läbi punkti $M$.

Saime sirge, mis läbib antud punkti $M$ paralleelselt antud sirgega $a$:

$a \paralleel b$, st $M \in b$.

Sirgede $a$ ja $b$ paralleelsus ilmneb vastavate nurkade võrdsusest, mis on joonisel tähistatud tähtedega $\alpha$ ja $\beta$.

Paralleelse sirge ehitamine etteantud kaugusel antud sirgest

Kui on vaja konstrueerida sirge, mis on paralleelne antud sirgega ja asetseb sellest teatud kaugusel, võib kasutada joonlauda ja ruutu.

Olgu antud sirge $MN$ ja kaugus $a$.

1. Märgime antud reale $MN$ suvalise punkti ja nimetame selle $B$.
2. Läbi punkti $B$ tõmbame sirgega $MN$ risti oleva sirge ja nimetame seda $AB$.
3. Sirgele $AB$ punktist $B$ joonistame lõigu $BC=a$.
4. Joonista ruudu ja sirge abil läbi punkti $C$ sirge $CD$, mis on paralleelne antud sirgega $AB$.

Kui lükata lõigu $BC=a$ sirgel $AB$ punktist $B$ teisele poole, siis saame antud sirgega paralleelselt veel ühe sirge, mis on sellest etteantud kauguse $a$ kaugusel.

Muud võimalused paralleelsete joonte joonistamiseks

Teine võimalus paralleelsete joonte ehitamiseks on ehitada T-ruuduga. Kõige sagedamini kasutatakse seda meetodit joonistamise praktikas.

Puusepatööde tegemisel paralleelsete joonte märgistamiseks ja ehitamiseks kasutatakse spetsiaalset joonistustööriista - kaldjoont - kahte puitlauda, ​​mis on kinnitatud hingega.

Sisu:

Paralleelsed sirged on sirged, mille kaugus ei muutu ja mis kunagi ei ristu. Mõnes ülesandes antakse teile sirge ja punkt, mille kaudu peate joonistama etteantud joonega paralleelse joone. Muidugi võib võtta joonlaua ja tõmmata ühe silma järgi etteantuga paralleelse joone, aga pole mingit garantiid, et konstrueeritud joon on etteantuga paralleelne. Geomeetriliste seaduste ja kompassi abil saab joonistada lisapunkte, mida läbib tõeline paralleeljoon.

Sammud

1 Perpendikulaaride ehitus

1. 1 Antud punkt ei asu antud sirgel – tõenäoliselt asub see joonest kõrgemal või all. Määrake see joon kui m 2 Joonistage kaar, mis lõikub antud sirgega kahes punktis. Selleks seadke kompassinõel punkti A 3 Joonistage esimene väike kaar selle punkti vastas. Esmalt suurendage kompassi lahendust. Seadke kompassinõel punkti B 4 Joonistage teine ​​väike kaar, mis lõikub esimese väikese kaarega.Ärge muutke kompassi lahendust. Seadke kompassinõel punkti C 5 Joonistage sirge, mis läbib kahe kaare ja antud punkti lõikepunkti. Määrake see rida n-ks
   • Pidage meeles, et perpendikulaar on lõik (antud juhul joon), mis lõikab 90-kraadise nurga all teist lõiku (joont).
2. 6 Joonistage kaar, mis lõikab kahes punktis risti asetsevat joont. Selleks seadke kompassi nõel punkti A 7 Joonistage esimene väike kaar sellest punktist paremale (või vasakule). Suurendage kompassi lahendust. Seadke kompassinõel punkti E 8 Joonista teine ​​väike kaar sellest punktist paremale (või vasakule).Ärge muutke kompassi lahendust. Seadke kompassinõel punkti F 9 Joonistage joon läbi kahe kaare ja antud punkti lõikepunkti. Saadud sirge on risti sirgega n Seega on saadud sirge paralleelne antud sirgega m

   2 Rombi ehitamine

   1. 1 Märgistage see joon ja see punkt. Antud punkt ei asu antud joonel – suure tõenäosusega asub see joonest kõrgemal või all. Mõelge sellele punktile kui rombi tipule. Kuna rombi vastasküljed on paralleelsed, saad rombi konstrueerimisel paralleelse sirge.
      • Leidke rombi teine ​​tipp. Seadke kompassinõel sellesse punkti ja tõmmake kaar, mis lõikub antud joonega ühes punktis. Ärge muutke kompassi lahendust.
        • Kompassi ava laius ei ole oluline – peaasi, et joonistaks kaar, mis lõikub antud sirge suvalises punktis.
        • Joonistage kaar nii, et see mitte ainult ei lõikaks antud sirget, vaid läheks ka antud punktist veidi kõrgemale.
        • Näiteks seadke kompassinõel punkti A 3 Leidke rombi kolmas tipp. Ilma kompassi lahendust muutmata seadke selle nõel teise tippu ja tõmmake kaar, mis lõikab selle sirge uues punktis. Ärge muutke kompassi lahendust.
          • Joonistage lühike kaar nii, et see lõikuks ainult antud sirgega.
          • Näiteks seadke kompassi nõel punkti B 4 Leidke rombi neljas tipp. Ilma kompassi lahendust muutmata seadke selle nõel kolmandasse tippu ja tõmmake kaar, mis lõikub esimese kaarega (mille joonistasite kompassi nõela seadmisega selles punktis ja mille abil leidsite teise tipu).
            • Joonistage lühike kaar nii, et see ületaks just esimese kaare.
            • Näiteks seadke kompassinõel punkti C 5 Joonistage sirgjoon läbi rombi esimese ja neljanda tipu. See sirge läbib antud punkti ja on antud sirgega paralleelne, sest need sirged on vastasküljed romb.
              • Näiteks punkte A läbiv sirge

                3 Vastavate nurkade ehitus

                1. 1 Märgistage see joon ja see punkt. Antud punkt ei asu antud joonel – suure tõenäosusega asub see joonest kõrgemal või all.
                   • Kui joon ja punkt pole veel märgitud, tehke seda, et mitte segadusse sattuda.
                   • Näiteks tähistage seda joont kui m 2 Joonistage joon läbi antud punkti ja mis tahes punkti, mis asub antud sirgel. Sellist lõikejoont kasutades saate konstrueerida vastavad nurgad ja seejärel tõmmata paralleelse joone.
                     • Joonistage pikk lõikejoon - nii, et see läheks etteantud punktist kaugemale.
                     • Näiteks punkti A 3 kaudu Võtke kompass. Tehke kompassi lahenduse laius alla poole saadud segmendi pikkusest.
                       • Kompassi ava täpne laius ei oma tähtsust - peaasi, et see oleks väiksem kui pool saadud segmendi pikkusest.
                       • Näiteks tehke kompassi ava laius väiksemaks kui pool lõigu A B 4 pikkusest Ehitage esimene nurk. Seadke kompassinõel lõikejoone ja selle joone lõikepunkti. Joonistage kaar, mis lõikab sekanti ja antud sirget. Ärge muutke kompassi lahendust.
                         • Näiteks seadke kompassinõel punkti B 5 Joonistage teine ​​kaar. Ilma kompassi lahendust muutmata seadke selle nõel sellesse punkti. Joonistage kaar, mis lõikab lõikejoont antud punkti kohal ja läheb antud punktist veidi alla.
                           • Näiteks seadke kompassi nõel punkti A 6 Võtke kompass. Tehke kompassi ava laius võrdseks konstrueeritud (esimese) nurga laiusega.
                             • Näiteks konstrueeritud nurk on nurk C B D 7 Ehitage sobiv nurk. Kompassi ava peaks olema võrdne esimese nurga laiusega. Seadke kompassi nõel punkti, mis asub selle punkti kohal asuval lõikejoonel, ja tõmmake kaar, mis lõikub teise kaarega.
                               • Näiteks seadke kompassinõel punkti P 8 Joonistage joon läbi etteantud punkti ja kahe kaare ristumispunkti. See sirge on paralleelne antud sirgega ja läbib antud punkti.
                                 • Näiteks tõmmake joon läbi punkti A (kuvastiil A) ja punkti Q (kuvastiil Q) . Saate sirge f (kuvastiil f) , mis on paralleelne joonega m (kuvastiil m) .

                Mida sa vajad

                1. Pliiats või pliiats
                2. Joonlaud
                3. Kompass